10 типичных ошибок на ЕГЭ по математике

Самые частые ошибки в ЕГЭ по математике связаны с дробями и отрицательными числами — такие результаты из года в год отмечают специалисты из федеральной группы разработчиков ЕГЭ по математике. То есть «слабым местом» оказались темы, которые ученики проходят в 5-7 классах. В «топ» также входит: невнимательная работа с вероятностью, неправильное чтение графиков, незнание основных планиметрических утверждений, неумение работать с формулами стереометрии.

Экзаменаторы отмечают, что ученики не понимают условие задания, допускают простейшие арифметические ошибки и не умеют себя проверить — все это, естественно, очень негативно влияет на результат. Выяснилось также, что геометрию школьники знают хуже алгебры. По наблюдениям экзаменаторов, больше половины учеников не умеют доказывать, — а ведь даже правильно решенный пример без доказательства не засчитываДля того чтобы успешно сдать экзамен по математике, важно пройти всю программу целиком, а не только «то, что пригодится на экзамене», повысить свою культуру вычислений, то есть минимизировать использование калькуляторов, развивать умение читать графики, правильно использовать терминологию и учить формулы.

Чем ученики больше знают — тем меньше стресс и больше уверенность в себе и своих силах. Очень важна аксиома: Больше знаешь – меньше боишься, меньше боишься — больше веришь в победу, веришь в победу — значит победишь. Задача педагогов и родителей заставить поверить в это учеников.

1) Практико-ориентированные задания базового уровня

Для заданий базового уровня первой части (1, 2, 4), проверяющих умения исполь-

зовать приобретенные знания и умения в практической деятельности

и повседневной жизни, строить и исследовать простейшие математические моде-

ли, уровень усвоения достигнут (свыше 50%). Практико-ориентированные задачи

не являются для участников неожиданными, задания такого типа они решали при

сдаче основного государственного экзамена в модуле «Реальная математика».

Умение решать задания этого модуля являлось обязательным (не менее 2) для

прохождения аттестационного рубежа в большинстве регионов Российской Фе-

дерации, поэтому такие задания учащиеся решали на уроках математики основ-

ной школы. Задания такого типа также включались в учебный материал при изу-

чении математики в старшей школе

2) Рассмотрим основные подходы к решению нового типа задач ЕГЭ по математике – задач с «экономическим содержанием».

Решение задач по формуле.

Мы знаем, что если число А увеличить на р %, станет А(1 ).Если число А уменьшить на р %, станет А(1-.)

Цена товара А руб. была повышена на 25%.  На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.

Решение: Цена товара после повышения стала А(1 ). Допустим надо снизить на р %, тогда цена товара после снижения станет А(1 )(1-) и получим первоначальную цену товара: А(1 )(1-) = А. Откуда получим ответ: 20%

2.Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленая сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение: Положим в банк А рублей под р% годовых. Через год сумма на счету станет равной А(1 )рублей. Сняв четверть данной суммы, получим  А(1 ). Теперь на эту сумму начисляют новый процент  А(1 )(1 ), который стал 1,44А. Решив данное уравнение, получим ответ р=20%, тогда новый процент равен 60%.

3.Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Допустим фермер получил А рублей под р% годовых. Через год долг будет А(1 )руб. Т.к. фермер вернул долга, то осталось  А(1 ). После 2-го года долг вырос на р% и стал А(1 )А(1 )= А(1 )2.Теперь, чтобы погасить долг, фермер внес сумму на 21% большую, т.е. А(1 ) и погасил кредит, т.е  А(1 )2 — А(1 )=0. Решив данное уравнение, получим р=120%.

II. Некоторые задачи лучше решать в общем виде, не подставляя первоначальные данные, так как можно запутаться в вычислениях.

4. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентоввкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.  Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение: пусть первоначальный вклад составил А рублей и вкладчик ежегодно добавлял х рублей. К началу 2-года величина вклада составила А (1 )= 1,5А рублей;

К началу 3-года величина вклада составила (1,5А  х)1,5 х рублей;
К началу 4-года величина вклада составила ((1,5А  х)1,5 х)1,5 х  рублей;
К началу 5-года величина вклада составила (((1,5А  х)1,5 х)1,5 х)1,5 х    рублей;
К концу 5-года величина вклада составила((((1,5А  х)1,5 х)1,5 х)1,5 х)1,5 рублей. По условию задачиразмер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% , т.е стал А(1 ).

Раскрыв скобки, получим следующее выражение:

()5А ()4х ()3х ()2х ()х=А=А

х=А

Отсюда, подставив вместо А=3900 тысяч, получим х=210000.

3. Применение свойства степеней

5.За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере , затем , потом и, наконец,  в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад 
находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения  первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение: Пусть первоначальная сумма вклада будет А рублей то через месяц эта сумма станет А(1  )руб. Если ставку не менять, то сумма увеличится опять на 5% и станет А(1  )2 и т.д. Пусть первая ставка продержалась k, вторая — m, третья — n, последняя — t месяцев.

Тогда сумма увеличилась в А(1  )к(1  )m(1  )n(1  )t раз. И по истечении срока хранения  первоначальная сумма стала А (1 )

А(1  )к(1  )m(1  )n(1  )t=Применяя свойства степеней, получим 2 -3.3-1.50.72

приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:

Откуда k=m=1. n=3, t=2. Тогда срок хранения вклада 1 1 3 2=7 месяцев.

4. Решение задач с помощью математического анализа

6. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года — y % годовых, причем известно, что x y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение:Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму А руб. Тогда через год при х % годовых на счету окажется сумма А (1 ) руб.

Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается  сумма . В банке меняется процентная ставка и составляет теперь  у %, т.е (30-х)%. Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется  Нас интересует значение х, при котором значение  f(x) = будет максимальным. Исследуем данную функцию методами математического анализа. 

f/(x)=0 при 

или Максимальное значение функция f(x) примет в точке х0  (вершина параболы), то есть в точке  =25.

Ответ: 25%.

5. Задачи на сравнение.

7. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Решение:

Тогда сумма увеличится в  =1,96 , т.е. на 96%

Ответ: на 96%.

Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.

3)В профильном ЕГЭ 2022 года модель задачи 15 (ранее – задача С1) не претерпела никаких изменений по сравнению с прошлым годом. Уже традиционно это была задача, состоящая из двух пунктов: решить тригонометрическое уравнение и отобрать корни уравнения из указанного промежутка.

Задача 15 ЕГЭ (профильный уровень) в 2022 году предполагала умение учащихся решать уравнения [4, 5, 6]. А именно:

– знание основных тригонометрических формул (основное тригонометрическое тождество);

– владение методом замены переменной при решении уравнения;

– умение решать квадратные уравнения;

– вычислительные навыки работы с числовыми иррациональными выражениями;

– умение решать простейшие тригонометрические уравнения по общим и частным формулам;

– знание области значений тригонометрических функций;

– владение хотя бы одним из способов отбора корней тригонометрического уравнения из указанного промежутка: с помощью единичной окружности, решением двойного неравенства, перебором, с помощью графика функции.

Приведем один из примеров задачи 15:

а) Решите уравнение: .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Задача оценивалась экспертами ЕГЭ:

– 2 баллами при обоснованном решении обоих пунктов;

– 1 баллом при обоснованном решении одного из пунктов задачи или если получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов;

– 0 баллов во всех остальных случаях [1].

На рисунке наглядно представлены результаты выполнения задания 15 экзаменационной работы ЕГЭ (профильный уровень) учащимися Алтайского края в 2022 года в первичных баллах.

Результаты выполнения задания 15 в первичных баллах

Можно выделить ряд типичных ошибок участников экзамена при выполнении данного задания.

1. Одной из самых распространенных ошибок при решении задачи 15 в 2022 году были неточности и заблуждения в формулах корней простейших тригонометрических уравнений: использование формулы корней для простейшего тригонометрического уравнения относительно синуса – к уравнению относительно косинуса и, наоборот, неверная периодичность корней, описки и другие ошибки в записи корня. Эти ошибки приводили к тому, что решения уравнения указывались неверно, и как следствие – первый пункт задачи не был выполнен.

Например, при решении простейшего тригонометрического уравнения относительно синуса  учащиеся приводили:

а) неверное решение , , ошибочно используя формулу для корней простейшего тригонометрического уравнения относительно косинуса;

б) неверное решение ,  вместо верного решения , .

2. Не менее редкой ошибкой при решении задачи 15 в 2022 году было неверное вычисление значения обратной тригонометрической функции: либо неверные значения аркфункций, либо неверное преобразование аркфункций отрицательного аргумента. Эти ошибки также приводили к тому, что корни уравнения указывались неверно, и как следствие – первый пункт задачи не был выполнен.

Например, при решении простейшего тригонометрического уравнения , учащиеся допускали типичную ошибку: считали равным , а не .

Кроме того, часто учащиеся считали, что  вместо верного . Возможно перенося свойство четности функции  на функцию .

3. Достаточно много ошибок было связано с незнанием множества значений тригонометрических функций синус и косинус. Учащиеся записывали формулу корней тригонометрических уравнений  или  не принимая во внимание условие , при котором эти уравнения вообще имеют решения.

Например, в работах учащихся довольно часто в формуле корней тригонометрического уравнения встречались несуществующие значения обратных тригонометрических функций:  (не замечая, что ) и др.

4. К типичным ошибкам при решении задачи 15 можно отнести потерю корней при переходе от решения простейшего тригонометрического уравнения в общем виде к частному виду.

Например, записав верное решение  уравнения , упрощая выражение в правой части равенства, учащиеся допускали ошибку: например, записывая . Последняя формула задает совсем не те значения, которые задает первая формула. В итоге – в ответе пункта а) записано неверное решение.

5. Нарушение логики умозаключений, отсутствие логических связок, рассмотрение одного частного случая верного равенства вместо решения задачи

Например, от уравнения вида «сумма равна нулю» учащиеся довольно часто переходили к системе уравнений, в которой приравнивали к нулю каждое слагаемое. При этом, делая ошибочное заключение «сумма равно нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю». Среди работ 2022 года ошибка такого рода приобрела популярность. Учащиеся сводили глобальное решение уравнения к исследованию одного частного случая. Причем, размышления чаще всего проводились без логических связок «и» или «или».

6. Неточности и описки при решении тригонометрического уравнения или отборе корней уравнения из указанного промежутка

7. Нехарактерная в прошлых годах для задачи такого типа ошибка – неумение работать с иррациональными числовыми выражениями. В связи с этим для многих учащихся решение квадратного уравнения с иррациональными коэффициентами представляло трудность (чаще всего решение не доводилось до конца).

Например, получив (после замены тригонометрической функции на t) квадратное уравнение , многие учащиеся испытывали затруднения даже при вычислении дискриминанта (по причине иррациональности коэффициентов). Некоторые учащиеся, все-таки вычислив дискриминант и получив , не провели преобразование . Это сделало корни уравнения громоздкими  и в основном приводило решение в тупик.

8. По-прежнему, как и в прошлых годах, учащиеся теряют баллы в пункте б) решения задачи 15 по причине отсутствия обоснования отбора корней из промежутка. 1 балл за решение пункта б) выставляется при условии присутствия «следов» отбора корней, что зачастую не имело места в работах участников экзамена 2022 года.

Следует отметить, что по сравнению с 2022 годом при решении задачи 15 улучшилась ситуация с обоснованным отбором корней их промежутка. Учащиеся активно использовали различные способы отбора корней:

1. Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

2. Алгебраический способ:

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

3. Геометрический способ:

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

4. Функционально-графический способ:

выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.

В основном учащиеся успешно проводили отбор корней, принадлежащих промежутку.

Таким образом, на основе анализа типичных ошибок в решениях задачи 15 участников ЕГЭ по математике в 2022 году среди причин их появления можно выделить: незнание основных формул корней простейших тригонометрических уравнений, табличных значений тригонометрических функций; невладение понятием множества значений тригонометрической функции, недостаточно развитые вычислительные навыки и навыки тождественных преобразований.

Для предупреждения этих ошибок, в узком смысле, необходимо при изучении раздела «Тригонометрия» в основной и старшей школе добиваться от учащихся абсолютного знания всех основных теоретических сведений этого раздела, так как это служит основой успешного преобразования тригонометрического выражения, решения тригонометрического уравнения и неравенства, присутствующих в КИМах профильного ЕГЭ по математике.

В широком смысле, необходимо обеспечить тенденцию повышения качества результатов ЕГЭ с применением комплекса мер, в первую очередь организационно-методического и методического характера, по выявлению потенциальных погрешностей в решении задач 15 профильного уровня будущими участниками экзамена 2022 г. и осуществлению соответствующих корректирующих мероприятий.

Для учащихся с разным уровнем подготовки должны быть выстроены принципиально разные стратегии подготовки к профильному экзамену, необходима дифференциация обучения, разработка стратегии обучения и подготовки к выпускному экзамену с учетом уже имеющегося у выпускника уровня образовательной подготовки. Прежде всего, учителю необходимо познакомиться со структурой и содержанием КИМов, сравнить их с содержанием программного материала и того учебника, по которому учатся школьники. Целесообразно организовать еще и индивидуальное повторение, учитывающее пробелы в знаниях и умениях конкретного ученика, и с помощью диагностических работ систематически фиксировать продвижение старшеклассника по пути достижения уровня запланированных требований.

При новой форме диагностики качества образования учителю необходимо непрерывно повышать свой профессиональный академический уровень [2]. Если раньше (до ЕГЭ) учитель считал, что подготовка выпускников к поступлению в вуз не является его задачей и задачей школы, что учитель не несет ответственности за поступление или не поступление в вуз, то сейчас каждый учитель (как основной, так и старшей школы) заинтересован в получении высоких результатов ЕГЭ, так как по ним могут судить о его профессионально-академическом уровне. В этом смысле задача 15 (повышенного уровня сложности) профильного ЕГЭ по математике является перспективной в силу своей доступности учащимся со средним и хорошим уровнем подготовки по предмету.

4)Задачи с физическим содержанием

   Задачи  больше по физике, чем по математике, но необходимые формулы и величины даны в условии. Большинство задач сводится к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства.

Поэтому необходимо уметь решать такие  уравнения и неравенства, и определять ответ (имеются задачи, в которых нужно выбрать одно из двух решений, имеются и другие нюансы, мы их рассмотрим).  

Есть задачи которые сводятся к решению показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств.  Ответ в любом случае, должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

На что необходимо обратить внимание:

1. Если в вопросе прозвучало «определить наибольшее значение», «определить наименьшее значение», то задача в большинстве случаев решается через составление неравенства.

2. Правильно определяйте знак при составлении неравенства. Например: b не менее 21 записывается как  b≥21.

3. Если в вопросе задачи прозвучало «сколько», то составляется уравнение.

4. Не забывайте про единицы измерения, если это необходимо (переводим метры с сантиметры, наоборот и пр.)

5. Не упускайте из виду, в каких единицах измерения требуется записать ответ (например, решив задачу, вы получили 0,5 часа, в условии сказано записать ответ в минутах, получается 30 минут; если запишите  0,5 – это ошибка и потерянный бал, хотя задача решена, верно).

5) Задачи на %

 традиционно являются наиболее сложными для выпускников. Поэтому приведем решение нескольких задач с процентами.

1. Число по­се­ти­те­лей сайта уве­ли­чи­лось за месяц вчет­ве­ро. На сколь­ко про­цен­тов уве­ли­чи­лось число по­се­ти­те­лей сайта за этот месяц?

Решение. Пусть число посетителей было х. По условию задачи их стало 4х.

Таким образом произошло увеличение на 3х. Количество процентов может быть вычислено так:

3х/х*100%=300%

Ответ: 300%

2. Среди 40 000 жителей города 60% не интересуются футболом. Среди фут­боль­ных бо­лель­щи­ков 80% смот­ре­ло по те­ле­ви­зо­ру финал Лиги чем­пи­о­нов. Сколь­ко жи­те­лей го­ро­да смот­ре­ло этот матч по те­ле­ви­зо­ру?

 Решение. Не ин­те­ре­су­ют­ся фут­бо­лом 40000*0,6 = 24 000 че­ло­век, а ин­те­ре­су­ют­ся — 40000 − 24000 = 16000. Таким образом, смот­ре­ли 16000 * 0,8 = 12800 че­ло­век.

Ответ: 12800

6)Вычислительные

То, что многие ребята плохо считают без калькулятора — не секрет. Но и те, которые считают хорошо, тоже допускают вычислительные ошибки. Причина видится не только в банальной невнимательности, но и в том, что порой учащимся не хватает умения и/или желания заниматься проверками полученные результатов. Ошибки некоторых заданий всплывают на поверхность сами, проявляя явные числовые или житейские коллизии. Например, получив в задаче об оплате за свет в текущем месяце сумму в 300 тысяч рублей, ученик не задумываясь, переносит ее в бланк. Но разве она может равняться полугодовой зарплате среднестатистического работника? Ответ можно всегда проверить подстановкой полученного ответа в исходное уравнение и т.д.

7)Как избежать ошибок в задачах на нахождение площадей

 Методы нахождения площади плоских фигур.

Рассмотрим несколько способов нахождения площади плоских фигур:

формула Пика,

метод обводки.

1. Формула Пика.

Формула, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника: Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Пример 1. Найдём площадь параллелограмма: Отметим узлы:

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Пример 2. Найдём площадь трапеции: Отметим узлы:

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Пример 3. Найдём площадь многоугольника: Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно  это делать и таким образом.  А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5

1.2 Метод обводки.

Достроить искомую фигуру до прямоугольника.

Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.

Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Бывает, что не так-то просто рассчитать, сколько клеток в нужном отрезке. Вот смотри, треугольник:

Вроде бы даже прямоугольный и S=12⋅abS=​2​​1​​⋅ab, но чему тут равно aa, и чему равно bb? Как узнать? Применим для полной ясности оба способа

I способ.

Найдем  по теореме Пифагора из ΔADC а  по теореме Пифагора из ΔBCE. На листе в клетку легко посчитать длину катетов.

Итак:

Значит, 

Теперь 

 Значит, 

Подставляем в формулу:

Значит, 

II способ 

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:

Получился один (нужный) треугольник внутри и три ненужных треугольника снаружи. Но площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку. Посчитаем их, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.

Итак, 

Почему же этот способ лучше? Потому что он работает и для любых фигур. К примеру, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.

А теперь чтобы найти площадь  просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге.

Значит, 

Вот и ответ: 

Задачи с решением.

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:
Разобьём четырёхугольник диагональю РС на два треугольника.Диагональ эта хороша тем, что идёт под углом 45° к горизонту.Проведём через точки А и В прямые, параллельные диагонали.

Если на верхней прямой взять любую точку Т, то площадь треугольника РТСокажется равной площади треугольника РАС, т.к. основание РС у них общее,
а высоты, проведённые к РС, равны. Такие же рассуждения о точке К.

Таким образом, если удачно разместить точки Ти К, как на рисунке выше, то 

SACBP = SPAC  SPBC = SPTC  SPKC = STKP = 0,5·6·3 = 9

Ответ: 9

Возможны и другие варианты расположения точек Т и К:

Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными единице.

Решение:

Отрежем у данной фигуры все полукруглые части (выпуклости), которые выходят за рамки квадрата 4·4, и аккуратно упакуем их на свободные в квадрате места.
Площадь данной причудливой фигуры просто равна площади квадрата 4·4 = 16.
Ответ: 16

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

Опишем около неё прямоугольник.

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Ответ: 4,5

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 93. Найдите площадь заштрихованного сектора.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. В ответе запишите S/π.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задачи для закрепления.

1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

2. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

3. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

4. Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

5. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

6. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

7. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

9. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

10. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

11. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1, 1), (4,4), (5, 1).

12. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1, 0), (0, 2), (4, 4), (5, 2).

13. Найдите площадь S круга, изображенного на рисунке. В ответе укажите. Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

14. Найдите площадь S круга, описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите  (в кв. см).

15. В ромб ABCD, площадь которого равна , вписан круг. Найдите площадь круга, если размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см.

16.Найдите площадь S круга, описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите  (в кв. см).

17. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольникаАВС. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите ( в кв. см).

18. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольникаАВС. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см*1см. В ответе укажите (в кв. см).

19. Найдите площадь S круга, описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите  . Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.

20. Найдите площадь S круга, описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.

21. Найдите площадь S круга, изображенного на рисунке. В ответе укажите. Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

22. Найдите площадь S сектора. В ответе укажите . Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

23. Найдите площадь S заштрихованной части кругового сектора АОВ. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите  (в кв. см).

24.Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника АВСD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см 1см. В ответе укажите  (в кв. см).

25. Два одинаковых круга касаются друг друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите площадь одного круга, если площадь прямоугольника равна.

26. Две одинаковых окружности касаются друг друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите периметр прямоугольника, если длина каждой окружности равна 3,6

27. Диаметр полукруга совпадает со стороной прямоугольника ABCD, а 3 другие стороны прямоугольника касаются полукруга. Найдите длину полуокружности, если периметр прямоугольника равен .

Задачи для самостоятельных и зачетных работ.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Найдите площадь квадрата, вершины которого имеют координаты (4;3), (10;3), (10;9), (4;9).

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображен параллелограмм (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных клеток равны .

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).

  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах

 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описаной около него окружности.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 11. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).

 Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Точки O(0; 0), A(10; 0), B(8; 6), C(2; 6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). В ответе запишите .

 Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол которого равен 90°

.  Найдите центральный угол сектора круга радиуса , площадь которого равна . Ответ дайте в градусах.

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Зачет

№1

Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

№2

Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

№3

В детском саду дети делали аппликации родителям в подарок. Найдите площадь аппликации (окрашенной фигуры), изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1.

2.

3.

4.

5.

№4 В детском саду дети делали фото- рамки родителям в подарок. Найдите площадь фото-рамки (окрашенной фигуры), изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

6.

7.

8.

9.

10

8) Нахождение площади поверхности  В составе  ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления  проты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.

В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку,  всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.

Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.

Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Используем оговоренный способ. Он  нагляден. На листе в клетку строим все элементы  (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.

Ответ: 72

Предлагается таблица с основными темами ,проверяемыми на ЕГЭ и меры по предотвращению ошибок.

Это самые важные и основные темы при подготовке к единому государственному экзамену по математике. Необходимо обратить внимание на эти моменты.

Литература

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) http://fdp.tsu.tula.ru/useful/TrainingMathematicEGE