Алгоритм решения:
- Приведем пример набора чисел, который удовлетворяет условию (Это подтверждает возможность набора чисел).
- Проверяем вероятность второго условия.
- Ищем ответ на третий вопрос, введя переменную n.
- Записываем ответы.
Второй вариант 1 (из ященко, №1)
[su_note note_color=”#defae6″]
На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 1062.
а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
[/su_note]
Егэ 2022 по математике задание 19 с решением
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2022 по математике
ЕГЭ по математике 2022 в формате pdf Базовый уровень | Профильный уровень
Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.
Математика: базовый | профильный 1-12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
18 | 19 | Главная
Егэ 2022 по математике профильный уровень задание 19 с решением
Егэ по математике
Условие:
Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1.
Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P.
Решение:
Любое натуральное число N представимо в виде произведения:
N = (p1 x k1) (p2 x k2) … и т.д.,
где p1, p2 и т.д. — простые числа,
а k1, k2 и т.д. — целые неотрицательные числа.
Например:
15 = (31) (51)
72 = 8 х 9 = ( 2 x 3 ) (32)
Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1 1) (k2 1) …
Итак, по условию, P = N1 N2 … N11, где
N1 = (p1 x k[1,1]) (p2 x k[1,2]) …
N2 = (p1 x k[2,1]) (p2 x k[2,2]) …
…,
а это значит, что
P = (p1 x (k[1,1] k[2,1] … k[11,1])) (p2 x (k[1,2] k[2,2] … k[11,2])) …,
и общее количество натуральных делителей числа P равно
(k[1,1] k[2,1] … k[11,1] 1) (k[1,2] k[2,2] … k[11,2] 1) …
Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1…N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p2, … N11 = p11.
То есть, например,
N1 = 21 = 2,
N2 = 22 = 4,
N3 = 23 = 8,
…
N11 = 211 = 2048.
Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1 (1 2 3 … 11) = 67.
Ответ: 67.
Егэ по математике
Найдите все натуральные числа,
не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.
Решение:
Каждое натуральное число может быть либо четным (2 k), либо нечетным (2 k 1).
1. Если число нечетное:
n = 2 k 1 = (k) (k 1). Числа k и k 1 всегда взаимно простые
(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x-y| тоже должно делиться на d. (k 1)-(k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)
То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2 1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.
2. Если число четное:
n = 2 k
Тут придется рассмотреть два случая:
2.1. k — четное, т.е. представимое в виде k = 2 m.
Тогда n = 4 m = (2 m 1) (2 m-1).
Числа (2 m 1) и (2 m-1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2 m 1)-(2 m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2 m 1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.
Так мы доказали, что все числа вида 4 m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение — число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1 3, но единица в качестве слагаемого нам по-прежнему не подходит.
2.1. k — нечетное, т.е. представимое в виде k = 2 m-1.
Тогда n = 2 (2 m-1) = 4 m-2 = (2 m-3) (2 m 1)
Числа (2 m-3) и (2 m 1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2 m 1) — число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.
Так мы доказали, что все числа вида 4 m-2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения — числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.
Ответ: 1,2,3,4,6
| Еще задания 19 профильного уровня егэ по математике с решением
Егэ по математике
Найдите все натуральные числа,
не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.
Решение:
Каждое натуральное число может быть либо четным (2 k), либо нечетным (2 k 1).
1. Если число нечетное:n = 2 k 1 = (k) (k 1). Числа k и k 1 всегда взаимно простые
(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x-y| тоже должно делиться на d. (k 1)-(k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)
То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2 1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.
2. Если число четное:n = 2 kТут придется рассмотреть два случая:
2.1. k — четное, т.е. представимое в виде k = 2 m.Тогда n = 4 m = (2 m 1) (2 m-1).Числа (2 m 1) и (2 m-1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2 m 1)-(2 m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2.Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2 m 1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.
Так мы доказали, что все числа вида 4 m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.Тут исключение — число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1 3, но единица в качестве слагаемого нам по-прежнему не подходит.
2.1. k — нечетное, т.е. представимое в виде k = 2 m-1.Тогда n = 2 (2 m-1) = 4 m-2 = (2 m-3) (2 m 1)Числа (2 m-3) и (2 m 1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2 m 1) — число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.
Так мы доказали, что все числа вида 4 m-2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.Тут исключения — числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.
Ответ: 1,2,3,4,6
| Еще задания 19 профильного уровня егэ по математике с решением
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)
https://www.youtube.com/watch?v=H3RBwayNl-0
[su_note note_color=”#defae6″]
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
[/su_note]
Решение:
1. Если Маша сделала m фотографий в 1-й день, то за 17 дней она сфотографировала 
Наташа, за 1-й день сделала n фотографий, тогда за оставшиеся 17 дней она сделала
Найдем такие m и n, чтобы выполнялось равенство:
Возьмем, к примеру, n=70 и m=1. Это ответ на вопрос а).
2. Если фотографировали девочки всего 18 дней, получается:
1173 на 18 не разделится, следовательно, выбрать такие n и m нельзя. Это ответ на вопрос б.
3. Поищем ответ на последний вопрос. Допускаем, что девочки делали фотографии x дней. Тогда Маша сделала бы в последний день снимков
То есть 
число x является делителем 1173. Тогда возможны только варианты: x = 23, 17 или 3.
Вычисляем наибольшее число фотографий, которые могла сделать Маша. Получаем:
Для числа x=3:
При x=17:
А при x=23:
Самое большое количество снимков, которые сделала Наташа:
759 1173=1932.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1932.
Решу егэ
а) Расположим двузначные числа в клетках прямоугольника высоты 9 и ширины 10 (по горизонтали откладываем единицы, по вертикали – десятки). Каждой попытке Гриши соответствует крестик из пяти клеток: в центре названное им число, а по бокам четыре числа, отличающиеся в одной цифре на единицу (если названное число содержит цифру 0 или 9, некоторые клетки крестика выходят за края прямоугольника; таким клеткам никакие числа не соответствуют). Задача Гриши – покрыть прямоугольник 9 × 10 такими крестиками. Убедимся, что 18 крестиков ему не хватит. Суммарная площадь крестиков равна 18 × 5 = 90, т. е. равна площади прямоугольника. Но, покрывая угловую клетку, мы неизбежно выйдем за пределы прямоугольника, и эта потеря помешает покрыть весь прямоугольник.
б, в) Решим сразу пункт в) — убедимся, что 22 попыток хватит. Покрытие из 22 крестиков легко найти, если заметить, что крестиками можно выложить плоскость без перекрытий (правда, придётся ещё добавить несколько крестиков по краям прямоугольника). Например, Гриша может назвать числа 11, 13, 17, 25, 29, 30, 32, 37, 44, 49, 51, 56, 63, 68, 70, 75, 82, 87, 89, 90, 94, 97.
Примечание Александра Иванова.
Давайте рассмотрим предложенную картинку. Прямоугольник замощен фигурами разной формы: крест (5 клеток), Т-образный (4 клетки), трехклеточные (угловые и прямые), двухклеточные фигуры и две одиночные клетки.
Услышав «холодно», мы (Гриша) сразу отбрасываем все клетки названной фигуры, услышав «тепло», — начинаем проверять. Для проверки разных фигур требуется разное максимальное количество дополнительных ходов: для креста — 3 хода, для Т-образного и трехклеточных фигур — 2 хода, для двухклеточных — 1 ход.
Стратегия состоит в следующем.
Сначала называем числа, соответствующие крестам, так как для них требуется больше проверочных ходов: 25, 32, 37, 44, 51, 56, 63, 68, 75, 82, 87 (всего 11 чисел). Если мы услышали «тепло», то для угадывания числа нам потребовалось максимум 11 3 = 14 ходов, если же всё время мы слышали «холодно», то мы потратили 11 ходов и исключили 55 чисел.
Далее называем числа, соответствующие Т-образным и трехклеточным: 11, 13, 17, 29, 30, 49, 70, 89, 94 (таких чисел 9). Если мы теперь услышали «тепло», то для угадывания числа нам потребовалось максимум 11 9 2 = 22 хода (Ура!!!), если же всё время мы и теперь слышали «холодно», то мы потратили 11 9=20 ходов и исключили 55 31 = 86 чисел.
Далее называем число 90, это был двадцать первый ход. Если слышим «тепло», то проверяем одним ходом и отгадываем число за 21 1=22 хода (Ура!!!), а если слышим «холодно», то вычеркиваем еще 2 числа. Итого вычеркнуто 86 2 = 88 чисел, за 21 ход. Осталось два невычеркнутых числа.
ФИНАЛ (последний, 22-й ход): называем число 96. Если «тепло», то загадано число 96, если «холодно», то загадано число 98. УРА!!!
Таким образом, Гриша (с нашей помощью), при правильной стратегии максимум за 22 хода обязательно отгадает задуманное Лёшей двузначное число.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45.
