Шпаргалка по стереометрии для егэ профиль

8 декабря 2019

Шпаргалка по стереометрии

Краткие пояснения и алгоритмы по стереометрии.

В 8 и 14 заданиях проверяют знания стереометрии: умение разбираться с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Многие не решают это задание из-за того, что пугает его сложность. Но на самом деле это одно из простых заданий, на которых можно получить 14 баллов. Достаточно знать последовательность действий.

Алгебра — ЕГЭ                Тригонометрия — ЕГЭ                Геометрия — ЕГЭ                Стереометрия — ЕГЭ                Алгебра — ОГЭ                Геометрия — ОГЭ

Шпаргалка по стереометрии для ЕГЭ

Формулы по стереометрии для ЕГЭ

Советская шпора по стереометрии

Площадь поверхности, объем, радиусы вписанной и описанной сфер

Формулы для многогранников

Формулы для пирамиды

Формулы для тел вращения

Лучшие шпаргалки по математике. Качественно. Ничего лишнего.

Просто кликните по картинке. Подробно — в разделе «Решение задач ЕГЭ по математике».

Самое популярное. Тригонометрия и площади фигур

Геометрия. Площади фигур

Геометрия на ЕГЭ по математике. Треугольники, четырехугольники, окружности.

Высоты, медианы, биссектрисы

Параллелограмм, ромб, квадрат и их свойства

Касательная к окружности

Центральные и вписанные углы

Формулы объема и площади поверхности.

Вписанные и описанные треугольники

Вписанные и описанные четырехугольники

Стереометрия: Формулы объема и площади поверхности.

Чертежи в задачах по стереометрии

Классическая стереометрия и метод координат

Основы стереометрии. Часть 1.

Основы стереометрии. Часть 2.

Стереометрия: Векторы и координаты.

Как расположить прямоугольную систему координат

Алгебра

Преобразования графиков функций. Задача С5.

Если вам нравятся наши материалы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Лучшие шпаргалки по математике. Качественно. Ничего лишнего.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур.

Произвольная усеченная пирамида

Правильная усеченная пирамида

Шаровая (или сферическая) поверхность

Формулы по стереометрии для ЕГЭ. Шпаргалка по стереометрии для ЕГЭ

С этим файлом связано 1 файл(ов). Среди них: ЕГЭ профиль Часть 1 Шпаргалка__.pdf.

Показать все связанные файлы

Методические разработки, презентации и конспекты

Подготовка к ЕГЭ по математике не может обойтись без изучения геометрии. Задачи на расчет площади и объема фигур, нахождение углов и длин сторон встречаются и в первой, и во второй части. В базовой математике ЕГЭ формулы на объем и площадь представлены в справочных материалах. Тем, кто сдает профильную, придется выучить их. Рассмотрим основную теорию.

Площадь — величина, которая есть у плоских фигур. Ее можно посчитать для квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции, круга. Объем присущ трехмерным объектам, таким как куб, шар, параллелепипед, призма, пирамида, конус. Объемные тела условно делят на многогранники (состоят из нескольких многоугольников) и поверхности вращения (есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура). На вычисление объема это не влияет.

В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом.

Объем геометрической фигуры

— количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

где V — объем куба,

— длина грани куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

где V — объем призмы,

— площадь основания призмы,

— высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

V = So · h

где V — объем параллелепипеда,

— площадь основания,

— длина высоты.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

V = a · b · h

где V — объем прямоугольного параллелепипеда,

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды:

где V — объем пирамиды,

— площадь основания пирамиды,

— длина высоты пирамиды.

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра:

где V — объем правильного тетраэдра,

— длина ребра правильного тетраэдра.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра:

где V — объем цилиндра,

— площадь основания цилиндра,

— радиус цилиндра,

— высота цилиндра,

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса:

где V — объем конуса,

— площадь основания конуса,

— радиус основания конуса,

— высота конуса,

Объем шара

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.

Формула объема шара:

где V — объем шара,

— радиус шара,

В данной теме выложены вспомогательные картинки для учеников и студентов с формулами площадей и объемов фигур. Ниже расположены основные формулы, которые потребуются при решении задач по геометрии на нахождение объемов и площадей поверхности таких фигур, как квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, треугольник, прямоугольный треугольник, трапеция, круг, куб, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус и шар.

Формулы площадей

1.Площадь многоугольника.    2.Площадь треугольника.     3.Площадь квадрата.

4.Площадь прямоугольника.    5.Площадь параллелограмма.     6.Площадь ромба.     7.Площадь трапеции.

9.Площадь круга.     10.Площадь кругового сектора.    11.Площадь эллипса.

Формулы объемов

1.Объем куба.     2.Объем параллелепипеда.     3.Объем призмы.     4.Объем пирамиды.     5.Объем усеченной пирамиды.     6.Объем цилиндра.     7.Объем правильной треугольной пирамиды.     8.Объем конуса.     9.Объем усеченного конуса.     10.Объем тетраэдра.     11.Объем шара.     12.Объем шарового сегмента и сектора.

1 2 3 4 5 6 7 8

Площадь многоугольника

Рассчитать площадь многоугольника вписанного в круг и описанного около круга

Число углов n

Площадь треугольника

Рассчитать площадь треугольника

Угол ɣ (0-90°)

Площадь квадрата

Рассчитать площадь квадрата

Рассчитать площадь прямоугольника

Рассчитать площадь параллелограмма

Рассчитать площадь ромба

Угол α (0-90°)

Площадь трапеции

Рассчитать площадь трапеции

Рассчитать площадь четырехугольника

Рассчитать площадь круга, длину окружности

Рассчитать площадь кругового сектора, длину дуги

Угол α (0-360°)

Площадь эллипса

Рассчитать площадь эллипса

Длина полуоси а

Рассчитать объем и площадь поверхности куба

Рассчитать объем параллелепипеда

Площадь основания S

Рассчитать объем призмы

Рассчитать объем пирамиды

Рассчитать объем усеченной пирамиды

Рассчитать объем цилиндра

Радиус основания R

Объем правильной треугольной пирамиды

Рассчитать объем правильной треугольной пирамиды

Рассчитать объем конуса

Рассчитать объем усеченного конуса

Рассчитать объем тетраэдра

Рассчитать объем и площадь поверхности шара

Рассчитать объем шарового сегмента

Онлайн-трансляция по вопросам подготовки к ЕГЭ по литературе.

Пробный вариант по химии

Соответствует спецификации 2022.

Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе признаков параллельности прямых. Круг замкнулся. Поэтому в повторении теории будьте последовательны и внимательны. При чтении доказательства теоремы особое внимание обращайте на то, где в доказательстве использованы условия теоремы, какие ранее доказанные теоремы при этом использовались. В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».

Основные теоремы планиметрии и следствия из них

Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).

Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

2 Теоремы об углах. Углы в треугольнике. Вписанные в окружность углы

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны (рис. 66): ? = ?.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67): АВ = ВС? ?А = ?С.

Теорема о сумме углов в треугольнике. Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68): ? + ? + ? = 180°.

Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).

Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.

Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70): ? = ? + ?.

Теорема о величине вписанного в окружность угла. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):

Основные теоремы о треугольнике

Признаки равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 72).

ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и?A = ?A1. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).

ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).

ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.

Признаки равенства прямоугольных треугольников. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).

ABC = ?A1B1C1 т. к. ?А = ?А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).

АВС = ?А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ?А = ?A1 a ?С = ?С1 = 90°.

Свойство медианы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).

(АВ = ВС, АМ = МС) ? (?АВМ = ?МВС, ?АМВ = ?ВМС = 90°).

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (рис. 80).

А2= b2+ с2– 2bc cos ?. Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).

С2= а2+ b2.

Пропорциональность и подобие на плоскости

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 82).

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 83).

Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 84).

Если? = ?, то

Признаки подобия треугольников. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 85).

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобные, т. к. ? = ?1 и? = ?1. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 86).

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к.

И? = ?1. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 87).

Основные геометрические неравенства

Неравенство треугольника. Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (рис. 89): АС

Связь между величинами сторон и величинами углов в треугольнике. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол (рис. 90). (BC

Основные геометрические места точек на плоскости

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла (рис. 91).

АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе. Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 92).

MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ. Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 93).

Точка О равноудалена от точек окружности.

Местоположение центра окружности, описанной около треугольника. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 94).

А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности. АМ = МВ и АК = КС. Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.

Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 95).

В?ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.

Теоремы о четырёхугольниках

Свойства параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. У параллелограмма противолежащие углы равны. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 96).

АВ = CD, ВС = AD, ?BAD = ?BCD, ?АВС = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

Признаки параллелограмма. Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).

АО = ОС, ВО = OD ? ABCD – параллелограмм.

Свойства прямоугольника. Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам). Диагонали прямоугольника равны (рис. 99): АС = BD.

Признак прямоугольника. Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Свойства ромба. Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).

AC ? BD, ?ABD = ?DВС = ?CDB = ?BDA, ?ВАС = ?CAD = ?ВСА = ?DCA.

Признак ромба. Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Свойства квадрата. Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Признак квадрата. Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.

Свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).

Критерии вписанного и описанного четырехугольников. Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102). ?А + ?С = ?В + ?D = 180°.

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103). AB + CD = AD + BC.

Теоремы об окружностях

Свойство хорд и секущих. Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 104).

Если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 105).

Число?. Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от радиуса окружности, то есть оно одно и то же для любых двух окружностей. Это число равно? (рис. 106).

Векторы

Теорема о разложении вектора по базису. Если на плоскости даны два неколлинеарных вектора а и b и любой другой вектор с, то существуют единственные числа n и m, такие, что с = nа + mb (рис. 107). где

Теорема о скалярном произведении векторов. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных q величин (длин) на косинус угла между ними (рис. 108). ОА? ОВ = ОА? OB ? cos ?.

Основные формулы планиметрии

Для треугольника (рис. 109):

Где a, b, с – стороны треугольника; ?, ?, ? – противолежащие им углы; r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей; ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а; S – площадь треугольника;

– полупериметр треугольника. Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 110).

Где а, b – длины оснований; h – высота трапеции.

Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом? между ними вычисляется по формуле S = ab sin ?. Можно также воспользоваться формулой:

Где d1, d2– длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота). Для произвольного выпуклого четырёхугольника (рис. 111):

Для правильного n-угольника:

(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, аn – длина стороны правильного n-угольника). Для окружности и круга (рис. 112):

И 12R2?, если? выражен в радианах. Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.

Формулы аналитической планиметрии

Если даны точки A(x1; y1) и В(х2; у2), то

Уравнение прямой АВ:

Легко приводится к виду ах + by + с = 0, где вектор n = (а, b) перпендикулярен прямой. Расстояние от точки А(х1; у1) до прямой ах + by + с = 0 равно

Расстояние между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0 равно

Угол между прямыми а1х + BLу + с1 = 0 и а2х + b2y + с2 = 0 вычисляется по формуле:

Уравнение окружности с центром в точке O(x0, y0) и радиусом R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.

Вопросы для самопроверки

Где? – угол между векторами. 38. а) Какие вы знаете свойства скалярного произведения векторов? (1) б) Докажите эти свойства. (2) 39. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. (1) 40. а) Какие вы знаете свойства преобразования подобия? (1) б) Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между лучами. (2) 41. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум углам. (1) 42. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1) б) Докажите этот признак. (1) 43. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по трём сторонам. (1) б) Докажите этот признак. (2) 44. а) Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника. (1) б) Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (1) 45. а) Сформулируйте свойство вписанного в окружность угла. (1) б) Докажите это свойство. (1) 46. а) Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS. (1) б) Докажите, что если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS. (1) 47. а) Сформулируйте теорему косинусов для треугольника. (1) б) Докажите эту теорему. (1) 48. а) Сформулируйте теорему синусов. (1) б) Докажите эту теорему. (1) в) Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений:

Равно 2R, где R – радиус описанной около треугольника окружности. (1) 49. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. (2) 50. а) Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? (1) б) Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. (1) 51. а) Докажите, что в правильный многоугольник можно вписать окружность. (1) б) Докажите, что около правильного многоугольника можно описать окружность. (1) 52. Дан правильный n-угольник со стороной а. Выведите формулы: а) радиусов вписанной и описанной окружностей; (1) б) площади n-угольника; (1) в) угла при вершине. (1) 53. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размера окружности. (3) 54. Как переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот? (1) 55. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. (3) 56. а) По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма? (1) б) Выведите эту формулу. (1) 57. а) По какой формуле вычисляется площадь треугольника? (через основание и высоту). (1) б) Выведите эту формулу. (1) в) Выведите формулу Герона. (1) 58. а) По какой формуле вычисляется площадь трапеции? (1) б) Выведите эту формулу. (1) 59. Выведите формулы:

Где a, b, c – длины сторон треугольника; S – его площадь; R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. (1) 60. Пусть F1 и F2 – две подобные фигуры с коэффициентом подобия k. Как относятся площади этих фигур? Ответ: обоснуйте. (1) 61. а) По какой формуле вычисляется площадь круга? (1) б) Выведите эту формулу. (3) 62. Выведите формулу площади кругового сектора. (2) 63. Выведите формулу площади кругового сегмента. (2) 64. а) Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (2) б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2) в) Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (2) г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (1) 65. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. (1) 66. а) Сформулируйте теорему Чевы. (3) б) Докажите эту теорему. (3) 67. а) Сформулируйте теорему Мене лая. (3) б) Докажите эту теорему. (3) в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3) 68. а) Докажите, что если стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо составляют 180°. (2)

Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника :

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны . Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов :

Теорема синусов :

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Некоторые свойства трапеций:

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Некоторые свойства параллелограмма:

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

Ромб и прямоугольник

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Н а этой странице собраны теоремы планиметрии, которые репетитор по математике может использовать в подготовке способного ученика к серьезному экзамену: олимпиаде или экзамену в МГУ (в подготовке на Мехмат МГУ, ВМК), к олимпиаде в Высшей Школе Экономики, к олимпиаде в Финансовой Академии и в МФТИ. Знание этих фактов открывает перед репетитором большие возможности по составлению конкурсных задач. Достаточно «обыграть» какую-нибудь упомянутую теорему на числах или дополнить ее элементы несложными взаимосвязями с другими математическими объектами, и получится вполне приличная олимпиадная задачка. Многие свойства присутствуют в сильных школьных учебниках в качестве задач на доказательство и специально не выносятся в заголовки и разделы параграфов. Я постарался исправить этот недостаток.

Математика — необъятный предмет, а количество фактов, которые можно выделять как теоремы — бесконечно. Репетитор по математике не может физически знать и помнить все. Поэтому какие-то хитрые взаимосвязи между геометрическими объектами каждый раз открываются преподавателю заново. Собрать все их на одной странице сразу — невозможно физически. Поэтому я буду заполнять страницу постепенно, по мере использования теорем на своих уроках.

Советую начинающим репетиторам по математике быть осторожнее в использовании дополнительных справочных материалов, поскольку большинство этих фактов школьники не знают.

Репетитор по математике о свойствах геометрических фигур

1) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекается с биссектрисой противоположного ей угла на окружности, описанной около данного треугольника. Это следует из равенства дуг, на которые серединный перпендикуляр делит нижнюю дугу, и из теоремы о вписанном угле в окружность.

Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

То есть имеет место следующее равенство

Если ваш четырехугольник описан около окружности (то есть окружность в него вписана), то площадь четырехугольника вычисляется по формуле

Предложенные билеты предназначены для проведения устного теоретического переводного годового экзамена по планиметрии учащихся 9 классов общеобразовательной школы, а также 10 и 11 классов в целях подготовки к ЕГЭ. Предлагаемые материалы полностью соответствуют программе по математике и программе для профильного обучения.

Билеты состоят из десяти вопросов, отражающих основные направления курса геометрии.

Вопросы ориентированы на проверку овладения понятийным аппаратом предмета и выявление уровня знаний важных теоретических фактов. Некоторые из них предполагают доказательство излагаемого материала, показывающих знание основных теоретических положений курса и умение привести их обоснование.

Задания этих вопросов взяты из пособий:

Геометрия. Задачи на доказательство. Смирнов В.А., Смирнова И.М.

Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Атанасян, бутузов, Кадомцев и др.

Геометрия. Учебник для 7-11 классов.А.В.Погорелов.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ОТВЕТА УЧАЩИХСЯ

При оценке ответа учащихся можно руководствоваться следующими критериями.

За полный и правильный ответ на все вопросы билета выставляется оценка «5». Для получения оценки «3» достаточно ответить на восемь вопросов билета.

Во всех остальных случаях выставляется оценка «4».

Зачет по планиметрии

Аксиомы мер для отрезков и углов:

Аксиомы существования треугольника, равного данному:

Основные факты об углах:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.

На самом деле это намного больше, чем просто тренажер — целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

MN ср. линия

Все формулы для профильного ЕГЭ-2022 по математике

Все формулы для базового ЕГЭ-2022 по математике

ЕГЭ-2022 по математике, профильный и базовый уровни

Задача №7, производная Задача №12, производная Задача №13, тригонометрия, степени, логарифмы Задача №15, неравенства Задача №17, экономическая

Задачи, базовый

Задача №14 (база), производная

ЕГЭ-2022 по физике

Поиск решения задачи: Введите примерный текст задачи, и мы попробуем её найти вместе с Google

Пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2022 из различных источников.

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике (профиль)

Структура варианта КИМ ЕГЭ

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:

– часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;

– часть 2 содержит 7 заданий (задания 12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.

Пробные варианты ЕГЭ 2022 по математике базового уровня из различных источников.

Пробные варианты ЕГЭ 2022 по математике (базовый уровень)

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа включает в себя 21 задание.

На выполнение работы отводится 3 часа (180 минут).

Ответы к заданиям записываются по приведённым ниже образцам в виде числа или последовательности цифр. Сначала запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1 справа от номера соответствующего задания.

Если ответом является последовательность цифр, как в приведённом ниже примере, то запишите эту последовательность в бланк ответов № 1 без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланке ответов № 1 был записан под правильным номером

Канал видеоролика: Математика на отлично

#математикаогэ #гвэ #егэответы #репетиторпоматематике #репетитор_по_математике #огэматематика #огэответы #ответы_егэ #ответы_огэ

Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Математике (листай):

С этим видео ученики смотрят следующие ролики:

ЕГЭ 2022. Профильная математика. Стереометрия. Куб. Часть 2

ЕГЭ 2022. Профильная математика. Стереометрия. Прямоугольный параллелепипед. Часть 1

ЕГЭ 2022. Профильная математика. Стереометрия. Прямоугольный параллелепипед. Часть 2

ЕГЭ 2022. Профильная математика. Стереометрия. Прямоугольный параллелепипед. Часть 3

Облегчи жизнь другим ученикам — поделись! (плюс тебе в карму):

4 марта 2022

Основные типы задач на нахождение

Этапы закрепощения крестьян в России

Крепостное право на Руси появилось позже, чем во многих средневековых европейских королевствах. Это было связано с объективными причинами – низкая плотность населения, зависимость от ордынского ига.

Задания 12-18 досрочного ЕГЭ по математике

3 примера по каждому заданию. Досрочный ЕГЭ по математике прошёл 28 марта.

ОГЭ по математике. Тренировочный вариант СтатГрад

Решение тестовой части (№1-19) тренировочной работы по математике от 18 апреля 2022 года.

Формулы площади поверхности геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры

— численная характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Площадь куба

Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.

Формула площади куба:

S = 6 2

где S — площадь куба,
— длина грани куба.

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

S = 2( + + )

где S — площадь прямоугольного параллелепипеда,
— длина,
— ширина,
— высота.

Площадь цилиндра

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра:

S = 2 + 2 2 = 2 ( + )

где S — площадь,
— радиус цилиндра,
— высота цилиндра,
= 3.141592.

Площадь конуса

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число .

Формула площади боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности конуса:

S = 2 + = ( + )

где S — площадь,
— радиус основания конуса,
— образующая конуса,
= 3.141592.

Площадь шара

Формулы площади шара:

• Площадь поверхности шара равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число .S = 4 2
• Площадь поверхности шара равна квадрату его диаметра умноженного на число .S = 2

где S — площадь шара,
— радиус шара,
— диаметр шара,
= 3.141592.