Анализ всех экзаменационных заданий по теории математики и как подготовиться к экзамену по математике в 2023 году

Обычно базовую математику выбирают ребята, у которых есть план: надо как можно скорее разделаться с бесполезным для поступления предметом и сосредоточиться на своем наборе вступительных. Из этой статьи вы узнаете, как сдать базовую математику максимально быстро и просто.

В этой статье:

Какие задания решать, чтобы сдать базовую математикуКакие задания мы не разобрали и почему

В этом материале мы сделаем акцент на простых номерах, которые принесут вам балл почти задаром! Они обозначены пометкой «Обязательно делать» — таких заданий 10. Как раз с запасом на ошибки, ведь минимум для сдачи базовой математики — 7 баллов.

Для тех, кто хочет получить выше тройки — это 12 баллов и выше, — мы дали рекомендации по еще 3 задачам. В сумме получается 13 номеров. Решите их все, и твердая четверка у вас в кармане.

Образовательный сайт vpr-klass.com (впр-класс.ком) — готовые решения задач!

У нас вы найдете много учебных материалов: решебники, ГДЗ, тестовые задания, видео уроки, генераторы задач, решения упражнений гиа и егэ.

---

Ищи САЙТ в Яндексе и Google по слову:
или

---

---

Сохрани сайт в закладки — нажми Ctrl+D

---

---

ГИА (ОГЭ) по математике

---

Много разных решений

---

Тесты ГИА онлайн.

---

Видео — ГИА 2013: геометрия

---

Видео — ГИА 2012

---

Видео — Демо-вариант 2012.

---

Решение Демо-варианта 2013 года (2014 года).

---

Задача №1, Вычислить.

---

Задача №2, Числа и прямая.

---

Задача №3, Сравнение чисел.

---

Задача №4, Уравнения.

---

Задача №5, Графики и формулы.

---

Задача №6, Прогрессии.

---

Задача №7, Упростить выражение.

---

Задача №8, Неравенства, системы неравенств.

---

Задача №9, Задания по геометрии.

---

Генератор вариантов ГИА 2014

---

ЕГЭ по математике

---

Много разных решений.

---

---

Видео уроки ЕГЭ по математике.

---

Генератор вариантов ЕГЭ 2014

---

---

Решение демо варианта ЕГЭ по математике 2014

---

Задания B1, задача.

---

Задания B2, диаграммы.

---

Задания B5, уравнения.

---

Задания B8, производная.

---

Задания B10, вероятность.

---

ОГЭ по информатике

---

Содержание

1. Какие задания мы не разобрали и почему
2. Примеры решения задач с6 егэ по математике
3. Как решать 1-ю часть ОГЭ по математике в 2022 году
4. Задания 1–5
5. Задание 6
6. Задание 7
7. Задание 8
8. Задание 12
9. Задания 15–18
10. Задание 19
11. 10 советов, как подготовиться к ОГЭ по математике и сдать его, если ничего не знаешь
12. 1. Познакомьтесь с экзаменом
13. 2. Готовьтесь по плану
14. 3. Тренируйтесь играя
15. Ходите на дополнительные занятия
16. 5. Много практикуйтесь
17. 6. Учитесь считать устно
18. 7. Пишите пробники
19. 8. Помните об отдыхе
20. 9. Не нервничайте
21. Как решать 9 задание ЕГЭ по математике?
22. Из чего состоит ОГЭ по математике
23. Примеры заданий 9 ЕГЭ 2023 по математике
24. Как сдать ОГЭ по математике на 3, 4 и 5
25. Критерии оценки этой задачи
26. Критерии оценки этой задачи
27. Какие задания решать, чтобы сдать базовую математику
28. Задание 1: обязательно делать
29. Задание 2: обязательно делать
30. Задание 3: обязательно делать
31. Задание 4: обязательно делать
32. Задание 5: обязательно делать
33. Задание 6: обязательно делать
34. Задание 7
35. Задание 8: обязательно делать
36. Задание 14: обязательно делать
37. Задание 15
38. Тип 1. Найти часть от числа
39. Тип 2. Найти число по его части
40. Тип 3. Найти, сколько процентов часть составляет от целого
41. Тип 4. Задачи на соотношение
42. Задание 16: обязательно делать
43. Задание 17: обязательно делать
44. Задание 19
45. Как решать 2-ю часть ОГЭ по математике в 2022 году
46. Задание 20
47. Задание 21
48. Задание 22
49. Задания 23–25
50. Решение задания 9 из ЕГЭ по математике

Какие задания мы не разобрали и почему

Теперь вы знаете, как сдать базовую математику, решив всего семь заданий. Но некоторые номера базового ЕГЭ включают слишком большое разнообразие прототипов, и методы их решения не ограничиваются парой простых алгоритмов.

Например, в эту группу относятся все задания по геометрии: с 9 по 13. Чтобы решать геометрию, мало знать основные фигуры и формулы. Необходим навык, который вырабатывается только практикой. Однако у нас есть статья про окружность — в ней вы найдете много полезной информации.

Задание 18 обычно, хотя и не всегда, содержит неравенство.

Это объемный блок теории, которую тоже необходимо подкреплять практикой. Но, может, вам повезет и попадется задачка на расположение значений на числовой прямой.

Тут достаточно примерно прикинуть значения и аккуратно внести ответы в бланк. Ясно, что 7/3  больше 2, но меньше 3. Корень из 26 равен 5 с копейками, а степень –1 из 3/5 сделает 5/3, или чуть больше 1,5. Подобные задания надо пытаться делать обязательно!

Задание 20. С этим заданием ученики знакомы еще с 9-го класса, так как оно было под номером 21 на ОГЭ. Это текстовая задача:

• на производительность,
• движение (по прямой, воде, окружности),
• сплавы и смеси,
• проценты (пиджаки, рубашки, брюки; бюджет семьи; акции, которые растут и падают),
• прогрессии.

В задании 21 на ОГЭ не было прогрессий, но они были в первой части на ОГЭ, так что ничего нового.

Задание 21. Здесь попадаются разные типы неочевидных задач на логику — чем-то они даже похожи на олимпиадные. Решение каждой нужно рассматривать отдельно и подробно. Если хотите прочитать о том, какие задачи бывают в 21-м номере, пишите в комментариях, и Maximum поделится своими методами решения!

Не знаете, какой вуз выбрать? Воспользуйтесь бесплатной консультацией в нашем центре. Что это такое? Все просто: вы расскажете о себе и о своих интересах. А специалист посоветует, на какие специальности обратить внимание, в какой вуз поступать, какие ЕГЭ сдавать. Так вы сэкономите время на подготовку и сможете выбрать образование, которое точно окажется для вас интересным и полезным!

Задачи к занятию.

Задание1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания  счётчика 1 сентября составляли 103 куб. м воды, а 1 октября — 114 куб. м. Сколько  нужно заплатить за холодную воду за сентябрь, если стоимость 1 куб. м холодной  воды составляет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях.  (Ответ:211,2)

Задание1.1. В лет­нем ла­ге­ре 164 ребёнка и 23 вос­пи­та­те­ля. Ав­то­бус рас­счи­тан не более чем на 45 пас­са­жи­ров. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ав­то­бу­сов по­на­до­бит­ся, чтобы за один раз пе­ре­вез­ти всех из ла­ге­ря в город? (Ответ: 5)

Задание 1.2. Бегун про­бе­жал 180 мет­ров за 20 се­кунд. Най­ди­те сред­нюю ско­рость бе­гу­на. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах в час. ( Ответ: 32,4)

Задание 2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10  по  29  ноября  2009  года.  По  горизонтали  указываются  дни  месяца,  по  вертикали  —  количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько  раз  наибольшее  количество  посетителей  больше,  чем  наименьшее  количество  посетителей за день. (Ответ: 2)

Задание 2.1. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа впер­вые вы­па­ло 5 мил­ли­мет­ров осад­ков. Ответ: 11

Задание 3. Найдите площадь треугольника, изображенного на  рисунке.  (Ответ: 2)

 На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ра­жен па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те его пло­щадь. (Ответ: 10)

Задание 4.  В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Великобритании, 6  спортсменов  из  Франции,  5  спортсменов  из  Германии  и  5  —  из  Италии.  Порядок,  в  котором  выступают  спортсмены,  определяется  жребием.  Найдите  вероятность  того,  что спортсмен, выступающий последним, окажется из Франции. (Ответ: 0,25)

Задание 4 .1На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 30 до­кла­дов: в пер­вые два дня по 9 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между тре­тьим и четвёртыми днями. На кон­фе­рен­ции пла­ни­ру­ет­ся до­клад про­фес­со­ра М. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции? ( Ответ: 0,2)

Задание 5. Найдите корень уравнения:  2^4х-14 = . (Ответ: 2)

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 7^6-5=49. (Ответ: 0,8)

Задание 6.   В  четырехугольник  ABCD,  периметр  которого  равен 48,  вписана окружность, АВ=15. Найдите CD. (Ответ: 9)

Задание 6.1. Отрезки АС и В диаметры окружности с центром в О. Угол АО равен 66. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах. (Ответ: 57)

Задание 7.  На  рисунке  изображён  график  у () производной  функции () , определенной на интервале (‐10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная  к графику функции  () параллельна прямой y   2x 11  или совпадает с ней.  (Ответ:5)

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик =`() — про­из­вод­ной функ­ции (), опре­делённой на от­рез­ке (−11; 2). Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции  па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней. (Ответ: -7)

Задание 8.  Площадь  боковой  поверхности  треугольной  призмы  равна  24.  Через  среднюю  линию  основания  призмы  проведена  плоскость,  параллельная  боковому  ребру.  Найдите  площадь  боковой  поверхности  отсечённой  треугольной призмы.  (Ответ: 12)

Задание 8 .1Объём тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 94. Через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию её ос­но­ва­ния про­ве­де­на плос­кость. Най­ди­те объём отсечённой тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды. (Ответ: 23,5)

Задание 9.  Найдите значение выражения . (Ответ: 0)

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 28. (Ответ: -28)

Задание 10.   Груз  массой  0,8  кг  колеблется  на  пружине.  Его  скорость  v   меняется  по  закону   =₀ ,  где  t   ‐  время  с  момента  начала  колебаний,  T  16 с  –  период  колебаний, ₀=0,5м/с.  Кинетическая  энергия  Е  (в  джоулях)  груза  вычисляется  по  формуле  =,  где  ‐  масса  груза  в  килограммах,    ‐  скорость  груза  в  м/с.  Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ  дайте в джоулях. (Ответ: 0,05)

Для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра экс­пе­ри­мен­таль­но была по­лу­че­на за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в кель­ви­нах) от вре­ме­ни ра­бо­ты:()=₀ ++², где t — время (в мин.), T₀ = 680 К, а = −16 К/мин², b = 224 К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та свыше 1400 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чить. Най­ди­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чить при­бор. Ответ дайте в ми­ну­тах. (Ответ: 5)

Задание11. Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять  таких же рубашек дороже куртки?  (Ответ: 47)

Задание 11. 1. Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 14% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 10 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 12% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах. (Ответ: 18)

Задание 12.  Найдите точку минимума функции  =2-(+8)². (Ответ: -7)

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции = ² — 27 + 42 – 10. (Ответ: 7)

Задание 12.2. Найдите точку минимума функции у= (1-2х) +2 +7, принадлежащую промежутку (0; . (Ответ: 0,5)

Примеры решения задач с6 егэ по математике

Решение.
Очевидно, что максимальное значение получится, если все произведения взять со знаком “+”. При этом сумма будет равняться с использованием формулы о сумме членов арифметической прогрессии следующему числу:

Сумма оказалась нечетной, поэтому число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0. Тем самым доказали, что 0 не может быть минимальным числом.

Далее надо попробовать расставить знаки так, чтобы получить 1. Но значение 1 может получиться только в том случае, если в каждой скобке получится 1. Поэтому значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок:
(−2 + 3 − 4 + 5 + 6 − 7)(−13 −14 −15 −16 +17 −18 +19 + 20 + 21) =1⋅1=1.

Про ЕГЭ:  Поступление в медицинский институт после медицинского колледжа. | Университет СИНЕРГИЯ

Ответ: 1 и 4131.

Замечание. Использован факт “сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетна”.

Как решать 1-ю часть ОГЭ по математике в 2022 году

Задания 1–5

Эти задания проверяют ваши практические навыки: то, как вы умеете взять из текста необходимую информацию и применить знания. Сами по себе задачи просты, но школьнику нужно внимательно прочитать текст-описание. Советуем выделить и отметить в черновике основные моменты — это поможет избежать ошибок. Когда вы решите задание и будете готовы записать ответ, убедитесь, что он подходит к вопросу в условии.

Задание 6

Здесь ученик должен показать, как он умеет выполнять действия с дробями и степенями. Разберем для примера задание ниже.

Найдите значение выражения

.

Как решить это задание и какие навыки здесь нужно применить, чтобы успешно сдать ОГЭ по математике:

1. Знание порядка арифметических действий: сначала выполняем действия в скобках, затем уже деление.

2. Умение преобразовывать смешанные числа в неправильные дроби:

   ;

   ;

   .

3. Навык приведения к общему знаменателю и вычитания обыкновенных дробей:

   .

4. Умение выполнять деление обыкновенных дробей:

   .

5. Умение переводить обыкновенные дроби в десятичные:

   .

Задание 7

В этом задании вам пригодятся знания о координатной прямой, умение сравнивать числа, заданные в различных форматах. Помните, что можно сравнивать только те числа, которые приведены к единому виду. Например, чтобы сравнить 2³ и 9,45 нужно вычислить, что 2³=8. После этого сравнить будет не сложно.

Отдельно поговорим про оценку иррациональных выражений. Здесь важно помнить, что легче всего сравнить квадраты таких чисел. Например, чтобы сравнить

и

, удобно возвести оба числа в квадрат. Тогда мы получим, что

, а

. После чего числа можно легко сравнить.

Когда будете готовиться к этому заданию, советуем повторить тему «Числовые неравенства» из теории алгебры, чтобы как можно лучше сдать ОГЭ.

Задание 8

Это задание является чуть более сложной версией задания № 6. Чтобы подготовиться к нему, стоит выучить формулы сокращенного умножения и свойства арифметического квадратного корня.

Задание 12

Это задача на использование формул. Кажется объемной и сложной, но это не так. Как правило, для решения этой задачи достаточно уметь решать квадратные. и линейные уравнения. Чтобы успешно справиться, нужно выразить из указанной формулы искомую величину, а затем подставить заданные значения. Так вы избежите арифметических ошибок. И не забудьте проверить ответ с помощью подстановки значений!

Задания 15–18

Это простые геометрические задачи. Чаще всего ученики теряют баллы за них, когда ошибаются в формулах и вычислениях. Поэтому, чтобы решить их и получить баллы, нужно пользоваться основными теоремами и формулами геометрии (планиметрии). Также помните о справочных материалах к экзамену — там можно найти много полезного для этих задач. Не забывайте пользоваться и рисунком к заданию.

Задание 19

Это задание связано с теорией планиметрии — раздела геометрии. Чтобы успешно выполнить его, повторите основные формулировки теорем, свойств и признаков.

10 советов, как подготовиться к ОГЭ по математике и сдать его, если ничего не знаешь

Нам это знакомо: экзамен на носу, а ученику кажется, что он ничего не сдаст. Советуем не спешить с выводами. Если все рассчитать, можно успеть подготовиться на 3 или 4. А вот если не заниматься совсем, то результат и правда будет плохим. Все зависит только от вас.

Мы собрали 10 лайфхаков от преподавателей, которые основаны на опыте экзаменов 2021 года и помогут как можно лучше сдать ОГЭ по математике. Пользуйтесь ими, и ваши шансы на хорошую оценку возрастут.

1. Познакомьтесь с экзаменом

Первым делом советуем узнать все об ОГЭ по математике, который вам предстоит сдать. Для этого зайдите на официальный сайт ФИПИ и просмотрите кодификатор — там перечислены все разделы и темы, по которым вас будут проверять. Там же можно найти и методические рекомендации для экзаменуемых.

2. Готовьтесь по плану

Сверьтесь с расписанием экзаменов на 2022 год — это можно сделать на том же сайте ФИПИ. После этого составьте список тем, которые вам нужно повторить, и распределите их по дням недели. Будет полезно перед этим узнать, какие разделы вы знаете лучше, а какие — хуже. Для этого на онлайн-курсах подготовки к ОГЭ по математике в Skysmart мы проводим специальный тест на определение уровня знаний.

3. Тренируйтесь играя

Сухие материалы и стандартные задачи помогают набить руку, но со временем утомляют. Если хотите разгрузить мозг и при этом потратить время с пользой, сделайте подготовку динамичнее. В этом помогут полезные ресурсы с нестандартными задачами по алгебре и геометрии, математические игры и приложения для iOS и Android.

Ходите на дополнительные занятия

Если есть возможность, не отказывайтесь от помощи наставника. Его пользу трудно недооценить: к примеру, на курсах в Skysmart учитель расскажет вам детали экзамена, поможет морально подготовиться к нему, научит решать каждое задание и даст все необходимые материалы.

5. Много практикуйтесь

Чем больше задач вы решите на этапе подготовки, тем проще будет справиться с ними на настоящем экзамене. Тренироваться можно на заданиях из открытого банка ФИПИ, школьных учебников и дополнительных материалов, демоверсии ОГЭ и т. д. Это поможет вам хорошо подготовиться к ОГЭ по математике и сдать его как можно лучше.

6. Учитесь считать устно

Опыт наших экспертов говорит, что на экзаменах по математике школьники чаще всего теряют баллы из-за арифметических ошибок. Чтобы и вы не попали в эту грустную статистику, советуем тренировать устный счет. Для этого старайтесь меньше пользоваться калькулятором во время подготовки, изучите специальные приемы для быстрого счета. Например, формулы сокращенного умножения.

7. Пишите пробники

Тестовые экзамены — ваше главное тренировочное поле перед настоящим экзаменом. Старайтесь решать пробники в начале, в середине и к концу подготовки. Так вы будете понимать, удается ли вам заполнять пробелы и улучшать результаты. Как сдать пробный ОГЭ по математике — можно узнать у вашего учителя алгебры и геометрии.

8. Помните об отдыхе

Чтобы мозг эффективно усваивал информацию, ему нужен отдых. А потому не занимайтесь по нескольку часов подряд без перерыва, меняйте деятельность в течение дня. Помните об отдыхе, когда будете составлять план занятий на неделю: оставьте хотя бы один выходной день.

9. Не нервничайте

Экзамены в 9-м классе — это ответственный и тяжелый период, но помните: нервы и слезы его не облегчат. Даже наоборот. Переживая, вы будете менее сосредоточены, станете чаще ошибаться, а информация будет хуже усваиваться. Чтобы морально подготовиться к ОГЭ, попросите учителя поделиться советом, как бороться с паникой.

Как решать 9 задание ЕГЭ по математике?

Для решения всех номеров данного подтипа необходимо знать три формулы: представления n-ного элемента через первый и разность прогрессии и суммы n элементов прогрессии в двух записях:

Из чего состоит ОГЭ по математике

В 2022 году на экзамене по математике школьник должен будет решить 25 заданий, которые разделены на две части. К первой части относятся задания с кратким ответом (№ 1–19). Во второй части ученику предстоит написать полное решение к заданиям с развернутым ответом (№ 20–25).

Для каждой части ОГЭ по математике мы собрали рекомендации экспертов, которые помогут решить задания и лучше сдать экзамен. Далее разберем некоторые из них.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Примеры заданий 9 ЕГЭ 2023 по математике

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено

2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Как сдать ОГЭ по математике на 3, 4 и 5

Если ваша цель — сдать на оценку 3, ОГЭ нужно будет написать на 8–14 баллов. Для этого достаточно будет сосредоточиться на легких заданиях экзамена — тех, что входят в первую часть. Из них не менее двух баллов нужно получить за задачи по геометрии — № 15–19.

Если хотите сдать ОГЭ на 4, вы должны будете набрать от 15 до 23 баллов, из них — не менее двух баллов за геометрию. Как и с оценкой 3, в этом случае тоже можно направить основные силы на задания первой части. Но помните: чтобы получить 4 только за первую часть, нужно решить ее как можно лучше. Будет хорошо, если вы попробуете написать и вторую часть: проверяющий будет начислять баллы даже за правильный ход мыслей. Это убережет вас от оценки 3, если в первой части вы допустите больше ошибок, чем рассчитывали.

Если вы нацелены на 5, даже идеально написанная первая часть не даст результата: для такой оценки нужно будет сдать минимум на 25 баллов. Чтобы их получить, придется прорешать все задачи экзамена, которые можете. А если не получается, напишите хоть что-нибудь — вдруг это добавит вам хотя бы 1 дополнительный балл. При этом важно решить как можно больше задач ОГЭ по геометрии: для оценки нужно набрать минимум 2 балла, но лучше перестраховаться.

Критерии оценки этой задачи

4 балла – Обоснованно получен правильный ответ
3 балла – Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано, что либо сумма отлична от 0, либо что она может быть равна 1)
2 балла Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что она всегда отлична от 0
1 балл Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что она всегда отлична от 0
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Пример 2. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение. а) Допустим, что последовательность состоит из двух членов, тогда обозначим их через a и 10a. Отсюда получаем уравнение a +10a = 3024 или 11a = 3024. Данное уравнение не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.

б) Если удастся привести последовательность из трех членов, то гарантировано “да”. Можно легко проверить, что  три числа  252, 2520, 252 образуют искомую последовательность. Как быть, если не решается задача творчески. В этом случае можно по аналогии с первым пунктом попробовать составить уравнения.
в (пример) Приведём пример последовательности из 549 членов:

В данной последовательность 274 пары чисел 1+10 и одно число 10 без пары. В итоге сумма как раз и составляет 3024.
в (оценка) Теперь надо показать, что не может быть более чем 549. Докажем это методом от противного. Для этого допустим, что в последовательности более чем 549 членов.

Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый ивторой, третий и четвёртый, пятый и шестой и т.д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Таким образом, сумма всех членов последовательности не меньше, чем 275⋅11= 3025 > 3024. Получили противоречие.
Ответ: а) нет, б) да, в) 549.

Критерии оценки этой задачи

4 балла Верно выполнены: а), б), в (пример), в (оценка)
3 балла Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в (пример), в (оценка)
2 балла Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в (пример), в (оценка)
1 балл Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в (пример), в (оценка)
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

 По указанным выше критериям оценивалась также следующая задача:

Пример 3. На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.

а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение. Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 9k −18l + 0 ⋅m = −5(k + l + m) .
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 9. По условию 27 < k + l + m < 45 , поэтому k + l + m = 36 . Таким образом, написано 36 чисел.
б) Приведём равенство 9k −18l = −5(k + l + m) к виду 13l =14k + 5m. Так как m ≥ 0 , получаем, что 13l ≥14k , откуда l > k . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в (оценка) Подставим k + l + m = 36 в правую часть равенства 9k −18l = −5(k + l + m) : 9k −18l = −180 , откуда k = 2l − 20. Так как k + l ≤ 36, получаем: 3l − 20 ≤ 36, 3l ≤ 56, l ≤18, k = 2l − 20 ≤16; то есть положительных чисел
не более 16.
в (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два раза написан 0.
Тогда 1/36*(9*16-18*18)=1/36*(144-324)=-5. Т.е. данный  удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.

Какие задания решать, чтобы сдать базовую математику

Задание 1: обязательно делать

Проверяется ваше умение разделить случаи, когда требуется округлить величину в большую сторону, а когда — в меньшую.

Если вы ходите в магазин с наличными, то сталкиваетесь с подобными задачами каждый день. Разделим 100 рублей на стоимость одной упаковки йогурта. Не забывайте приводить все величины к одной размерности:

Так сколько баночек йогурта вам продадут? На 7 штук денег не хватает, значит, округлить полученную величину надо до целого в меньшую сторону. Математическое правило округление в этой задаче не поможет.

Если одна пачка рассчитана на 6 рулонов, то на 63 рулона:

63 : 6 = 10,5. 

Но полпачки вам не продаст. Включаем логику: возьмем меньше — не хватит еще половины пачки на три последних рулона. Значит, округлить надо в большую сторону, взять клей с небольшим запасом. Математическое правило округления снова игнорируем.

Задание 2: обязательно делать

Это задача на здравый смысл. Нужно соотнести величины с их возможными значениями.

Вряд ли грузовой автомобиль может весить как 3 шоколадки (300 г), а взрослый человек — 8 т.

Давайте вместе подберем значения.

• Взрослый человек обычно весит от 50 до 100 кг — что из этого подходит? Конечно, 65 кг.
• Грузовой автомобиль достаточно большой и тяжелый, скорее всего, он весит несколько тонн. Нам подходит 8 т.
• Книга обычно не такая большая и весит до 1 кг. Из оставшегося подойдет 300 г.
• А пуговка совсем маленькая. Значит, берем самый легкий вес — 5 г.

Главное — внимательно перенести ответы в бланк: 3142.

Задание 3: обязательно делать

Задание на работу с графиком, диаграммой или таблицей. Вооружайтесь карандашом, читайте условие с предельной внимательностью и безжалостно отмечайте нужные по условию значения на изображении в КИМ. Вы и представить не можете, сколько выпускников теряет тут баллы по невнимательности.

Мы ярко отметили уровень, соответствующий Амуру, в итоге посчитать все более длинные реки стало проще простого. У вас на экзамене будет так же наглядно!

Задание 4: обязательно делать

Задание проверяет навык работы с формулами. Алгоритм решения напоминает решение задачек на уроке по физике:

• Выписываем формулу из условия.
• Определяем, что нужно найти: единственную букву, значение которой не дано.
• Выражаем искомую величину.
• Подставляем значения из условия в формулу.
• Ищем неизвестное.

Самое трудное тут — правильно выразить искомую величину. Для этого повторяем порядок выполнения арифметических операций, свойства умножения, тренируемся перекидывать через равно множители и слагаемые.

И да, в базе эта задача проста настолько, что даже перекидывать ничего не придется. Нужная величина уже будет слева от равно.

Задание 5: обязательно делать

Простая задача на определение вероятности, которая поможет вам точно сдать базовую математику.

Решаем с помощью формулы:

Внимательно читайте вопрос: спрашивают вероятность купить исправную лампочку. Если из ста 3 неисправны, значит, остальные в порядке и подойдет любая из оставшихся 97. Это и есть наши благоприятные исходы из формулы.

97 : 100 = 0,97.

Будьте внимательны: иногда в задаче есть указание к округлению. Значит, ответ у вас выйдет некрасивый, в виде бесконечной десятичной дроби, которую вы округлите до нужного разряда.

Еще один подвох: формулировка с предлогом «на». К примеру, «На 100 лампочек 3 неисправны. Найдите вероятность купить неисправную». Подходящие исходы тут даны явно: 3 неисправные лампочки. А вот число всех исходов спрятано, и найти его будет нужно сложением исправных и неисправных лампочек: 100 + 3 = 103.

Задание 6: обязательно делать

Задание проверяет навык чтения информации из таблицы и подбора подходящего по условию варианта.

Например, вы нашли вариант позвать первого, третьего и пятого переводчиков. Получите весь набор языков как раз за 12 тысяч. Но обратите внимание, что это решение далеко не единственное.

Задание 7

Мы не выделяем это задание в обязательные, так как для его выполнения понадобится навык анализа поведения функции по графику. Но, как его решать, сейчас коротко расскажем.

Запомним: точка максимума будет на «горке», точка минимума — в «ямке». Функция убывает, если идет вниз слева направо. Возрастает, если идет вверх слева направо.

Если не повезет, то придется вспомнить азы теории по производной.

Здесь все дело в касательных. Нужно внимательно к ним присмотреться. Если касательная к графику возрастает, то значение производной будет положительное, если убывает — отрицательное. Производная будет тем больше по величине (модулю), чем быстрее возрастает или убывает касательная.

Задание 8: обязательно делать

Задача проверяет умение делать логичные выводы из утверждения. Иногда попадаются совсем простые задания, к таким даже дополнительно готовиться не надо.

Все, что от вас требуется, — схематично изобразить на черновике ясень, рябину и осину, указать известную разницу в высоте и внимательно сопоставить картинку с утверждениями.

Важно: не додумывайте дополнительные условия, не указанные в тексте задачи. Учитесь читать строго то, что написано.

Исходя из рисунка выше получаем, что верны только утверждения 1 и 4.

А бывают случаи, когда с визуализацией задачки придется постараться.

Тут иллюстрация не так очевидна, но нам помогут круги Эйлера. Этот инструмент позволяет наглядно изобразить множество объектов. В данном случае — школьников. Давайте прикинем, как ребята могут распределиться по кружкам.

Например, так. Тут из 20 человек на кружки в итоге ходят 13. Причем 10 из них очень активны и выбрали сразу два предмета. Трое ограничились только историей.

Конечно, возможны еще промежуточные варианты, но мы нарисовали два крайних. Теперь попробуем ответить на вопросы.

1. Смотрим на первую картинку. Даже если все ребята будут очень стараться посетить оба кружка, они ограничены условиями задачи и максимум на оба попадут 10 человек из 20. Нет.
2. Тут надо рассмотреть другую крайность, которую мы изобразили на второй картинке. Как бы ребята ни старались не встречаться на кружках, хотя бы трое попадут на оба сразу. Да.
3. Уж точно неверно. На обеих наших картинках есть ребята, которые ходят на историю, но не ходят на математику. Нет.
4. Смотрим на первую картинку. Оба кружка могут посещать максимум 10 человек. 

Так что для решения иногда мало логики — понадобится еще немного воображения. Потренируйтесь, и ваши шансы получить балл увеличатся.

Задание 14: обязательно делать

Задание проверяет базовые навыки счета, которым учат в 5–6-м классах. Чтобы получить балл и сдать базовую математику, надо:

• уметь выполнять арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями;
• правильно расставлять порядок действий;
• быть предельно внимательными.

Уделите пару вечеров отработке алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных и десятичных дробей, и это задание у вас в кармане.

Задание 15

Составители экзамена проверяют ваш навык работы с процентами и единицами отношения. Такие задачи бывают четырех типов.

Тип 1. Найти часть от числа

Часть может быть выражена в процентах или сразу в виде дроби. Например, придется искать треть от чего-то.

Рассмотрим на примере реальной задачи из экзамена:

Прочувствуйте специфику задачи: нам известно целое — вся зарплата до вычета налога. А работать мы будем с кусочком — 13 процентами. Сколько это в рублях, нам еще предстоит узнать.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно сделать три шага:

1. Перевести процент в десятичную дробь.

Для этого всегда надо количество процентов поделить на 100.

13 : 100 = 0,13.

2. Найти, сколько это от зарплаты в рублях.

Запоминаем главное правило для этого типа задач: чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

12 500 ∙ 0,13 = 1 625 (руб.) — налог, который удержат с зарплаты Ивана Кузьмича.

3. Ответить на вопрос задачи.

У нас просили зарплату после вычета налога, а не сам налог.

12 500 – 1625 = 10 875 (руб.).

Будьте внимательны: многие совершают ошибку именно на последнем шаге!

Тип 2. Найти число по его части

Прочувствуйте разницу с прошлой задачей: тут 124 — и есть 25%, то есть одна и та же величина выражена в процентах и в абсолютных величинах, в данном случае — в учениках. Просят узнать целое — 100%.

1. Переводим процент в десятичную дробь:

25 : 100 = 0,25.

2. Находим, сколько учеников всего.

Правило для этого типа задач: чтобы найти целое, надо часть разделить на дробь.

124 : 0,25 = 496 (уч.) — всего.

Тип 3. Найти, сколько процентов часть составляет от целого

Особенность подобных заданий: не дано процентов, есть только абсолютные величины. В данном случае — стоимость футболки в рублях.

1. Находим, какую долю новая цена составляет от первоначальной.

Запоминаем правило: чтобы найти, какую долю часть составляет от целого, надо часть разделить на целое.

680 : 800 = 0,85.

2. Переводим долю в процент.

В прошлых задачах мы уже дважды выполнили обратное действие. В этот раз сделаем наоборот: умножим полученную дробь на 100.

0,85 ∙ 100 = 85% — столько процентов новая цена составляет от старой.

3. Отвечаем на вопрос задачи.

Нас спросили, на сколько процентов цена снизилась, что стала 85% от первоначальной. Конечно, изначально она была 100%. Итого:

100 – 85 = 15%.

Тип 4. Задачи на соотношение

Если перефразировать условие, то за первого кандидата проголосовали 3 части избирателей, а за второго — 2 части. Особенность этих частей в том, что они одинаковые по величине.

Если одна будет состоять из 10 человек, то за первого кандидата будет 30, а за второго — 20.

1. Считаем общее количество частей:

3 + 2 = 5.

2. Узнаем, сколько голосов составляет одна такая часть.

Тут речь о процентах проголосовавших. Сколько всего проголосовало? Конечно, 100%! Значит, каждая из пяти частей «весит»

100 : 5 = 20%.

3. Отвечаем на вопрос задачи.

За проигравшего проголосовало меньше частей избирателей. В нашем случае 2.

20 ∙ 2 = 40%.

Решение этих задач удобнее всего оформить табличкой:

1 часть = 100% : 5 = 20%.

Если рассчитываете решать текстовую задачу, включите здравый смысл. Ответ всегда можно проверить на адекватность благодаря обычной логике. 

Задание 16: обязательно делать

Задание на решение выражения. На самом деле оно проверяет знание теории, так как в этом задании вам могут встретиться:

• выражения со степенями,
• иррациональные выражения,
• логарифмические выражения,
• тригонометрические выражения.

Ваша задача, соответственно, — знать:

• свойства степеней

• свойства корней

• свойства логарифмов

• формулы тригонометрии

Вы можете подробно ознакомиться с ними и научиться выводить в этой статье.

Обратите внимание: нужная теория будет в справочных материалах на экзамене, но это не поможет, если вы не научитесь применять ее для решения заданий. Практика обязательна!

Задание 17: обязательно делать

В номере с уравнениями вам не встретятся тригонометрические. Зато вы точно увидите там:

• линейные уравнения

Раскрываем скобки, если они есть, слагаемые с х переносим в одну сторону от равно, без х — в другую. Приводим подобные и решаем простейшее уравнение.

• квадратные уравнения

Бывают полные и неполные, всего надо повторить три алгоритма решения! А формула дискриминанта еще и в справочных материалах есть.

• иррациональные уравнения

Это те, что с корнем. Чтобы избавиться от корня, возводим обе части уравнения в квадрат и решаем получившееся уравнение. Есть нюансы с областью допустимых значений: подставьте полученные корни в исходное уравнение и проверьте, выполняется ли равенство. Если нет, то подставленное значение решением не будет.

• показательные уравнения

Ваша задача — с помощью формул свойств степеней привести уравнение к виду, когда слева и справа от равно в основании степени будет одно и то же число. После приравниваем показатели и решаем. Вот так:

• логарифмические уравнения

С помощью формул свойств логарифмов приводим уравнение к виду, когда слева и справа от равно будет логарифм с одинаковым основанием. После приравниваем выражения под логарифмом и решаем.

Прелесть уравнений в том, что ответ всегда можно проверить подстановкой вместо x в уравнение. Не забывайте проверять, ведь это возможность убедиться на 100%, что вы не упустите заветный балл.

Задание 19

Если хотите сдать базовую математику и решить номер 19, надо ознакомиться со свойствами целых чисел и признаками делимости. Иногда решение можно найти даже подбором! Попробуйте — времени на базовом ЕГЭ вам точно хватит.

Для начала нужно запомнить все признаки делимости.

А теперь посмотрим на типичное задание 19.

Тут помогут признаки делимости. Отдельного признака для 12 нет, потому нам надо разложить его на множители, признаки делимости для которых есть. 

• На 3: сумма всех цифр делится на 3.
• На 4: число, образованное последними двумя цифрами, делится на 4.

Теперь проверим признак для 3: 7 + 5 + 1 + 5 + 7 + 6 = 31. Какое ближайшее число разделится на 3? Конечно, 30. Если мы вычеркнем единичку, все сойдется.

Другой вариант задания:

А задание такого типа можно попытаться подобрать, расположений не слишком много. Мы все же постараемся порассуждать, чтобы уменьшить количество возможных вариантов.

Чтобы число делилось на 10, оно должно заканчиваться на 0. Например, это получится, если сложить 7 + □7 + □□6. Уже немного легче. Остальное просто подберем. Под условие задачи подойдет 7 + 27 + 356 = 390.

Как решать 2-ю часть ОГЭ по математике в 2022 году

Задание 20

В этом задании школьнику нужно будет применить основные знания алгебры. Советуем внимательно записывать решение и минимально считать в уме. Помните: в заданиях с развернутым ответом все действия нужно изложить логично и обоснованно, иначе можно потерять баллы.

Задание 21

Это классическая текстовая задача, которую удобно решать с помощью таблицы. Если правильно составите ее, останется одно неиспользованное условие. С его помощью можно будет составить уравнение.

Задание 22

Это задача с параметром. В ней требуется построить сложный график, а после найти коэффициенты прямой, при пересечении с которой он будет иметь заданное количество общих точек. Задачу можно решить аналитически и графически. Советуем использовать оба этих варианта, чтобы проверить себя.

Задания 23–25

Это группа заданий по геометрии, в которых нужно показать все свои знания. Так как в этих заданиях проверяют решение, расписывайте все максимально подробно, обязательно обосновывайте свои выводы при помощи теории планиметрии. Неточности в ответе и пропущенные действия могут лишить вас баллов.

Решение задания 9 из ЕГЭ по математике

Как уже говорили, каждый последующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой d.

Скажите, чему равна разность в следующей арифметической прогрессии: 12 17 22 27?

Получается a₂=a₁+d, Точно так же a₃=a₂+d, a₄=a₃+d

А на сколько отличаются элементы, стоящие через один? Например, a₁и a₃ ?

Верно, на две разности, a₃=a₁+2d. Давайте продолжим для остальных элементов:

Видите закономерность? Для того чтобы, скажем, получить 8й элемент последовательности, нужно к первому прибавить 7 разностей, чтобы получить 15-й элемент, нужно прибавить 14 разностей.

a_n=a₁+(n-1)d — первая формула, которую нужно записать и выучить.

В конце концов, доля задач на арифметическую прогрессию из всех задач задания 8 невелика, а за полгода подобные формулы без постоянной практики легко забываются.

Аналогично можно «обосновать» формулу суммы прогрессии.Например, есть следующая прогрессия: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Если я попрошу вас найти сумму первых трех элементов, вам нужно сложить 3 + 5 + 7. Если надо найти сумму первых 6 элементов, соответственно 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13. Обозначается сумма прогрессии буквой S:

Число внизу означает число первых элементов, которые мы суммируем.

Давайте теперь получим формулу, по которой можно рассчитывать сумму первых n элементов в зависимости от n. Попробуем на примере прогрессии, которую мы знаем. Скажем, нужно узнать сумму первых 9 элементов такой прогрессии:

1 2 3 4 5 6 7 8 9, S₉ – ?

Можно просто «руками» сложить все 9 чисел и получить ответ. Но если мы работаем с очень большой прогрессией (скажем, больше 100 элементов), это очень долгий способ.

Заметьте вот такую штуку: 1 + 9=10, 2 + 8=10 тоже, как и 3 + 7. Складывая 1е число слева и 1е справа, мы получаем такую же сумму, как и складывая, скажем, 4е число слева и справа. В сумме они равны 10, в среднем (если разделить такую пару пополам) 5. Единственное число, которое не с чем складывать — это 5, но оно как раз равно среднему!

Выходит, у арифметической прогрессии есть некоторое «среднее число», которое в этой прогрессии равно 5. И если мы сложим 9 чисел прогрессии, мы получим то же самое, как если мы сложим 9 пятерок, проще говоря, умножим 9 на 5. Так мы тоже получим сумму прогрессии.

Вывод: для того, чтобы посчитать сумму прогрессии, нужно среднее число прогрессии умножить на число элементов.

Это вторая формула, которую вам следует знать.

Теперь, если подставить первую полученную формулу во вторую, мы получим третью формулу:

Эти три формулы нужно знать или научиться получать, чтобы решать задания 9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.