Как вычислить площадь фигуры в полярных координатахс помощью интеграла?
Это, пожалуй, одно из самых популярных приложений определённого интеграла после вычисления площади в прямоугольных координатах и объёма тела вращения. Для изучения материалов урока необходимо понимать, что такое полярные координаты и знать полярные уравнения простейших линий. Разумеется, потребуются навыки нахождения неопределённого и определённого интеграла, поэтому если у вас появятся технические трудности и/или недопонимание по ходу изложения, пожалуйста, начните с базовых статей.
Всё очень и очень напоминает привычную задачу нахождения площади. Полярным аналогом криволинейной трапеции является криволинейный сектор.
Рассмотрим некоторую функцию
, заданную в полярной системе координат, которая принимает неотрицательные значения на отрезке
и непрерывна на нём. Криволинейным сектором называется ФИГУРА, ограниченная отрезками лучей
Площадь криволинейного сектора рассчитывается по формуле
. Как видите, перед интегралом ставится дробь
, сама функция
В качестве демонстрационного примера, вычислим площадь круга, ограниченного окружностью
с центром в полюсе, радиуса 2. Очевидно, что
и по формуле:
Сравните с Примером № 4 урока Эффективные методы решения определённых интегралов, где площадь этого же круга рассчитана в прямоугольной системе координат 😉
Бензопила заправлена и прогрета:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
Решение: первый и главный совет:
Экономьте время на чертеже. Проще всего прибегнуть к программным средствам, например, воспользоваться моим графопостроителем в полярных координатах. Клик-клик – и готово, далее быстренько перерисовываем чертёж в тетрадь или при электронном способе оформления копируем его в Вёрд.
Если есть возможность быстро построить фигуру – всегда её стройте (даже если этого не требуется по условию). Чертёж усиливает задание, кроме того, как и при нахождении площади в прямоугольных координатах, даёт отличную возможность прикинуть по клеточкам правдоподобность получившегося результата.
Если же инструментальные средства по той или иной причине недоступны, и вы совсем не представляете, как выглядит фигура, то придерживайтесь противоположной тактики:
По возможности чертёж выгоднее НЕ строить вообще.
Ручное построение чертежа в полярных координатах – процесс длительный и трудоёмкий, за это время можно успеть выпить банку, а то и две пива решить несколько, а то и целый десяток интегралов. Исходя из личного опыта, могу с уверенностью сказать, что в простых примерах, как этот, построение чертежа на чистовике скорее не оправдано, чем оправдано. Конечно, если по условию требуется выполнить чертёж (или его дополнительно требует преподаватель), то никуда не деться, но по умолчанию гораздо рациональнее попытаться отделаться чисто аналитическим решением.
В нашем случае задача облегчается ещё и тем, что
для любого «фи», а значит, угол, как и в примере с площадью круга, принимает все значения от
Стандартно понижаем степень с помощью известной тригонометрической формулы:
Ничего сложного тут нет, главное, не допустить ошибку в преобразованиях и вычислениях. В частности, не забывайте, что площадь не может быть отрицательной, и если у вас вдруг получится такой результат, ищите оплошность.
Забавно, что можно вообще не иметь ни малейшего представления о том, какую фигуру ограничивает линия
. Однако студенческое счастье переменчиво и всегда нужно быть готовым к худшему сценарию:
Как построить фигуру, если её НАДО построить, но под рукой нет программы?
Не унываем, схематический чертёж отнимет не так уж много времени. Такой версии, скорее всего, будет достаточно, ведь это не главная часть задания.
В который раз взглянем на график косинуса:
косинус принимает такие же по модулю значения, что и на интервале
, только со знаком «минус». Поскольку у нас косинус возводится в квадрат, то фигура, ограниченная графиком функции
, будет состоять из двух одинаковых и симметричных относительно полюса частей, вершины которых, очевидно, находятся в следующих точках:
Так же очевидно, что при
Давайте найдём дополнительную опорную точку. Напрашивается угол в 45 градусов:
В силу симметрии линии:
Ну и, конечно же, не забываем по клеточкам оценить, что полученное значение площади
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Если на пути встаёт область определения, то блицкриг тоже вполне осуществим:
Решение: данное уравнение задаёт двухлепестковую полярную розу, область определения:
(*) На данном шаге использовали чётность подынтегральной функции на симметричном относительно нуля отрезке интегрирования. С геометрической точки зрения это означает, что лепесток розы симметричен относительно своей центральной оси. В предыдущих двух примерах фигуры тоже были симметричными, но, как ни странно, в рассматриваемом типе задач излишнее обмусоливание данного факта зачастую только удлиняет решение.
Если считать, что уравнение
задано в обобщенных полярных координатах, то данная роза будет иметь 4 лепестка, и, соответственно, результат следует умножить ещё на два. Но, как я уже советовал в курсе аналитической геометрии, осмотрительнее рассматривать классику, где полярный радиус неотрицателен.
Следующие короткие задачи предназначены для самостоятельного решения:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением
в полярной системе координат.
Кривая 4-го примера называется лемнискатой Бернулли, в 5-м примере дана трёхлепесковая роза. Напоминаю, что если есть возможность быстро построить чертеж, то его лучше построить. А здесь они, к слову, быстро строятся и вручную.
После интенсивной разминки на опушке надеваем хоккейную маску и с воодушевлением углубляемся в лес за новыми жертвами:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: в условии даны две линии, и здесь хоть о чертеже и молчок, но без него уже трудно. Какую кривую задаёт уравнение
? В статье о полярных координатах мы подробно разбирали и строили график полярной розы
с лепестками на промежутках
. Знак «минус» всё перевернёт с ног на голову (а если академичнее – отобразит симметрично относительно полярной оси и её продолжения) и лепестки розы
расположатся в секторах
значительно проще, оно определяет типовую окружность:
1) Вычислим площадь круга. Пределы интегрирования
Результат, не забываем, легко проверяется с помощью школьной формулы.
2) Вычислим площадь лепестка розы, расположенного в пределах
3) Площадь искомой фигуры:
В рассмотренном примере фигурировали разные отрезки интегрирования, и площадь выразилась разностью
. Однако на практике данные промежутки чаще совпадают и по причине линейности интеграла формула упрощается. Сформулирую правило в общем виде: если функции
непрерывны и неотрицательны на некотором отрезке
, и при этом
, то площадь фигуры, ограниченной отрезками лучей
Нетрудно уловить, что общий мотив похож на вычисление площади в прямоугольных координатах по формуле
, где из «верхней» функции, вычитается «нижняя».
Следующий баян лучше не пропускать:
Краткое решение с чертёжом в конце урока.
И в заключение ещё одна распространённая разновидность задачи, после чего будет специальное предложение для самых увлечённых маньяков:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах
Решение: с художеством особых проблем не возникает, однако фигура, ограниченная окружностями
, не определена однозначно и поэтому в условии наложено дополнительное ограничение на угол
, из которого следует, что необходимо вычислить заштрихованную площадь:
Сначала разберёмся, как найти луч
, по которому пересекаются окружности. Очень просто – приравниваем функции и решаем уравнение:
Сбрасываем косинус на нижний ярус левой части и превращаем дробь в тангенс:
Из чертежа следует, что площадь фигуры нужно искать как сумму площадей:
1) На промежутке
фигура ограничена отрезком луча
и дугой окружности (внимание!!)
2) На промежутке
фигура ограничена тем же отрезком луча
и дугой окружности
Интегралы настоятельно рекомендую считать РАЗДЕЛЬНО – риск допустить ошибку по невнимательности как никогда велик. Только что ещё раз убедился на собственном опыте, пытаясь оформить решение «одной строкой».
3) А вот теперь пользуемся аддитивностью площади:
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
. Выполнить чертёж.
Заметьте, что условие данной задачи требует выполнения чертёжа (даже если Вы с ходу представили, как выглядит фигура и даже если мысленно всё рассчитали). Всегда обращайте внимание на формулировку. Примерный образец решения совсем близко.
Надо сказать, что я разобрал не самые сложные задания, дабы не отпугнуть «чайников». Дополнительные примеры можно найти в решебнике Л. А. Кузнецова (Раздел IV — Интегралы, Задача 16). Но таки приберегите немного сил на вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданными линиями =)
И удачи вам в пятницу тринадцатого!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: найдём область определения: – любое.
Площадь фигуры вычислим по формуле , в данном случае :
Ответ:
Примечание: линия, которой ограничена данная фигура, называется кардиоидой, чертёж можно посмотреть в Примере № 6 урока Как построить график в полярной системе координат?
Пример 4: Решение: область определения: . Фигура состоит из двух одинаковых частей. Используя формулу , вычислим площадь на отрезке , результат удвоим:
Ответ:
Пример 5: Решение: данное уравнение задаёт трёхлепестковую розу, область определения:
Используя формулу , вычислим площадь фигуры на отрезке , результат утроим:
Ответ:
Пример 7: Решение: выполним чертёж:
На отрезке , таким образом:
Ответ:
Пример 9: Решение: найдём угловое направление пересечения окружностей:
По условию , поэтому рассматриваем противоположнонаправленный луч . Выполним чертёж:
1) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности .
2) На промежутке фигура ограничена отрезком луча и дугой окружности .
3) Площадь фигуры:
Ответ:
(Переход на главную страницу)
Как можно отблагодарить автора?
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys
Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.
В нашей задаче: прямая
симметрична относительно оси
, для неё находим несколько опорных точек:
Искомую фигуру желательно штриховать:
Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке
, поэтому искомая площадь:
После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.
И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :
Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:
и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:
, то её площадь можно найти по формуле:
.
В данном случае:
– ну что же, очень и очень похоже на правду.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:
Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы
, поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:
Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».
всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:
А теперь рабочая формула: если на отрезке
некоторая непрерывная функция
больше либо равнанепрерывной функции
, то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых
, можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.
В нашем примере очевидно, что на отрезке
парабола располагается выше прямой, а поэтому из
Завершение решения может выглядеть так:
, по соответствующей формуле:
Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы
. Поскольку ось
, то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу
А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения
Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:
Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги
Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: выполним бесхитростный чертёж,
хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую
можно недочертить до оси
, и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.
Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:
1) на отрезке
расположен график прямой
;
2) на отрезке
расположен график гиперболы
Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:
И познавательный пример для самостоятельного решения:
Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и координатными осями.
Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:
На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс
зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.
Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.
Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой
, где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:
и находим его корни:
– нижний предел интегрирования,
Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция
(Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html
После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.
Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле
, все основные вариации мы разобрали выше.
Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.
Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!
1.9. Объём тела вращения
1.7. Геометрический смысл определённого интеграла
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Как найти площадь плоской фигурыс помощью двойного интеграла?
численно
равен площади плоской фигуры
(области интегрирования). Сначала рассмотрим задачу в общем
виде.
А именно вычислим площадь фигуры
. Для определённости считаем, что
Площадь заштрихованной фигуры численно равна
Выберем первый способ обхода области:
1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:
Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь
разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную
функцию) верхний предел, затем – нижний предел
2) Результат первого пункта нужно подставить во внешний интеграл:
Более компактная запись всего решения выглядит так:
– это в
точности рабочая формула для вычисления площади плоской
фигуры с помощью обычного определённого интеграла!
То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с
помощью определённого интеграла!
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры
Решение: изобразим область
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Выберем следующий порядок обхода области(1-й способ):
Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход, т.к. выше были приведены очень подробные
разъяснения.
Таким образом:
Как уже отмечалось, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду
придерживаться и я:
1) Сначала разбираемся с внутренним интегралом:
Здесь мы ВМЕСТО «игрек» сначала подставили верхний предел интегрирования
, а затем – нижний:
2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:
Пункт 2 – это фактически нахождение площади плоской фигуры с
помощью определённого интеграла. Обо всех тонкостях решения этой задачи (а их немало) можно ознакомиться по ссылке
выше либо в курсе Определённые и несобственные интегралы.
Это китайское напоминание.
Несмотря на то, что эту задачу мы неоднократно решали ранее, здесь ещё есть о чём поговорить.
Любопытное задание для самостоятельного решения:
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.
В двух предыдущих примерах значительно выгоднее использовать первый способ
обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если
не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.
Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в
заключение курса молодого «ботана» рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры
Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые «лежат на боку». Улыбаться не нужно, похожие вещи в
кратных интегралах встречаются частенько.
в
виде двух функций:
– верхняя ветвь и
– нижняя ветвь.
Аналогично, представим параболу
в виде верхней
Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:
И, согласно второму способу, обход области будет следующим:
1) Расправляемся с внутренним интегралом:
Результат подставляем во внешний интеграл:
Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода
области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных
интегралов. Бывает и такое.
Итак, начальный мастер-класс подошёл к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень. Обязательно с хорошим
настроением! – оранжевым настроением – прямо как сейчас у меня, а почему оно такое, я объясню чуть позже:
1.4. Как вычислить произвольный двойной интеграл?
1.2.1. Как изменить порядок обхода области?
Критерии оценивания 2 части ЕГЭ по математике профильного уровня ФИПИ 🔥
ответы математикответ математикаответы по математике классматематика класс учебник ответы
ЕГЭ профильный уровень
