Числа и их свойства, делимость чисел на ЕГЭ. Задания 19 базового ЕГЭ по математике

Алгоритм выполнения

1. Если произведение >0, то, значит, оно не равно нулю. Следовательно, ни один из множителей не может быть равным 0.
2. Если произведение кратно 15, следовательно, оно кратно 5 и кратно 3.
3. Если произведение кратно 5, то результат его должен оканчиваться 0 или 5. В данном случае берем 5, т.к. 0 не может быть одним из множителей (см.п.1).
4. Итак, последняя цифра числа равна 5. Тогда произведение первых трех равно 25:5=5. Это означает, что нужно подобать 3 цифры так, чтобы их произведение было менее 5.
5. Из всех полученных наборов цифр выбираем такой, чтобы сумма этих цифр плюс 5 (последняя, 4-я цифра) была кратной 3.

Алгоритм выполнения:

1. Вспомнить признак делимости на 10 и сформулировать признак делимости на 20.
2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
3. Разместить предпоследние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось четное число в результате с учетом суммы первых цифр.
4. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.

Вариант 19мб1

Вариант 19мб10

Вариант 19мб11

Вариант 19мб12

Вариант 19мб13

Вариант 19мб2

Вариант 19мб3

Вариант 19мб4

Вариант 19мб5

Вариант 19мб7

Вариант 19мб8

Вариант 19мб9

Решение:

Обозначим первую цифру числа x, а вторую – y. Тогда третье число с учетом суммы цифр равной 20 будет равно 20 – (x y). (x y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится.

По условию сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Запишем сумму квадратов цифр:

x 2  y2  (20 – (x y))2

Преобразуем полученное выражение. Преобразуем квадрат разности с учетом формулы приведения.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(20 – (x y))2 = 400 -40(x y) (x y)2

Подставим получившееся выражение в начальное, получим:

x 2  y2  (20 – (x y))2 = x 2  y2  400 — 40(x y) (x y)2

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x y)2= x2  2xy y2

Подставим:

x 2  y2  (20 – (x y))2 = x 2  y2  400 — 40(x y) (x y)2 = x 2  y2  400 — 40(x y) x2  2xy y2

Приведем подобные слагаемые(сложим x2 с x2 и y2 с y2), получим:

x 2  y2  400 — 40(x y) x2  2xy y2 = 2x 2  2y2  2 · 200 — 2 · 20(x y) 2xy

Вынесем множитель 2 за скобку:

2x 2  2y2  2 · 200 — 2 · 20(x y) 2xy = 2(x 2  y2  200 — 20(x y) xy)

Для удобства объединим 200 и 20(x y) и вынесем 20 за скобку, получим:

2(x 2  y2  20(10 — (x y)) xy)

Множитель 2 – четный, поэтому он никак не влияет на делимость на 3 или 9. Можем его не брать в расчет и рассматривать выражение:

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy

Предположим, что и x, и y делятся на 3. Тогда x 2  y2  xy делится на 3, а 20(10 — (x y)) – не делится. Следовательно, и вся сумма x 2  y2  20(10 — (x y)) xy на 3 не делится.

Предположим, что на 3 делится только одна цифра. Тогда, учитывая, что (x y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится, подберем возможные пары.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом подстановки проверим, соответствуют эти пары условию.

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 3 2  82  20(10 — (3 8)) 3 · 8 = 9 64 – 20 24 = 77

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 6 2  52  20(10 — (6 5)) 6 · 5 = 36 25 – 20 30 = 71

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 6 2  72  20(10 — (6 7)) 6 · 7 = 36 49 – 60 42 = 67

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 6 2  82  20(10 — (6 8)) 6 · 8 = 36 64 – 80 48 = 68

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 9 2  22  20(10 — (9 2)) 9 · 2 = 81 4 – 20 18 = 83

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 9 2  42  20(10 — (9 4)) 9 · 4 = 81 16 – 60 36 = 73

Ни одна из полученных сумм не удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9».

Следующие пары можно не проверять, так как они дают уже имеющиеся тройки цифр.

Предположим, что ни одна из цифр числа не делится на 3.

Возможные пары:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Проверим:

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 4 2  72  20(10 — (4 7)) 4 · 7 = 16 49 – 20 28 = 73

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 5 2  72  20(10 — (5 7)) 5 · 7 = 25 49 – 40 35 = 69

Сумма 69 удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9». Следовательно, подходят цифры 5,7,8 в любом порядке.

Ответ: 578

Числа и их свойства, делимость чисел на егэ. задания 19 базового егэ по математике