Задание 12. Уравнения. ЕГЭ 2023 по математике профильного уровня

Сборник для подготовки к ЕГЭ (базовый уровень)

Прототип задания № 7

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите ко­рень урав­не­ния .

3.Найдите корень уравнения: 

4.Найдите ко­рень урав­не­ния .

5. Найдите корень уравнения: .

6. Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

7.Найдите корень уравнения .

9. Найдите ко­рень уравнения: .

10.Найдите корень уравнения .

11. Найдите ко­рень уравнения: .

12. Найдите корень уравнения: 

13.Найдите корень уравнения: 

14. Найдите корень уравнения .

15. Найдите ко­рень урав­не­ния .

16. Найдите ко­рень урав­не­ния 

18. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

19. Найдите ко­рень урав­не­ния 

20. Найдите корень уравнения: .

21. Найдите ко­рень урав­не­ния 

22. Найдите корень уравнения .

23. Найдите корень уравнения .

25. Найдите ко­рень урав­не­ния 

26. Найдите ко­рень урав­не­ния 

27. Найдите ко­рень уравнения:  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те меньший из них.

28.Найдите корень уравнения .

29. Найдите ко­рень уравнения 

30. Решите урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

31. Найдите корень уравнения: 

32. Найдите ко­рень уравнения:  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

33. Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

34. Найдите корни уравнения:  В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

35. Найдите корни уравнения:  В ответ за­пи­ши­те наибольший от­ри­ца­тель­ный корень.

37.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

38. Найдите ко­рень уравнения .

39. Найдите ко­рень урав­не­ния .

40. Найдите ко­рень урав­не­ния 

41.Найдите корень уравнения .

42. Решите урав­не­ние  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

43. Найдите ко­рень урав­не­ния 

44. Найдите ко­рень урав­не­ния .

45. Найдите ко­рень урав­не­ния 

46. Найдите ко­рень урав­не­ния 

47. Найдите ко­рень урав­не­ния 

48. Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

49. Найдите корень уравнения .

50. Найдите ко­рень уравнения:  В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

Ответы к прототипу задания № 7

Задание 745

Задание 749

Задание 758

Задание 760

Задание 765

Задание 788

Задание 1486

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния $$8(6+x)+2x=8$$.

Задание 1723

Най­ди­те корни урав­не­ния $$25x^2-1=0$$.

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ответ: -0,2; 0,2

Задание 1724

Най­ди­те корни урав­не­ния $$2x^2-10x=0$$.

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ответ: 0; 5

$$2x^2-10x=0 \Leftrightarrow$$$$2x(x-5)=0 \Leftrightarrow$$$$x=0 ; x=5$$

Задание 1727

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций $$y=3-x^2$$ и $$y=-2x$$. Вы­чис­ли­те ко­ор­ди­на­ты точки B.

Ответ: 3; -6

Задание 1728

Урав­не­ние $$x^2+px+q=0$$ имеет корни −6; 4. Най­ди­те p.

Задание 1729

Квад­рат­ный трёхчлен раз­ло­жен на мно­жи­те­ли: $$x^2+6x-27=(x+9)(x-a)$$. Най­ди­те a.

Задание 1730

Задание 1747

Ре­ши­те урав­не­ние: $$(-5x+3)(-x+6)=0$$.

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их в ответ в по­ряд­ке воз­рас­та­ния, через точку с за­пя­той.

Ответ: 0,6; 6

Задание 5651

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 93.6%
Ответом к заданию 5 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

Найдите корень уравнения $\log_{x+5}{64} = 2$.

Решение

Найдем ОДЗ: $\{\table\x + 5 > 0; \x + 5 ≠ 1;$ $\{\table\x > -5; \x ≠ -4;$ $x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; +∞)$.

По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$

$(x + 5)^2 = 64$,

$x + 5 = 8$ или $x + 5 = -8$,

$x = 3 $ или $x = -13 $

$x = -13$ — не входит в ОДЗ.

Ответ: 3

Задача 2

Найдите корень уравнения $\log_{5}{(x^2+26x + 169)}-2 =\log_{√5}{(5x-7)}$.

Решение

$log_{5}{(x^2+26x + 169)}-2 =log_{√5}{(5x-7)}$,

$log_{5}{(x+13)^2}-log_{5}{25} =log_{5^{1/2}}{(5x-7)}$,

$log_{5}{(x+13)^2/{25}} =2log_{5}{(5x-7)}$,

$log_{5}{(x+13)^2/{25}} =log_{5}{(5x-7)^2}$,

$(x+13)^2/{25} =(5x-7)^2$,

$(x+13)/{5} =(5x-7)$ или $(x+13)/{5} =-(5x-7)$,

Откуда: $x=2$ или $x=11/13 — $ второй корень не удовлетворяет ОДЗ,

Ответ: 2

Задача 3

Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4x-15)} =\log_{3}{(x+3)}$.

Решение

$log_3 (4x — 15) = log_3 (x + 3)$,

$4x — 15 = x + 3$,

$3x = 18, x = 6$.

Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 — 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство.

$x = 6$ — корень уравнения.

Ответ: 6

Задача 4

Найдите корень уравнения $625^{x+1}={1} / {5}$.

Решение

$(5^4)^{x+1} = 5^{-1}$, применим свойство $(a^b)^c=a^{bc}$

$5^{4x+4} = 5^{-1}$,

$4x + 4 = -1$,

$4x = -5$,

$x = -1.25$.

Ответ: -1.25

Задача 5

Найдите корень уравнения $9^{x-12}={1} / {3}$.

Решение

$(3^2)^{x-12}=3^{-1} $, применим свойство $(a^b)^c=a^{bc}$

$ 3^{2x-24} = 3^{-1} $,

$2x-24=-1 $,

$ 2x=23 $,

$ x=11{,}5$.

Ответ: 11.5

Задача 6

Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.

Решение

$(x-12)^3=-27$

$ (x-12)^3=(-3)^3 $,
$ x-12=-3 $,
$x=9$.

Ответ: 9

Задача 7

Найдите корень уравнения $\log_{2}{(12+x)} =-2$.

Решение

По определению логарифма $12+x = 2^{-2}, 12+x = 0.25, x = 0.25-12, x = -11.75$.

Ответ: -11.75

Задача 8

Найдите корень уравнения $\log_{3}{(4-x)} =5$.

Решение

По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$

$4-x = 3^5 $,

$ 4-x=243 $,

$x=-239$.

Ответ: -239

Задача 9

Решите уравнение $(x+7)^2 = x^2+7$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Решение

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$x^2 + 14x + 49 = x^2 + 7$,
$14x = -42$,
$x = -3$.

Ответ: -3

Задача 10

Решите уравнение $(5x+11)^2 = (5x-2)^2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Решение

Воспользуемся формулами сокращенного умножения:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Таким образом:

$25x^2+110x+121=25x^2-20x+4$,

$ 110x+20x=-117$,
$130x=-117$
$x=-117/130$
$x=-0.9$.

Ответ: -0.9

Задача 11

Найдите корень уравнения $√ {14-5x}=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение

Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна:

$-x ⩾ 0$, — домножим обе части на -1, в таком случае знак неравенства меняется

$ x ⩽ 0$.

Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$,

$x^2+5x-14=0$,

$ x_1=-7$,

$ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.

Пояснение: $(-x)^2=(-x)(-x)=x^2$

Ответ: -7

Задача 12

Найдите корень уравнения ${x+3} / {2x-11}={x+3} / {3x-7}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение

Найдем ОДЗ: $\{\table\2x-11 ≠ 0; \3x-7≠ 0;$ $\{\table\x ≠ 5.5; \x ≠7/3;$

Удобно домножить обе стороны равенства на знаменатели, проще говоря «крест накрест»

$(x+3)(3x-7)=(2x-11)(x+3)$

${3x}^2-7x+9x-21={2x}^2+6x-11x-33$

$x^2+7x+12=0$

$x_1=-3, x_2=-4$ — оба корня удовлетворяют ОДЗ

Наибольший корень: $x=-3$

Ответ: -3

Задача 13

Найдите корень уравнения ${9-5x} / {x+3}=x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение

При $x ≠ -3$ получим

$x(x + 3) = 9 — 5x$,

$x^2 + 3x + 5x — 9 = 0$,

$x^2 + 8x — 9 = 0$

По теореме Виета $х_1=1$, $х_2=-9$.

Больший корень $x_1=1$

Ответ: 1

Задача 14

Найдите корень уравнения $√ {{4x-21} / {117}}={1} / {3}$.

Решение

ОДЗ: ${4x — 21}/{117}⩾0, 4x-21⩾0, x⩾21/4, x⩾5.25$

$(√{{4x — 21}/{117}})^2 = ({1}/{3})^2$,

${4x — 21}/{117} = {1}/{9}$,

$9(4x — 21) = 117$,

$36x — 189 = 117$,

$36x = 306$,

$x = 8.5$ — удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8.5

Задача 15

Решите уравнение $\log_{{1} / {3}}(13 + x) = — 2$.

Решение

ОДЗ: $13+x>0, x>-13$

По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$

$(1/3)^(-2)=13+x$
$ 13+x=9$
$ x=-4$ — удовлетворяет ОДЗ

Ответ: -4

Задача 16

Решите уравнение $√^3{5+x}=2$.

Решение

Возведем обе части уравнения в третью степень:
$5+х=2^3$,
$5+х=8$,
$х=3$.

Ответ: 3

Задача 17

Решите уравнение ${x-9} / {3x-1}={x-9} / {x+33}$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них

Решение

Допустимые значения переменной: $3х-1≠0$, $х≠1/3$;

$х+33≠0$, $х≠-33$;

Домножим обе части уравнения на $(3х-1)(х+33)≠0 — $ говорят умножим «крест -накрест»

$(х-9)(х+33)=(х-9)(3х-1) — $ вынесем общий множитель

$(х-9)(х+33)-(х-9)(3х-1)=0$

$(х-9)(х+33-(3х-1))=0$

$(х-9)(х+33-3х+1)=0$

$(х-9)(-2х+34)=0$

$ х-9=0$, $х=9$ или

$-2х+34=0$, $х=17$;

$9<17$ — значит наименьший корень $x=9$

Ответ: 9

Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по математике (профильной):
разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий
+ авторские конспекты

Рекомендуемые курсы подготовки

За это задание ты можешь получить 2 балла. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 45.3%
Ответом к заданию 12 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

а) Решите уравнение $11\cos 2x=7\sin (x-{π} / {2})-9$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-π;0]$.

Решение

а) $11\cos 2x=7\sin (x-{π} / {2})-9$,

$11(2\cos^2 x-1)=-7\cos x-9$,

$22\cos^2 x -11+7\cos x +9=0$,

$22\cos^2 x+7\cos x -2=0$.

Обозначим $\cos x=t$, $|t|⩽1$.

Тогда уравнение примет вид: $22t^2+7t-2=0$.

Решим его. $22t^2+7t-2=0$,

$D=49+2⋅ 4⋅ 22=225$. $t_{1,2}={-7±15} / {44}$,

$t_1=-{1} / {2}$, $t_2={8} / {44}={2} / {11}$.

$1$. $\cos x=-{1} / {2}$, $x=±(π-{π} / {3})+2π n$;

$x=± {2π} / {3}+2π n$, $n∈ Z$.

$2$. $\cos x={2} / {11}$, $x=± \arccos {2} / {11}+2π k$, $k∈ Z$.

б) Найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-π;0]$.

$x_1=-π+{π} / {3}=-{2π} / {3}$

$x_2=-\arccos {2} / {11}$.

Ответ: а)$± {2π} / {3}+2πn, n∈ Z; ± \arccos {2} / {11}+2π k, k∈ Z;б)-{2π}/{3}, -arccos{2}/{11}$

Задача 2

а) Решите уравнение $2 sin^2 x — 7 cos(x + {π}/{2})- 4 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-2π;-{π}/{2}]$.

Решение

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:

$cos(x+{π}/{2})=-sinx,$

$2sin^2x + 7sinx -4 = 0$

Обозначим $sin x = t, −1 ≤ t ≤ 1$, получим

$2t^2 + 7t -4 = 0.$

$t_1 = {−7 − 9}/{2·2} = −4$ — не удовлетворяет условию $−1 ≤ t ≤ 1. $

$t_2 = {−7 + 9}/{2·2} = {1}/{2}$.

Вернёмся к исходной переменной:

$sinx ={1}/{2}$,

$x = {π}/{6} + 2πn, n ∈ Z$

$x = {5π}/{6} + 2πk, k ∈ Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-2π; -{π}/{2}]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим: ${π}/{6}-2π=-{11π}/{6}; {5π}/{6}-2π=-{7π}/{6}$.

Ответ: а) $ {π}/{6} + 2πn, n ∈ Z$; $ {5π}/{6} + 2πk, k ∈ Z$ б) $-{11π}/{6};-{7π}/{6}$

Задача 3

а) Решите уравнение $2 cos^2 x — 5 sin(x + {3π}/{2})+ 2 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[{π}/{2};{3π}/{2}]$.

Решение

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:

$sin(x+{3π}/{2})=-cosx,$

$2cos^2x + 5 cos x + 2 = 0$

Обозначим $cos x = t, −1 ≤ t ≤ 1$, получим $2t^2 + 5t + 2 = 0. t_1 = {−5 − 3}/{2·2} = −2$ — не удовлетворяет условию $−1 ≤ t ≤ 1. t_2 = {−5 + 3}/{2· 2} = −{1}/{2}$.

Вернёмся к исходной переменной: $cos x = − {1}/{2}$,

$x = ±(π − {π}/{3}) + 2πn, n ∈ Z , x = ±{2π}/{3} + 2πn, n ∈ Z.$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[{π}/{2}; {3π}/{2}]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим числа ${2π}/{3}; {4π}/{3}$.

Ответ: а)$±{2π}/{3}+2πn,n∈Z;$ б) ${2π}/{3};{4π}/{3}$

Задача 4

а) Решите уравнение $cos(x — {3π}/{2})= sin 2x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{3π}/{2};0]$.

Решение

а) Преобразуем уравнение:

$−sin x = sin 2x,$

$sinx + 2 sin x cos x = 0,$

$sinx(1 + 2 cos x) = 0,$

$sin x = 0;x = πn, n ∈ Z,$

$cosx = -{1}/{2}; x = ±{2π}/{3} + 2πk, k ∈ Z .,$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-{3π}/{2};0]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим числа $−{4π}/{3}; −π; −{2π}/{3}; 0$.

Ответ: а) $x=±{2π}/{3}+2πk;x=πn,k,n∈Z$ б) $-{4π}/{3};-π;-{2π}/{3};0$.

Задача 5

а) Решите уравнение $sin({π}/{2}+ x)= sin (-2x)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0; π]$.

Решение

а) Преобразуем уравнение:

$cos x = − sin 2x,$

$cos x + 2 sin x cos x = 0,$

$cos x(1 + 2 sin x) = 0,$

$cos x = 0;$

$x = {π}/{2} + πn, n ∈ Z$

$sin x = −{1}/{2},$

$x = (−1)^{k+1}·{π}/{6} + πk, k ∈ Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[0; π]$, найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число ${π}/{2}$.

Ответ: а) ${π}/{2}+πn,n∈Z;(-1)^{k+1}{π}/{6}+πk,k∈Z$; б) ${π}/{2}$

Задача 6

а) Решите уравнение $sin x(2 sin x — 1) + √3 sin x + sin {4π}/{3}= 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{π}/{2};π]$.

Решение

а) Решим уравнение $sinx(2sinx-1) +√3sinx + sin{4π}/{3} = 0$.

Так как $sin{4π}/{3} = sin(π +{π}/{3}) = − sin{π}/{3} = −{√3}/{2}$, то уравнение примет вид $sin x(2 sin x-1) +√3 sin x-{√3}/{2} = 0$. Отсюда $2 sin x(sin x-{1}/{2})+ √3(sin x-{1}/{2}) = 0; (2sinx+√3)(sin x-{1}/{2}) = 0$.

Тогда $sin x = {1}/{2}; x = (−1)^n{π}/{6} + πn$ или $sin x = −{√3}/{2}; x = (−1)^{n+1}{π}/{3} + πn$, где $n ∈ Z.$

б) Корни, принадлежащие промежутку $[−{π}/{2}; π]$, найдём с помощью числовой окружности: $−{π}/{3}; {π}/{6}; {5π}/{6}$.

Ответ: а)$(-1)^{n}{π}/{6}+πn;(-1)^{n+1}{π}/{3}+πn,n∈Z$; б) $-{π}/{3};{π}/{6};{5π}/{6}$

Задача 7

а) Решите уравнение $4cos^{2}x = 3cos2x + 1$.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-4π;-{5π}/{4})$.

Решение

a) $4cos^{2}x = 3cos2x+1$,

$4cos^{2}x = 3(2cos^{2}x-1)+1$,

$4cos^{2}x=6cos^{2}x-3+1$,

$cos^{2}x=1, \[\table\cosx=1; \cosx=-1;$ $\[\table\x=2πn, n ∈ Z; \x=π+2πk, k ∈ Z;$ $x=πk, k ∈ Z$

б) Корни, принадлежащие промежутку $[-4π;-{5π}/{4})$, найдем из неравенства $-4π ≤ πk < -{5π}/{4}; k=-4, -3, -2$

$x_1=-4π, x_2=-3π, x_3=-2π$.

Ответ: а)$πn,n∈Z$;б)$-4π;-3π;-π$

Задача 8

а) Решите уравнение $cos (2x) + 3 sin x — 2 = 0$.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-3π;-π]$.

Решение

a) $cos(2x) + 3sinx-2=0$,

$1 — 2sin^{2}x + 3 sin x -2 = 0$,

$2 sin^{2}x — 3sin x +1 = 0$,

Пусть $sin x = y, |sinx| ≤ 1$, уравнение примет вид

$2y^2 — 3y + 1 = 0$,

$y_{1,2} = {3±√{9-8}}/{4} = {3±1}/{4};$

$ y_1=1, y_2={1}/{2}$.

$sin x = 1, x = {π}/{2}+2πn, n ∈ Z; sinx={1}/{2}, x=(-1)^{k}{π}/{6} + πk, k ∈ Z$.

б) Найдём корни уравнения на отрезке $[-3π;-π]$.

С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие $[-3π;-π]$.

Это числа $-{11π}/{6}, -{3π}/{2}, -{7π}/{6}$.

Ответ: а)${π}/{2}+2πn,n∈Z;(-1)^{k}{π}/{6}+πk,k∈Z$;б)$-{11π}/{6};-{3π}/{2};-{7π}/{6}$

Задача 9

а) Решите уравнение $2 cos^2 x + 19 sin x + 8 = 0$.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-π;{π}/{2}]$.

Решение

a) $2 cos^{2}x + 19sinx+8=0$,

$2(1 — sin^{2}x) + 19 sin x +8 = 0$,

$-2 sin^{2}x + 19 sin x +10 = 0$,

$2 sin^{2}x — 19 sin x -10 = 0$.

Пусть $sin x = y, |y| ≤ 1$, уравнение примет вид $2y^2 — 19y -10 = 0$, решим его: $y_{1,2} = {19±√{361 + 80}}/{4} = {19±21}/{4}$.

$y_1 = 10$ или $y_2 = -{1}/{2}$. $y_1=10$ не удовлетворяет условию $|y| ≤ 1$. $sin x = -{1}/{2}, x = (-1)^{n+1}{π}/{6} + πn, n ∈ Z$.

б) Найдём корни уравнения на отрезке $[-π;{π}/{2}]$.

Это числа $-{5π}/{6}$ и $-{π}/{6}$.

Ответ: а)$(-1)^{n+1}{π}/{6}+πn,n∈Z$; б) $-{5π}/{6},-{π}/{6}$

Задача 10

а) Решите уравнение $8sin x + 4 cos^2 x = 7$.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-{3π}/{2};-{π}/{2}]$.

Решение

a) $8 sin x + 4 cos^{2} x = 7$,

$4(1 — sin^{2}x) + 8 sin x — 7 = 0$,

$-4 sin^{2}x + 8 sin x — 3 = 0$,

$4 sin^{2}x — 8 sin x + 3 = 0$.

Пусть $sin x = t, |t| ≤ 1$, уравнение примет вид $4t^2 — 8t + 3 = 0$, решим его: $t_{1,2} = {8±√{64 — 48}}/{8} = {8±√{16}}/{8} = {8±4}/{8} = 1±{1}/{2}$.

$t_1 = {1}/{2}$ или $t_2 = {3}/{2}$. $t_2$ не удовлетворяет условию $|t| ≤ 1$. $sin x = {1}/{2}, x = (-1)^{n}{π}/{6} + πn, n ∈ Z$.

б) Найдём корни уравнения на отрезке $[-{3π}/{2};-{π}/{2}]$.

Это число ${5π}/{6} — 2π = -{7π}/{6}$.

Ответ: а)$(-1)^{n}{π}/{6}+πn,n∈Z$;б)$-{7π}/{6}$

Задача 11

а) Решите уравнение ${sin 2x}/{sin({3π}/{2}+ x)}= 1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(3π;{9π}/{2})$.

Решение

а) ${{sin2x}/{sin({3π}/{2} + x)} = 1$.

Зная, что $sin2x = 2sinxcosx$ и $sin({3π}/{2}+ x)= −cosx$, получим: ${2sinxcosx}/{−cosx}= 1$, где $cosx≠0, x≠{π}/{2}+ πm, m ∈ Z$.

$−2sinx = 1, sinx =−{1}/{2}$.

$x=−{π}/{6}+2πn, n ∈ Z;$

$x=-{5π}/{6}+ 2πk, k ∈ Z$.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $(3π; {9π}/{2})$,с помощью числовой окружности.

$x_1=3π+{π}/{6}={19π}/{6}$,

$x_2=4π−{π}/{6}={23π}/{6}$.

Ответ: а)$-{π}/{6}+2πn,-{5π}/{6}+2πk,n,k∈Z$;б)${19π}/{6};{23π}/{6}$

Задача 12

а) Решите уравнение ${sin 2x}/{sin(π — x)}= √2$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-{5π}/{2};-π)$.

Решение

а)${sin2x}/{sin(π — x)}=√2$.

а) Применим формулу синуса двойного аргумента $sin2x = 2sinxcosx$ и формулу приведения $sin(π — x) = sin x$.

Уравнение примет вид: ${2sinxcosx}/{sinx} = √2$.

Учитывая, что $sinx≠0, x≠πn, n∈Z$, получим:

$2cosx=√2$,

$cosx = {√2}/{2}$,

$x = ±{π}/{4} + 2πk, k∈Z$;

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-{5π}/{2};-π)$, с помощью окружности.

$x_1=-2π+{π}/{4}=-{7π}/{4}$

$x_2=-2π-{π}/{4}=-{9π}/{4}$

Ответ: а)$±{π}/{4}+2πk,k∈Z$;б)$-{9π}/{4};-{7π}/{4}$

Задача 13

а) Решите уравнение ${sin 2x}/{cos(π + x)}= -√2$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(-2π;-{π}/{2})$.

Решение

а)${sin2x}/{cos(π + x)}=-√2$.

Зная, что $sin2x = 2sinxcosx, cos(π + x)=-cosx$, получим: ${2sinxcosx}/{-cosx}=-√2$.

Учитывая, что $cosx≠0, x≠{π}/{2} + πm, m∈Z$, имеем:

$2sinx=√2$,

$sinx = {√2}/{2}$,

$x = {π}/{4} + 2πn, n∈Z$;

$x = {3π}/{4} + 2πk, k∈Z$.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $(-2π;-{π}/{2})$.

1. $x = {π}/{4} + 2πn, n∈Z$.

$-2π < {π}/{4} + 2πn < -{π}/{2},$

$-2 < {1}/{4} + 2n < -{1}/{2},$

$-2-{1}/{4} < 2n < -{1}/{2}-{1}/{4},$

$-{9}/{4} < 2n < -{3}/{4},$

$-{9}/{8} < n < -{3}/{8},$

$n = -1$.

При $n =-1$

$x = {π}/{4}-2π=-{7π}/{4}$.

2. $x = {3π}/{4} + 2πk, k∈Z$.

$-2π < {3π}/{4} + 2πk < -{π}/{2}$,

$-2 < {3}/{4} + 2k < -{1}/{2}$,

$-2-{3}/{4} < 2k < -{1}/{2}-{3}/{4}$,

$-{11}/{4} < 2k < -{5}/{4}$,

$-{11}/{8} < k < -{5}/{8}$,

$k = -1$.

При $k = -1$

$x = {3π}/{4}-2π = -{5π}/{4}$.

Ответ: а)${π}/{4}+2πn,{3π}/{4}+2πk,n,k∈Z$;б)$-{7π}/{4};-{5π}/{4}$

Задача 14

а) Решите уравнение $9·3^{2 cos x} — 10√3·3^{cos x} + 3 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};4π]$.

Решение

а) После замены $t = 3^{cosx}$ исходное уравнение примет вид $9t^2 — 10√3t + 3 = 0$. Корни этого уравнения $t = √3; t = {√3}/{9}$. Возвращаясь к переменной $x$, получим

$\[\table\3^{cosx}=√3; \3^{cosx}={√3}/{9};$ $\[\table\3^{cosx}=3^{{1}/{2}}; \3^{cosx}=3^{-{3}/{2}};$ $\[\table\cosx={1}/{2}; \cosx=-{3}/{2};$

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим $x =±{π}/{3} + 2πn; n ∈ Z$.

б) Запишем решение уравнения в виде $x =-{π}/{3} + 2πn; n ∈ Z$ или $x ={π}/{3} + 2πk; k ∈ Z$ и выясним, для каких целых значений $n$ и $k$ справедливы неравенства ${3π}/{2}≤-{π}/{3}+2πn≤4π$ и ${3π}/{2}≤{π}/{3}+2πk≤4π$.

Получим ${11}/{12} ≤ n ≤ {26}/{12}$ и ${7}/{12} ≤ k ≤{22}/{12}$.

Откуда следует, что два целых значения $n = 1$ и $n = 2$ удовлетворяют неравенству ${11}/{12} ≤ n ≤ {26}/{12}; k = 1$ — единственное целое $k$, удовлетворяющее неравенству ${7}/{12} ≤ k ≤{22}/{12}$.

При $n = 1$ $x = -{π}/{3} + 2π·1 = {5π}/{3}$.

При $n = 2$ $x = -{π}/{3} + 2π·2 = {11π}/{3}$.

При $k = 1$ $x = {π}/{3} + 2π·1 = {7π}/{3}$. Итак, ${5π}/{3}; {7π}/{3}; {11π}/{3}$ — корни уравнения, принадлежащие промежутку $[{3π}/{2};4π]$.

Ответ: а)$x=±{π}/{3}+2πn,n∈Z$;б)${5π}/{3};{7π}/{3};{11π}/{3}$

Задача 15

а) Решите уравнение $log_2^2(2 sin x + 1) — 17 log_2(2 sin x + 1) + 16 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{π}/{4};2π]$.

Решение

а) После замены $t = log_2(2 sin x+1)$ исходное уравнение примет вид $t^2-17t+16 = 0$. Корни этого уравнения $t = 1, t = 16$. Возвращаясь к переменной $x$, получим:

$\[\table\log_2(2 sin x + 1) = 1; \log_2(2 sin x + 1) = 16;$ $\[\table\2 sin x + 1 = 2;; \2sin x + 1 = 2^{16};$

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим: $sin x = {1}/{2}; x = (-1)^n{π}/{6} + πn; n ∈ Z$.

б) Запишем решение уравнения в виде $x = {π}/{6} + 2πn; n ∈ Z$ или $x = {5π}/{6} + 2πk; k ∈ Z$ и выясним, для каких целых значений $n$ и $k$ справедливы неравенства ${π}/{4}≤{π}/{6}+2πn≤2π$ и ${π}/{4}≤{5π}/{6}+2πk≤2π$.

Получим: ${1}/{24}≤n≤{11}/{12}$ и $-{7}/{24}≤k≤{7}/{12}$, откуда следует, что нет целых значений $n$, удовлетворяющих неравенству ${1}/{24}≤n≤{11}/{12}; k = 0$ — единственное целое $k$, удовлетворяющее неравенству $-{7}/{24}≤k≤{7}/{12}$.

При $k = 0$ $x = {5π}/{6} + 2π·0 = {5π}/{6}$. Итак, ${5π}/{6}$ — корень уравнения, принадлежащий отрезку $[{π}/{4};2π]$.

Ответ: а)$(-1)^{n}{π}/{6}+πn,n∈Z$;б)${5π}/{6}$

Задача 16

а) Решите уравнение $6 log_2^2(2 cos x) — 9 log_2(2 cos x) + 3 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-{π}/{2};π]$.

Решение

а) Решим уравнение $6log_2^2(2 cos x)-9 log_2(2 cos x)+3 = 0$. Обозначим $log_2(2 cos x) = t$ и решим получившееся квадратное уравнение.

$6t^2 — 9t + 3 = 0, t = {9±3}/{12}; t_1 = {1}/{2}; t_2 = 1$.

$\[\table\log_2(2 cos x) ={1}/{2}; \log_2(2 cos x) = 1;$ $\[\table\2 cos x = √2; \2 cos x = 2;$

$\[\table\cos x = {√2}/{2}; \cos x= 1;$ $\[\table\x = ±{π}/{4}+ 2π n; n ∊ Z; \x = 2πk; k ∊ Z;$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[-{π}/{2};π]$, найдём с помощью числовой окружности:

$x_1 = -{π}/{4}; x_2 = 0; x_3 ={π}/{4}$.

Ответ: а)$±{π}/{4}+2πn,n∈Z;2πk,k∈Z$;б)$-{π}/{4};0;{π}/{4}$

Задача 17

а) Решите уравнение $2log_2^2(2 sin x) — 3 log_2(2 sin x) + 1 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2}; 3π]$.

Решение

а) Решим уравнение $2log_2^2(2 sin x) — 3 log_2(2 sin x) + 1 = 0$. Обозначим $log_2(2 sin x) = t$ и решим получившееся уравнение. $2t^2 — 3t + 1 = 0, t = {3±1}/{4}; t_1 = 1; t_2 ={1}/{2}$

$\[\table\log_2(2 sin x) = 1; \log_2(2 sin x) ={1}/{2};$ $\[\table\2 sin x = 2; \2 sin x=√2;$

$\[\table\sin x = 1; \sin x = {√2}/{2};$ $\[\table\x={π}/{2}+2πn; \x=(-1)^k{π}/{4}+πk;$ $n,k∈Z$

б) Корни, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2}; 3π]$, найдём с помощью числовой окружности:

$x_1 = 2π + {π}/{4} = {9π}/{4}; x_2 = 2π + {π}/{2} ={5π}/{2}; x_3 = 3π -{π}/{4} = {11π}/{4}$.

Ответ: а)${π}/{2}+2πn,n∈Z;(-1)^k{π}/{4}+πk,k∈Z$;б)${9π}/{4};{5π}/{2};{11π}/{4}$

Задача 18

а) Решите уравнение $27^{x} — 5·9^{x} — 3^{x+4} + 405 = 0$.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_{3}6; log_{3}10]$.

Решение

а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.

$3^{3x} — 5·3^{2x} — 81·3^x + 405 = 0$,

$3^{2x}(3^x — 5) — 81(3^x — 5) = 0$,

$(3^{2x} — 81)(3^x — 5) = 0$.

Получаем: $3^{2x} -81 = 0$ или $3^x -5 = 0$. Значит, $3^{2x} = 81$, откуда $x = 2$ или $3^x = 5$, откуда $x = log_{3}5$.

б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку $[log_{3}6; log_{3}10]$. Заметим, что $2 = log_{3}9$. Тогда $log_{3}5 < log_{3}6 < 2 < log_{3}10$. Значит, указанному отрезку принадлежит корень $x = 2$.

Ответ: а)$2;log_{3}5$; б)$2$

Задача 19

а) Решите уравнение $3√{2}sin({π}/{2}+x)-2=2cos^{2}x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};{5π}/{2}]$.

Решение

а) Запишем исходное уравнение в виде $2 cos^2 x — 3√2 cos x + 2 = 0$.

Решая это уравнение как квадратное относительно $cos x$, получим $(cos x)_{1,2} ={3√2±√{18 — 16}}/{4}={3√2± √2}/{4}$.

Значит, $(cos x)_1 = {√2}/{2}$, откуда $x =π/4 + 2πn, n ∈ Z$ или $x =-π/4 + 2πn, n ∈ Z$.

Уравнение $(cosx)_2 = √2$ корней не имеет.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[{3π}/{2};{5π}/{2}]$ с помощью числовой окружности.

Получим числа

$2π -{π}/{4} ={7π}/{4}$;

$2π + {π}/{4} = {9π}/{4}$.

Ответ: а)$±{π}/{4}+2πn,n∈Z$;б)${7π}/{4},{9π}/{4}$

Задача 20

а) Решите уравнение $3√{3}cos({3π}/{2}+x)-3=2sin^{2}x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2π; 3π]$.

Решение

а) Запишем исходное уравнение в виде $2sin^2 x — 3√3 sin x + 3 = 0$.

Решая это уравнение как квадратное относительно $sin x$, получим $(sin x)_{1,2} = {3√3±√{27-24}}/{4}= {3√3±√3}/{4}$.

Значит,$(sin x)_1 ={√3}/{2}$, откуда $x ={π}/{3} +2πn, n ∈ Z$ или $x ={2π}/{3}+2πm, m ∈ Z$.

Уравнение $(sin x)_2 = √3$ корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку: $[2π; 3π]$

Получим числа:

$2π +{π}/{3}={7π}/{3}$;

$3π -{π}/{3}={8π}/{3}$.

Ответ: а)${π}/{3}+2πn,n∈Z;{2π}/{3}+2πm,m∈Z$;б)${7π}/{3},{8π}/{3}$

Подпишись на полезные материалы ЕГЭ по математике (профильной):
разбор реальных вариантов ЕГЭ и сложных заданий
+ авторские конспекты

Рекомендуемые курсы подготовки

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов

Показана страница 1 из 31

Показана страница 1 из 27