. Комбинации тел | Подготовка к ЕГЭ по математике
Задача 4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен Объем параллелепипеда равен Объем параллелепипеда равен Найдите высоту цилиндра.
Решение: показать
Задача 5. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны Найдите объем параллелепипеда.
Решение: показать
Задача 6. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение: показать
Высота призмы равна высоте цилиндра.
В основании правильной призмы – квадрат.
Диаметр основания цилиндра – это сторона основания призмы (сторона квадрата).
Площадь боковой поверхности призмы есть сумма площадей 4-х равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это призмы есть сумма площадей 4-х равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это и
Поэтому
Ответ:
Задача 7. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной . Боковые ребра равны . Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Решение: показать
Диагональ квадрата – диаметр () основания цилиндра:
Тогда
Ответ:
Задача 8. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна Найдите площадь поверхности шара.
Решение: показать
Так как площадь поверхности цилиндра с радиусом основания и высотой и высотой есть
, то
Но при этом высота цилиндра – это диаметр шара, то есть – это диаметр шара, то есть
Поэтому
Откуда
Площадь же поверхности шара вычисляется по формуле
Поэтому
Ответ:
Задача 9. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен Найдите объем шара.
Решение: показать
Объем цилиндра с радиусом основания и высотой и высотой есть
По условию , поэтому
При этом , стало быть
Объем же шара вычисляется по формуле
Значит
Ответ:
Задача 10. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен Найдите объем конуса.
Решение: показать
Объем шара есть
По условию объем шара равен поэтому
откуда
Объем же конуса с радиусом основания и высотой и высотой есть
Ответ:
Задача 11. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен Найдите объем шара.
Решение: показать
Согласно условию
Тогда
Ответ:
Задача 12. Середина ребра куба со стороной является центром шара радиуса является центром шара радиуса Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите
Решение: показать
Ответ:
Задача 13. Вершина куба куба со стороной является центром сферы, проходящей через точку является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .
Решение: показать
Куб плоскостями граней () отсекает от сферы ) отсекает от сферы часть. Значит и площадь поверхности части сферы, содержащейся внутри куба, будет от площади поверхности сферы. А поскольку радиус сферы – есть ребро куба, то
Наконец,
Ответ:
Задача 14. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен
Решение: показать
Задача 15. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение: показать
Задача 16. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания и высотой и высотой Найдите его объем, деленный на .
Решение: показать
Задача 17. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Решение: показать
Задача 18. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен Найдите объем конуса.
Решение: показать
Задача 19. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен Найдите образующую конуса.
Решение: показать
Задача 20. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и и Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Решение: показать
Задача 21. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен а высота равна а высота равна
Решение: показать
Задача 22. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен а высота равна а высота равна
Решение: показать
Задача 23. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен
Решение: показать
Задача 24. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна , а высота равна
Решение: показать
Высота призмы равна высоте цилиндра.
В основании правильной пирамиды – равносторонний треугольник.
Радиус вписанного в него круга (основания цилиндра) ищем из прямоугольного треугольника с углом °(помечен на рисунке красным цветом, – в нем катет, прилежащий к углу °(помечен на рисунке красным цветом, – в нем катет, прилежащий к углу °, есть половина стороны треугольника):
,
где – cсторона треугольника.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы – есть сумма площадей трех равных прямоугольников с измерениями и и (высота призмы).
Ответ:
Задача 25. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна , а высота равна
Решение: показать
Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы составлена из шести равных друг другу прямоугольников с измерениями (сторона основания) и (сторона основания) и (высота призмы).
Выразим через заданный через заданный :
Правильный шестиугольник составлен из шести равных правильных треугольников (см. рис.).
Высота (радиус вписанной окружности) является и биссектрисой, и медианой.
Из треугольника :
Подставляя известное значение , имеем:
Тогда
Ответ:
Задача 26. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на
Решение: показать
Диаметр шара () есть диагональ куба (на рис. – ) есть диагональ куба (на рис. – , например).
Если ребро куба равно , то диагональ есть
(дважды применили т. Пифагора, к каждому из треугольников, выделенных цветом на рис.).
Итак, диагональ куба (диаметр шара) равна . Поэтому радиус шара равен . Поэтому радиус шара равен
Итак, объем шара таков:
Наконец,
Ответ:
Задача 27. Куб вписан в шар радиуса Найдите объем куба.
Решение: показать
Диаметр шара () – есть диагональ куба (например, ) – есть диагональ куба (например, ).
Пусть – ребро куба. Тогда
C учетом условия имеем:
Итак,
Ответ:
Вы можете пройти тест “Комбинация тел”
Автор: |
Нет комментариев
Печать страницы
Теорема пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2 ВС^2=АВ^2$
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
$cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
$tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |