Теория вероятностей, подготовка к ЕГЭ-2017. 9–11-е классы

11 класс
УМК: любой
Разработано учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной

• Теория
• Тип 1. Самая простая задача
• Тип 2. Задачи с бросанием
монет
• Тип 3. Задачи с игральным
кубиком
• Тип 4. Задачи на
перекладывание монет
• Тип 5. Задачи с
экзаменационными билетами
• Тип 6. Задачи с кофейным
аппаратом
• Тип 7. Задачи о стрельбе по
мишеням
• Тип 8. О выступлениях с
докладами
• Тип 9. С процентами
• Тип10. Разделение на группы
• Разные задачи
• Самостоятельная работа

Вспомним Теоремы сложения и умножения для двух событий

1) P(A + B) = P(A) + P(B)
(для независимых событий)
2) P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB)
(для зависимых событий)
3) P(AB) = P(A)∙P(B)

Формула классической вероятности случайных
событий:
P = N(A) : N, где
N – число всех возможных вариантов
N(A) – число благоприятных вариантов

Запомним

Если идёт объединение (U), т.е. союз
или, то надо вероятности «+»
Если идёт пересечение (∩), т.е. союз
и, то надо вероятности «·»

Тип 1. Самая простая задача

В чемпионате по гимнастике
участвуют 64 спортсменки: 20
из Японии, 28 из Китая,
остальные — из Кореи.
Порядок, в котором
выступают гимнастки,
определяется жребием.
Найдите вероятность того, что
спортсменка, выступающая
первой, окажется из Кореи.
Решение.
1) Из Кореи выступают
64 – (20 + 28) = 16
спортсменок.
2) По формуле классической
вероятности получим: P =
= 16:64 = 1:4 = 0, 25.
Ответ: 0,25

Задание (решаем в паре)

На чемпионате по прыжкам в воду
Решение.
выступают 40 спортсменов, среди них
6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна
Ответ:
0,05
из Аргентины. Порядок выступлений
определяется жеребьевкой. Найдите
вероятность того, что четырнадцатым
будет выступать прыгун из Аргентины.

Тип 2. Задача с бросанием монет

В случайном
эксперименте
симметричную монету
бросают дважды.
Найдите вероятность
того, что орел не
выпадет ни разу.
Решение.
Способ I. Метод перебора комбинаций.
Способ II. Специальная формула
вероятности, адаптированная для
решения задач с монетами.
P = Сn по k : 2ⁿ , где 2ⁿ – число всех
возможных исходов, Сnпоk — число
сочетаний из n элементов по k, которое
вычисляется по формуле
Сnk = n! / k!(n- k)!
Т.к. n=2; k=1, то ответ: 0,25

В случайном
эксперименте
симметричную монету
бросают трижды.
Найдите вероятность
того, что орел не
выпадет ни разу.
Решение (Способ II):
С3 0 = 3!/0!(3-0)! = 1
P = С3 0 : 2³ = 1:8 = 0,125
Ответ: 0,125
по
по

Тип 3. Задача с игральным кубиком

В случайном эксперименте
бросают три игральные
кости. Найдите
вероятность того, что в
сумме выпадет 7 очков.
Результат округлите до
сотых.
Решение.
Ответ: 0,07

Тип 4. Задача с перекладыванием монет

Тип 4. Задача с перекладыванием
Решение.
монет
В кармане у Андрея
было 4 монеты по 2
рубля и 2 монеты по 5
рублей. Он, не глядя,
переложил 3 монеты в
другой карман. Найти
вероятность того, что
обе монеты по 5
рублей лежат в одном
кармане.
Всего у Андрея было: 4 + 2 = 6 монет.
3 (переложенные) монеты можно
выбрать из 6 (имеющихся) монет:
С6 3 =6!/3!∙(6-3)!=20 (способами).
Т.е. N = 20.
2 монеты по 5 рублей выбираем
из двух пятирублевых монет:
2! = 2 (способами).

3 монеты из 4-х монет по 2рубля
выбираем:
С4по3 =4!/3!(4-3)! = 4(способами).
По формуле классической
вероятности и правилу
произведения получим:
P = 2·4 / 20 = 0,4.
Ответ: 0,4

В кармане у Ольги было 6 монет
по 1 рублю и 2 монеты по 5
рублей. Она, не глядя,
переложила 4 монеты в другой
карман. Найти вероятность
того, что обе монеты по 5
рублей лежат в одном
кармане. Ответ округлите до
сотых.
Решение.
Ответ: 0,43

Тип 5. Задача с экзаменационными билетами

Тип 5. Задача с экзаменационными
Решение.
билетами
На экзамене по геометрии школьнику
достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос на
тему «Вписанная окружность», равна
0,1. Вероятность того, что это вопрос на
тему «Тригонометрия», равна 0,35.
Вопросов, которые одновременно
относятся к этим двум темам, нет.
Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос
по одной из этих двух тем.
Если А — вопрос на тему
«Вписанная
окружность»,
В — вопрос на тему
«Тригонометрия»,
и события А и В –
несовместны. Тогда
Р(А+В)= Р(А)+Р(В) =
= 0,1 + 0,35 = 0,45

На экзамене по геометрии школьнику достаётся
Решение.
один вопрос из списка экзаменационных
вопросов. Вероятность того, что это вопрос
на тему «Вписанная окружность», равна 0,1.
Ответ: 0,35
Вероятность того, что это вопрос на тему
«Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов,
которые одновременно относятся к этим
двум темам, нет. Найдите вероятность того,
что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.

В торговом центре два одинаковых
автомата продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,35.
Вероятность того, что кофе закончится в
обоих автоматах, равна 0,2. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе
останется в обоих автоматах.
Решение.
Ответ: 0,5

Биатлонист 8 раза стреляет по
мишеням. Вероятность попадания
в мишень при одном выстреле
равна 0,8. Найдите вероятность
того, что биатлонист первые 5 раз
попал в мишень, а последние три
промахнулся. Результат округлите
до сотых.
Решение.
Ответ:

Тип 8. Задача о выступлениях

Конкурс исполнителей проводится 5 дней.
Всего заявлено 80 выступлений — по одному
от каждой страны. Исполнитель из России
тоже участвует в конкурсе. В первый день
запланировано 8 выступлений, остальные
распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется
жеребьёвкой. Какова вероятность, что
исполнитель из России будет выступать в
третий день конкурса?
Решение.
Ответ: 0,225

Тип 9. С процентами

Агрофирма закупает куриные
яйца в двух домашних
хозяйствах. 60% яиц из
первого хозяйства – яйца
высшей категории, а во
втором хозяйстве – 30% яиц
высшей категории. Всего
высшей категории получается
54% яиц. Найдите вероятность
того, что яйцо, купленное у
этой агрофирмы, окажется из
второго хозяйства.
агрофирма
2
1
(1-х)
В
<=
н/в
Р=(х)
В
н/в
30%=0,3
60%=0,6
54%=0,54
Составим уравнение:
0,6·(1-х) + 0,3·х = 0,54
Ответ: 0,2

Агрофирма закупает куриные яйца в двух
домашних хозяйствах. 40% яиц из
первого хозяйства – яйца высшей
категории, а во втором хозяйстве – 20%
яиц высшей категории. Всего высшей
категории получается 35% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у
этой агрофирмы, окажется из первого
хозяйства
Решение.
Ответ: 0,75

Тип 10. Деление на группы

В классе 21 человек. Среди
них два друга Андрей и
Дима. Класс случайным
образов делится на 7
групп, по 3 человека в
каждой группе. Какова
вероятность того, что
Андрей и Дима окажутся
в одной группе.
Решение.
Если взять А., то N=21-1=20.
Т.к. группа из 3-х человек, то
для Д. остаётся только 2
места, т.е. N(А)=2.
Р = N(А):N =2:20=1/10 = 0,1

В чемпионате по бадминтону
участвуют 26 спортсменов, среди
которых 10 – из России и в том
числе Руслан Орлов. Перед
началом первого тура чемпионата
участников разбивают на игровые
пары с помощью жребия. Какова
вероятность того, что в первом
туре Руслан Орлов будет играть с
кем-нибудь из России.
Решение.
N = 26 -1=25
N(A)(т.е. из России)= 10-1=9
Р(А)= 9 : 25 =9/25=0,36
Ответ: 0,36

В классе 33 ученика, среди них две
подруги – Галя и Таня. Класс
случайным образом разбивают на 3
равные группы. Какова вероятность
того, что подруги окажутся в одной
группе.
Решение.

Разные задачи

Из 8 учеников,
жеребьёвкой
выбирают группу,
состоящую из 2
человек
(разыгрывают 2
билета). Сколько
всего существует
различных вариантов
состава такой группы
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
8!
6! 7 8
C
2!(8 2)! 2 6!
7 4
28
1
2
8

Разные задачи (о точках на окружности)

На окружности
выбрано 12
точек. Сколько
существует хорд
с концами в
этих точках
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
12!
10! 11 12
С
2!(12 2)!
2 10!
11 6
66
1
2
12

На окружности
выбрано 9
точек.
Сколько
существует
треугольников
с вершинами в
этих точках.
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
9!
6! 7 8 9
С
3!(9 3)!
2 3 6!
7 4 3
84
1
3
9

Разные задачи (о расписании)

Сколькими способами
можно составить
расписание на вторник,
если изучаются 10
предметов и должно
быть 6 уроков (порядок
уроков неважен).
Решение.
n!
С
k!(n k )!
k
n
10!
10!
С
6!(10 6)! 6! 4!
6! 7 8 9 10 7 2 3 5
210
6! 2 3 4
1
6
10

Разные задачи (о числах)

Два ученика
одновременно
называют по одному
целому числу от 1 до
5 включительно.
Какова вероятность
того, что сумма
названных чисел
будет делится на 3.
Решение. N = 5² = 25
N(A)-?: найдем перебором
(11); (12); (13); (14); (15)
(21); (22); (23); (24); (25);
(31); (32); (33); (34); (35);
(41); (42); (43); (44); (45);
Значит N(A)=9
Р(А) = 9 : 25 = 36:100 = 0,36
(51); (52); (53); (54); (55).

Самостоятельная работа

Задача 1. На чемпионате по прыжкам в воду
выступают 40 спортсменов, среди них 9
прыгунов из Великобритании и 10
прыгунов из Венесуэлы. Порядок
выступлений определяется жеребьевкой.
Найдите вероятность того, что
двенадцатым будет выступать прыгун из
Венесуэлы.

Задача 2. В случайном эксперименте
бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет
9 очков. Результат округлите до сотых.

Задача 3. На экзамене по геометрии школьнику
достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того,
что это вопрос на тему «Внешние углы», равна
0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Вписанная окружность», равна 0,3.
Вопросов, которые одновременно относятся к
этим двум темам, нет. Найдите вероятность
того, что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.

Задача 4. В торговом центре два одинаковых
автомата продают жвачку. Вероятность
того, что к концу дня в автомате закончится
жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что
жвачка закончится в обоих автоматах,
равна 0,2. Найдите вероятность того, что к
концу дня жвачка останется в обоих
автоматах.

Задача 5. В кармане у Маргариты было 6
монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей.
Она, не глядя, переложила 4 монеты в
другой карман. Найти вероятность того, что
обе монеты по 5 рублей лежат в одном
кармане. Ответ округлите до сотых.

Проверим ответы

1) 0,25
2) 0,12
3) 0,5
4) 0,4
5) 0,43
Критерии оценивания:
«5» — за 5 верных задач
«4» — за 4 верные задачи
«3» — за 3 верные задачи
«2» — если верно выполнено
менее 3-х задач

Интернет ресурсы

• Шаблон подготовила учитель русского языка и литературы Тихонова
Надежда Андреевна
• Задачи открытого бака заданий ЕГЭ по математике
http://cs5736.vkontakte.ru/u18303177/-14/x_bd1f87ce.jpg
http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/109/678/109678317_f3088__post103063013341921289892.png

Основные понятия

Событие- явление , которое происходит в результате
осуществления какого-либо определенного комплекса
условий. Осуществление комплекса условий называется
опытом или испытанием. Событие- результат испытания.
Случайным событием называется событие, которое
может произойти или не произойти в результате
некоторого испытания ( при бросании монеты может
выпасть орел , а может и не выпасть).
Достоверным событием называется событие, которое
обязательно произойдет в результате испытания
(извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).
Невозможным считается событие, которое не может
произойти в результате данного испытания( извлечение
черного шарика из ящика с белыми шарами).
О каждом таком событии можно сказать,что оно
произойдет с некоторой вероятностью

Бросаем монетку. Орел или решка?
Бросить монетку – испытание
Орел или решка – два возможных исхода.
Вероятность выпадения орла – ½,
решки – ½.

Бросаем игральную кость (кубик).
Выпадение одного очка – это один исход из шести
возможных.
Выпадение двух очков — один исход из шести
возможных.
Допустим, нам необходимо выпадение 2 очков,
такой исход в теории вероятностей называется
благоприятным.

Вероятность выпадения тройки — 1/6.
Вероятность выпадения семерки – 0.
Вероятность выпадения четного числа – ½.
Вероятность выпадения числа, меньше пяти –
4/6 или 2/3

Берем колоду из 36 карт.
Вероятность вытащить загаданную карту – 1/36.
Вероятность вытащить туза – 4/36 или 1/9
Вероятность вытащить карту масти бубен – 9/36
или ¼
Вероятность вытащить красную карту – 18/36
или ½.

Вероятность события равна
отношению числа благоприятных
исходов к числу всех возможных
исходов.
b
Р ( А)
a
a– число всех исходов испытания
b– число исходов
благоприятствующих событию А
Вероятность не может
быть больше 1.

Непосредственные подсчеты

1.Метод логического перебора
(«решение напролом»)
– выписываются все
возможные исходы (а), выбираются
благоприятные (b) и находится
отношение p = b/a

В случайном эксперименте монету
бросают два раза. Найдите вероятность
того, что орел выпадет ровно 1 раз.
Выпишем все возможные исходы:
ОО, ОР, РО, РР — 4
Благоприятные: ОР, РО – 2
Вероятность p= 2/4=0,5

В случайном эксперименте монету
бросают три раза. Найдите вероятность
того, что решка не выпадет ни разу.
Выпишем все возможные исходы:
ООО, ООР, ОРО,РОО, ОРР, РОР,РРО, РРР — 8
Благоприятные: ООО – 1
Вероятность p= 1/8=0,125

В случайном эксперименте монету бросают
четыре раза. Найдите вероятность того, что
решка выпадет два раза.
Выпишем все возможные исходы:
ОООР, ООРО,ОРОО,РООО,
РРОО, РОРО,РООР, ОРРО, ОРОР, ООРР,
ОРРР, РРРО, РОРР, РРОР,
ОООО, РРРР
— 16
Благоприятные: — 6
Вероятность p= 6/16=0,375

Таблица вариантов

Составляется таблица, с
помощью которой находятся все
возможные исходы (а) и все
благоприятные исходы (b) и
вычисляется
вероятность p = b/a

Игральную кость бросают два раза.
Найдите вероятность того, что сумма
выпавших очков будет равна 7.
1
1
2
3
2
3
4
5
6
Всего
исходов – 36
Благоприятных
исходов — 6
4
5
6
Вероятность
р = 6/36 = 1/6

Полный граф

Условие задачи изображается в
виде графа (дерева), который
позволяет найти количество всех
возможных исходов, выбрать
благоприятные и вычислить
вероятность p = b/a

Антон, Борис и Василий купили 3 билета на
1,2,3 места первого ряда. Сколькими
способами они могут занять имеющиеся
места?
А
Б
В
Б
А
В
А
Б
В
Ответ: 6
В
Б
В
А
Б
А

Какова вероятность, что Антон займет первое
место?
Всего способов – 6
Благоприятные исходы – 2
Р = 2/6=1/3

Два события называются
несовместными, если они не могут
появиться одновременно в одном и
том же испытании.
Вероятность появления хотя бы
одного из двух несовместных событий,
равна сумме вероятностей этих
событий.
р = р(A) +р(B)

На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос
из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это
вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2.
Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм»,
равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум
темам, нет. Найдите вероятность того, что школьнику на
экзамене достанется вопрос по одной из этих тем.
События «вопрос о вписанной окружности»
и «вопрос о параллелограмме» несовместные, поэтому вероятность выбрать
один из них равна сумме вероятностей:
р = 0,2+0,15=0,35

Вероятность того, что новый чайник прослужит
больше года равна 0,97. Вероятность того, что он
прослужит более двух лет , равна 0,89. Найдите
вероятность того, что чайник прослужит меньше двух
лет, но больше года.
События «чайник прослужит больше двух
лет» и « чайник прослужит больше года,
но менее двух лет» — несовместные. Сумма
этих событий равна событию «чайник
прослужит более года». Поэтому искомая
вероятность р = 0,97-0,89=0,08

События называются совместными,
если они могут происходить
одновременно.
Вероятность появления хотя бы одного
события равна сумме их вероятностей
без вероятности их совместного
появления.
р = р(A) +р(B) – р(AB)

В торговом центре два одинаковых кофейных автомата.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе
равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих
автоматах – 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе
останется в обоих автоматах.
События « кофе останется в обоих
автоматах» и « кофе закончится хотя бы в
одном» — противоположные. Сумма их
вероятностей 1.
Найдем вероятность события « кофе
закончится хотя бы в одном автомате»
р=0,3+0,3-0,12 = 0,48.
Тогда вероятность события «кофе останется в
обоих автоматах» р = 1 – 0,48 = 0,52

Два события называются
независимыми, если появление
одного из них не влияет на
вероятность появления другого.
Вероятность совместного появления
двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих
событий.

Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9.
Найдите вероятность того, что он попадет в цель
четыре выстрела подряд.
Попадание в цель при каждом
последующем выстреле – независимое
от предыдущего исхода событие
Вероятность
р = 0,9*0,9*0,9*0,9 = 0,6561

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна
0,02. Покупатель выбирает в магазине случайную
упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите
вероятность того, что обе батарейки окажутся
исправными.
События «батарейка бракованная» и
«батарейка исправная» — противоположные,
поэтому вероятность события «батарейка
исправная»
р = 1-0,02 = 0,98.
События «1 батарейка исправная» и «2
батарейка исправная» — независимые,
поэтому вероятность того, что обе батарейки
исправны р = 0,98*0,98= 0,9604

Помещение освещается фонарем с двумя лампами.
Вероятность перегорания одной лампы в течение года
равна 0,17. Найдите вероятность того, что в течение
года хотя бы одна лампа не перегорит.
Событие « хотя бы одна лампа не перегорит»
противоположно событию « обе лампы
перегорят» . Вероятность события «обе лампы
перегорят» равна произведению вероятностей
(т.к. события независимые)
р=0,17*0,17=0,0289
Тогда вероятность события « хотя бы одна
лампа не перегорит» равна: 1 – 0,0289 =
0,9711

Зависимые события – наступление одного
из них изменяет вероятность
наступления другого.
Вероятность совместного появления двух
зависимых событий равна произведению
вероятности одного из них на условную
вероятность другого, вычисленную при
условии, что первое событие произошло.

В урне 6 шаров – 2 белых и 4 черных. Без
возвращения выбираем два шара. Найдите
вероятность того, что оба шара белые.
Вероятность события «первый шар белый»
равна 2/6.
При условии что первый шар белый
вероятность события «второй шар белый» равна
1/5.
Вероятность события «оба шара белые» р =
2/6*1/5 = 1/15

С первого станка поступает 40%, со второго – 30%
и с третьего – 30% всех деталей. Вероятность
изготовления бракованной детали равны для
каждого станка соответственно 0,01, 0,03, 0,05.
Найдите вероятность того, что наудачу взятая
деталь будет бракованной.

3 станок
1 станок
0,4
0,3
2 станок
0,3
брак
0,01
брак
0,05
брак
0,03
Р = 0,4*0,01+0,3*0,03+0,3*0,05 = 0,028

В волшебной стране бывает два
типа погоды: хорошая и
отличная, причем погода,
установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно,
что с вероятностью 0,8 погода
завтра будет такой же , как и
сегодня. Сегодня 3 июня, погода
в волшебной стране хорошая.
Найдите вероятность того, что 6
июня в Волшебной стране будет
отличная погода.
Ответ: 0,392

Презентация по математике для подготовке к ЕГЭ (профиль)
Презентацию подготовила учитель
математики высшей категории
Сазонова Т.Ф.
г. Москва
*

1. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он
выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А.
играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью
0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во
второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность
того, что А. выиграет оба раза.
Вероятность того, что происходит несколько независимых
событий, равна произведению вероятностей.
Решение.
Возможность выиграть первую и вторую партию не
зависят друг от друга. Вероятность произведения
независимых
событий
равна
произведению
их
вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15. Ответ: 0,15.

2. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в
точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому
на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому
ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный,
определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью
0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь.
Это независимые события, вероятность их произведения (паук
дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих
событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна
(0,5)4 = 0,0625. Ответ: 0,0625.

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна
0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную
упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите
вероятность того, что обе батарейки окажутся
исправными.
Решение.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна
1 – 0,06 = 0,94.
Вероятность произведения независимых событий (обе
батарейки окажутся исправными) равна произведению
вероятностей этих событий:
0,94·0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836.

4. Какова вероятность того, что случайно выбранный
телефонный номер оканчивается двумя чётными
цифрами?
Решение.
Вероятность того, что на одном из требуемых мест
окажется чётное число равна 0,5. Следовательно,
вероятность того, что на двух местах одновременно
окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5=0,25.
Ответ: 0,25.

События A, В и С несовместные,
вероятность их суммы
равна сумме вероятностей этих
событий.

5. Вероятность того, что новый электрический чайник
прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что
он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите
вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но
больше года.
Решение.
Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет»,
В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два
года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».
Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя
ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю.
Тогда:
P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия, получаем
0,93 = P(A) + 0,87.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06. Ответ: 0,06.

6. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус.
Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше
18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше
10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число
пассажиров будет от 10 до 17
Решение.
Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В
= «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие
A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В
несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей
этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В),
откуда
P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.
Ответ: 0,31.

7. В магазине три продавца. Каждый из них занят с
клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того,
что в случайный момент времени все три продавца заняты
одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо
друг от друга).
Решение.
Вероятность произведения независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий. Поэтому
вероятность того, что все три продавца заняты равна
0,33.Ответ: 0,027.

8. В торговом центре два одинаковых автомата продают
кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам
после закрытия центра. Известно, что вероятность
события «К вечеру в первом автомате закончится кофе»
равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во
втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что
кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15.
Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе
останется в обоих автоматах.

Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Следовательно, вероятность противоположного события,
состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна
1 − 0,35 = 0,65. Ответ: 0,65.

9. Вероятность того, что в случайный момент времени
температура тела здорового человека окажется ниже
чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в
случайный момент времени у здорового человека
температура окажется 36,8 °С или выше.
Решение.
Указанные события противоположны, поэтому искомая
вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19. Ответ: 0,19.

10. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм
вероятность того, что диаметр будет отличаться от
заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965.
Найдите вероятность того, что случайный подшипник
будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше
чем 67,01 мм.
Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать
в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965.
Поэтому искомая вероятность противоположного события
равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ: 0,035.

11. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист
первые три раза попал в мишени, а последние два
промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение.
Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью
0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2.
Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле
независимы, вероятность произведения независимых
событий равна произведению их вероятностей. Тем
самым, вероятность события «попал, попал, попал,
промахнулся, промахнулся» равна
0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Ответ: 0,02.

12. Помещение освещается фонарём с двумя лампами.
Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3.
Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна
лампа не перегорит.
Решение.
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти
события независимые, вероятность их произведения равно
произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы
одна лампа, противоположное. Следовательно, его
вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91.

13. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает
выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает
повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель
не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при
первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6.
Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность
уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение.
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность
уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,6.
Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти
выстрелов по мишени. Ответ: 5.

14. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос
из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это
вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность
того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15.
Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам,
нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику
достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35. Ответ: 0,35.

15 Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной
команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда
выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если
проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде
удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в
каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и
равны 0,4.
Решение.
Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя
способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность
их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий
представляет собой произведение двух независимых событий —
результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:
Вероятность ничьей равна 1 − 0,4 − 0,4 = 0,2.
Ответ: 0,32.

16. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и
отличная, причём погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода
завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в
Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля
в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение.
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х
— хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой
погоды:
P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;
P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;
P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008
P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме
вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
Ответ: 0,392.

17. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый
из них может быть неисправен с вероятностью 0,05
независимо от другого автомата. Найдите вероятность
того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение.
Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти
события независимые, вероятность их произведения равна
произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат,
противоположное. Следовательно, его вероятность равна
1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975.

18. В торговом центре два одинаковых автомата продают
кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе
закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих
автоматах.

Решение.
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на
вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Следовательно,
вероятность
противоположного
события,
состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна
1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Приведем другое решение.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна
1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором
автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в
первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда
искомая вероятость х = 0,52.
Примечание.
Заметим, что события А и В не являются независимыми.
Действительно, вероятность произведения независимых событий
была бы равна произведению вероятностей этих событий:
P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна
0,12.

19. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для
автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол,
вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол,
а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное
в магазине стекло окажется бракованным.
Решение.
Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно
бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно
бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что
случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным
равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019.

20. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,
если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет
из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с
вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4
пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает
первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите
вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение.
Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и
промахнется из него, или если схватит непристреляный револьвер и
промахнется из него. По формуле условной вероятности,
вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04
и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их
суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.

Приведем другое решение.
Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и
попадет из него, или если схватит непристреляный револьвер и
попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности
этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12.
Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме
вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие,
состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его
вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

21. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних
хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей
категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории.
Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность
того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого
хозяйства.
Решение.
Это решение можно записать коротко. Пусть х — искомая
вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом
хозяйстве. Тогда 1-х — вероятность того, что куплено яйцо,
произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной
вероятности имеем:
Ответ: 0,75.

22. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент
должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —
математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на
специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из
трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность
того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по
русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию —
0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух
упомянутых специальностей.
Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены
на лингвистику: 0,6 · 0,8 · 0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на
коммерцию: 0,6 · 0,8 · 0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на
«Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5 = 0,168. Успешная сдача
экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому
вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на
вероятность их произведения. Тем самым, поступить хотя бы на одну из этих
специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408.
Ответ: 0,408.

23. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок
имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80%
дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке
тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

24. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся
О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что
О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность
того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Решение.
Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В =
«учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие
A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В
несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей
этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные
задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 =
0,07. Ответ: 0,07.

25. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность
двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар
доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар
доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар
сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают
независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один
магазин не доставит товар.
Решение.
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна
1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит
товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы,
вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар)
равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.
Ответ: 0,02.

26. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут
честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с
мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор»,
«Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор»
будет начинать только первую и последнюю игры.
Решение.
Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор»
начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью
игру. Вероятность произведения независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из
них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Ответ: 0,125.

27. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если
анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У
больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с
вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать
ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5%
пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны
гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента,
поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение.
Анализ пациента может быть положительным по двум
причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B)
пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные
события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих
событий. Имеем:
Ответ: 0,0545.

28. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность
того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед
упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля.
Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку,
равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует
исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что
случайно выбранная батарейка будет забракована системой
контроля.
Решение.
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может
сложиться в результате событий: A = батарейка действительно
неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна,
но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность
их суммы равна сумме вероятностей эти событий.
Ответ: 0,0296.

29. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10
рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой
карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат
теперь в разных карманах.
Решение.
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя
должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые
монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10
или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы
равна сумме вероятностей этих событий:
Ответ: 0,6.

30 Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха
стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность
попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите
вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо
вторым выстрелом).
Решение.
Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена
стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что
мишень
поражена
со
второго
выстрела.
Вероятность
события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя
первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал.
Это независимые события, их вероятность равна произведению
вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21.
События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме
вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ: 0,91.

31. Механические часы с двенадцатичасовым
циферблатом в какой-то момент сломались и перестали
идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка
остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до
отметки 4 часа.
Решение.
На циферблате между десятью и четырьмя часами шесть
часовых делений. Всего на циферблате 12 часовых
делений. Поэтому искомая вероятность равна: 6:12=0,5
Ответ: 0,5.

32. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент
времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение.
Вероятность произведения независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий. Поэтому
вероятность того, что все три продавца заняты равна
0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216. Ответ: 0,216.

33. При изготовлении подшипников диаметром 68 мм
вероятность того, что диаметр будет отличаться от
заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968.
Найдите вероятность того, что случайный подшипник
будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше,
чем 68,01 мм.
Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в
пределах от 67,99 до 68,01 мм с вероятностью 0,968.
Поэтому искомая вероятность противоположного события
равна 1 − 0,968 = 0,032. Ответ: 0,032.

34. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам
участников разбивают на игровые пары случайным образом с
помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов,
среди которых 14 спортсменов из России, в том числе Егор Косов.
Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет
играть с каким-либо шахматистом из России.
Решение.
В первом туре Егор Косов может сыграть с 261=25 шахматистами, из которых 14-1=13 из России.
Значит вероятность того, что в первом туре Егор Косов
будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна
13:25=0,52. Ответ: 0,52.

35. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке
рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите
вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение.
Всего мест для посадки 9. Назовем девочек А и В.
Посадим А на любое место. Тогда для В будет 8
вариантов для посадки, а из них только 2 благоприятных справа от А и слева от А. Р = 2/8=1/4 Ответ: 0,25.

№10 профильного ЕГЭ. Презентация на урок.

1. В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер достанут третьим по счёту?

2. В кофейне «Восток» администратор предлагает гостям сыграть в следующую игру: за одну попытку гость бросает одновременно две игральные кости. Всего у него есть две попытки. Если в результате хотя бы одной из попыток на обоих костях оказывается одно и тоже число очков, клиент получает чашку кофе латте в подарок. Какова вероятность выиграть чашку латте?

3. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 64 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Социология», нужно набрать не менее 64 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 64 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,9, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,9.Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

4. При бросании двух игральных костей в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что хотя бы раз выпало два очка?

5. Игральную кость подбросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность того, что «сумма выпавших очков окажется равна 4

6. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.

7. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 6. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

8. В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

9. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть шесть разных принцесс из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 1 или 2 шоколадных яйца?

10. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечетных чисел, а четные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

11. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.

12. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 8 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность проигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?

13. Симметричную монету бросают 3 раза. Найти вероятность того, что орёл выпал два раза.

14. Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

15. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

16. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,4?

Обучающая презентация по решению задач на теорию вероятности Подготовка к ГИА и ЕГЭ Учитель математики МАОУ « Лицей 62» Воеводина Ольга Анатольевна

Общая схема решения задач 1.Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они равновозможны. 2.Найти общее число элементарных событий N. 3.Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число N(А). 4. Найти вероятность события А по формуле P(A)=

Справочные материалы Элементарные события (элементарные исходы) – это простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1. Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. Объединение событий — событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующи х хотя бы одному из событий А и В.

Справочные материалы Пересечение событий- это событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В. Несовместные события – события, которые не наступают в одном опыте. Противоположные события – те, которые состоят из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в А и обозначаются Независимые события. События А и В называются независимыми, если

Учитель нарисовал на доске квадрат ABCD и предлагает учащемуся выбрать две вершины. Сколько элементарных событий в этом опыте? Решение. 1.Элементарное событие в этом эксперименте – учащийся выбрал две вершины. 2.Перечислим их: AB, AC, AD, BC, BD, CD. 3.Общее число элементарных событий равно 6, то есть N=6. Ответ. 6 А ВС D

Литература И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко ЕГЭ Математика Задача В 10. Теория вероятностей

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ в заданиях ЕГЭ

Задачи из Открытого банка заданий ЕГЭ

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.

В среднем из 200 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным. Ответ: 0,97

На соревнования по метанию ядра приехали 6 спортсменов из Хорватии, 2 из Чехии и 2 из Австрии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий седьмым, будет из Чехии. Ответ:0,2

Конкурс исполнителей длится 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений по одному от каждой страны. В первый день запланировано 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса. Ответ:0,3

Конкурс исполнителей длится 4 дня. Всего заявлено 40 выступлений по одному от каждой страны. В первый день запланировано 25 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса. Ответ:0,125

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Ответ:0,995

На соревнования по метанию ядра приехали 6 спортсменов из Хорватии, 2 из Чехии и 2 из Австрии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий седьмым, будет из Чехии. Ответ:0,25

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. Ответ:0,11

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. Ответ:0,01

Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых. Ответ:0,83

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Ответ:0,5

Решение: Возможны исходы двух бросаний монеты: 1) Решка, решка. 2) Решка, орел. 3) Орел, решка. 4) Орел, орел. Всего возможных исходов 4. Благоприятных иcходов – 2. Отношение 2/4 = 0,5.

Дважды бросают симметричную монету. Найдем вероятность того, что оба раза выпала одна сторона. Ответ:0,5

Решение: Обозначим выпадение орла буквой О, а решки буквой Р. Выпишем все события: ОО, ОР, РО и РР. Всего событий четыре. Из них нас интересуют ровно два события ОО и РР. Всего возможных исходов 4. Благоприятных иcходов – 2. Вероятность 2/4 = 0,5.

Дважды бросают симметричную монету. Найдем вероятность того, что оба раза выпала решка. Ответ:0,25

Решение: Обозначим выпадение орла буквой О, а решки буквой Р. Выпишем все события: ОО, ОР, РО и РР. Всего событий четыре. Нас интересует вероятность 4-го события. Всего возможных исходов 4. Благоприятных иcходов – 1. Вероятность 1/4 = 0,25.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза. Ответ:0,375

Решение: возможны исходы трех бросаний монеты 1) Решка, решка, решка. 2) Решка, решка, орел. 3) Решка, орел, решка. 4) Орел, решка, решка. 5) Решка, орел, орел. 6) Орел, решка, орел. 7) Орел, орел, решка. 8) Орел, орел, орел. Это все возможные события. Нас интересует вероятность 5-го, 6-го или 7-го события. Всего возможных исходов 8. Благоприятных иcходов – 3. Отношение 3/8 = 0,375.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Ответ:0,125

Решение: возможны исходы трех бросаний монеты 1) Решка, решка, решка. 2) Решка, решка, орел. 3) Решка, орел, решка. 4) Орел, решка, решка. 5) Решка, орел, орел. 6) Орел, решка, орел. 7) Орел, орел, решка. 8) Орел, орел, орел. Это все возможные события. Нас интересует вероятность 1-го события. Всего возможных исходов 8. Благоприятных иcходов – 1. Отношение 1/8 = 0,125.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Ответ:0,375

Решение: возможны исходы трех бросаний монеты 1) Решка, решка, решка. 2) Решка, решка, орел. 3) Решка, орел, решка. 4) Орел, решка, решка. 5) Решка, орел, орел. 6) Орел, решка, орел. 7) Орел, орел, решка. 8) Орел, орел, орел. Это все возможные события. Нас интересует вероятность 2-е, 3-е 4-е события. Всего возможных исходов 8. Благоприятных иcходов – 3. Отношение 3/8 = 0,375.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза. Ответ:0,125

Решение: возможны исходы трех бросаний монеты 1) Решка, решка, решка. 2) Решка, решка, орел. 3) Решка, орел, решка. 4) Орел, решка, решка. 5) Решка, орел, орел. 6) Орел, решка, орел. 7) Орел, орел, решка. 8) Орел, орел, орел. Это все возможные события. Нас интересует вероятность 8-го события. Всего возможных исходов 8. Благоприятных иcходов – 1. Отношение 1/8 = 0,125.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что при втором бросании выпала решка. Ответ:0,5

Решение:возможны исходы трех бросаний монеты 1) Решка, решка, решка. 2) Решка, решка, орел. 3) Решка, орел, решка. 4) Орел, решка, решка. 5) Решка, орел, орел. 6) Орел, решка, орел. 7) Орел, орел, решка. 8) Орел, орел, орел. Это все возможные события. Нас интересует вероятность 1-го, 2-го, 4-го, 6-го события. Всего возможных исходов 8. Благоприятных иcходов – 4. Отношение 4/8 = 0,5

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Ответ:0,0625

Какова вероятность, что все 4 раза выпадет решка? Вероятность того, что решка выпадет 1 раз равна 1/2, 2 раза равна 1/2 1/2=1/4, 3 раза равна 1/2 1/2 1/2=1/8, а 4 раза равна (1/2)4=1/16=0,0625.