В среднем всего лишь 30% сдающих экзамен ЕГЭ по математике, способны правильно решить задания по тригонометрии. Такая статистика не новость – чтобы справлять с заданиями как в базовом варианте экзамена, так и в профильном, нужно выучить кучу сложных формул, на освоение которых нужен не один год. Конечно же это не так, для решения заданий по тригонометрии достаточно знания пяти основных формул, их проходят на любых онлайн занятиях по математике.
В этом материале:
- Главные проблемы, с которыми сталкиваются ученики во время решения заданий по тригонометрии
- Какие задания содержатся в профильном, а какие в базовом варианте
- ЕГЭшная теория для тригонометрии: пять самых ценных формул
- Что еще полезно знать по тригонометрии для успешной сдачи ЕГЭ
- Главные проблемы, с которыми сталкиваются ученики из-за тригонометрии
- Какие задания содержатся в профильном, а какие в базовом варианте
- ЕГЭшная теория для тригонометрии
- Что еще полезно знать по тригонометрии для успешной сдачи ЕГЭ
- Логарифмические уравнения
- Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:
- Свойства логарифмов.
- Свойства логарифмов.
- Логарифмы в заданиях ЕГЭ
- Логарифмы в заданиях ЕГЭ
- Логарифмы
- 06. Логарифмические выражения
- Логарифмы
- Свойства логарифмов.
- Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?
- Формулы сокращённого умножения
- Арифметическая и геометрическая прогрессии
- Вероятность
- Свойства степеней
- Свойства логарифмов
- Тригонометрия
- Производные
- Первообразные
- Итог
- Что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства
- Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
Главные проблемы, с которыми сталкиваются ученики из-за тригонометрии
Во многих школах раздел тригонометрии начинает изучаться уже в 10 классе, хотя есть и исключения, в маленькой части школ ее начинают проходить только в выпускном классе. Это недостаток системы образования: у одних есть всего год, у других времени гораздо больше. В последнем случае – срок достаточно большой для того, чтобы ознакомиться с материалом, в первом же случае срок ограниченный. Наверстать за такой срок можно только через онлайн занятия математикойс репетитором.
Хотите, чтобы ваш ребенок полюбил математику с младших классов? Запишите его на бесплатный вводный урок, где мы покажем, каким увлекательным может быть этот «сложный» предмет.
Еще есть другие немаловажные факторы: математика – не единственный предмет на ЕГЭ, в математике есть много других тем, встречающихся на экзамене, которые следует понимать.
При таком раскладе опытные преподаватели рекомендуют не учить формулы, а уметь их выводить и понимать, как и для чего они работают. Перед этим лучше понять важность темы тригонометрии и упомянуть задания, в которых она встречается в рамках ЕГЭ.
Какие задания содержатся в профильном, а какие в базовом варианте
Тригонометрия встречается и в заданиях с кратким ответом и в заданиях с развернутым ответом, т.е. есть и в базе и в профиле. Подробнее про формат можно узнать, записавшись на какие-нибудь онлайн занятия по математике.
Базовый уровень содержит 3 задания по данной теме:
· №7 – выражение простейшего вида, решается с помощью формул, которые есть во многих справочниках для подготовки;
· №8 – дана тригонометрическая формула, относящаяся к физической задаче (тригонометрия попадается редко, но нужно понимать, что она может быть в сложном варианте);
· №15 – тригонометрия как часть геометрии – применение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике (тоже содержатся в справочнике).
В профильном варианте (в рамках 1 и 2 части):
· №3 – тригонометрические функции в геометрии (справочных материалов по этому задания не прилагается);
· №4 – тригонометрическое выражение (соответствует Базе);
· №7 – физическая задача с тригонометрией;
· №11 – в виде тригонометрической функции, нужно найти экстремумы функции, ее наибольшее или наименьшее значение;
· №12 (с этого задания начинается тригонометрия во 2 части) – уравнение с тригонометрией;
· №13 – решение задач по стереометрии (через теорему синусов, косинусов и т.д.);
· №16 – решение задач по планиметрии (аналогично стереометрии).
ЕГЭшная теория для тригонометрии
Формулы – самая интересная часть темы, если научиться их понимать, а значит и выводить, то тогда не надо будет ничего зубрить. При зубрежке можно легко перепутать нужный арифметический знак (школьник, понимающий тему, знает какой правильный), а значит – получить неверное решение и потерять много ценных баллов.
Для профильной части достаточно вывести пять формул, это весь материал, необходимый для решения задач, входящих в нее. Выводить формулы рекомендуют профессиональные педагоги, ведущие дополнительно офлайн или онлайн занятия по математике.
Первый урок в Учи.Дома — бесплатно! Это отличная возможность познакомиться с преподавателем, методикой и провести время с пользой.
Правила выведения формул – это практика, нужно много практики, чтобы научиться правильно выводить формулы, но это того стоит.
Список формул:
Основное тригонометрическое тождество.
Эта формула позволяет находить синус или косинус, в случае, когда известно что-то одно.
Из нее выводится другая:
Через первую формулу можно вывести тангенс и котангенс через синус и косинус, представив их в виде произведения отношений синуса к косинусу и косинуса к синусу (результат равен единице).
Представленные выше формулы показывают связь между синусом, косинусом с тангенсом и котангенсом, для связи всех 4-х отношений друг с другом пригодятся следствия все той же первой формулы (нужно разделить оба всю формулу на синус и косинус квадрат):
Синус двойного угла. Чтобы запомнить эту формулу, нужно часто ее применять, когда этого требует задание.
Косинус двойного угла.
Здесь сложнее, чем с предыдущей формулой. Используя первую формулу легко вывести несколько побочных формул, связанных с косинусом двойного угла: нужно выразить квадрат синуса, а затем косинуса через основное тригонометрическое тождество:
После того, как были найдены эти значения, их нужно подставить в формулу косинуса двойного угла:
Отсюда можно найти еще две важные формулы, не относящиеся к справочнику выше, это формулы с пониженным показателем степени для двойного угла, делается это через выражения:
Формулы из списка под номерами четыре и пять. Указанные под этими номерами формулы дают возможность с легкостью вывести еще две.
Вот те, которые представлены:
Они позволяют вычислить сумму углов для тех отношений, которые образует косинус и синус (т.е. между гипотенузой и прилежащим катетом или гипотенузой и противолежащим катетом).
Меняя знаки в каждой из формул на противоположные исходным, можно получить следующее:
Такие несложные манипуляции позволили из пяти предложенных справочником формул сделать целых 14. Картинки с формулами взяты с сайта Федерального института педагогических измерений из раздела банка заданий ЕГЭ или демоверсий экзамена с того же сайта.
Что еще полезно знать по тригонометрии для успешной сдачи ЕГЭ
Тригонометрия представлена огромным количеством формул и даже те 14, что были выведены выше – капля в море. Остальные либо выводятся через них, либо заменить на более простые.
Указанного в предыдущем подзаголовке материала более чем достаточно для успешной сдачи ЕГЭ. Нужно хорошо прорабатывать через «нарешивание» реальных заданий из банка ФИПИ выведение формул. Во-первых – это хорошая практика, во-вторых так становится понятно как работают простейшие функции тригонометрии, как они связаны с реальными геометрическими отношениями. Такой метод работает для любой темы из кодификатора экзамена.
Так и устроены онлайн занятия математикой: дисциплина и хорошо организованная система подготовки, учитывающая сложность материала. Начать следует с простейших тем и выражений, постепенно переходя к более сложным. На каждом уровне сложности нужно уметь решать задачи почти на автомате, чтобы потом, как орешки «щелкать» сложные задачи с подвохом, которые тоже могут попасться на экзамене. Это прокачивает и реальные знания и натаскивает на ЕГЭшный формат, без тупой зубрежки формул.
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
Особенно можно выделить три формулы:
Основное логарифмическое тождество:
Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$
Некоторые свойства логарифмов
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:
Логарифмические уравнения
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо проверить условие: подлогарифмическое выражение должно быть больше $0$.
Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:
Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2
Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.
$x = 8$
Ответ: $х = 8$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые
При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень
Ответ: $х= -3$
4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.
Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$
Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$
ОДЗ данного уравнения $x+1>0$
Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию а, где $a>0$, $a≠1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
Особенно можно выделить три формулы:
Основное логарифмическое тождество:
Это равенство справедливо при $b>0, a>0, a≠1$
Свойства логарифмов.
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a>0, a≠1, b>0, c>0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
Применим второе свойство наоборот: сумма логарифмов по одинаковому основанию равна логарифму произведения подлогарифмических выражений
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного подлогарифмических выражений
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
6. Формула перехода к новому основанию
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
В выражении видим, что был произведен переход к новому основанию $2$. Нам необходимо вернуться к старому основанию $13$.
Далее вычислим получившийся логарифм, для этого подлогарифмическое выражение необходимо представить в виде степени. Любой корень можно выразить в виде степени с дробным показателем, в знаменателе показателя будет находиться показатель корня
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию а, где $a>0$, $a≠1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
Особенно можно выделить три формулы:
Основное логарифмическое тождество:
Это равенство справедливо при $b>0, a>0, a≠1$
Свойства логарифмов.
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a>0, a≠1, b>0, c>0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
Применим второе свойство наоборот: сумма логарифмов по одинаковому основанию равна логарифму произведения подлогарифмических выражений
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного подлогарифмических выражений
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
6. Формула перехода к новому основанию
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
В выражении видим, что был произведен переход к новому основанию $2$. Нам необходимо вернуться к старому основанию $13$.
Далее вычислим получившийся логарифм, для этого подлогарифмическое выражение необходимо представить в виде степени. Любой корень можно выразить в виде степени с дробным показателем, в знаменателе показателя будет находиться показатель корня
Всего: 35 1–20 | 21–35
Добавить в вариант
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Найдите корень уравнения 
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 1
Найдите значение выражения 
Всего: 35 1–20 | 21–35
14 января 2018
В закладки
Обсудить
Жалоба
Логарифмы в заданиях ЕГЭ
Большая часть заданий, включенных в ЕГЭ, представляет собой задания на вычисление значений числовых логарифмических выражений.
При подготовке следует обратить внимание на формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее. Задачи на использование этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.
Материал для проведения самостоятельных работ. 15 вариантов по 28 заданий. Ответы прилагаются.
log-sm.docx
Логарифмы в заданиях ЕГЭ
Логарифмы в заданиях ЕГЭ
Борисова Елена Леонидовна,
учитель математики
высшей квалификационной категории
МОУ Левобережная средняя школа
г.Тутаева ярославской области.
Большая часть заданий, включенных в ЕГЭ, представляет собой задания на вычисление
значений числовых логарифмических выражений. При подготовке следует обратить внимание на
формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее. Задачи на использование
этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.
Проверяемые элементы:
Владение понятием логарифм
Знание основных свойств логарифмов
Умение выполнять тождественные преобразования логарифмических выражений.
Вариант 1.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 2.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 3.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 4.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 5.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 6.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 7.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 8.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 9.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 10.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 11.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 12.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 13.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант 14.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Вариант15.
Найдите значение выражения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Используемые источники:
1. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и
профильный уровни /И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.В.Забелин и др.; под редакцией И.В.Ященко. –
М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 640 с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)
2. http://reshuege.ru/
3. http://www.yaklass.ru/materiali?mode=lsntheme&themeid=10
4. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/01/09/svoystva-logarifmov-trenirovochnye-zadaniya
Логарифмы
Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8. Там всё было ясно: x = 3.
А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.
По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.
Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107…
Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).
Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Иными словами,
Например:
так как 
;
, так как 
;
так как 
;
, так как 
.
Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.
Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.
Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.
Основные формулы
По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
logaax=x.
Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.
Логарифм произведения — это сумма логарифмов:
| loga(bc) = logab + logac. | (2) |
Логарифм частного — это разность логарифмов:
 . | (3) |
Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:
 | (4) |
Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
 | (5) |
Формулы (4) и (5) вместе дают:
 . | (6) |
В частности, если m = n, мы получаем формулу:
 . | (7) |
Например, 
.
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
 . | (8) |
В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:
 . | (9) |
Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. 
(применили формулу (2) суммы логарифмов).
2. 
(применили основное логарифмическое тождество(1)).
3. 
4. 
5. 
Немного истории
Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?
Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.
Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?
Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.
В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.
Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.
Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).
А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.
Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.
Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Задания для
подготовки к ЕГЭ
Базовый уровень.
Логарифмические
уравнения.
1.
Найдите корень уравнения 
2.
Найдите корень уравнения 
3.
Найдите корень уравнения 
4.
Найдите корень уравнения 
+2x)=
5.
Найдите корень уравнения 
6.
Найдите корень уравнения 
7.
Найдите корень уравнения 
8.
Найдите корень уравнения 
9.
Найдите корень уравнения 
10. Найдите корень уравнения 
11. Найдите корень уравнения 
12. Найдите корень уравнения 
13. Найдите корень уравнения 
14. Найдите корень уравнения 
15. Найдите корень уравнения 
16. Найдите корень уравнения 
17. Найдите корень уравнения 
18. Найдите корень уравнения 
19. Найдите корень уравнения 
20. Найдите корень уравнения 
04
Авг 2013
Категория: 06 ВычисленияЛогарифмы
06. Логарифмические выражения
2013-08-04
2022-09-11
Задача 1. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 2. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 3. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 4. Найдите значение выражения 
Решение: + показать
Задача 5. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 6. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 7. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 8. Найдите значение выражения ![log_{sqrt[9]{13}}13](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-815ea5196d99087209acd7e29fc24c37_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Решение: + показать
Задача 9. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 10. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 11. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 12. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 13. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 14. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 15. Вычислите значение выражения: 
.
Решение: + показать
Задача 16. Найдите значение выражения 
.
Решение: + показать
Задача 17. Найдите значение выражения 
Решение: + показать
Задача 18. Найдите 
, если 
, если .
Решение: + показать
Задача 19. Найдите значение выражения 
, если 
, если .
Решение: + показать
Вы можете пройти обучающий тест по теме «Преобразование логарифмических выражений».
Автор: egeMax |
комментариев 11
Логарифмы
Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8. Там всё было ясно: x = 3.
А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.
По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.
Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107…
Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).
Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Иными словами,
Например:
так как ;
, так как ;
так как ;
, так как .
Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.
Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.
Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.
Основные формулы
По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
logaax=x.
Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.
Логарифм произведения — это сумма логарифмов:
| loga(bc) = logab + logac. | (2) |
Логарифм частного — это разность логарифмов:
| . | (3) |
Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:
| (4) |
Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
| (5) |
Формулы (4) и (5) вместе дают:
| . | (6) |
В частности, если m = n, мы получаем формулу:
| . | (7) |
Например, .
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
| . | (8) |
В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:
| . | (9) |
Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).
2. (применили основное логарифмическое тождество(1)).
3.
4.
5.
Немного истории
Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?
Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.
Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?
Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.
В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.
Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.
Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).
А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.
Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.
Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию а, где $a>0$, $a≠1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
Пример:
$log_{2}8=3$, т.к. $2^{3}=8;$
$log_{3}{1}/{27}=-3$, т.к $3^{-3}={1}/{27}$
Особенно можно выделить три формулы:
$log_{a}a=1;$
$log_{a}1=0;$
$log_{a}a^b=b.$
Основное логарифмическое тождество:
$a^{log_{a}b}=b$
Это равенство справедливо при $b>0, a>0, a≠1$
Пример:
$4^{log_{4}5}=5;$
$3^{-2log_{3}5}={3^{log_{3}5^{-2}}}=5^{-2}={1}/{25}$
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $lgb$ вместо $log_{10}b$.
Пример:
$lg100000=lg10^5=5$
Ответ: $5$
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$, где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2.7$. При этом пишут $lnb$, вместо $log_{e}b$
Свойства логарифмов.
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a>0, a≠1, b>0, c>0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
$log{_а}b^m=mlog_{a}b;$
$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$
$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$
Пример:
$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$
$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$
$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
$log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c$
Пример:
Вычислить $log_{12}2+log_{12}72$
Применим второе свойство наоборот: сумма логарифмов по одинаковому основанию равна логарифму произведения подлогарифмических выражений
$log_{12}2+log_{12}72=log_{12}2·72=log_{12}144=2$
Ответ: $2$
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
Пример:
Вычислить $log_{5}75-log_{5}3$
Решение:
Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного подлогарифмических выражений
$log_{5}75-log_{5}3=log_{5}{75}/{3}=log_{5}25=2$
Ответ: $2$
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a$, $b$, $c$, $d>0$, $a≠1$, $b≠1.$
5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}c}$, где $а, b, c>0, a≠1$
6. Формула перехода к новому основанию
$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$
Пример:
Найдите значение выражения: ${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}$
Решение:
В выражении видим, что был произведен переход к новому основанию $2$. Нам необходимо вернуться к старому основанию $13$.
${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}=log_{13}∜{13}$
Далее вычислим получившийся логарифм, для этого подлогарифмическое выражение необходимо представить в виде степени. Любой корень можно выразить в виде степени с дробным показателем, в знаменателе показателя будет находиться показатель корня
$∜{13}=13^{{1}/{4}}$
$log_{13}∜{13}=log_{13}13^{{1}/{4}}={1}/{4}=0.25$
Ответ: $0.25$
Ученики, сдающие базовую математику, почти не тратят времени на подготовку к ней, ведь в экзамене нужно решить лишь задания, которые требуют самых основ. Тем же выпускникам, которые хотят поступать в технические вузы, предстоит готовиться не только к предметам по выбору, но и к профилю. В этой статье мы расскажем, какие формулы для ЕГЭ по математике (профильный уровень) сделают подготовку легче, а баллы на экзамене — выше.
Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?
Помимо очевидного, что для сдачи профиля нужно уметь складывать, вычитать и умножать, необходимы еще некоторые знания. Все это проходится в течение школы, но повторить или заполнить пробелы перед экзаменом нужно обязательно. Вот, что пригодится:
- Формулы сокращенного умножения;
- Арифметическая и геометрическая прогрессии;
- Вероятность;
- Свойства степеней;
- Свойства логарифмов;
- Тригонометрия;
- Производные;
- Первообразные.
Список внушительный, но вполне реальный, чтобы его выучить. Для того, чтобы лишний раз не гуглить в интернете «формулы для ЕГЭ по математике профильный уровень», приложим их ниже. А начнем по порядку из списка выше.
Формулы сокращённого умножения
Первые в нашем списке – формулы сокращенного умножения – нужны для решения задания №9 из профильного уровня. Вам встретятся задачи на преобразование выражений, поэтому умение это делать будет вознаграждено баллами.
Вот то, что будет вашим спасательным кругом:
Есть те, которые знать не обязательно. Но чем большими знаниями вы будете обладать, тем легче вам будет на экзамене. Вот они:
Умея применять эти формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень вам уже будет решить легче. Но это далеко не все, что нужно знать, чтобы получить сто баллов за ЕГЭ.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Для задания №19 нужно знание арифметической и геометрической прогрессии. Прикладываем формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень которой невозможен без их знания:
Вероятность
Вероятность встречается в задании №4, а ведь в самом начале обычно ставят легкие задания. Тем не менее, придется применять знания, которые представлены ниже:
Перейдем к свойствам степеней, ведь в них тоже есть, что запомнить.
Свойства степеней
Эти свойства нужно знать и для того, чтобы решить «базу», так что гуманитарии тоже могут обратить внимание на это:
Как вы видите, запоминать не очень много, зато формулы не самые простые. Но есть еще сложнее, и сейчас узнаем, какие они.
Свойства логарифмов
Формулы логарифмов лучше всего начать с их определения:
Теперь перейдем к более сложному:
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения встречаются в задании №13. Для того, чтобы заработать баллы, нужно знать это:
Но это еще не все. Есть такая вещь, как основное тригонометрическое тождество. Вот оно:
Формулы двойного угла:
Формулы суммы и разности аргументов:
Преобразование суммы и разности в произведение:
Формулы половинного аргумента:
На этом с тригонометрией все.
Производные
Начнем с основных правил дифференцирования:
Уравнение касательной:
Производные элементарных функций:
Закончим эту статью первообразными.
Первообразные
Она выглядит так:
Таблица первообразных:
Итог
То, что работа предстоит колоссальная — и правда, и нет. Да, придется хорошо постараться, чтобы набрать высокие баллы, так как составители ЕГЭ все больше усложняют экзамен. С другой стороны, хотя бы часть формул, описанных выше, вы уже знаете. А значит, работы хоть на немного, но меньше. А это ли не счастье в такие тяжелые времена подготовки?
Факт 1.
(bullet) Логарифм по основанию (a) от (b) – это число (t), которое показывает, в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b).
Ограничения: числа (a) и (b) такие, что (a>0, ane 1, b>0).
[Large{{color{blue}{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad
a^t=b }}}]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то (tin
mathbb{R}).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество [{Large{a^{log_ab}=b}}]
(bullet) Справедливы следующие формулы: [{large{begin{array}{|ll|l|}
hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}}
&& qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\
&&\
hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m —
{small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\
&&\
textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n —
{small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\
&&\
textbf{(8)}
log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \
&&\
textbf{(9)}
a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\
&&\
textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
&&\
{small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \
textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\
textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\ hline
end{array}}}]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
Факт 1.
\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
\[\Large{{\color{blue}{\log_a{b}=t\quad\Leftrightarrow\quad
a^t=b }}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in
\mathbb{R}\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[{\Large{a^{\log_ab}=b}}\]
\(\bullet\) Справедливы следующие формулы: \[{\large{\begin{array}{|ll|l|}
\hline \qquad \qquad \qquad \qquad {\small{\text{Формулы}}}
&& \qquad \qquad{\small{\text{Ограничения}}}\\
&&\\
\hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&a>0, a\ne 1\\
&&\\
\textbf{(2)} \log_aa=1 &&a>0, a\ne 1\\
&&\\
\textbf{(3)} \log_{a}{b^m}=m\log_a|b|&(m —
{\small{\text{четн.}}})&a>0, a\ne 1, b\ne 0\\
&&\\
\textbf{(4)}\log_{a}{b^m}=m\log_ab& (m —
{\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(5)} \log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_{|a|}b&(n —
{\small{\text{четн.}}})&a\ne 0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(6)}\log_{a^n}b=\frac1n\log_ab&(n —
{\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(7)} \log_a{bc}=\log_a|b|+\log_a|c|&&a>0, a\ne 1, bc\ne 0\\
&&\\
\textbf{(8)}
\log_a{\dfrac bc}=\log_a|b|-\log_a|c|&&a>0, a\ne 1,bc\ne 0 \\
&&\\
\textbf{(9)}
a^{\log_ab}=b &&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(10)}c^{\log_ab}=b^{\log_ac}&&a>0, a\ne 1, b>0, c>0\\
&&\\
\textbf{(11)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac && a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\
&&\\
\textbf{(11′}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}&&a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\
&&\\
&&\\
{\small{\text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \\
\textbf{(12)} \log_ab\cdot \log_ba=1 && a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\
&&\\
\textbf{(12′}) \log_ab=\dfrac1{\log_ba}&&a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\
&&\\ \hline
\end{array}}}\]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[\Large{{\color{royalblue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad
\log_a{b}=t}}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in
\mathbb{R}\).
\(\blacktriangleright\) Если \(a,b,c\) – числа, удовлетворяющие ограничениям: \(a,b,c>0,\ a\ne 1\), то справедливы следующие формулы:
\[\begin{array}{|ccc|}
\hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&\textbf{(2)} \log_aa=1\\
&&\\
\textbf{(3)} \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab&&\textbf{(4)}
a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\
&&\\
\textbf{(5)} \log_a{bc}=\log_ab+\log_ac&&\textbf{(6)}
\log_a{\dfrac bc}=\log_ab-\log_ac\\
&&\\
\textbf{(7)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \text{или}
&\textbf{(7′}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\
&&\\
\hline
\end{array}\]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
Некоторые частные случаи, которыми удобно пользоваться:
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (3) и (4): \[m=\log_a{a^m} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ b=a^{\log_ab}\]
С помощью первой формулы нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\);
а с помощью второй – как заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\).
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (7) и (7’): \[\log_ab\cdot \log_ba=1 \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \
\ \
\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\]
Пример:
\(\log_3{25}+\dfrac2{\log_{\frac15}3}={\small{\text{(применили}}} \
{\small{\text{ формулу}}} \
(2))=\log_3{25}+2\log_3{\dfrac15}=\log_3{25}+\log_3{\dfrac1{25}}=\log_3{\left(25\cdot\dfrac1{25}\right)}=0\)
1) – степень, в которую нужно возвести , чтобы получить . Следовательно, .
2) – степень, в которую нужно возвести , чтобы получить . Следовательно, .
Некоторые важные формулы:
Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную в основании и/или аргументе логарифма.
Простейшее логарифмическое уравнение:
Факт 2.
Объясним, зачем нужны модули в формулах (2) и (4).
Что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства
Что такое логарифм
Свойства логарифма
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).
Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.
Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.
А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.
Тогда, если дело касается логарифма:
можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?
На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):
Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.
У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).
Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?
Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).
А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).
Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета… Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.
Всегда, когда существует логарифм, должно быть:
«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.
А теперь разберем теорию на практике:
В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).
Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.
Ответ: 4.
lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.
А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :
Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:
Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?
Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.
Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:
В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!
Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.
Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.
Основное логарифмическое тождество:
В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.
Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.
Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:
А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:
Дальше с этим ничего сделать не сможем.
Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.
Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:
А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:
Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:
А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:
Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:
Пример:
А в основании тоже можно? Нужно!
Минус два — это степень у основания:
А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:
А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов
С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.
Формула перехода к новому основанию:
Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.
Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.
Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.
Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:
Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.
Простенький примерчик:
Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:
Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.
Начинаем с внутреннего:
И постепенно раскрываем каждый последующий:
После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.
Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.
Первый появляется из определения логарифма:
Только не забываем про ОДЗ:
Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:
Не забываем про ОДЗ, тогда получится:
Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!
Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:
Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:
Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:
Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:
Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:
Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:
Вывод:
- Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень.
- Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу.
- Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
- Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
- В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.
