Задачи В10. Пирамида | Подготовка к ЕГЭ по математике

Задачи в10. пирамида | подготовка к егэ по математике

Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка точка — центр основания, — вершина, — вершина, SO=48, SD=60. Найдите длину отрезка

Решение: показать

Пирамида – правильная, поэтому в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр (точку пересечения диагоналей) квадрата.

Из прямоугольного треугольника

Тогда

Ответ:

Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: показать

$40=frac{S_{ABCD}cdot SO}{3};$

$40=frac{5cdot 6cdot SO}{3};$

Ответ:

Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием с основанием ABCD боковое ребро равно равно 39, сторона основания равна Найдите объём пирамиды.

Решение: показать

$V=frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SO,$

где

$S_{ABCD}=(15sqrt2)^2=225cdot 2=450,$

$SO=sqrt{SA^2-AO^2}=sqrt{SA^2-frac{AC^2}{4}}=sqrt{SA^2-frac{AB^2 BC^2}{4}}=$

$=sqrt{39^2-frac{2cdot (15sqrt2)^2}{4}}=sqrt{39^2-15^2}=36.$

Итак,

$V=frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SO=frac{450cdot 36}{3}=5400.$

Ответ:

Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение: показать

Указанное сечение пирамиды – квадрат, подобный квадрату основания.

Как известно, площади подобных фигур находятся в отношении где где – коэффициент подобия.

В нашем случае

Итак,

$S_{sech}=frac{S_{osnov}}{4}=frac{7^2}{4}=12,25.$

Ответ:

Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен У второй пирамиды высота в У второй пирамиды высота в 1,5 раза больше, а сторона основания в раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение: показать

Пусть – сторона основания и высота первой правильной пирамиды. Тогда у второй пирамиды сторона основания – – сторона основания и высота первой правильной пирамиды. Тогда у второй пирамиды сторона основания – 2a, высота –

Для первой пирамиды имеем:

$9=frac{a^2cdot H}{3}.$

Для второй пирамиды имеем:

$V=frac{(2a)^2cdot 1,5H}{3}=frac{6cdot a^2cdot H}{3}=6cdot 9=54.$

Ответ:

Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен sqrt{14}. Найти сторону основания пирамиды.

Решение: показать

Пусть – середина – середина AB. Тогда в равнобедренном треугольнике медиана медиана является и высотой. По теореме о трех перпендикулярах и Тогда Тогда angle SHO – угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Так как то пусть то пусть SO=sqrt{14}x,OH=x. Заметим, также.

Из треугольника по теореме Пифагора:

$SH=sqrt{(sqrt{14}x)^2 x^2}=sqrt{15}x.$

Из треугольника по теореме Пифагора:

$SB=sqrt{(sqrt{15}x)^2 x^2}=4x.$

Но при этом по условию тогда

$x=frac{11}{2}.$

Итак, сторона основания пирамиды – есть

Ответ:

Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

18f3561bdbae5ca26a77784787b7d0bc

Решение: показать

Объем пирамиды вычисляется по формуле

$V=frac{S_{osnov}cdot H}{3}.$

При этом

$S_{osnov}=4cdot 6=24.$

Тогда

$48=frac{24cdot H}{3};$

Ответ:

Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

8913063b078b7196c5a3071ca02c523b

Решение: показать

Площадь поверхности пирамиды: $S=S_{osnov} S_{bok}$ .

Поскольку пирамида правильная, то в основании лежит квадрат (и вершина проецируется в центр основания), а значит $S_{osnov}=42^2.$

Площадь же боковой поверхности $S_{bok}$ есть 4 площади боковой грани (например, есть 4 площади боковой грани (например, CDS ).

$S_{CDS}=frac{SHcdot DC}{2},$ где где – высота (и медиана за счет равнобедренности треугольника) к основанию .

По т. Пифагора:

$SH=sqrt{SD^2-DH^2}=sqrt{75^2-21^2}=sqrt{(75-21)(75 21)}=$

Тогда

$S_{DCS}=frac{72cdot 42}{2}=1512.$

Наконец,

$S=S_{osnov} S_{bok}=42^2 4cdot 1512 =7812.$

Ответ:

Задача 12. В правильной треугольной пирамиде медианы основания медианы основания ABC пересекаются в точке . Площадь треугольника . Площадь треугольника ABC равна объем пирамиды равен объем пирамиды равен Найдите длину отрезка .

Решение: показать

Объем пирамиды вычисляется по формуле

$V=frac{1}{3}cdot S_{ABC}cdot H.$

– и есть высота пирамиды – и есть высота пирамиды (у правильной пирамиды в основании лежит правильный треугольник и вершина проецируется в центр основания, а центр основания в правильном треугольнике и есть точка пересечения медиан).

Тогда

$6=frac{1}{3}cdot 9cdot SO;$

Ответ:

Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка точка — середина ребра — вершина. Известно, что а а SL = 5 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: показать

Пирамида – правильная, поэтому боковые грани – равные между собой треугольники.

Поэтому $S_{bok}=3S_{ASC};$

Площадь треугольника будем искать по формуле $S=frac{1}{2}ah_a.$ будем искать по формуле $S=frac{1}{2}ah_a.$

Заметим при этом, так как пирамида правильная, значит, в частности, в основании – правильный треугольник. Тогда медиана является и высотой.

А значит, по теореме о трех перпендикулярах, .

Итак,

$S_{bok}=3cdot(frac{1}{2}cdot ACcdot SL)=frac{3cdot 6cdot 5}{2}=45.$

Ответ:

Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а высота равна а высота равна 4sqrt3.

Решение: показать

$V=frac{S_{ABC}cdot SO}{3}=frac{4sqrt3 cdot S_{ABC}}{3}.$

$S_{ABC}=frac{ABcdot CH}{2}=frac{11cdot sqrt{11^2-(frac{11}{2})^2}}{2}=frac{121sqrt3}{4}.$

Итак,

$V=frac{4sqrt3cdot S_{ABC}}{3}=frac{4sqrt3cdot frac{11sqrt3}{4}}{3}=121.$

Ответ:

Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а объем равен а объем равен 6sqrt3.

Решение: показать

$6sqrt3=frac{S_{ABC}cdot SO}{3};$

$SO=frac{18sqrt3}{S_{ABC}}.$

$S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ABcdot ACcdot SinA=frac{1}{2}cdot AB^2cdot sin60^{circ}=frac{1}{2}cdot 25cdot frac{sqrt3}{2}=frac{25sqrt3}{4}.$

Итак, $SO=frac{18sqrt3}{S_{ABC}}=frac{18sqrt3}{frac{25sqrt3}{4}}=frac{72}{25}=2,88.$

Ответ:

Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны боковые ребра равны боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение: показать

$S_{bok}=6S_{ABS}$

(все боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники (равнобедренные))

$S_{ABS}=frac{ABcdot sqrt{AS^2-(frac{AB}{2})^2}}{2}=frac{12}{2}=6.$

Наконец, $S_{bok}=6cdot 6=36.$

Ответ:

Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды Сторона основания равна Сторона основания равна Найдите боковое ребро.

Решение: показать

$V=frac{1}{3}cdot S_{ABCDEF}cdot H;$

Основание пирамиды – правильный шестиугольник. Его площадь – сумма площадей шести равных друг другу правильных треугольников со стороной .

Площадь правильного треугольника со стороной Площадь правильного треугольника со стороной есть

Значит, площадь основания есть

Тогда

$324=frac{1}{3}cdot 54sqrt3cdot H;$

$H=frac{18}{sqrt3}=6sqrt3;$

Из прямоугольного треугольника, например, по т. Пифагора:

$SB=sqrt{SO^2 BO^2}=sqrt{6^2 (6sqrt3)^2}=12.$

Ответ:

Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

1694cdf5de68632ee14aa0c5c5fefad1

Решение: показать

Так как объем пирамиды вычисляется по формуле $V=frac{S_{osnov}cdot H}{3},$ то при увеличении высоты в 2 раза (только высоты) мы получим вдвое больший объем пирамиды.

Ответ:

Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?

d5e28b2cf1aaba18d4a7a6a87f80215a

Решение: показать

При увеличении каждого ребра тетраэдра в пять раз, мы получим тетраэдр, подобный исходному ().

Площади поверхностей подобных тел относятся находятся в отношении где где – коэффициент подобия.

Итак, площадь поверхности увеличится в раз.

Ответ:

Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Решение: показать

При увеличении каждого ребра тетраэдра в пять раз, мы получим тетраэдр, подобный исходному ().

Объёмы подобных тел относятся находятся в отношении где где – коэффициент подобия.

Итак, объем увеличится в раз.

Ответ:

Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом °. Высота пирамиды равна °. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.

8fb4942644d6aea0ba85825e7c81c610

Решение: показать

Треугольники Треугольники – равные прямоугольные треугольники (общий катет и $angle A=angle G=angle D=60^{circ}$ и $angle A=angle G=angle D=60^{circ}$ ).

Заметим, треугольник – равносторонний, с известной высотой. Тогда его сторона ( – равносторонний, с известной высотой. Тогда его сторона () равна $frac{2h}{sqrt3}$ , то есть $frac{24}{sqrt3}.$ , то есть $frac{24}{sqrt3}.$

Найдем из треугольника из треугольника SGH:

$tgSGH=frac{SH}{HG}=frac{12}{HG};$

$tg60^{circ}=frac{12}{HG};$

$sqrt3=frac{12}{HG};$

$HG=frac{12}{sqrt3};$

Тогда площадь основания есть

$HGcdot AD=frac{24}{sqrt3}cdot frac{12}{sqrt3}=96.$

Наконец, вычисляем объем пирамиды:

$V=frac{S_{ABCD}cdot SH}{3}=frac{96cdot 12}{3}=384.$

Ответ:

Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.

a8a2781d4cd5ed8f62d05cbf4f061676

Решение: показать

Можно пирамиду перевернуть так, как показано на рисунке. Тогда в основании у нас – равнобедренный, прямоугольный треугольник с катетами Его площадь – $frac{12cdot 12}{2}=72.$ Его площадь – $frac{12cdot 12}{2}=72.$

Высота пирамиды – – 12.

Тогда

$V=frac{S_{osnov}cdot CS}{3}=frac{72cdot 12}{3}=288.$

Ответ:

Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Решение: показать

Объем призмы есть $S_{osnov}cdot H,$ объем пирамиды есть $frac{S_{osnov}cdot H}{3}$ объем пирамиды есть $frac{S_{osnov}cdot H}{3}$ (основания и высоты одинаковы).

То есть объем отсеченной пирамиды есть $frac{1}{3}$ объема призмы, а именно $frac{129}{3}=43.$ объема призмы, а именно $frac{129}{3}=43.$

Тогда объем оставшейся части равен

Ответ:

Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2

efc4238b7e0c4ff80662906a06e27364

Решение: показать

Пирамиды и и SABCDEF имеют одинаковые высоты.

Площадь шестиугольника $S_{ABCDEF}$ со стороной со стороной есть

$S_{ABCDEF}=6cdot frac{a^2sqrt3}{4}.$

Площадь же треугольника есть

$S_{ABC}=frac{a^2cdot sinB}{2}=frac{a^2cdot sin120^{circ}}{2}=frac{a^2sqrt3}{4}.$

Видим, что $S_{ABCDEF}=6S_{ABC}.$

Согласно условию:

$V_{ABCS}=frac{1}{3}cdot S_{ABS}cdot H=8.$

Тогда

$V_{SABCDEF}=frac{1}{3}cdot S_{ABCDEF}cdot H=frac{1}{3}cdot 6S_{ABCS}cdot H=6V_{ABCS}=6cdot 8=48.$

Ответ:

Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

1694cdf5de68632ee14aa0c5c5fefad1

Решение: показать

$V=frac{1}{3}cdot S_{ABCDEF}cdot SO.$

Основание состоит из шести правильных равных треугольников ( состоит из шести правильных равных треугольников ( ABO,BOC,...,FOA ).

$S_{ABCDEF}=6cdot S_{ABO}=6cdot frac{1}{2}cdot AB^2sin60^{circ}=3cdot 64cdot frac{sqrt3}{2}=96sqrt3.$

Из треугольника по теореме Пифагора:

$SO=sqrt{SC^2-OC^2}=sqrt{16^2-8^2}=8sqrt3.$

Наконец,

$V_{ABCDEFS}=frac{1}{3}cdot 96sqrt3cdot 8sqrt3=768.$

Ответ:

Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен $45^{circ}.$ а угол между боковой гранью и основанием равен $45^{circ}.$ Найдите объем пирамиды.

Решение: показать

Пусть – середина – середина CD. Тогда в равнобедренном треугольнике медиана медиана является и высотой. По теореме о трех перпендикулярах и Тогда Тогда angle SHO – угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Из треугольника

$OH=sqrt{11^2-(frac{11}{2})^2}=frac{11sqrt3}{2}.$

Прямоугольный треугольник – равнобедренный, так как $angle SHO=45^{circ}$ – равнобедренный, так как $angle SHO=45^{circ}$ по условию. Тогда

$SO=OH=frac{11sqrt3}{2}.$

Далее,

$S_{ABCDEF}=6cdot S_{CDO}=6cdot frac{OHcdot CD}{2}=3cdot 11cdot frac{11sqrt3}{2}=frac{363sqrt3}{2}.$

Наконец,

$V=frac{1}{3}cdot frac{363sqrt3}{2}cdot frac{11sqrt3}{2}=998,25.$

Ответ:

Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды SABD равен

Решение: показать

Высоты у пирамид одинаковые.

$34=frac{1}{3}cdot S_{ABD}cdot H.$

Заметим,

$S_{OBD}=S_{AOB}.$

Тогда

$S_{ABD}=2S_{AOB}=frac{1}{3}cdot S_{ABCDEF}.$

$V_{6}=frac{1}{3}cdot 3S_{ABD}cdot H=3cdot 34=102.$

Ответ:

Задача 28. Объем параллелепипеда равен равен Найдите объем треугольной пирамиды

Решение: показать

$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=9=S_{ABCD}cdot H,$

где – высота параллелепипеда

$V_{ABCA_1}=frac{1}{3}cdot S_{ABC}cdot H=frac{1}{3}cdot frac{S_{ABCD}}{2}cdot H=$

$=frac{1}{6}S_{ABCD}cdot H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot 9=4,5.$

Ответ:

Задача 29. Объем куба равен Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно

Решение: показать

$V=frac{1}{3}cdot S_{osnov}cdot H=frac{1}{3}cdot (6cdot 6-3cdot 3)cdot 3=27.$

Ответ:

Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен равен 120. Точка — середина ребра — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение: показать

$V=frac{S_{osnov}cdot H}{3}.$

Площадь основания пирамиды вдвое меньше площади основания пирамиды вдвое меньше площади основания пирамиды SABCD .

Высота пирамиды вдвое меньше высоты пирамиды вдвое меньше высоты пирамиды SABCD , так как – середина – середина .

Стало быть, объем пирамиды в в раза меньше объема пирамиды .

Итак, объем пирамиды равен равен 30.

Ответ:

Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение: показать

Коэффициент подобия треугольников и и CAB – .

Значит площадь треугольника в в раза больше площади треугольника .

Высоты пирамид и и SMNC совпадают.

Поэтому объем отсеченной треугольной пирамиды есть $frac{34}{4}=8,5.$

Ответ:

Задача 33. Ребра тетраэдра равны Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Решение: показать

hfg

— средние линии равных треугольников — средние линии равных треугольников ABD , с общим основанием с общим основанием . Значит, отрезки , , — параллельны и равны, следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Но и — параллелограмм. Но и , — параллельны и равны, значит — параллельны и равны, значит MNPQ — ромб. Докажем, что — еще и квадрат. Действительно, угол между — еще и квадрат. Действительно, угол между и — угол между — угол между и , которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной (, которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной () перпендикулярна некоторой прямой плоскости (), то и сама наклонная (), то и сама наклонная () перпендикулярна этой прямой).