Задание 8. Текстовые задачи

Задание 8. Текстовые задачи ЕГЭ

Задание 8. текстовые задачи

Для текстовых задач не существует единого алгоритма решения — в этом вся их сложность. Фактически, каждую задачу приходится решать «с нуля». Зубрить их тоже бесполезно, потому что текстовых задач слишком много.

Тем не менее, существуют типовые задачи, которые вполне стандартно решаются и постоянно встречаются на ЕГЭ по математике. Ими мы и займемся.

§ 1.
Вебинар по задачам B14: движение, работа, смеси и сплавыЗадание 8. Текстовые задачи
Глава 1.
Классические задачи на движение
§ 1.
Особенности решения текстовых задачЗадание 8. Текстовые задачи
§ 2.
Задача B14: движение навстречуЗадание 8. Текстовые задачи
§ 3.
Движение вдогонку и сравнение времениЗадание 8. Текстовые задачи
§ 4.
Тест по задачам B14: легкий уровень, 1 вариантЗадание 8. Текстовые задачи
§ 5.
Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариантЗадание 8. Текстовые задачи
§ 6.
B14 и эскалаторы: считаем скоростьЗадание 8. Текстовые задачи
§ 7.
Задача B14 про эскалаторы: считаем ступенькиЗадание 8. Текстовые задачи
Глава 2.
Работа и производительность труда
§ 1.
Производительность совместного трудаЗадание 8. Текстовые задачи
§ 2.
B14: количество вопросов в тестеЗадание 8. Текстовые задачи
§ 3.
Трубы и резервуары: одинаковый объемЗадание 8. Текстовые задачи
§ 4.
Трубы и резервуары: разный объемЗадание 8. Текстовые задачи
§ 5.
Более сложные задачи на производительностьЗадание 8. Текстовые задачи
Глава 3.
Движение по воде
§ 1.
Решение задач на движение по водеЗадание 8. Текстовые задачи
§ 2.
Тест по задачам B14: средний уровень, 1 вариантЗадание 8. Текстовые задачи
§ 3.
Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариантЗадание 8. Текстовые задачи
Глава 4.
Смеси и сплавы
§ 1.
Как решать задачи про смеси и сплавыЗадание 8. Текстовые задачи
§ 2.
Простая задача B14 на смеси и сплавыЗадание 8. Текстовые задачи
§ 3.
Сложная задача B14 на смеси и сплавыЗадание 8. Текстовые задачи
§ 4.
Смеси и сплавы в задаче B14: неизвестна массаЗадание 8. Текстовые задачи
Глава 5.
Проценты и нестандартные задачи
§ 1.
Задача B14: сложные процентыЗадание 8. Текстовые задачи
§ 2.
Семья из трех человек (нестандартная задача)Задание 8. Текстовые задачи
§ 3.
Сложная задача B14: работа трех исполнителейЗадание 8. Текстовые задачи
§ 4.
Изюм и виноград (смеси и сплавы)Задание 8. Текстовые задачи

Подготовка к егэ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут). 

Минимальный порог — 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. 

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

  • часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
  • часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова.pngПанова Светлана Анатольевна, учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:  

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».


Задание № 1 — проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 — 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Про ЕГЭ:  ИЗ ОПЫТА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ | Учебно-методический материал по алгебре (9 класс) на тему: | Образовательная социальная сеть

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня — 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м  холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1)    Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 — 172 = 5 (куб м)

2)    Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.



Задание № 2 —является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований — это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами  и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Задание №  2 проверяет умение читать диаграммы.

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2022 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Задание 8. Текстовые задачи

Решение: 

1)    340 · 1000 = 340000 (руб) — бизнесмен потратил 7 апреля при покупке 1000 акций.

2)    1000 · 3/4 = 750 (акций) — составляют  3/4 от всех купленных акций.

3)    330 · 750 = 247500 (руб) — бизнесмен получил 10 апреля после продажи 750 акций.

4)    1000 – 750 = 250 (акций) — остались после продажи 750 акций 10 апреля.

5)    310 · 250 = 77500 (руб) — бизнесмен получил 13 апреля после продажи 250 акций.

6)    247500 77500 = 325000 (руб) — бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7)    340000 – 325000 = 15000 (руб) — потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.


Решу егэ

Геометрия
1. Формулы сокращённого умножения

(a плюс b) в квадрате =a в квадрате плюс 2ab плюс b в квадрате

(a минус b) в квадрате =a в квадрате минус 2ab плюс b в квадрате

(a плюс b) в кубе =a в кубе плюс 3a в квадрате b плюс 3ab в квадрате плюс b в кубе

(a минус b) в кубе =a в кубе минус 3a в квадрате b плюс 3ab в квадрате минус b в кубе

a в квадрате минус b в квадрате =(a минус b)(a плюс b)

a в кубе плюс b в кубе =(a плюс b)(a в квадрате минус ab плюс b в квадрате )

a в кубе минус b в кубе =(a минус b)(a в квадрате плюс ab плюс b в квадрате )

Наверх

2. Модуль числа

Определение: left| a |= система выражений новая строка a,a больше или равно 0, новая строка минус a,a меньше 0. конец системы .

Основные свойства модуля:

|a| больше или равно 0;

|a|=| минус a|;

 система выражений новая строка |a| больше или равно a, новая строка |a| больше или равно минус a; конец системы .

|a|=a равносильно a больше или равно 0;

|a|= минус a равносильно a меньше или равно 0.

Наверх

3. Степень с действительным показателем

Свойства степени с действительным показателем

Пусть a больше 0,b больше 0,x принадлежит R ,y принадлежит R . Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

4. Корень n-ой степени из числа

Корнем n-ой степени (n принадлежит N ,n больше или равно 2) из числа a называется число, n-ая степень которого равна a.
Арифметическим корнем четной степени n(n=2k,k принадлежит N ) из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства арифметического корня:

a больше или равно 0:( корень из [ n]a) в степени (n) =a, корень из [ n]a в степени (n) =a, корень из [ n]a в степени (m) = левая круглая скобка корень из [ n]a правая круглая скобка в степени (m) , корень из [ m] корень из [ n]a= корень из [ mn]a;

a принадлежит R : корень из [ n]a в степени (n) =|a|;

a больше или равно 0,b больше или равно 0: корень из [ n]ab= корень из [ n]a умножить на корень из [ n]b, корень из [ n] дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: корень из [ n]a, знаменатель: корень из [ n]b конец дроби (b не равно 0);

a меньше 0,b меньше 0: корень из [ n]ab= корень из [ n] минус a умножить на корень из [ n] минус b, корень из [ n] дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: корень из [ n] минус a, знаменатель: корень из [ n] минус b конец дроби ;

a больше или равно 0,b больше или равно 0:a корень из [ n]b= корень из [ n]a в степени (n) b;

a меньше 0,b больше или равно 0:a корень из [ n]b= минус корень из [ n]a в степени (n) b.

Наверх

5. Логарифмы

Определение логарифма: log _ab=cunderseta больше 0,a не равно 1mathop равносильно a в степени (c) =b.

Основное логарифмическое тождество: a в степени (log ) _ab=b.

Основные свойства логарифмов

Пусть a больше 0,a не равно 1,b больше 0,b не равно 1,x больше 0,y больше 0,p принадлежит R . Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

6. Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_n=a_1 плюс d(n минус 1).

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: a_n= дробь: числитель: a_n минус 1 плюс a_n плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби ,n больше или равно 2.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии: S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a, знаменатель: 2 конец дроби n.

При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

S_n= дробь: числитель: 2a_1 плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби n;

S_n= дробь: числитель: 2a_n минус d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби n;

a_n= дробь: числитель: a_n минус k плюс a_n плюс k, знаменатель: 2 конец дроби ,k меньше n;

a_k плюс a_n=a_k минус m плюс a_n плюс m,m меньше k;

d= дробь: числитель: a_n минус a_k, знаменатель: n минус k конец дроби .

Наверх

7. Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена геометрической прогрессии: a_n=a_1q в степени (n минус 1) .

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: a_n в квадрате =a_n минус 1a_n плюс 1,n больше или равно 2.

Про ЕГЭ:  Задание №2 устной части ЕГЭ по английскому

Сумма n первых членов геометрической прогрессии: S_n= дробь: числитель: a_1 минус a_nq, знаменатель: 1 минус q конец дроби , q не равно 1.

При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

S_n= дробь: числитель: a_1(1 минус q в степени (n) ), знаменатель: 1 минус q конец дроби ;

a_n в квадрате =a_n минус ka_n плюс k,k меньше n;

a_ka_n=a_k минус ma_n плюс m,m меньше k;

|q|= корень из [ n минус k] дробь: числитель: a_n, знаменатель: a_k конец дроби .

Наверх

8. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S= дробь: числитель: a_1, знаменатель: 1 минус q конец дроби .

Наверх

9. Основные формулы тригонометрии

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента:

 синус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате альфа =1;

 тангенс альфа = дробь: числитель: синус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби ;

ctg альфа = дробь: числитель: косинус альфа , знаменатель: синус альфа конец дроби ;

 тангенс альфа ctg альфа =1;

1 плюс тангенс в квадрате альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате альфа конец дроби ;

1 плюс ctg в квадрате альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате альфа конец дроби .

Формулы сложения:

 косинус ( альфа плюс бета )= косинус альфа косинус бета минус синус альфа синус бета ;

 косинус ( альфа минус бета )= косинус альфа косинус бета плюс синус альфа синус бета ;

 синус ( альфа плюс бета )= синус альфа косинус бета плюс косинус альфа синус бета ;

 синус ( альфа минус бета )= синус альфа косинус бета минус косинус альфа синус бета ;

 тангенс ( альфа плюс бета )= дробь: числитель: тангенс альфа плюс тангенс бета , знаменатель: 1 минус тангенс альфа тангенс бета конец дроби ;

 тангенс ( альфа минус бета )= дробь: числитель: тангенс альфа минус тангенс бета , знаменатель: 1 плюс тангенс альфа тангенс бета конец дроби ;

ctg( альфа плюс бета )= дробь: числитель: ctg альфа ctg бета минус 1, знаменатель: ctg бета плюс ctg альфа конец дроби ;

ctg( альфа минус бета )= дробь: числитель: ctg альфа ctg бета плюс 1, знаменатель: ctg бета минус ctg альфа конец дроби .

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента: синус 2 альфа =2 синус альфа косинус альфа ;

 синус 2 альфа = дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

 косинус 2 альфа = косинус в квадрате альфа минус синус в квадрате альфа ;

 косинус 2 альфа =2 косинус в квадрате альфа минус 1;

 косинус 2 альфа =1 минус 2 синус в квадрате альфа ;

 косинус 2 альфа = дробь: числитель: 1 минус тангенс в квадрате альфа , знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

 тангенс 2 альфа = дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате альфа конец дроби ;

ctg2 альфа = дробь: числитель: ctg в квадрате альфа минус 1, знаменатель: 2ctg альфа конец дроби .

Формулы понижения степени:

 синус в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 минус косинус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 плюс косинус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби ;

 тангенс в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 минус косинус 2 альфа , знаменатель: 1 плюс косинус 2 альфа конец дроби ;

ctg в квадрате альфа = дробь: числитель: 1 плюс косинус 2 альфа , знаменатель: 1 минус косинус 2 альфа конец дроби .

Формулы приведения

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения. Например:

 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа минус синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби синус альфа = минус синус альфа .

Применение формул приведения укладывается в следующую схему:

— определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, считая, что  альфа принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ;

— определяется знак приводимой функции;

— определяется название приведенной функции по следующему правилу: если аргумент приводимой функции имеет вид  левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби pm альфа правая круглая скобка или  левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби pm альфа правая круглая скобка , то функция меняется на сходственную функцию, если аргумент приводимой функции имеет вид ( Пи pm альфа ), то функция названия не меняет.

Например, получим формулу  тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка :

 дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;2 Пи правая круглая скобка — IV четверть;

— в IV четверти тангенс отрицательный;

— аргумент приводимой функции имеет вид  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа , следовательно, название функции меняется. Таким образом,  тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс альфа правая круглая скобка = минус ctg альфа .

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

 синус альфа плюс синус бета =2 синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 синус альфа минус синус бета =2 синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус альфа плюс косинус бета =2 косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 косинус альфа минус косинус бета = минус 2 синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби ;

 тангенс альфа плюс тангенс бета = дробь: числитель: синус ( альфа плюс бета ), знаменатель: косинус альфа косинус бета конец дроби ;

 тангенс альфа минус тангенс бета = дробь: числитель: синус ( альфа минус бета ), знаменатель: косинус альфа косинус бета конец дроби ;

ctg альфа плюс ctg бета = дробь: числитель: синус ( альфа плюс бета ), знаменатель: синус альфа синус бета конец дроби ;

ctg альфа минус ctg бета = дробь: числитель: синус ( бета минус альфа ), знаменатель: синус альфа синус бета конец дроби .

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

 косинус альфа косинус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( косинус ( альфа минус бета ) плюс косинус ( альфа плюс бета ));

 синус альфа синус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( косинус ( альфа минус бета ) минус косинус ( альфа плюс бета ));

 синус альфа косинус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ( синус ( альфа плюс бета ) плюс синус ( альфа минус бета )).

Наверх

10. Производная и интеграл

Таблица производных некоторых элементарных функций

Правила дифференцирования:

1.  левая круглая скобка f(x) плюс g(x) правая круглая скобка в степени (prime ) =f'(x) плюс g'(x);

2.  левая круглая скобка cf(x) правая круглая скобка в степени (prime ) =cf'(x);

3.  левая круглая скобка f(x)g(x) правая круглая скобка в степени (prime ) =f'(x)g(x) плюс f(x)g'(x);

4.  левая круглая скобка дробь: числитель: f(x), знаменатель: g(x) конец дроби правая круглая скобка в степени (prime ) = дробь: числитель: f'(x)g(x) минус f(x)g'(x), знаменатель: g в квадрате (x) конец дроби ;

5.  левая квадратная скобка f(g(x)) правая квадратная скобка в степени (prime ) =f'(g(x))g'(x).

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в его точке (x_0;f(x_0)):

y=f'(x_0)(x минус x_0) плюс f(x_0).

Таблица первообразных для некоторых элементарных функций

Правила нахождения первообразных

Пусть F(x),G(x) ― первообразные для функций f(x) и g(x) соответственно, a, b, k ― постоянные, k не равно 0. Тогда:

F(x) плюс G(x) ― первообразная для функции f(x) плюс g(x);

aF(x) ― первообразная для функции af(x);

 дробь: числитель: 1, знаменатель: k конец дроби F(kx плюс b) ― первообразная для функции f(kx плюс b);

— Формула Ньютона-Лейбница:  принадлежит tlimits_a в степени (b) f(x)dx=F(b) минус F(a).

1. Треугольник

Пусть a,b,c ― длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC соответственно; p= дробь: числитель: a плюс b плюс c, знаменатель: 2 конец дроби ― полупериметр треугольника ABC; A, B, C ― величины углов BAC, ABC, ACB треугольника ABC соответственно; h_a,h_b,h_c ― длины высот AA2, BB2, CC2 треугольника ABC соответственно; R ― радиус окружности, описанной около треугольника ABC; r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; S_vartriangle ABC ― площадь треугольника ABC. Тогда имеют место следующие соотношения:

 дробь: числитель: a, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: b, знаменатель: синус B конец дроби = дробь: числитель: c, знаменатель: синус C конец дроби =2R (теорема синусов);

c в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab косинус C (теорема косинусов);

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ah_a;

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ab синус C;

S_vartriangle ABC= дробь: числитель: abc, знаменатель: 4R конец дроби ;

S_vartriangle ABC=pr;

S_vartriangle ABC= корень из (p(p минус a)(p минус b)(p минус c)) .

Наверх2. Четырёхугольники

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Из определения следует, что квадрат является ромбом, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Площадь четырехугольника

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Наверх

3. Окружность и круг

Соотношения между элементами окружности и круга

Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга, l_n градусов  — длина дуги в n градусов, l_ альфа  — длина дуги в  альфа радиан, S_n градусов  — площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов, S_ альфа  — площадь сектора, ограниченного дугой в  альфа радиан. Тогда имеют место следующие соотношения:

Вписанный угол

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Вписанная окружность

Про ЕГЭ:  ГИА. Информационный образовательный портал. Подготовка к экзаменам

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, ― точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. Таким образом, в многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Описанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, ― точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Таким образом, около многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусов.

Наверх

4. Призма

Пусть H ― высота призмы, AA1 ― боковое ребро призмы, P_осн ― периметр основания призмы, S_осн ― площадь основания призмы, S_бок ― площадь боковой поверхности призмы, S_полн ― площадь полной поверхности призмы, V ― объем призмы, P_bot  ― периметр перпендикулярного сечения призмы, S_bot  ― площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок=P_bot AA_1;

S_полн=2S_осн плюс S_бок;

V=S_bot AA_1;

V=S_оснH.

Свойства параллелепипеда:

— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;

— диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам;

— квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Наверх

5. Пирамида

Пусть H ― высота пирамиды, P_осн ― периметр основания пирамиды, S_осн ― площадь основания пирамиды, S_бок ― площадь боковой поверхности пирамиды, S_полн ― площадь полной поверхности пирамиды, V ― объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_полн=S_осн плюс S_бок;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_оснH .


Замечание.
Если все двугранные углы при основании пирамиды равны  бета , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны h_бок, то S_бок= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби P_оснh_бок= дробь: числитель: S_осн, знаменатель: косинус бета конец дроби .

Наверх

6. Усечённая пирамида

Пусть H ― высота усеченной пирамиды, P_1 и P_2 ― периметры оснований усеченной пирамиды, S_1 и S_2 ― площади оснований усеченной пирамиды, S_бок ― площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, S_полн ― площадь полной поверхности усеченной пирамиды, V ― объем усеченной пирамиды.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_полн=S_1 плюс S_2 плюс S_бок;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби H(S_1 плюс S_2 плюс корень из (S) _1S_2).

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны  бета , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны h_бок, то: S_бок= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (P_1 плюс P_2)h_бок= дробь: числитель: |S_1 минус S_2|, знаменатель: косинус бета конец дроби .

Наверх

7. Цилиндр

Пусть h ― высота цилиндра, r ― радиус цилиндра, S_бок ― площадь боковой поверхности цилиндра, S_полн ― площадь полной поверхности цилиндра, V ― объем цилиндра.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок=2 Пи rh;

S_полн=2 Пи r(r плюс h);

V= Пи r в квадрате h.

Наверх

8. Конус

Пусть h ― высота конуса, r ― радиус основания конуса, l ― образующая конуса, S_бок ― площадь боковой поверхности конуса, S_полн ― площадь полной поверхности конуса, V ― объем конуса.

Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок= Пи rl;

S_полн= Пи r(r плюс l);

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате h.

Наверх

9. Усечённый конус

Пусть h ― высота усеченного конуса, r и r_1 ― радиусы основания усеченного конуса, l ― образующая усеченного конуса, S_бок ― площадь боковой поверхности усеченного конуса, V ― объем усеченного конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:

S_бок= Пи (r плюс r_1)l;

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи h(r в квадрате плюс rr_1 плюс r_1 в квадрате ).

Наверх

10. Сфера и шар

Пусть R ― радиус шара, D ― его диаметр, S ― площадь ограничивающей шар сферы, S_h ― площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового слоя), высота которого равна h, V ― объем шара, V_сегм ― объем сегмента, высота которого равна h, V_сект ― объем сектора, ограниченного сегментом, высота которого равна h. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

Материалы, выдаваемые на экзамене, смотрите здесь

Оцените статью
ЕГЭ Live