Задачи В10. Пирамида | Подготовка к ЕГЭ по математике

ЕГЭ

Задачи в10. пирамида | подготовка к егэ по математике


Задача 4.  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  точка O  точка O  —  центр основания, S — вершина, SO=48, SD=60. — вершина, SO=48, SD=60.  Найдите длину отрезка AC.

Решение:  показать

Пирамида SABCDправильная, поэтому в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр  (точку пересечения диагоналей) квадрата.

Из прямоугольного треугольника SDO:

DO^2=SD^2-SO^2=60^2-48^2=36^2;

DO=36.

Тогда BD=AC=72.

Ответ: 72.


Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 5 и 6. и 6. Ее объем равен 40. Найдите высоту этой пирамиды.

Решение:  показать

40=frac{S_{ABCD}cdot SO}{3};

40=frac{5cdot 6cdot SO}{3};

SO=4.

Ответ: 4.


Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD  с основанием ABCD  с основанием ABCD боковое ребро SA равно 39, равно 39, сторона основания равна 15sqrt2. Найдите объём пирамиды.

Решение:  показать

V=frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SO,

где 

S_{ABCD}=(15sqrt2)^2=225cdot 2=450,

а

SO=sqrt{SA^2-AO^2}=sqrt{SA^2-frac{AC^2}{4}}=sqrt{SA^2-frac{AB^2 BC^2}{4}}=

=sqrt{39^2-frac{2cdot (15sqrt2)^2}{4}}=sqrt{39^2-15^2}=36.

Итак, 

V=frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SO=frac{450cdot 36}{3}=5400.

Ответ: 5400.


Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 7. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение:  показать

Указанное сечение пирамиды – квадрат, подобный квадрату основания.

Как известно, площади подобных фигур находятся в отношении k^2, где k где k –  коэффициент подобия.

В нашем случае k=2.

Итак,

S_{sech}=frac{S_{osnov}}{4}=frac{7^2}{4}=12,25.

Ответ: 12,25.


Задача 8.  Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 9. У второй пирамиды высота в 1,5 У второй пирамиды высота в 1,5 раза больше, а сторона основания в 2 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение:  показать

Пусть a, H – сторона основания и высота первой правильной пирамиды. Тогда у второй пирамиды сторона основания – 2a, – сторона основания и высота первой правильной пирамиды. Тогда у второй пирамиды сторона основания – 2a, высота – 1,5H.

Для первой пирамиды имеем:

9=frac{a^2cdot H}{3}.

Для второй пирамиды имеем:

V=frac{(2a)^2cdot 1,5H}{3}=frac{6cdot a^2cdot H}{3}=6cdot 9=54.

Ответ: 54.


Задача 9.  В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен sqrt{14}. а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен sqrt{14}. Найти сторону основания пирамиды.

Решение:  показать

Пусть H – середина AB. – середина AB. Тогда в равнобедренном треугольнике ABS  медиана SH  медиана SH является и высотой. По теореме о трех перпендикулярах и OHperp AB. Тогда angle SHO Тогда angle SHO – угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Так как tg SHO=sqrt{14}, то пусть SO=sqrt{14}x,OH=x. то пусть SO=sqrt{14}x,OH=x. Заметим, AH=BH=OH=x также.

Из треугольника SOH  по теореме Пифагора:

SH=sqrt{(sqrt{14}x)^2 x^2}=sqrt{15}x.

Из треугольника  SHB  по теореме Пифагора:

SB=sqrt{(sqrt{15}x)^2 x^2}=4x.

Но при этом по условию SB=22, тогда

22=4x;

x=frac{11}{2}.

Итак, сторона основания пирамиды – есть 2x=11.

Ответ: 11.


Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды.

18f3561bdbae5ca26a77784787b7d0bc

Решение:  показать

Объем пирамиды вычисляется по формуле

V=frac{S_{osnov}cdot H}{3}.

При этом

S_{osnov}=4cdot 6=24.

Тогда

48=frac{24cdot H}{3};

H=6.

Ответ: 6.


Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра равны 75. боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

8913063b078b7196c5a3071ca02c523b

Решение:  показать

Площадь поверхности пирамиды: S=S_{osnov} S_{bok}.

Поскольку пирамида правильная, то в основании лежит квадрат  (и вершина проецируется  в центр основания), а значит S_{osnov}=42^2.

Площадь же боковой поверхности S_{bok} есть 4 площади боковой грани (например, CDS есть 4 площади боковой грани (например, CDS).

gf

S_{CDS}=frac{SHcdot DC}{2}, где SH где SH – высота (и медиана за счет равнобедренности треугольника) к основанию DC .

По т. Пифагора:

SH=sqrt{SD^2-DH^2}=sqrt{75^2-21^2}=sqrt{(75-21)(75 21)}=

=sqrt{54cdot 96}=sqrt{6cdot 9cdot 6cdot 16}=6cdot 3cdot 4 =72.

Тогда

S_{DCS}=frac{72cdot 42}{2}=1512.

Наконец,

S=S_{osnov} S_{bok}=42^2 4cdot 1512 =7812.

Ответ: 7812.


Задача 12. В правильной треугольной пирамиде SABC  медианы основания ABC  медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC. Площадь треугольника ABC  равна 9, объем пирамиды равен 6. объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

u

Решение:  показать

Объем пирамидыV вычисляется по формуле

V=frac{1}{3}cdot S_{ABC}cdot H.

SO – и есть высота  пирамиды H – и есть высота  пирамиды Hправильной пирамиды в основании лежит правильный треугольник и вершина проецируется в центр основания, а центр основания в правильном треугольнике и есть точка пересечения медиан).

Тогда

6=frac{1}{3}cdot 9cdot SO;

SO=2.

Ответ: 2.


Задача 13.  В правильной треугольной пирамиде SABC точка L точка L — середина ребра AC,SS — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5 а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

ts

Решение:  показать

Пирамида SABC – правильная, поэтому боковые грани – равные между собой  треугольники.

Поэтому S_{bok}=3S_{ASC};

8y

Площадь треугольникаASC будем искать по формуле S=frac{1}{2}ah_a. будем искать по формуле S=frac{1}{2}ah_a.

Заметим при этом, так как пирамида правильная, значит, в частности, в основании – правильный треугольник. Тогда медиана BL является и высотой.

А значит, по теореме о трех перпендикулярах, SLperp AC.

Итак,

S_{bok}=3cdot(frac{1}{2}cdot ACcdot SL)=frac{3cdot 6cdot 5}{2}=45.

Ответ: 45.


Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 11, а высота равна 4sqrt3. а высота равна 4sqrt3. 

u

Решение:  показать

V=frac{S_{ABC}cdot SO}{3}=frac{4sqrt3 cdot S_{ABC}}{3}.

S_{ABC}=frac{ABcdot CH}{2}=frac{11cdot sqrt{11^2-(frac{11}{2})^2}}{2}=frac{121sqrt3}{4}. 

Итак, 

V=frac{4sqrt3cdot S_{ABC}}{3}=frac{4sqrt3cdot frac{11sqrt3}{4}}{3}=121.

Ответ: 121.


Задача 15.  Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен 6sqrt3. а объем равен 6sqrt3.

u

Решение:  показать

6sqrt3=frac{S_{ABC}cdot SO}{3};

SO=frac{18sqrt3}{S_{ABC}}.

S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ABcdot ACcdot SinA=frac{1}{2}cdot AB^2cdot sin60^{circ}=frac{1}{2}cdot 25cdot frac{sqrt3}{2}=frac{25sqrt3}{4}.

Итак, SO=frac{18sqrt3}{S_{ABC}}=frac{18sqrt3}{frac{25sqrt3}{4}}=frac{72}{25}=2,88.

Ответ: 2,88.


Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

н

Решение:  показать

S_{bok}=6S_{ABS}

(все боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники (равнобедренные))

S_{ABS}=frac{ABcdot sqrt{AS^2-(frac{AB}{2})^2}}{2}=frac{12}{2}=6.

Наконец, S_{bok}=6cdot 6=36.

Ответ: 36.


Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды 324. Сторона основания равна 6. Сторона основания равна 6. Найдите боковое ребро.

н

Решение:  показать

V=frac{1}{3}cdot S_{ABCDEF}cdot H;

Основание пирамиды – правильный шестиугольник. Его площадь – сумма площадей шести равных друг другу правильных треугольников со стороной 6.

fgПлощадь правильного треугольника со стороной 6Площадь правильного треугольника со стороной есть 9sqrt3.

Значит, площадь основания есть 54 sqrt3.

Тогда

324=frac{1}{3}cdot 54sqrt3cdot H;

H=frac{18}{sqrt3}=6sqrt3;

Из прямоугольного треугольника, например, SBO по т. Пифагора:

SB=sqrt{SO^2 BO^2}=sqrt{6^2 (6sqrt3)^2}=12.

Ответ: 12.


Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

1694cdf5de68632ee14aa0c5c5fefad1

Решение:  показать

Так как объем пирамиды вычисляется по формуле V=frac{S_{osnov}cdot H}{3}, то при увеличении высоты в 2 раза (только высоты) мы получим вдвое больший объем пирамиды.

Ответ: 2.


Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 5 раз?

d5e28b2cf1aaba18d4a7a6a87f80215a

Решение:  показать

При увеличении каждого ребра тетраэдра в пять раз, мы получим тетраэдр, подобный исходному (k=5).

Площади поверхностей подобных тел относятся находятся в отношении k^2, где k где k – коэффициент подобия. 

Итак, площадь поверхности увеличится в 25 раз. 

Ответ: 125.


Задача 20.  Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

п

Решение:  показать

При увеличении каждого ребра тетраэдра в пять раз, мы получим тетраэдр, подобный исходному (k=5).

Объёмы подобных тел относятся находятся в отношении k^3, где k где k – коэффициент подобия. 

Итак, объем увеличится в 125 раз. 

Ответ: 125.


Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12.°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.

8fb4942644d6aea0ba85825e7c81c610

Решение:  показать

сТреугольники ASH,;DSH,;GSHТреугольники – равные прямоугольные треугольники (общий катет SH и angle A=angle G=angle D=60^{circ} и angle A=angle G=angle D=60^{circ}).

Заметим, треугольник ASDравносторонний, с известной высотой. Тогда его сторона (ADравносторонний, с известной высотой. Тогда его сторона (AD) равна frac{2h}{sqrt3}, то есть frac{24}{sqrt3}., то есть frac{24}{sqrt3}.

Найдем HG из треугольника SGH: из треугольника SGH:

tgSGH=frac{SH}{HG}=frac{12}{HG};

tg60^{circ}=frac{12}{HG};

sqrt3=frac{12}{HG};

HG=frac{12}{sqrt3};

Тогда площадь основания ABCD есть

HGcdot AD=frac{24}{sqrt3}cdot frac{12}{sqrt3}=96.

Наконец, вычисляем объем пирамиды:

V=frac{S_{ABCD}cdot SH}{3}=frac{96cdot 12}{3}=384.

Ответ: 384.


Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.

a8a2781d4cd5ed8f62d05cbf4f061676

Решение:  показать

f

Можно пирамиду перевернуть так, как показано на рисунке. Тогда  в основании у нас  – равнобедренный, прямоугольный треугольник с катетами 12. Его площадь – frac{12cdot 12}{2}=72. Его площадь – frac{12cdot 12}{2}=72.

Высота пирамиды SC12.12.

Тогда

 V=frac{S_{osnov}cdot CS}{3}=frac{72cdot 12}{3}=288.

Ответ: 288.


Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

g

Решение:  показать

Объем призмы есть S_{osnov}cdot H, объем пирамиды есть frac{S_{osnov}cdot H}{3} объем пирамиды есть frac{S_{osnov}cdot H}{3} (основания  и высоты одинаковы).

То есть объем отсеченной пирамиды есть frac{1}{3} объема призмы, а именно  frac{129}{3}=43. объема призмы, а именно  frac{129}{3}=43.

Тогда объем оставшейся части равен 129-43=86.

Ответ: 86.


Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2 

efc4238b7e0c4ff80662906a06e27364

Решение:  показать

Пирамиды SABC и SABCDEF и SABCDEF имеют одинаковые высоты.

Площадь  шестиугольника S_{ABCDEF} со стороной a со стороной a есть

S_{ABCDEF}=6cdot frac{a^2sqrt3}{4}.

Площадь же треугольника ABC есть

S_{ABC}=frac{a^2cdot sinB}{2}=frac{a^2cdot sin120^{circ}}{2}=frac{a^2sqrt3}{4}.

Видим, что  S_{ABCDEF}=6S_{ABC}. 

Согласно условию:

V_{ABCS}=frac{1}{3}cdot S_{ABS}cdot H=8.

Тогда

V_{SABCDEF}=frac{1}{3}cdot S_{ABCDEF}cdot H=frac{1}{3}cdot 6S_{ABCS}cdot H=6V_{ABCS}=6cdot 8=48. 

Ответ: 48.


Задача 25.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

1694cdf5de68632ee14aa0c5c5fefad1

Решение:  показать

V=frac{1}{3}cdot S_{ABCDEF}cdot SO.

Основание ABCDEF состоит из шести правильных равных треугольников (ABO,BOC,...,FOA состоит из шести правильных равных треугольников (ABO,BOC,...,FOA). 

S_{ABCDEF}=6cdot S_{ABO}=6cdot frac{1}{2}cdot AB^2sin60^{circ}=3cdot 64cdot frac{sqrt3}{2}=96sqrt3.

Из треугольника SOC по теореме Пифагора:

SO=sqrt{SC^2-OC^2}=sqrt{16^2-8^2}=8sqrt3.

Наконец, 

V_{ABCDEFS}=frac{1}{3}cdot 96sqrt3cdot 8sqrt3=768.

Ответ: 768.


Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 11, а угол между боковой гранью и основанием равен 45^{circ}. а угол между боковой гранью и основанием равен 45^{circ}. Найдите объем пирамиды.

Решение:  показать

Пусть H – середина CD. – середина CD. Тогда в равнобедренном треугольнике CDS  медиана SH  медиана SH является и высотой. По теореме о трех перпендикулярах и OHperp CD. Тогда angle SHO Тогда angle SHO – угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Из треугольника OCH:

OH=sqrt{11^2-(frac{11}{2})^2}=frac{11sqrt3}{2}.

Прямоугольный треугольник OSH – равнобедренный, так как angle SHO=45^{circ} – равнобедренный, так как angle SHO=45^{circ} по условию. Тогда

SO=OH=frac{11sqrt3}{2}.

Далее,

S_{ABCDEF}=6cdot S_{CDO}=6cdot frac{OHcdot CD}{2}=3cdot 11cdot frac{11sqrt3}{2}=frac{363sqrt3}{2}.

Наконец, 

V=frac{1}{3}cdot frac{363sqrt3}{2}cdot frac{11sqrt3}{2}=998,25.

Ответ: 998,25.


Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SABD если объём треугольной пирамиды SABD равен 34.

Решение:  показать

Высоты у пирамид одинаковые.

34=frac{1}{3}cdot S_{ABD}cdot H.

Заметим,

S_{OBD}=S_{AOB}.

Тогда

S_{ABD}=2S_{AOB}=frac{1}{3}cdot S_{ABCDEF}.

V_{6}=frac{1}{3}cdot 3S_{ABD}cdot H=3cdot 34=102.

Ответ: 102.


Задача 28.  Объем параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 9. равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA_1. 

Решение:  показать

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=9=S_{ABCD}cdot H,

где H – высота параллелепипеда

V_{ABCA_1}=frac{1}{3}cdot S_{ABC}cdot H=frac{1}{3}cdot frac{S_{ABCD}}{2}cdot H=

=frac{1}{6}S_{ABCD}cdot H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot 9=4,5.

Ответ: 4,5.


Задача 29. Объем куба равен 123. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.


Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Решение:  показать

V=frac{1}{3}cdot S_{osnov}cdot H=frac{1}{3}cdot (6cdot 6-3cdot 3)cdot 3=27.

Ответ: 27.


Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 120. равен 120. Точка E — середина ребра SB — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

рб

Решение:  показать

V=frac{S_{osnov}cdot H}{3}.

Площадь основания пирамиды EABC вдвое меньше площади основания пирамиды SABCD вдвое меньше площади основания пирамиды SABCD.

Высота пирамиды EABC вдвое меньше высоты пирамиды SABCD вдвое меньше высоты пирамиды SABCD, так как E – середина BS – середина BS.

Стало быть, объем пирамиды EABC в 4 в 4 раза меньше объема пирамиды SABCD.

Итак, объем пирамиды EABC равен 30. равен 30.

Ответ: 30.


Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

ор

Решение:  показать

Коэффициент подобия треугольников CMN и CAB и CAB2.

Значит площадь треугольника CAB в 4 в 4 раза больше площади треугольника CMN.

Высоты пирамид SABC и SMNC и SMNC совпадают.

Поэтому объем отсеченной  треугольной пирамиды есть frac{34}{4}=8,5.

Ответ: 8,5.


Задача 33.  Ребра тетраэдра равны 16. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

ь

Решение:  показать

hfg

MN,;QP — средние линии равных треугольников ABD — средние линии равных треугольников ABD, ACB  с общим основанием AB  с общим основанием AB. Значит,  отрезки MN, QP, QP  — параллельны и равны, следовательно,  четырехугольник MNPQ — параллелограмм. Но и NP — параллелограмм. Но и NP, MQ — параллельны и равны, значит MNPQ — параллельны и равны, значит MNPQ   — ромб. Докажем, что MNPQ — еще и квадрат. Действительно, угол между MN — еще и квадрат. Действительно, угол между MN  и MQ  — угол между AB  — угол между AB  и CD, которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной (CS, которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной (CS) перпендикулярна некоторой прямой плоскости (AB), то и сама наклонная (CD), то и сама наклонная (CD) перпендикулярна этой прямой).

Итак, MNPQ  — квадрат со стороной 8  — квадрат со стороной 8. Его площадь равна 64.

Ответ: 64.


  Вы можете пройти тест

комментарий 21

Печать страницы

Оцените статью
ЕГЭ Live