Решение параметров с нуля
Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.
Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять.
Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).
- Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
- Еще раз внимательно прочитать задание. Понять, что от вас требуется.
- Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
- Часто решить задачу с параметром можно и удобно при помощи графиков. Иногда удобно выполнять построения на обычной координатной плоскости (Х, У), а иногда удобно построить графики в плоскости (Х, а), где а – параметр. Данный способ решения возможен, если вы видите знакомые функции (параболы, прямые, гиперболы, окружности и т.д.). Разумеется, бывает несколько способов решения поставленной задачи, но графический, как правило, наименее громоздок и прост для понимания. Ведь графики показывают поведение функций, и весь необходимый анализ появится у вас перед глазами.
- Важно помнить, что методы решения уравнения или неравенства зависят от степени многочлена. Для этого необходимо рассматривать те значения параметра, при которых (если это возможно) обращается в нуль коэффициент при старшей степени. Пример: (a*x^2-3*x 1=0), при (a=0) выражение принимает вид (-3*x 1=0), т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.
Решу егэ
Преобразуем уравнение
Построим эскиз графика функции 
Для этого построим гиперболу 
и отразим часть графика лежащую ниже оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Заметим, что
Значит, асимптотами гиперболы являются прямые 
и 
Графиком функции 
является прямой угол с направленными вниз сторонами и вершиной в точке 
При отрицательных значениях параметра a уравнение не имеет корней (см. левый рисунок). При увеличении значения параметра a, количество корней уравнения будет меняться от нуля до четырёх: сначала один корень, потом два, три и, наконец, четыре. При этом три решения будет только в одном случае, когда луч, задаваемый уравнением 
касается правой ветви гиперболы (см. правый рисунок).
Случай касания прямой и гиперболы соответствует нулевому дискриминанту, получившегося квадратного уравнения:
Значение 
не подходит, та как это случай касания прямой 
и левой ветви гиперболы 
а значение 
подходит. Получаем, что при уравнение имеет три корня.
Ответ:
Укажем идею решения Льва Бреслава.
Заметим, что график функции 
симметричен относительно прямой y = x. Тогда если x0 является корнем уравнения, то 
также является корнем уравнения, поскольку
Следовательно, для того, чтобы количество корней уравнения было нечетным, должно выполняться условие 
откуда 
(тогда a = 2) или 
(тогда 
). Необходимо проверить найденные значения параметра.
Решив уравнение
получим, что оно имеет ровно 3 решения: 
Решив уравнение 
получим, что оно имеет одно решение: 
Следовательно, подходит значение a = 2.
Приведем другое решение.
Построим график левой части уравнения. Для этого исследуем функцию 
на промежутках ![( минус принадлежит fty ; минус 1],[ минус 1;0], левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/f6/f6ec42a0dcd41bd7295925ee732fa3e8.svg)
1. Пусть 
Тогда:
Числитель этой дроби отрицателен при любом значении х, поскольку 
Знаменатель на ![( минус принадлежит fty; минус 1]](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/11/112cd2a1587efa05aac9188febe4ce84.svg)
положителен. Следовательно, 
для любого ![x принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 1].](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/7d/7d9e170297acbc116b2062947a306f8f.svg)
А это значит, что критических точек функция на рассматриваемом промежутке не имеет, функция там строго убывающая.
2. Пусть 
Тогда:
Следовательно, при 
при 
А это значит, что при 
функция y убывает, при 
она возрастает. Точка 
есть точка минимума.
Итак, 
— минимум функции.
3. Пусть 
Тогда:
Числитель этой дроби положителен при любом значении х, поскольку Знаменатель также положителен на 
Значит, 
на А это значит, что критических точек функция на рассматриваемом промежутке не имеет, функция там строго возрастающая.
4. Пусть 
Тогда:
Следовательно, что при 
при 
А это значит, что при 
функция убывает, при 
она возрастает. Точка 
есть вторая точка минимума.
Таким образом, 2 — второй минимум функции.
Множество значений функции 
нетрудно заметить, есть 
Функция 
постоянная.
Суждения о количестве корней заданного уравнения в зависимости от значений параметра а можно получить исходя из графического представления двух рассмотренных функций (см. ниже).
Ясно, что заданное уравнение:
при 
корней не имеет;
при имеет единственный корень;
при 
имеет ровно два корня;
при имеет ровно три корня;
при 
имеет ровно четыре корня.
Ответ: 2.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 67.
§
Заданное уравнение приведем к виду 
Рассмотрим функцию 
Найдем область ее определения.
Разложим на множители многочлен 
Попытаемся найти хотя бы один его целый корень, если он имеется. Целыми корнями 
могут быть только числа: 
Заметим, что числа 
таковыми не являются. При 
Значит, число 7 является корнем многочлена 
Делением «уголком» на 
получим 
Вычислим корни квадратного трехчлена
Заметим, что:
поскольку 
(неравенство верно).
так как 
(неравенство очевидное).
Итак, 
Найдем нули функции 
Для этого решим систему:
Поскольку 
это показано выше; 
то и разность
(
Делением «уголком» получим, что 
Далее:
Таким образом, число 
делит область определения функции на два промежутка знакопостоянства функции 
и 
Найдем эти знаки.
Заметим , что 
Действительно, 
Итак, на 
Очевидно, что 
На 
Если 
то уравнение будет иметь два корня: 
и 
То есть решение не единственное. Значит, значения и 
— не подходят.
Если 
то уравнение 
вообще не будет иметь корней, так как правая часть преобразованного уравнения обязана быть неотрицательной.
Следовательно, искомые значения параметра a будем искать только при выполнении условия 
т. е. при 
Теперь наша задача заключается в нахождении области значений функции 
на ![[0; корень из (17) минус 4].](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/66/665760cdcf71994eb514efa05207143b.svg)
Имеем: 
Значит, ![E(f)=[0; корень из (7) ].](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/52/52293e57748f8a9e387876cef0fb551d.svg)
Однако, в силу того, что требуется найти значения параметра a, при которых заданное уравнение имеет единственный корень, то функция на отрезке ![[0; корень из (17) минус 4]](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/38/3812da4ced8b451d7ce78a5fca97bedd.svg)
каждое свое значение должна принимать лишь один раз, т. е. функция на рассматриваемом отрезке обязана быть либо монотонно возрастающей, либо монотонно убывающей. Докажем, что она является монотонно убывающей.
Рассмотрим функцию 
на отрезке [0;1]
Найдем ее производную. 
Знаменатель на рассматриваемом интервале в нуль не обращается (это было показано выше). Следовательно, критические точки, если они есть, могут быть только в тех точках, в которых обращается в нуль числитель производной функции. Найдем эти значения.
Докажем, что эти корни не принадлежат промежутку (0;1).
Действительно, 
Итак, на рассматриваемом отрезке функция критических точек не имеет.
следовательно, функция 
на промежутке [0 ;1] монотонно возрастает.
Рассмотрим функцию 
на том же отрезке [0;1].
Эта функция имеет единственную критическую точку 
По характеру изменения значений функции её также отнесем к числу монотонно возрастающих, поскольку 
Заметим главное: скорость возрастания функции 
очевидно, будет больше, нежели скорость возрастания функции 
поскольку значения функции и 
уже в точке станут равными. И отсюда следует, что функция
монотонно убывает на [0;1]. Говоря по-другому, функция 
будучи разностью двух функций: (уменьшаемая) и (вычитаемая). Обе функции монотонно возрастающие. При этом при бесконечно малом приращении значения аргумента на [0;1], начиная от точки 0, уменьшаемая функция получит меньшее приращение, чем вычитаемая функция при таком же приращении аргумента. В силу этого разность 
на отрезке на [0;1] будет убывать от точки к точке (в противном случае равенство значений названных функций не будет достигнуто при 
Коли монотонно убывает на [0;1], то она будет монотонно убывать и на 
На заключительном этапе исследования задачи найдем решение неравенства 
относительно а.
Ответ:
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.
§
Преобразуем уравнение
Построим эскиз графика функции Для этого построим гиперболу и отразим часть графика лежащую ниже оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Заметим, что
Значит, асимптотами гиперболы являются прямые и
Графиком функции является прямой угол с направленными вниз сторонами и вершиной в точке
При отрицательных значениях параметра a уравнение не имеет корней (см. левый рисунок). При увеличении значения параметра a, количество корней уравнения будет меняться от нуля до четырёх: сначала один корень, потом два, три и, наконец, четыре. При этом три решения будет только в одном случае, когда луч, задаваемый уравнением касается правой ветви гиперболы (см. правый рисунок).
Случай касания прямой и гиперболы соответствует нулевому дискриминанту, получившегося квадратного уравнения:
Значение не подходит, та как это случай касания прямой и левой ветви гиперболы а значение подходит. Получаем, что при уравнение имеет три корня.
Ответ:
Укажем идею решения Льва Бреслава.
Заметим, что график функции симметричен относительно прямой y = x. Тогда если x0 является корнем уравнения, то также является корнем уравнения, поскольку
Следовательно, для того, чтобы количество корней уравнения было нечетным, должно выполняться условие откуда (тогда a = 2) или (тогда ). Необходимо проверить найденные значения параметра.
Решив уравнение получим, что оно имеет ровно 3 решения: Решив уравнение получим, что оно имеет одно решение: Следовательно, подходит значение a = 2.
Приведем другое решение.
Построим график левой части уравнения. Для этого исследуем функцию на промежутках
1. Пусть Тогда:
Числитель этой дроби отрицателен при любом значении х, поскольку Знаменатель на положителен. Следовательно, для любого А это значит, что критических точек функция на рассматриваемом промежутке не имеет, функция там строго убывающая.
2. Пусть Тогда:
Следовательно, при при А это значит, что при функция y убывает, при она возрастает. Точка есть точка минимума.
Итак, — минимум функции.
3. Пусть Тогда:
Числитель этой дроби положителен при любом значении х, поскольку Знаменатель также положителен на Значит, на А это значит, что критических точек функция на рассматриваемом промежутке не имеет, функция там строго возрастающая.
4. Пусть Тогда:
Следовательно, что при при А это значит, что при функция убывает, при она возрастает. Точка есть вторая точка минимума.
Таким образом, 2 — второй минимум функции.
Множество значений функции нетрудно заметить, есть
Функция постоянная.
Суждения о количестве корней заданного уравнения в зависимости от значений параметра а можно получить исходя из графического представления двух рассмотренных функций (см. ниже).
Ясно, что заданное уравнение:
при корней не имеет;
при имеет единственный корень;
при имеет ровно два корня;
при имеет ровно три корня;
при имеет ровно четыре корня.
Ответ: 2.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 67.
