Задания, ответы, решения. Подготовка к ЦТ

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной «» от
независимой переменной «».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

у = 2x

Вместо «» (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем значение «».

Подставим несколько числовых значений вместо «» в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.

Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо «» (аргумента функции).

Обозначают область определения функции как:

Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где
мы подставляли произвольные числа вместо «», чтобы найти «».

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо «», можно утверждать,
что вместо «» мы могли подставлять действительное число.

Другими словами, вместо «» можно подставить любые числа, например:

Областью определения функции называют ,
которые можно подставить вместо «».

В нашей функции «у = 2x» вместо «»
можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x — любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на
математические символы.
Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для «» в функции «у = 2x».
Так как в функции «у = 2x» нет ограничений для «»,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «» до плюс бесконечности
«».

Запишем результат по правилам записи неравенств.

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

Запись выше читается как: «» принадлежит промежутку от минус бесконечности
до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

По-другому промежуток « x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать как
«».

Читается «» как: «» принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и «» одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с «» в знаменателе.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать «»
в функции
«».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя.
Иначе говоря,
знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная «» находится в знаменателе функции «».
Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

x + 5 ≠ 0

Решим полученное линейное уравнение.

Получается, что «» может принимать любые числовые значения кроме «».
На числовой оси заштрихуем все доступные значения для «».

Число «» отмечено
«пустой»
точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «» не входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке
«Как записать ответ неравенства».

x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«».

D(y): x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

Найти область определения функции:

Из урока «Квадратный корень» мы помним,
что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать «» в функции
«у = ».
Подкоренное выражение «» должно быть больше или равно нулю.

6 − x ≥ 0

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «» отмечено
«заполненной»
точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = » .
Так как число «» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.

Правило для определения области определения функции

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с «» в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции «
f(x) = +
»

есть дробь «

»,
где «» расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель
« x 2 − 9 »
не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через
формулу квадратного уравнения.

x2 − 9 ≠ 0

x1;2 ≠ ±3

Запомним полученный результат. Задаем себе
второй
вопрос.
Проверяем, есть ли в формуле функции

«
f(x) = +
»

корень степени.

В формуле есть квадратный корень «

».

Подкоренное выражение «»
должно быть больше или равно нулю.

x + 3 ≥ 0

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

Объединим все полученные результаты на числовых осях.
Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях.
Обратим внимание, что числа «» и «» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых промежутка «−3 < x < 3» и «», которые являются областью определения функции
«f(x) = + ».
Запишем окончательный ответ.

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

y = 6 +
5

Для поиска области определения функций задаем себе
первый вопрос.

Есть ли знаменатель, в котором содержится «»?

Ответ: в формуле функции

«y = 6 +
5»
нет дробей.

Задаем
второй вопрос.

Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени:
«».

Степень корня — число «». Число «» — чётное,
поэтому подкоренное выражение корня «»
должно быть больше или равно нулю.

В формуле функции «y = 6 +
5»
также есть корень пятой степени «5
».

Степень корня «» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«»
не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции

«y = 6 +
5»
— это ограничение подкоренного выражения
«».

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится «»? В заданной функции подобных знаменателей два.
Выделим знаменатели с «» красным цветом.

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

Обозначим их номерами «» и
«» и решим каждое уравнение отдельно.

Решаем первое уравнение.

≠ 0     (1)

Если значение квадратного корня
« ≠ 0» не должно быть равно нулю,

значит, подкоренное выражение «x + 2 ≠ 0»

также не должно быть равно нулю.

≠ 0     (1)

x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером «», используя
формулу квадратного уравнения.

x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

Знаменатели с «»
мы проверили. Настала очередь
проверить
формулу функции
на
наличие корней четной степени .

В формуле функции

«f(x) =

+
»

есть два корня
«» и
«». Их подкоренные
выражения должны быть больше или равны нулю.

Решим полученную
систему неравенств.

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим
проверкам:

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет
всем полученным условиям.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =

+
»
с использованием математических символов.

17 декабря 2016 в 18:02

Татьяна Цыганова

Татьяна ЦыгановаПрофиль

Сообщений: 1

Найти ОДЗ функции у=?(р1+р2х+x2) Я не могу понять за какое число воспринимать p1, p2

17 декабря 2016 в 19:10
Ответ для Татьяна Цыганова

Евгений Фёдоров

Евгений ФёдоровПрофиль

Сообщений: 60

x2 + p2x + p1 ? 0.

24 февраля 2016 в 20:29

Влад Алексеев

Влад АлексеевПрофиль

Сообщений: 1

Постройте график функции y=-

. Укажите область определения функции

25 февраля 2016 в 8:10
Ответ для Влад Алексеев

Евгений Колосов

Евгений КолосовПрофиль

Сообщений: 197

Область определения функции: знаменатель не равен 0.
x+1?0
x?-1
Графиком является гипербола, смещеная влево относительно оси Y.

5 февраля 2018 в 14:30
Ответ для Влад Алексеев

Кирилл Косован

Кирилл КосованПрофиль

Сообщений: 1

11 февраля 2018 в 15:44
Ответ для Влад Алексеев

Татьяна Мирная

Татьяна МирнаяПрофиль

Сообщений: 1

7 октября 2015 в 21:21

Катерина Яроцкая

Помогите найти область определения функции

12 сентября 2016 в 15:59
Ответ для Катерина Яроцкая

К сожалению, картинка не отражается.

Что такое функция — человеческим языком

Так вот, функция отражает зависимость величин друг от друга: то есть при изменении одного числа ( displaystyle x), по некоторому закону ( displaystyle fleft( x
ight)) изменяется ( displaystyle y).

Зависимость, или взаимосвязь – вот ключевые слова при определении понятия функции.

Попробуй самостоятельно придумать несколько примеров из жизни, где четко проявляется зависимость одного от другого.

Допустим автомобиль движется со средней скоростью ( displaystyle 110) км/ч, как тогда выразить зависимость пути ( displaystyle S) от времени ( displaystyle t)?

( displaystyle S=110cdot t)

То есть чем больше времени автомобилист проведет за рулем, тем больше расстояние он преодолеет на своем автомобиле. Чем не зависимость?

Что в этом случае будет ( displaystyle y), что ( displaystyle x), и как будет выражено в итоге ( displaystyle fleft( x
ight))?

Проведем параллели между физической формулой и привычной нам записью функции ( displaystyle y=fleft( x
ight)):

Разобрался что к чему? Теперь перейдем на математический язык.

Что такое функция — на языке математики

Итак. Еще раз смотрим на нашу формулу:

Слева стоит ( displaystyle y) – это и есть функция. За этой буквой может быть все что угодно: температура, скорость, сила, путь – неважно! ( displaystyle y) – зависимая величина.

Она может зависеть от множества критериев. Например, как в нашем случае, зависимость пути от времени, проведенном в дороге при движении с постоянной скоростью.

Справа у нас стоит ( displaystyle x). Эта величина переменная, или, как говорят математики, «аргумент».

Логично, что чем больше времени проведет автомобилист в дороге, тем большее расстояние он проедет (конечно, если скорость будет постоянна, и он не встрянет намертво в пробках).

Справа у нас также есть ( displaystyle f), за этим скрываются все действия, совершаемые над ( displaystyle x).

В нашем случае мы говорим, что ( displaystyle S=
u cdot t), а так как ( displaystyle
u =110)км/ч, то под ( displaystyle f) скрывается умножение на ( displaystyle 110), вот мы и получаем – ( displaystyle fleft( x
ight)=110cdot x).

Теперь, думаю, тебе все понятно?

Теперь, когда ты понял суть понятия «функция» и знаешь, что такое переменная величина, а что постоянная, посмотрим на определение функции, каким его дают математики.

Вернемся к нашему примеру.

Автомобилист едет с постоянной скоростью и проезжает расстояние, которое зависит от того, сколько времени он провел в пути. Все верно?

Разбираемся дальше. Мы говорили, что ( displaystyle x=t), это как раз и есть время, проведенное в пути.

Каким оно может быть? Ты сейчас можешь быть крайней удивлен такой постановкой вопроса, но все же, каким может быть это время?

Правильно, чисто теоретически от ( displaystyle 0) до ( displaystyle +infty ).

Вот ты сам и определил для нашего конкретного случая множество ( displaystyle X), а иначе говоря, допустимые значения аргумента или область определения функции ( displaystyle Dleft( y
ight)).

Запомнить очень легко: что определяет нашу функцию? От чего зависит игрек, и что мы меняем?

Функцию определяет икс! Соответственно, область определения – это возможные значения ( displaystyle x).

Теперь давай рассматривать, что такое множество ( displaystyle Y).

Еще один важный момент

Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:

Функцией называется правило ( displaystyle f), по которому каждому элементу ( displaystyle x) множества ( displaystyle X) ставится в соответствие единственный элемент ( displaystyle y) множества ( displaystyle Y).

Заметил? Слово «единственный» – это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.

Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. ( displaystyle y=5x+3). При ( displaystyle x=0), мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что ( displaystyle y=3).

Одному значению ( displaystyle x) соответствует одно значение ( displaystyle y). Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.

А вот и график с нашими отмеченными точками:

Как ты убедился – графиком является прямая, в которой одному значению ( displaystyle x) соответствует одно значение ( displaystyle y) (данный факт показан красными линиями).

Соответственно, данная зависимость подходит под определение функции.

То, что «( displaystyle -1)» встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!

Дело в том, что, при расчёте для ( displaystyle x=0), мы получили один игрек. И при расчёте с ( displaystyle x=2) мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией.

Посмотри на график:

Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!

Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:

Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» – нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.

Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:

Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу ( displaystyle x) множества ( displaystyle X) ставится в соответствие несколько элементов ( displaystyle y) множества ( displaystyle Y). Соответственно, это не функция.

Проверим твои знания на практике. Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:

Разобрался? А вот и ответы:

Почему? Да вот почему:

На всех рисунках кроме В) и Е) на один ( displaystyle x) приходится несколько ( displaystyle y)!

Уверена, теперь ты с легкостью отличишь функцию от «НЕ функции», скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции.

Приступаем к следующему разделу – как задать функцию?

Аналитический способ заданий функции

Аналитический способ – это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ.

Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все – ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.

«Что это значит?» – спросишь ты. Сейчас объясню.

Напомню, что в записи ( displaystyle f(x)) выражение в скобках называется аргументом.

И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто ( displaystyle x). Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо ( displaystyle x) в выражении ( displaystyle f(x)).

В нашем примере получится так:

Пример из ЕГЭ

Уверена, что сначала ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!

А дальше, используя свойства степени (можешь лишний раз одним глазком заглянуть в соответствующую тему – не помешает), а именно:

сократить получившееся выражение:

Вот и все!

Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:

Справился? Сравним наши ответы:

Мы привыкли, что функция имеет вид ( displaystyle y=fleft( x
ight)), даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например ( displaystyle 5x+2y-3=0). Попробуй построить эту функцию самостоятельно.

Вот как строила ее я.

( displaystyle y=1,5-2,5x)

Какое уравнение мы в итоге вывели? Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:

А теперь строим по данным точкам график:

Вот так из неявной формулы получилась линейная функция.

Попробуй подставить различные значения ( displaystyle x) и посмотреть, какой ( displaystyle y) им соответствует.

Является ли то, что у нас получилось функцией? Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?

«Потому что одному значению ( displaystyle x) соответствует несколько значений ( displaystyle y)!»

Какой вывод мы можем из этого сделать?

Правильно,  функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!

Табличный способ задания функции

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:

Как ты уже знаешь, в первой строчке мы ставим значение аргумента, а во второй строчке – соответствующие ему значение функции. Таким образом, в таблице каждому иксу соответствует одно значение игрека.

Заметь, в последней приведенной табличке невозможно четко определить правило, по которому игрек зависит от икс. Так тоже бывает и в этом нет ничего страшного, просто мы не можем вот так сразу взять и определить правило.

Если тебя это смущает, приведу в пример другую таблицу:

Здесь ты сразу подметил закономерность – игрек в три раза больше чем икс.

А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции ( displaystyle y=3x)?

Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!

Итак. Рисуем функцию, заданную обоими способами:

Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:

Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них.

Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!

Словесный способ задания функции

Как же описать функцию словесно?

Возьмем наш недавний пример – ( displaystyle y=3x).

Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного.

Ты, конечно, возразишь: «Есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой.

Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа».

Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:

Пусть ( displaystyle x=256)

Наибольшая цифра в данном числе – ( displaystyle 6), соответственно, ( displaystyle 6) – уменьшаемое, тогда:

( displaystyle y=6-5-2=-1).

Линейная функция

Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x
ight)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»?

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.

Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной?

Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y
ight)) и область значений ( Eleft( y
ight)).

Область значений линейной функции

Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент ( x), тем больше значение функции ( y).

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: ( y=kx+b). Какие нужно выбрать коэффициенты ( k) и ( b), чтобы значение функции y не зависело от аргумента ( x)?

А вот какие: ( b) – любое, но ( k=0). И правда, каким бы ни был аргумент ( x), при умножении на ( k=0) получится ( 0)!

Тогда функция станет равна ( y=0cdot x+b=b), то есть она принимает одно и то же значение при всех ( x):

Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.

Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция ( y=2x+1). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.

То есть нужно взять любые два значения аргумента ( x) и вычислить соответствующие два значения функции.

Затем для каждой пары ( left( x;y
ight)) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент ( x=0:yleft( 0
ight)=2cdot 0+1=1).

Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1
ight)).

Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1
ight)=2cdot 1+1=3).

Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3
ight)).

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Вот и все, график построен!

Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений ( x), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Должно получиться так:

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент ( displaystyle b). Рассмотрим функцию ( displaystyle y=x+b), то есть ( displaystyle k=1).

Меняя ( displaystyle b) будем следить, что происходит с графиком.

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше ( displaystyle b), тем выше располагается прямая.

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ( displaystyle y)? Чему равен ( displaystyle x) в такой точке?

В любой точке оси ординат (это название оси ( displaystyle y), если ты забыл) ( displaystyle x=0).

Значит достаточно подставить ( displaystyle x=0) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью ( displaystyle y):

( displaystyle y=kcdot 0+b=b)

Теперь по поводу ( displaystyle k). Рассмотрим функцию ( displaystyle left( b=0
ight).) Будем менять ( displaystyle k) и смотреть, что происходит с графиком.

Так, теперь ясно: ( displaystyle k) влияет на наклон графика.

Чем больше ( displaystyle k) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ( displaystyle Ox)) расположена прямая.

Давай разбираться. Начертим новый график ( displaystyle y=kx+b):

Выберем на графике две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B). Для простоты выберем точку ( displaystyle A) на пересечении графика с осью ординат. Точка ( displaystyle B) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны ( displaystyle left( x;y
ight)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( displaystyle ABC), построенный на отрезке ( displaystyle AB) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что ( displaystyle AC=x), ( displaystyle BC=y-b).

Подставим ( displaystyle y=kx+b) в ( displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx).

Итак, коэффициент ( displaystyle k) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент ( displaystyle k)) обычно называют угловым коэффициентом.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

СДАМ ГИА: РЕШУ ЦТ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

11 класс база

11 класс профиль

сайты — меню — вход — новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Вопрос — ответ

Раз­мес­ти­ли 190 дик­тан­тов на бе­ло­рус­ском язы­ке для 4 клас­са

Решили варианты ЦТ по математике 2021

На­стро­или пе­ре­вод пер­вич­ных бал­лов в сто­бал­льную шка­лу.

Раз­мес­ти­ли на стра­ни­цах «Ва­ри­ан­ты» про­ш­ло­год­ние ва­ри­ан­ты с ре­ше­ни­я­ми по всем пред­ме­там, кро­ме ма­те­ма­ти­ки

Новый сервис: рисование

Внедрили тёмную тему!

Разместили все варианты выпускного экзамена по математике 9 класса с решениями

Каталог заданий. Область определения функции

Пройти тестирование по этим заданиямВернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

не определена в точке:

Найдите сумму целых значений x, принадлежащих области определения функции

Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции

Аналоги к заданию № 1325: 1356 Все

Укажите номера функций, которые являются четными.

1) 1, 3

2) 1, 2

3) 4, 5

4) 3, 5

5) 2, 4

Аналоги к заданию № 1771: 1803 Все

Укажите номера функций, областью определения которых является множество всех действительных чисел.

Аналоги к заданию № 1885: 1917 Все

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.Ордината — координата по вертикали.Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .Ось ординат — вертикальная ось, или ось .

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается . Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует. Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции .

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках. Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше , чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках. То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке — точка минимума.

Точка — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции . В нашем случае это и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом

, бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x) .

Навигация по странице.

Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции

, что для любого

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение

справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на . В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На открытом интервале

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y ) и наименьшее (min y ) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6) .

На интервале , о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y ) в стационарной точке с абсциссой x=1 , а наименьшее значение (min y ) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3 .

На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3 . Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке.

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по :

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2 . Эта стационарная точка попадает в первый отрезок .

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1 , x=2 и x=4 :

Следовательно, наибольшее значение функции

достигается при x=1 , а наименьшее значение

– при x=2 .

Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции .

Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:

1) она непрерывна на интервале ; 2) непрерывна в точке справа и в точке слева .

Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:

Функция непрерывна в точке справа , если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке:

. Она же непрерывна в точке слева , если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:

Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:

Согласно второй теореме Вейерштрасса , непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .

Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .

В нашем случае:

Примечание : в теории распространены записи .

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции , наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ , что максимум функции и минимум функции . Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!

Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо !

Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:

1) Находим значения функции в критических точках , которые принадлежат данному отрезку .

Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует , что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.

Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение : 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

Вычислим значение функции во второй критической точке:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :

Вот теперь всё понятно.

Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму :

1 . Находим ОДЗ функции.

2 . Находим производную функции

3 . Приравниваем производную к нулю

4 . Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5 . Находим точки максимума и минимума функции .

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-» .

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+» .

6 . Находим значение функции в концах отрезка,

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

. График этой функции выглядит так:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для

1 . Задание B15 (№ 26695)

1. Функция определена при всех действительных значениях х

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

2 . Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

3 . Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку принадлежат два числа: и

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0:

. При переходе через точки и производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:

Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция — многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :

Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара, S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, — единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума

. Поскольку этот минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9. Из пункта A , находящегося на линии железной дороги, в пункт С , отстоящий от неё на расстоянии l , должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?