Включить задания, состоящие из ответов и их пояснений, относящихся к математике, в дополнение к Заданию 13, основанному на оценке математики на профессиональном уровне, с упором на программу стереометрии

Содержание

Задачи ЕГЭ по математике
«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»
Уравнения
Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
Третий вариант задания (из Ященко, № 6)
Наглядная стереометрия
Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня
Вариант 13МБ2
Вариант 13МБ3
Вариант 13МБ4
Вариант 13МБ5
Вариант 13МБ6
Вариант 13МБ7
Вариант 13МБ8
Вариант 13МБ9
Вариант 13МБ10
Вариант 13МБ11
Вариант 13МБ12
Вариант 13МБ13
Вариант 13МБ14
Структура базового уровня ЕГЭ по математике
Разбор заданий ЕГЭ по математике (база)

Задачи ЕГЭ по математике

На этой странице вы можете ознакомиться с задачами из части «В» Единого государственного экзамена. Открыв какое-либо задание (В1, или В2, или В3 и т.д.), вы увидите сразу несколько условий задач, соответствующих этому типу задания ЕГЭ. Их можно решать в любом порядке и в течение любого времени.

Наш раздел ориентирован в первую очередь не на педагогов, а на самих учеников. Именно для них написаны подробные решения. Яркие, красочные рисунки, многочисленные пометки и пояснения, в том числе раскрывающие, как надо думать на том или ином этапе, – вот то, что отличает их от большинства пояснений и комментариев к заданиям ЕГЭ, представленных в Интернете. Думайте, решайте, наслаждайтесь красотой решения задач вместе с нами!

Задание 13 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!

1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения. Посмотрите, как решаются типовые задачи.

2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.

3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.

4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.

5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.

6. Задачи 13 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.

Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.

2. В правильной шестиугольной призме

, все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра

Найдите угол между прямой АG и плоскостью

3. В правильной шестиугольной призме

все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости

4. В основании прямой призмы

5. Точка E — середина ребра

6. В правильной треугольной призме

, все рёбра которой равны

. Найдите расстояние между прямыми

7. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся выпускникам на Профильном ЕГЭ по математике.

8. Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.

а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.

9. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка

— образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что

а) Докажите, что угол между прямыми

б)Найдите объём цилиндра.

10. В основании призмы

лежит правильный треугольник, вершина

а) Докажите, что плоскости

б) Найдите угол между прямой

если боковое ребро призмы равно стороне основания.

11. Сечением прямоугольного параллелепипеда

, содержащей прямую

и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями

12. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14

7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:

1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.

2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.

3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения

— прямые а и b перпендикулярны.

4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники»

— В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в

— В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в

5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры помогает найти угол между плоскостями. Здесь

— угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.

7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод

Почему именно в таком порядке?

Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.

И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике — только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.

К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.

Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники» и «Тела вращения» приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.

Во-вторых — уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические.

И главное — для решения задачи 13 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Работая над этим заданием, сформулируйте для себя — чем отличаются определение и признак. Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости — и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.

Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:

Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый — классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй — координатно-векторный метод.

Включить задания, состоящие из ответов и их пояснений, относящихся к математике, в дополнение к Заданию 13, основанному на оценке математики на профессиональном уровне, с упором на программу стереометрии

«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть 1 и задачу 12. Просто, понятно и доступно. Автор — репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Про ЕГЭ: Пробный ОГЭ № 2 по математике 2022г. 9 класс. Варианты 1, 2, 3, 4, 5. Ответы.материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9 класс)

Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задача 13 на ЕГЭ по математике профильного уровня. Программа по стереометрии» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

7 февраля 2022

Стереометрическая задача на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов).

Традиционная задача по стереометрии, связанная с нахождением длин, площадей (в том числе площадей сечений многогранников и тел вращения), углов (между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями), связанных с призмой, пирамидой, цилиндром, конусом или шаром.

Не зная основных определений и признаков (параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности плоскостей, скрещивающихся прямых), нет смысла браться за задание 13.

Типичные ошибки при решении задания 13

Типичные ошибки участников экзамена связаны в первую очередь с неверным пониманием логики построения доказательства. Например, доказательство пункта а задания 13 часто начинается так:

Многие участники экзамена неверно применяют признаки:

При выполнении второго пункта участники:

Кроме этого участники экзамена допускают большое количество ошибок при построении чертежа.

Уравнения

В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Пункт а)

1. Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения cos(π/2−x)=sinx. Имеем:

сos2x = 1 – sin x.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:

Получаем такое уравнение: 1−sin 2x=1− sinx

Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx.

2. Вводим замену: t = sinx. Решаем получившееся квадратное уравнение:

t = 0 или -2t + 1 = 0,

t1 = 0 t2 = 1/2.

3. Делаем обратную замену:

sin x = 0 или sin x = ½

Решаем эти уравнения:

sin x =0↔x=πn, nЄZ

sin(x)=1/2↔x= (-1)n∙(π/6)+ πn, nЄZ.

Следовательно, получаем два семейства решений.

Пункт б):

1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.

2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).

3. Красным цветом помечаем концы промежутка.

4. В указанном промежутке расположены три корня что три корня: −2π;−11π/6 и −7π/6.

Ответ:

а) πn, nЄZ; (-1)n∙(π/6)+ πn, nЄZ

б) −2π;−11π6;−7π6

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Алгоритм решения

Пункт а)

1. Вводим замену t = 4cos х. тогда уравнение примет вид:

Решаем квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:

D=b2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t1= (9 – 7)/8= ¼, t2 = (9+7)/8=2.

3. Возвращаемся к переменной х:

Пункт б)

1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.

2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.

3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка..

. Их два.

Ответ:

а)

Третий вариант задания (из Ященко, № 6)

а)

1. По формулам приведения

2. Тогда данное уравнение примет вид:

3. Вводим замену

Решаем обычное квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:

Оба корня положительны.

3. Возвращаемся к переменной х:

Получили четыре семейства корней. Их бесконечно много.

б)

4. С помощью неравенств находим те корни, которые принадлежащие отрезку

Получаем одно значение

ни одного значения корней нет.

Для корней

есть одно значение

Наглядная стереометрия

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры – например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии – они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения

Запишем формулу объема цилиндра.

Если вы забыли формулу объема цилиндра, то напомню, как ее можно легко вывести. Объем простых фигур, таких как куб и цилиндр, можно вычислить умножив площадь основания на высоту. Площадь основания в случае с цилиндром равна площади окружности, которую, вы, наверняка помните: π • r2.

Следовательно, объем цилиндра равен π • r2 • h

Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.

V1 = π r1 2 h1

V2 = π r2 2 h2

Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

V1 = V2

Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

π r1 2 h1 = π r2 2 h2

Полученное уравнение решим относительно второй высоты h2.

h2 – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

h2 =( π r1 2 h1)/ π r2 2

По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r2 = 4 r1 .

Подставим r2 = 4 r1 в выражение для h1.

Получим: h2 =( π r1 2 h1)/ π (4 r1) 2

Полученную дробь сократим на π, получим h2 =( r1 2 h1)/ 16 r1 2

Полученную дробь сократим на r1, получим h2 = h1/ 16.

Подставим известные данные: h2 = 80/ 16 = 5 см.

Ответ: 5.

Вариант 13МБ2

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V1 = a1 · b1 · c1

V2 = a2 · b2 · c2

Найдем отношение объемов.

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c1 = 4,5 c2 (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй),

b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a2 = 3 a1

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 3a1 · 3b1 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)

Сократим получившуюся дробь на a1 · b1 · c2. Получим:

V1 / V2 = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 4,5/9 = ½.

Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй.

Ответ: 2.

Вариант 13МБ3

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

По условию c1 = 1,5 c2 (первая коробка в полтора раза выше второй), b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой).

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 3a1 · 3b1 · c2) = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)

V1 / V2 = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 1,5/9 = 15/(10 · 9) = 3/(2 · 9) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Про ЕГЭ: Задание №6 ЕГЭ по математике базовый уровень - разбор и решение

Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй.

Ответ: 6.

Вариант 13МБ4

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового “куба”. Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

Вариант 13МБ5

Объем цилиндра равен: V=πR2H. Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R1, а его высоту – через Н1. Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R2, а высоту – через Н2.

Отсюда получим: V1=πR12H1, V2=πR22H2.

Запишем искомое отношение объемов:

Подставляем в полученное отношение числовые данные:

Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

Вариант 13МБ6

Объем бака до погружения V1=5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V2. Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V2=1,4V1.

Отсюда получаем: V2=1,4·5=7 (л).

Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:

2 л=2·1000=2000 (куб.см).

Вариант 13МБ7

Объем цилиндра равен: V=Sоснh=πR2h.

Объем воды в 1-м сосуде: V1=πR12h1.

Объем во 2-м сосуде: V2=πR22h2.

Приравниваем V1 и V2: πR12h1=πR22h2.

Сокращаем на π, выражаем h2:

По условию R2=2R1. Отсюда:

Вариант 13МБ8

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Решение

Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.

Вариант 13МБ9

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?

Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а1, а для второй а2. Высоты коробок обозначим соответственно h1 и h2. Объемы – V1 и V2.

Согласно условию, h2=4,5h1, а1=3а2.

Объем призмы равен: V=Sоснh. Т.к. в основании коробок лежит квадрат, то Sосн=а2. Отсюда: V=a2h.

Для 1-й коробки имеем: V1=a12h1. Для 2-й коробки: V2=a22h2.

Тогда получаем отношение:

Вариант 13МБ10

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V1, малого – V2. Получим:

Поскольку по условию V1=1600 мл, то V2=1600/8=200 мл.

Вариант 13МБ11

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?

Объем шара вычисляется по ф-ле:

Отсюда объем 1-го (большего) шара равен

, 2-го (меньшего) шара –

Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:

Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

Вариант 13МБ12

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

Площадь бок.поверхности цилиндра вычисляется так: S=2πRH.

Для 1-го цилиндра имеем: S1=2πR1H1. Для 2-го цилиндра: S2=2πR2H2.

Составим отношение этих площадей:

Найдем числовое значение полученного отношения:

Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

Вариант 13МБ13

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Масса большего (1-го) шара равна: m1=ρV1. Объем этого шара составляет V1=(4/3)πR13. Отсюда получаем: m1=(4/3)πρR13. Из этого уравнения выразим плотность:

Вариант 13МБ14

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

Найдем этот объем:

В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня — у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2020 году. Начинаем!

ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида — базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.

Разбор заданий ЕГЭ по математике (база)

Реальные варианты ЕГЭ 2015

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Миша живёт в доме, в котором всего один подъезд. При этом на каждом этаже по квартир. Миша живет в квартире номер . На каком этаже живёт Миша?

Количество полных этажей, которые расположены ниже Мишиного, есть округлённый в меньшую сторону результат деления на , следовательно, этажей ниже, чем Мишин, тогда Миша живёт на этаже.

На диаграмме показана температура воздуха в Москве за первые дней марта 2010 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько из указанных дней температура не превышала градуса Цельсия.

Температура не превышала градуса Цельсия , , , и марта, то есть дней.

Для транспортировки груза на можно комбинировать услуги трёх фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант перевозки?

Наиболее дешёвый способ: снарядить 3 машины перевозчика “Мощный” на (то есть по 10 раз) и ещё 2 машины перевозчика “Дешёвый” на , что обойдётся в (3cdot 4500cdot 10 +
2cdot 2000cdot 10 = 175,000 руб).

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён треугольник. Найдите его площадь.

Данный треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, как показано на рисунке. Площади полученных при этом треугольников будут равны (0,5cdot 4cdot 6 = 12) и (0,5cdot
6cdot 6 = 18), следовательно, площадь исходного треугольника равна (12 + 18 = 30).

На чемпионате по стрельбе из лука выступают спортсменов, среди них по стрелков из Дании и Туниса. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что пятым будет выступать стрелок из Дании.

Про ЕГЭ: Учебные задания ЕГЭ по истории с картами и 7 алгоритмов работы с историческими картами. Опыт сдачи ЕГЭ по истории выпускников

Угол равен , градусная мера дуги , не содержащей точку , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то (angle NPK = 88^circ : 2 = 44^circ).

В точке максимума производная равна , причём в некоторой окрестности точки максимума слева от неё производная должна быть положительна, а справа от неё – отрицательна. Таким образом, функция имеет единственную точку максимума на указанном отрезке ((x = 15)).

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно , а сторона основания равна . Найдите высоту пирамиды.

В правильной пирамиде проекция вершины на плоскость основания есть центр описанной около основания окружности.

В сосуд налили (1500 куб. см) воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в куб. см.

Объём жидкости с погружённой деталью стал (1500cdot 1,4 = 2100куб.см), следовательно, объём детали равен (2100 — 1500 = 600куб.см).

Расстояние между городами и равно . Из города в город выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города выехал второй автомобиль со скоростью . Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии от города . Ответ дайте в км/ч.

Расстояние, которое до места встречи проехал второй автомобиль, равно (490 — 330 = 160 км), следовательно, он ехал в течение (160 :
80 = 2 ч). Тогда первый автомобиль ехал до места встречи в течение (2 + 1 = 3 ч), следовательно, его скорость равна (330 : 3 = 110км/ч).

ОДЗ: (x geqslant 0).

2) Найдём промежутки знакопостоянства :

а) ОДЗ: – произвольный.

Сделаем обратную замену:

а) Докажите, что – высота пирамиды .

б) Найдите угол между и плоскостью .

Таким образом, (AB perp MBperp BC), то есть перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости , следовательно, – высота пирамиды .

По методу интервалов

Две окружности касаются внутренним образом в точке , причём меньшая из окружностей проходит через центр большей окружности. Хорда большей окружности касается меньшей в точке ; и – точки пересечения меньшей окружности с и соответственно.

а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Пусть – точка пересечения и . Найдите , если радиус большей окружности равен , а (PQ = 6).

а) Пусть и центры большей и меньшей окружностей соответственно. Так как и перпендикулярны касательной, проходящей через точку , то точки , и лежат на одной прямой. Пусть – точка пересечения этой прямой с большей окружностью, отличная от .

Докажем, что хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку , относятся как их диаметры. Рассмотрим доказательство на примере хорд и .

Рассмотрим треугольники и . Эти треугольники прямоугольные, так как – диаметр меньшей окружности (описанной около треугольника ), а – диаметр большей окружности (описанной около треугольника ). При этом острый угол у них общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Для других хорд, лежащих на прямой, проходящей через точку , утверждение доказывается аналогично.

б) Опустим перпендикуляры и на .

Так как – радиус большей окружности и диаметр меньшей, то радиус меньшей окружности равен (0,5cdot 5 = 2,5)

Рассмотрим прямоугольную трапецию .

15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-ого числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца; со 2-ого по 14-ое числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга в виде платежа банку; 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту превысила сумму кредита на процентов. Найдите .

По условию общая сумма выплат превысила на сумму кредита . Это значит, что переплата по кредиту составляет от . Найдем общую сумму выплат:

Тогда переплата составила . Т.к. переплата составила от , то

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Рассмотрим два случая:

Отдельно рассматриваемое данное уравнение задаёт на плоскости окружность с центром в точке и радиусом , но с учётом условия (4x — 2y — 10geqslant 0) нам подходит только часть этой окружности, лежащая в полуплоскости (y leqslant 2x — 5).

При каждом фиксированном значении второе уравнение исходной системы задаёт прямую, параллельную (при (a = 0) оно задаёт прямую , а при прямую, полученную из параллельным переносом).

Среди посетителей одного из магазинов был проведён опрос. Известно, что каждому опрошенному целое число лет. Участник опроса попадает в возрастную категорию А, если ему более лет, иначе он попадает в категорию Б. Спустя года опрос был проведён повторно, причём среди тех же людей, что и в первый раз.

а) Могло ли оказаться так, что во время повторного опроса средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что при повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, понизился, и средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний возраст опрашиваемых составил лет, средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, составил лет, а средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, составил лет. При повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, стал равен году, а попавших в категорию А – годам. При каком наименьшем числе участников опроса возможна такая ситуация?

а) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали изначально три человека, одному из которых было лет, а двум другим по лет. Тогда их средний возраст при первом опросе был лет, а при втором опросе в категории Б остались только двое, которым исполнилось по лет, то есть их средний возраст стал лет.

б) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали те же трое, что в пункте а), а в категорию А изначально попадали два человека, которым было по лет.

Так как (k geqslant 1), то , но делится на , следовательно, . При (n = 8) имеем: (m = 10). Этот случай возможен только при (k = 1).

Таким образом, менее человек быть не могло, а человек могло быть, например, так:в первый раз опросили человек, каждому из которых было по лет, одного человека в возрасте лет и человек, каждому из которых было по лет.