Задание 9. Текстовые задачи — профильный ЕГЭ по математике

Задачи на абстрактную работу

1. Через первую трубу бассейн
наполняется за а ч, через вторую трубу — за b ч. За сколько часов бассейн
наполнится через обе трубы? Решим задачу по действиям:

   1). 1: a
;
a

2). 1:b
;
b

  
3). 1 1 a ; a b      ab

  
4). 1: a .
ab   a b

Тот же результат модно получить, выразив x из
равенства

                                                                                                        1     1     1

         ,          (1). a b x

Где х ч – время наполнения бассейна через обе трубы. Ответ к
задаче дает формула ab               x
.              
(2)

Через первую трубу бассейн наполняется за а ч, через вторую трубу
– за b ч, через третью – за с ч. За сколько часов бассейн наполнится через три
трубы при их совместной работе? 

Бак наполняют через три трубы: через первую за а ч, через вторую
трубу за b ч, а через все три трубы за х ч. За сколько часов бак наполнится
через одну третью трубу?        Составим формулы для решения задач 2 и
3. Из равенства 

                                                                                   1     1    1     1

                                                               
               

а b c x

где
х ч – время наполнения бассейна  (бака) через все три трубы, получим формулы
(3)  и (4)  для решения задач 11 и 12 соответственно:  abc

                                                 
               
abx

c
ab
ax
bx

1. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу
за 6 часов. За какое время может разгрузить баржу каждый кран, работая
отдельно, если один из них может разгрузить ее на 5 часов скорее, чем другой?
Образец решения:  А=k*t

Так как kkk, составим
уравнение                                                                                                    

                1       1        1

  ,
x 5      6

X 7X 30
0

X10,
X0

 Ответ: 10 ч; 15 ч.

первый контролер
тратит на проверку партии  изделий 30 мин больше, чем второй. Если бы они
работали вмести , то проверили бы партии  за  6/7 часа.  За сколько времени
проверит партию каждый контролер в отдельности? Ответ: 2ч.; 1,5ч.

Чан наполняется
двумя кранами А и В. Наполнение чана только через кран А длится на 22 мин
дольше, чем через кран В. Если же открыты  оба крана, то чан наполняется  за
один час. За  какой промежуток времени каждый кран  отдельно может наполнить
чан? Ответ:2ч.;1ч.

Два грузовика,
работая вместе, перевозили зерно в течение 4 ч. За какое время перевезет  это
же количество  зерна каждый грузовик в отдельности, если одному из них нужно
для этого на 6 часов больше, чем другому? Ответ: 6ч.; 12ч.

Два экскаватора
вырыли котлован за 24 дня. Первый экскаватор мог бы выполнить эту работу в 1,5
раза быстрее, чем второй. За сколько дней первый экскаватор мог бы выполнить
эту работу? Ответ:40 дней.

Два экскаватора,
работая одновременно, выкапывают котлован за 12 ч. За сколько времени мог бы
выкопать этот котлован  каждый из экскаваторов в отдельности, если скорости выполнения 
работы экскаваторов относятся как 3:2. Ответ:20ч.; 30ч.

7.Один завод может выполнить
некоторый заказ на 4 дня быстрее,  чем другой. За какое время  может выполнить
этот заказ каждый завод, если известно, что при совместной работе за 24 дня они
выполнили заказ, в пять раз больший? Ответ: 8дней, 12 дней

Два крана,
открытые одновременно, могут наполнить 5/6 ванны за 18 минут. За какое время
наполнит ванну каждый из них, если один наполняет ванну  на 18 минут быстрее
другого? Ответ:36 мин.; 54 мин.

Первая труба
наполняет бак на 2 дольше, а вторая — на 4,5 ч. дольше, чем наполняют этот бак
обе трубы, открытые  одновременно. Сколько времени потребуется, чтобы наполнить
бак через одну первую трубу? Ответ:5ч.

10.Две трубы, открытые одновременно,
наполняют бассейн за 5 часов. Если расход воды через первую трубу увеличить в 2
раза, а через вторую трубу уменьшить в 2 раза, то бассейн наполнится за 4 часа.
За какое время наполняет  бассейн первая труба? Ответ:10ч.

Две
снегоуборочные машины, работая вместе, могут очистить от снега определённую
площадь за 12 ч. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а
затем вторая закончила уборку снега, то на всю работу ушло бы 25ч. За сколько
часов могла бы очистить от снега эту площадь каждая машина, работая отдельно?

                                                        
1
,              х

1
,

х1у 11225;            у
301
.

                                                          2х 2у                     20

А = 30 Ч,; к

 Ответ: 30ч, 20 ч.

Если одновременно
открыть два крана, то бассейн наполнится за 4 часа 30 мин. Если же наполнить
половину бассейна через один кран, а другую половину – через другой, то для
наполнения, бассейна потребуется 12 ч. За какое время наполняет бассейн  каждый
кран? Ответ: 6ч.;18ч.

Двое рабочих
вместе могут выполнить некоторую работу за 16 ч. Если первый из них выполнит
5/6  всей работы, а затем  второй оставшуюся часть, то на выполнение этой
работы они потратят 28 ч. Сколько времени потребуется каждому рабочему на выполнение
всей работы в отдельности?  Ответ: 24ч.; 48ч.; 22,4ч.; 56ч.

Двое рабочих,
работая вместе, могли выполнить некоторую работу за 8 часов. Случилось так, что
первый рабочий работал 5 часов, а второй — 8 ч,  в результате  они
выполнили 11/14 всей работы.

За сколько
часов мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности? 

Ответ: 14ч. 18ч.

Первая бригада грузчиков может разгрузить товарный состав на один
час быстрее, чем  вторая бригада. Если 7/8 состава будут разгружать обе бригады
вместе, а оставшаяся часть  будет разгружаться только второй бригадой, то на
выполнение всей работы по разгрузке  состава потребуется 2 ч. За какое время
может разгрузить состав каждая бригада, работая  отдельно? Ответ:3ч.; 4ч.

Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный
участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что
сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги
вторая бригада, производительность труда которой более высокая, чем первой бригады.
В результате ремонт заданного  участка дороги продолжался 40 дней, причем
первая бригада в свое рабочее время  выполнила  всей работы. За
сколько дней был отремонтирован участок дороги каждой 

бригады отдельно? Ответ:45 дней; 30 дней.

Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов.
Если первый  мастер будет работать 9 часов, а потом его сменит второй, то он
закончит работу через  4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из
мастеров,  работая отдельно?                  Образец решения:

                                                                         x y ,

                   Составим систему: 16 x
15,

9x
4y
1y
10
1
.

a     1 t15ч,t10ч. k
Ответ:15ч;10ч.

Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке
деталей на 15 ч. скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает
18ч., выполняя это задание, а потом  бригада слесарей продолжит выполнение
задания в течение 6ч, то и тогда будет выполнено только 3/5 всего задания.
Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения 
данного задания? Ответ:45ч.

Двое рабочих, из которых второй начал работать полутора днями
позже первого, работая независимо один от другого, оклеили обоями несколько
комнат за 7 дней, считая с момента выхода на работу первого рабочего. Если бы
эта работа была поручена каждому отдельно, то первому для выполнения
понадобилось бы три дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них
отдельно выполнил бы эту же работу?  Ответ:14 дней, 11 дней.

20.Два каменщика, второй из которых начинает
работать на три дня позже первого, могут выстроить стену за 14 дней. Известно, 
что первому каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на 6 дней
больше, чем второму. За сколько дней может выстроить эту стену каждый каменщик
в отдельности? Ответ: 22 дня; 28 дней.

21.Двое мастеров, работая вместе, выполняют
некоторые задание за 30дней. После шестидневной совместной работы один из них,
работая отдельно,  может окончить   это  задание за 40 дней. За сколько дней
каждый из них, работая отдельно, может выполнить задание? Ответ: 50 дней; 75
дней.

22.Два печника  могут сложить печь за 12ч. Если
первый печник будет работать 2ч, а второй 3ч, то они выполняют только 20% всей
работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно?
Ответ:20ч.; 30ч.

 23.Двум трактористам было поручено вспахать поле.
После того как первый пропахал 7ч, а второй 4ч, оказалось, что они вспахали5/9
всего поля. Проработав вместе 4ч, они установили, что им осталось вспахать 1/18
часть поля. За сколько часов каждый из трактористов, работая в отдельности, мог
бы вспахать все поле?     Ответ:18ч.; 24ч.

Первая труба наполняет бассейн на 3ч. быстрее, чем вторая, вторая
– на 2ч дольше, чем третья. При одновременной работе первой и второй трубы
бассейн наполняется за 2ч.

За какое время будет наполнен бассейн, если открыть
сразу три трубы. Ответ: 1ч. 20мин.

Три тракториста бригады вместе вспахивали поле   за 4 дня.
Первая  и третья бригады вместе вспахивали бы это поле за 6 дней, а первая и
вторая вместе – за 8 дней. Во сколько раз третья бригада вспахивает  за весь
день  больше, чем вторая? Ответ: в 1,5 раза.

Для наполнения плавательного бассейна  водой имеются три насоса.
Первому насосу для наполнения  бассейна требуется в три раза меньше чем
второму  и на 2ч больше чем третьему. Три насоса, работая вместе, наполнили бы
бассейн за 3 ч, но  по условию эксплуатации одновременно должно работать только
2 насоса. Определите минимальную стоимость наполнения  бассейна,  если 1ч работы
любого из насоса  стоит 140 рублей. (Производительность насоса  постоянна в
течение работы.). Ответ: 480 руб.

Для наполнения газгольдера сжатым газом имеются 3 компрессора.
Первому компрессору для наполнения газгольдера требуется  времени вдвое меньше,
чем второму, и на 4 ч больше, чем третьему. Три компрессора, работая вместе,
наполнили бы газгольдера за  4ч, но по технологическим требованиям одновременно
должны работать только два из них. Определите минимальное время (в минутах)
наполнения газгольдера. (Производительность каждого компрессора постоянна в
течение всей работы.) Ответ: 288 мин.

Вычисления, простейшие уравнения и пропорции

1. Стоимость 1 килограмма тыквы составляет 75 рублей. Антон купил тыкву весом 4 кг 400 г. Сколько рублей сдачи он должен получить с 350 рублей?

Купленная тыква стоит
рублей. Сдача с 350 рублей составит
рублей.

2. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

За 1 секунду бегун пробежит 10 метров. За 60 секунд (1 минуту) 600 метров. За 1 час он пробежал бы с той же скоростью в 60 раз больше, т.е.
метров. Скорость бегуна 36 км/ч.

3. Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы 6200 км.

Вылет и прилет всегда указываются по местному времени. Если бы самолет вылетел из Магадана ровно в 15.00 по местному времени, он бы находился в пути 8 часов. Поскольку время вылета 15.15, самолет был в полете 7 часов 45 минут, то есть часа.

Задачи
на движение мимо неподвижного наблюдателя

Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с
постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25
с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м. Ответ:
75,6 км/ч.; 147 м

Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого
поезда 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир
пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3
с. Определите скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75м.
Ответ: 50 км/ч.

На расстоянии 199,5 м от окна будки параллельно плоскости окна
проходит горизонтальный железнодорожный путь. Обходчик, находясь в будке на
расстоянии 0,5 м от окна, видит в течение 20 с, как проходит весь поезд (от
локомотива до последнего вагона).

Длина поезда 100 м, и идет он с постоянной
скоростью. Вычислите скорость поезда. 

Ответ: 25 м/с.

Задачи на смеси (сплавы)

1. Смешали 30%-ный раствор соляной
кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого
раствора было взято?

Пусть 30%-ного
раствора взято x граммов, а 10%-ного раствора взято y граммов.

Тогда из условия
ясно, что x+y = 600. Так как первый раствор 30%-ный, то в x
граммах этого раствора содержится  0,3x граммов кислоты.

Аналогично в y
граммах 10%-ного раствора содержится 0,1y граммов кислоты.

В полученной
смеси по условию задачи содержится 600*0,15=90 г кислоты, откуда следует 0,3x+0,1y=90.

Составим систему и решим её:

x
y
600,

0,3x 0,1y 90;

x
y
600,

3x y 900.

X=150, y=600-150=450. Ответ: 150г; 450г.

Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй –
70% кислоты. Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы
получить 100л 50%-ного раствора соляной кислоты? Ответ:40; 60

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий 40%
меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся
новый сплав содержал 30% меди?

Сколько надо добавить воды к 100 г сухого молока с содержанием 7%
воды, чтобы получить молоко с содержанием 60% воды?     Ответ: 132,5

Кусок сплава меди и цинка массой 72 кг содержит 45% меди. Какую
массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал
60% меди? Ответ:27кг.

Имеется кусок  сплава меди с оловом общей массой 12 кг,
содержащий 45% меди. Сколько чистого олова  надо прибавить к этому куску,
сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?  Ответ:1.5кг.

Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг
чистой меди, а второй кусок – 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый
кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого? Ответ:25%

К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после
чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал
раствор и какова была в нем массовая доля соли? Ответ:160г.; 20%

В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия, добавили 15
кг магния, после чего содержание магния в сплаве повысилось на 33%. Сколько
весил сплав первоначально?

Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в
каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40
меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Затем
оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%.
Определить процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если
известно, что в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.  Ответ:20%;
60%.

Сплав меди и олова,  содержащий на 12 кг больше меди, чем олова,
сплавили с 4 кг чистой меди. В результате содержание олова в сплаве понизилось
на 2,5 %. Сколько олова содержится в сплаве? Ответ:24кг.

Имеется,  лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%.
Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали
с содержанием 30% никеля? Ответ: 40т. 100т.

Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40%
меди, второй – 32% меди. Какого веса должны быть эти слитки, чтобы после их
совместной переплавке получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди? Ответ:3кг.;
5кг.

Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18 кг. После того, как из
нее выделили 40% первого вещества и 25% второго, в ней первого вещества стало
столько же, сколько второго. Сколько каждого вещества было в смеси? Ответ:8кг.;
10кг.

Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколько
килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25% целлюлозы?
Ответ:200кг.

Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько кг пресной воды
нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло
2%. Ответ: 120кг.

Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от
значительной части воды. Исследования показали, что нектар содержит 70% воды, а
полученный из него мед 16% воды. Сколько килограммов нектара приходится
перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда? Ответ:2,8кг.

Смешали 20 л 70%-ного спирта, 30 л 50%-ного спирта и 22,5 л воды.
Каково процентное содержание спирта в получившейся смеси? Ответ:40%

Сплав цинка, алюминия и магния отличается большой прочностью и
пластичностью.  Первый такой сплав, массой 120 кг, содержит 20% алюминия.
Второй сплав содержит 30% алюминия и 5% магния. Из этих сплавов получили новый
сплав, содержащий 24% алюминия. Сколько килограммов магния содержалось во
втором сплаве? Ответ:4кг.

Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали
колокола, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе массой 500 кг, содержащей
70%меди, добавили некоторое количество меди и получили бронзу, необходимую для
изготовления колокола. Определите, сколько килограммов меди было добавлено.
Ответ:100кг.

Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит Медина 60 кг
больше, чем у цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди и получили
латунь, в которой 70% меди. Определите процент содержания меди в первоначальном
куске латуни. Ответ:60%.

Латунь-сплав  меди и  цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг.
Больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в
которой 75% меди. Сколько килограммов меди было первоначально? Ответ:22,5кг

В сосуде находится М кг р% раствора соли. Из сосуда выливается а
кг смеси и доливается а кг воды, после чего раствор перемешивается. Эта
процедура повторяется п раз. Докажите,

р           а что после п
процедур концентрация соли будет равна:            (1) . 

Имеется два куска сплава олова и свинца.  первый содержит р1 %
второй — р2%  олова. В каком отношении надо брать массы от этих кусков чтобы
получить сплав с содержанием олова р  %?

                               Докажите,
что  mp.        
(1):

                                                                     mp p

Имеется два куска сплава содержащие 40 % и 60% олова. В каком
отношении  (по массе) надо сплавить части этих кусков, чтобы получить сплав,
содержащий 45  % олова?

     И эту задачу можно решить
подставив р1=40, р2=60, р=45 в равенство(1).  Преобразовав полученное
равенство, имеем: 

3:1.                     
m4540 5

Задачи на проценты

а) Нахождение
процентов от данного числа.

В цехе работают 60 человек, из
них 30% женщины. Определите, сколько женщин работает в цехе.

Требуется найти 30 %  от числа 60, то есть Х = 60 =18
(женщин).    Ответ: 18 женщин. 6) Нахождение числа по его процентам.

        Найдите  размер вклада, 25 %  которого
составляют 150 тыс. руб. 

1) 150:25=60руб.  (1% вклада); 2) 60*100=600руб (весь
вклад)  Ответ: 600 тыс. руб.

в) Нахождение
процентного отношения двух чисел.

Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг  руды
приходится 34, 2 кг меди?

34,2\225=0,152частей
(содержание меди в руде);

0,152*100=15,2%
(процентное содержание меди в руде).

     1.  При добавлении воды к раствору его объем
увеличился на 42 % и стал равным

71 л. Определите первоначальный объем раствора.   
(Ответ: 50л.)

При продаже товара за 1386 тыс. руб. получено 10 %  прибыли.
Определите себестоимость товара.    (Ответ: 1260 руб)

Цистерна вмещает 40 т бензина. После заливки в нее некоторого
количества бензина осталось незаполненным 6,5 % вместимости цистерны. Сколько
бензина залили в цистерну?  (Ответ:37,4 т)  

Постройка дома стоит 98 млн. руб. Из них 65 %  заплатили за
материал, а остальные — за работу. Сколько заплатили за работу? (Ответ: 34,3
млн.руб.)

После снижения цен на 5°/о стоимость 1м материи стала равна 38
тыс. руб. Сколько стоил 1м материи до снижения? (Ответ: 40 тыс. руб.)

На соревнованиях спортсмены завоевали 96 медалей, из них  35
бронзовых и 31 серебряную. Сколько процентов от общего числа составили золотые
медали?  (Ответ: 31,25%)

Сколько процентов соли содержится в растворе, если в 200г
раствора содержится 150 г воды? (Ответ: 25 %.)

Товар с перевозкой стоил 3900 тыс. руб. Сколько процентов от стоимости товара с перевозкой
составляют расходы по перевозке, если стоимость товара равна 3510 тыс.
руб?

Лекарственная ромашка теряет при сушке 84 °/о массы. Сколько
килограммов ромашки нужно собрать, чтобы получить 8 кг сухого растения? (Ответ:
50 кг.)

Мясо теряет при варке около 35 % своего  веса, Сколько нужно
сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?   (Ответ: 800г.)                                           
 

Кофе при жарении теряет 12%  своей массы. Сколько  всего  кофе 
надо взять, чтобы получить 14 кг жареного кофе?  (Ответ: 16 кг.)

При перегонке нефти получается 30% керосина. Сколько   нужно
взять нефти, чтобы получить 18 т керосина?   (Ответ: 62,5т.)

Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной
1312,5тыс. руб. Каков  был первоначальный вклад при 25% готовых?  (Ответ: 840
тыс.руб.)     

Пусть х ( тыс. руб)- первоначальный размер вклада.
В  конце  первого года  вклад составит х+х 1,25х (
тыс.руб), а  в конце второго года 1,25х( 1+ 0,25) = (1,25)х (тыс. руб), то есть
1,25х=1312,5
тыс. руб, откуда х=840 тыс . руб.              Ответ: 840 тыс. руб.

13Докажите формулу «сложных процентов», решив
задачу: в банк положили А руб. под р% годовых на п лет. Сколько А рублей  получит
вкладчик в конце срока?  Ответ: АА(1
).

Банк  предлагает вклад «студенческий». По этому  вкладу  сумма,
имеющаяся    на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число
процентов. Вкладчик вложил  1 января  1000руб и в  течении 2 лет не производил 
со своим вкладом  никаких операции. В результате вложенная сумма им сумма
увеличилась до 1210 рублей. На сколько  процентов  ежегодно   увеличивается
сумма денег,  положенная  на  этот вклад?  (Ответ: 11%)

На заводе 20% всех станков  были переведены  на повышенную
скорость, благодаря чему производительность станка повысилась  на 80%. На 
сколько   процентов  повысился выпуск  продукций? (Ответ: 16%)

Цена товара понизилась на 40%, затем  еще  на 25%. На сколько 
процентов  понизилась   цена товара  по сравнению  с первоначальной? (Ответ:
55%)            

  Первоначальную цену  принимаем за 100%. После 
первого  снижения цена товара равна:

100%-40%=60%. Второе  снижение  происходит от новой
цены, то есть 6015%.

Общее  снижение цены  товара равна 40+15=55%.

Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили ещё
на 15%, и, наконец, после пересчёта  произвели снижение ещё  на 10%. На сколько
процентов снизили первоначальную цену товара?    Эту задачу проще решить
чисто арифметически, не составляя  уравнения.

Пусть первоначальная
цена товара Х рублей, что соответствует 100%.

Тогда после первого
снижения цена товара будет х — 0,2х = 0,8х (р.).

3  После второго снижения  0,8х – 0,25 * 0,8х = 0,68
(р.).

После третьего
снижения 0,68х – 0,68х * 0,2 = 0,612х (р.).

Всего цена товара
снизилась на х — 0,612х = 0,388 (р.)

                                                          
х – 100%,                                                             0,
388x-y%                                                            y%
0,388x38,8%   
Ответ:38,8%.          x

За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%.  В
следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск 
продукции по сравнению с первоначальным.    (Ответ: 35%)

За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 20%.В
следующем  году выпуск увеличился  на 15%.На сколько процентов вырос выпуск по
сравнению с первоначальным?Ответ:38%.

В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой
продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько
процентов завод перевыполнил двухмесячный план    выпуска         продукции?   (Ответ:7,1%)

Цена на товар была повышена на 255. На сколько процентов надо
теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара?    (Ответ: 20%)

Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением
прибыли он повысил цену  на билеты на  25%. Количество посетителей резко 
уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене
билетов. На сколько процентов владелец  дискотеки снизил цену билетов,  если
она стала равной   первоначальной?              

Владелец бензозаправки  повысил цены на бензин на 10 %. Заметив,
что количество  клиентов  резко сократилось,  он понизил  цены на 10%. На
сколько  процентов в результате  этих двух  измерений понизились или 
повысились цены  на  бензин?  Если цены понизились, то перед  числом 
процентов  в ответе  поставьте  знак  минус. Если цены стали  прежними,    в
ответ запишите ноль.  (Ответ:-1%)

Цены на компьютерную технику в среднем  понижались  за год 
дважды  на 20%. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за
год.      (Ответ: 19%)

На хрустальную люстру  подняли цену на 45%, а затем еще на 20%.  
На  сколько процентов увеличилась цена  люстры после двух повышений?    (Ответ:
74%)

Цену на телефонный аппарат  повышали дважды. После второго
повышения аппарат стал стоить в 6 раз дороже, чем вначале. На сколько процентов
повысили цену во второй раз, если в первый раз  цена  была повышена на
50%.       (Ответ: 300%)

После двух последовательных  одинаковых процентных повышений
зарплата суммой в 100тыс.руб  обратилась в 125,44тыс.руб  . Определите на
сколько процентов повышалась

зарплата.         (Ответ: 12%)

Вследствие реконструкции оборудования производительность дважды в
течение года повышалась на один и тот же процент. На сколько процентов
возрастала каждый раз производительность труда рабочего, если он сначала
вырабатывал изделий на 25 тыс. руб, а после реконструкции – на 28,09 тыс.
руб.?      (Ответ: 6%)

Цена товара дважды снижена на одно и тоже число процентов. На
сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная
стоимость 

20 000 руб., а окончательная 11 250 руб.?  (Ответ:
25%)

Цену на словарь повышалась дважды. После второго повышения
словарь стал стоить в два раза дороже, чем в начале. На сколько процентов
повысилась цена в первый раз, если во второй раз цена была повышена на 25%?
(Ответ: 60%)

На мебельный гарнитур повышали цену дважды. На сколько процентов
повысили цену на гарнитур во второй раз, если каждый раз повышали цену на
одинаковое количество процентов, а после второго повышения гарнитур стоил в
1,44 раза больше, чем до первого повышения? (Ответ: 20%)

Цветной телевизор два месяца назад стоил на 20 % дешевле, чем
месяц назад, когда он стоил на 10 % дешевле, чем сейчас. На сколько процентов
дешевле стоил телевизор два месяца назад, чем сейчас? (Ответ: 28%)

33.Определите первоначальную стоимость продукта,
если после подорожания соответственно на 120 %, 200 % и 100 % его конечная
стоимость составила 264 руб. (Ответ:

При выполнении контрольной работы по математике 12 % учеников не
выполнили ни одного задания, 32 % допустили ошибки, а остальные 14 чел решили
задания верно. Сколько всего учеников в классе? Ответ:25.

На заводе были изготовлены легковые и грузовые машины, причем 35
% всех изготовленных машин – легковые. Определите число изготовленных машин,
если грузовых изготовлено на 240 больше, чем легковых. Ответ:800

В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком
языках. Английские книги составляют 36 % всех книг на иностранных языках,
французские – 75 % английских, а остальные  185 книг – немецкие. Сколько книг
на иностранных языках в библиотеке? Ответ:500

Две шкурки ценного меха стоимостью в 225 тыс. руб. были проданы
на международном аукционе с прибылью в 40 % . Какова стоимость каждой шкурки
отдельно, если от первой было получено прибыли 25 %, а от второй – 50%?
Ответ:135000; 90000.

Стоимость 60 экземпляр первого тома и 75 экземпляров второго тома
составляет 270тыс руб. В действительности за все книги уплачено только 237
руб,  так как проведена скидка на первый том в размере 15%, на второй – 10%.
Найдите первоначальную цену этих книг. Ответ:2000; 2000

Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того как
первый рабочий повысил производитель труда на15 % а второй – на 25 % вместе за
смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый
рабочий за смену после повышения производительности  труда. Ответ:46; 40

Собрали 100кг ягод. После сортировки 60 % собранных ягод были
отправлены в магазин для продажи. В магазине 11 % поступивших ягод испортилось
поэтому они не поступили в продажу. Сколько килограммов ягод было продано?
Ответ: 53,4

Из молока получается  21 % сливок, а из сливок — 24 % масла.
Сколько нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла? Ответ:12500.

Предприниматель купил акции и через год  продал их по номинальной
стоимости получив прибыль, причем полученная сумма составила 11500 руб. Сколько
акций было куплено  предприниматель если прибыль  составляет 15 % от стоимости
акции и равна  150 руб? Ответ:10

Вкладчик взял их сбербанка 25 % своих денег потом 4/9 оставшихся
и еще 64тыс руб. После этого у него осталось на сберкнижке 15% всех денег. Как
велик был первоначальный вклад? Ответ:240000

Сумма двух чисел равна 120. Найдите эти числа, если 40% одного
числа равны 60% другого. Ответ:72,48

Если А даст 40% своих денег,  а В – 45% имеющихся у него денег,
то общая сумма составит 215 тыс.руб. Если же А даст 45%  имеющихся у него денег
а В – 40% своих денег,  то общая сумма  составит 210тыс. руб. Сколько тыс. руб
у А и В в отдельности? Ответ: 200тыс; 300тыс.

Известно,  что 5% первого числа и 4% второго составляют в сумме
44. Найдите эти числа.  Ответ:400; 600.

Известно, что 30% числа А на 10 больше, чем 20% числа В, а 30%
числа В на 35 больше, чем 20% числа А. Найдите числа А и В. 200; 250

При продажной стоимости товара 2,2 тыс. руб. за 1 кг
продовольственный магазин получает 10% прибыли. Если, продать этот товар  по
1,8 тыс. руб. за 1 кг, то магазин понесёт убыток в сумме 43 тыс. руб. Сколько
килограммов этого товара было в магазине? Ответ:215

Рабочий день уменьшился с 8 ч до 7 ч. На сколько процентов нужно
повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата 
выросла на 5%? Ответ: 20%

Текстовые задачи из ЕГЭ 2016г.

B12. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации
может выполнить заказ за 15ч. Через 5ч после того, как один из них приступил к
выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом
они довели до конца уже вместе. За сколько часов  был выполнен весь
заказ?           Ответ: 10

B12. Брюки дороже рубашки на 20% и дешевле пиджака
на 46%.  На сколько процентов рубашка дешевле пиджака? (Знак процента в ответе
не пишите).   Ответ:55.

B12. Во время загородной поездки автомобиль на
каждые 100км пути расходует на 2л бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал
с полным баком, проехал 120км по городу и 210км по загородному шоссе до
заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 42л бензина. Сколько
литров бензина расходует автомобиль на 100км пробега в городе?        

B12. Объёмы ежемесячной   добычи газа на первом,
втором и третьем месторождениях относятся как 7:6:14. Планируется уменьшить 
месячную добычу газа на первом месторождении на 14% и на втором – тоже на 14%.
На сколько процентов нужно увеличить месячную добычу газа на третьем
месторождении, чтобы суммарный объём добываемого за месяц газа не изменился?
Ответ:13.

B12. Велосипедист отправился с некоторой скоростью
из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В
в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через один час пути  вынужден был
сделать остановку на 15 мин. После этого он продолжил путь в А, увеличив
скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же
времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста из А в В.  

В12. Четыре  рубашки  дешевле куртки на 20%. На
сколько процентов шесть рубашек дороже куртки? Знак процента  в  ответе не
пишите.   Ответ:20.

В12. Первую половину трасс автомобиль проехал со
скоростью 38км /ч а вторую – со скоростью 57км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. 

В12. Два автомобиля отправляются в 780-километровый
пробег. Первый едет со скоростью на 13км/ч  большей чем второй и прибывает к
финишу на 2 ч раньше  второго. Найдите скорость автомобиля пришедшего к финишу
первым. Ответ  дайте в Км /ч. Ответ: 78. В1.  Из летнего лагеря уезжают
208 детей и 32 сопровождающих взрослых. В автобусах 44 посадочных места. Какое
наименьшее количество автобусов нужно вызвать, чтобы отвезти всех домой?
Ответ:6

В1. Поезд Санкт-Петербург – Нижний Новгород
отправляется в 17.30, а прибывает в 8.30  на следующее утро (время московское).
Сколько  часов поезд находится в пути? Ответ:15. В1. Стоимость покупки с
учетом 3-процентной скидки по дисконтной карте составила 1746 рублей. Сколько
рублей пришлось бы заплатить за покупку при отсутствии дисконтной карты?
Ответ:1800.

В1. Бумага продается  в пачках по 500 листов.
За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек 
бумаги нужно купить в офис на 4 недели? Ответ:10

В1. В супермаркете проходит рекламная акция:
покупая две шоколадки, покупатель получает третью шоколадку в подарок.
Шоколадка стоит 35 рублей. Какое наибольшее число шоколадок можно получить за
200 руб? Ответ:7

В5. строительной фирме нужно приобрести 75
кубометров пеноблоков. У нее есть 3 поставщика. Сколько рублей придется
заплатить за самую дешевую покупку с доставкой? Цены и условия доставки
приведены в таблице. Ответ:217 500.

В5. Для изготовления книжных полок требуется
заказать 50 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла
равна 0,15 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол.
Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ? Ответ:1275.

В5. Трое решают, как им обойдется дешевле
доехать из Москвы в Санкт-Петербург – на поезде или на автомобиле. Билет на
поезд стоит 640 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 7 литров
бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена
бензина равна 18,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее
дешевую поездку на троих? Ответ:906,5.

В5. Поставщик газа может заключить договор на
транзит своего газа до клиента через любой из трех газопроводов: Южный,
Центральный или Западный. Длина Южного газопровода равна 3000 километрам, длина
Центрального равна 340 километрам, а длина Западного газопровода равна 290
километрам. Транспортировка 1000 кубометров газа на 100 километров по Южному
газопроводу стоит 10,5 долларов, по Центральному газопроводу – 8,5 долларов, по
Западному газопроводу – 11 долларов. Сколько долларов придется заплатить за
самый выгодный транзит 1,5 миллионов кубометров газа? Ответ:43350

В5. Для изготовления книжных полок требуется
заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла
равна 0,15 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол.
Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ? Ответ:420

В1. Сырок стоит 5 руб. 40 коп. Какое
наибольшее число сырков можно купить на 40 рублей? Ответ:7.

В12. Моторная лодка прошла против течения 24 км и
вернулась  обратно, затратив на обратный путь на 20 мин. меньше, чем при
движении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде,
если скорость течения равна 3 км/ч? Ответ:21

В1. В летнем лагере на каждого участника полагается
50 г сахара в день. В лагере 163 человека. Сколько килограммовых пачек сахара
необходимо на неделю? Ответ:58

В12. Цена холодильника в магазине ежегодно
уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на
сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный
на продажу за 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей? ( Знак
процента в ответе не пишите) Ответ:10

В1. На день рождения полагается дарить букет из
нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500
рублей. Из какого наибольшего нечетного числа тюльпанов он может купить букет
Маше на день рождения?  Ответ:15.

В12. Половину времени, затраченного на дорогу,
автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути.  Ответ:53

В1. Больному прописан курс лекарства, которое
нужно пить по 0,5 г три раза в день в течение трех недель. В одной упаковке
содержится 10 таблеток по 0,5 г, Какого наименьшего количества упаковок хватит
на весь курс?   Ответ:7

В12. Первая труба наполняет бак объемом 570
литров, а вторая труба – бак объемом 530 литров. Известно, что одна из труб
пропускает в минуту на 4 л воды больше, чем другая. Сколько литров воды в 
минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же
время?   Ответ:53

В1. Железнодорожный билет  для    взрослого стоит
720 руб. стоимость билета школьника

составляет 50% от стоимости от  стоимости  билета
взрослого. Группа состоит из 15

школьников  и двух взрослых. Сколько стоят билеты на
всю группу.     Ответ:6840                                   В12. Теплоход 
скорость у которого в неподвижной воде равна 20 км/ч. Проходит по течению реки
до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите
расстояние пройденного теплоходом за весь рейс,  если скорость течения равна
4км/ч стоянка длится три часа,  а в исходный пункт теплоход возвращается через
13 часов после отплытия из него. Ответ дайте в километрах.  Ответ:192.

В1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое
максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения
цены билета на 20%? Ответ: 5

В12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить
работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу
первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую
второй – за три дня?  Ответ: 20

С6. Найдите все такие пары взаимно простых
натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a
и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа
через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись
числа, равного  b/a. Ответ: а=2; в=5.

В1. Билет на автобус стоит 20 рублей. Какое
максимальное число билетов можно будет купить  на 100 рублей после повышения 
цены билета на 20%?  Ответ: 4

В12. Из пункта А в пункт В выехал
мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист.
Мотоциклист прибыл в В через 4 часа после встречи, а автомобилист в А
 через 1 час после встречи. Сколько часов был в пути автомобилист?
Ответ: 6

В1. Билет на автобус стоит 25 рублей. Какое
максимальное число билетов можно будет купить  на 100 рублей после повышения 
цены билета на 40%? Ответ:2

В12. Из пункта А в пункт В выехал
мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист.
Мотоциклист прибыл в В через 3 часа после встречи, а автомобилист в А
 через 45 минут после встречи. Сколько часов был в пути
автомобилист? Ответ: 4,5

Текстовые задачи на ЕГЭ по Математике

Те самые задачи про теплоход, который плывет по течению. Про две трубы, наполняющие бассейн. Про пункт А, из которого в пункт Б выехали грузовик, легковой автомобиль, велосипедист и трактор.

В них нет ничего сложного. Только простые алгоритмы и здравый смысл!

Часто старшеклассники приходят на наше бесплатное тестирование на курсах ЕГЭ вместе с родителями. И родители, давно закончившие школу, решают такие задачи в уме и стараются подсказать детям : -)

Первое, что нужно сделать в текстовой задаче,– внимательно прочитать условие. Понять, что там происходит. И на основе рассказа про теплоход или про две трубы (то есть условия задачи) построить математическую модель. То есть обозначить какие-либо величины за переменные, составить уравнение и решить его.

Вот самые простые текстовые задачи, которые решаются вообще без уравнений.

И немного более сложные, которые встречаются в вариантах Профильного ЕГЭ под номером 9.

Задача 9 Профильного ЕГЭ по математике

Задачи на движение

Задачи на работу

Задачи на движение по окружности

Задачи на нахождение средней скорости

Задачи на сплавы, смеси и растворы

Знаешь ли ты, что во многих случаях решение уравнения можно упростить? Не вычислять корень из пятизначного дискриминанта. Сделать удачную замену переменной. Или вообще подобрать целый положительный корень!

Читай о секретах решения текстовых задач:

Задачи ЕГЭ по математике на движение и работу. Секреты решения.

К текстовым задачам также относятся две особенно «любимые» школьниками темы – прогрессии

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Текстовые задачи на ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Задачи на разбавление

Из бака, наполненного спиртом, отлили часть спирта и долили до
прежнего объема водой, затем из бака отлили столько же литров смеси, сколько
первый раз отлили спирта, после чего в баке осталось 49 л чистого спирта.
Сколько литров спирта отлили из бака в первый раз и во второй раз, если в баке
содержалось 64л?

     Будем полагать, что x литров спирта отлили в
первый раз. Тогда (64-x) литров спирта осталось в баке. После того, как бак
долили водой, в нем осталось 64 л смеси. Следовательно, в

64 х 1л
смеси содержалось
 литров спирта. Так как во второй
раз отлили x литров смеси, то 64

64 x x литров. Из
условия следует, что из бака всего отлили 64 – спирта отлили во второй раз

64 х 49=15л
спирта. Составим уравнение и решим его: х
15, откуда х=8, х=120 (не 64

удовлетворяет условию). Во второй раз отлили 7.

Ответ: 8л; 7л.

Сосуд объемом 8л наполнен воздухом, содержащим 16% кислорода. Из
сосуда откачали х литров воздуха и добавили такое же количество азота. В итоге
в сосуде оказалось лишь 9% кислорода. Определите х. Ответ:2л.

В сосуде было 12л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и сосуд
долили водой. Затем снова столько же и опять долили водой. Сколько жидкости
отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25 %-ный раствор кислоты? Ответ:6л.

Из сосуда, наполненного кислотой, вышли несколько литров долили 
водой; после опять  вылили столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24л
чистой кислоты. Емкость сосуда 54л. Сколько кислоты вылили в первый раз и
второй раз? Ответ:18л. 12л.

В сосуде было 12 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили и
долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько
литров отливали каждый раз, если в сосуде оказался   25%-ный раствор соляной
кислоты? 

Пусть первый раз отлили х л 100%-ной соляной
кислоты, тогда в растворе ее осталось(12-х)

л. Второй раз было отлито х л жидкости, в которой  содержалось

 л
кислоты. В 12

12х
л кислоты, что составляло 12=3л.
Поэтому 12-хрезультате осталось 12х х

                                                            12      100

х =3, откуда х=6, х=18.

Второй корень не подходит, так как из сосуда,
вмещающего 12л, нельзя влить 18 л.

6. Для приготовления лекарства потребовался 76 %-ный
спирт. Провизор налил в колбу 220г имеющегося у него 95 %-го спирта. Затем он
отлил из колбы некоторое количество этого спирта и добавил в нее столько же
воды, чтобы получить 76%-ный спирт.  Определите, сколько граммов воды добавил провизор.
Ответ:55г.

7.Два сосуда содержат одинаковое количество воды. В
сосуд А вливается литр спирта, после чего литр смеси выливается в сосуд В;
затем из сосуда В выливается литр смеси, после чего в сосуде В остается 0,16 л
спирта. Определите , сколько воды было в сосуде А вначале. 

Ответ:4л или 0,25л.

8. В сосуде находится М кг р% раствора соли. Из
сосуда выливается а кг смеси и доливается а кг воды, после чего раствор
перемешивается. Эта процедура повторяется п раз. Докажите, что

после п процедур концентрация
соли будет равна: р (1). 

Задачи на «сухопутное»
движение

Из города  А в город В, расстояние между которыми 120 км,
выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше
скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите
скорость   велосипедиста. Ответ: 12км/ч; 15 км/ч.

Расстояние между двумя станциями железной дороги 120км.
Первый поезд проходит это расстояние на 50 минут быстрее, чем второй. Скорость
первого поезда больше скорости второго на 12 км/ч.  Определите скорость   обоих
поездов. Ответ: 48 км/ч; 36 км/ч.

Скорость двух поездов соотносятся как 2:3. Расстояние в 36 км
второй поезд проходит на 30 мин быстрее первого. Найдите скорость обоих
поездов. Ответ:20 км/ч; 36 км/ч.

Пароход должен был пройти 72км с определённой скоростью.
Первую половину пути он шел со скоростью на 3 км/ч меньше, а вторую — на 3км/ч
больше, чем было запланировано. На весь путь пароход затратил 5часов. На
сколько минут опоздал пароход? Ответ:12 мин.

Из пункта М в пункт N, расстояние между, которыми 80 км,
одновременно выехали 2 автомобиля. Во время пути один из автомобилей сделал
остановку на 15мин, но  в пункт  N приехал на 5 мин раньше второго. Известно,
что его скорость  в 1,5 раза больше скорости второго. Найдите скорость каждого
автомобиля.     Ответ:   80 км/ч. 120
км/ч.                                           

Турист шел из пункта А в пункт В со скоростью 6 км/ч, а затем
из пункта В в пункт С со скоростью 4 км/ч. Сколько километров всего прошел 
турист, если известно, что расстояние от А до В на 24 км больше, чем от В до С,
и что средняя скорость движения туриста оказалась равной 5,25 км/ч. Ответ: 56
км.

Турист проехал 160 км, причем 5/8 этого пути он ехал на 
автомашине, а остальную часть- на катере. Скорость катера на 20 км/ч меньше
скорости автомашины. На автомашине турист ехал на 15 мин больше времени, чем на
катере. Чему равны скорости катера и автомашины? Ответ: 60км/ч. и 80 км/ч. или
80 км/ч и 100 км/ч.

8.После
встречи двух пароходов один из них пошел на юг, а другой – на запад. Через два
часа после встречи расстояние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого
парохода, если известно, что скорость одного из них была на 6 км/ч  больше
скорости второго?  Ответ: 18 км/ч; 24 км/ч.

9.Две автомашины выехали одновременно из одного и
того же пункта в одном и  том же направлении: одна со скоростью – 50км/ч, 
другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала
третья машина, которая обогнала первую машину  на 1 час 30 мин позже, чем
вторую. Найдите скорость третьей машины.  Ответ: 60 км/ч.

Из города А в город В, расстояние между которыми 10 км,
отправился пешеход, через 30 мин после него из А в В отправился велосипедист,
обогнав пешехода и доехав до города В ,возвратился обратно в А  и приехал туда
в тот момент, когда пешеход пришел в город В. Определите скорость пешехода.    
Ответ:    4 км/ч.          

Автомобиль, пройдя 300 км, повернул назад и через 1 ч 12 мин
после выхода из В увеличил скорость на 16 км/ч, В результате на обратный путь
он затратил на 48 мин меньше. Найдите первоначальную скорость автомобиля.
Ответ: 60 км/ч.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км,
одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 5 км/ч
меньше скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же
повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 20 мин после выезда
из А. Найдите скорость каждого велосипедиста.  Ответ: 11 км/ч.; 16 км/ч

Турист шёл со скоростью а км/ч, потом точно такое же время со
скоростью b км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всём участке
пути? 

       Пусть турист шёл х ч со скоростью а
км/ч и столько же – х ч со скоростью b км/ч. Тогда за 2х ч он прошёл
ах+bx=(a+b)x км. Средняя скорость движения туриста равна 

                                                   
(a

Геометрическая прогрессия

1 Сума второго и четвертого  членов  возрастающей 
геометрической прогрессий равна 30, а их произведение равно 144. Найдите сумму
девяти членов этой прогрессии.

  Образец решения: составим систему 

      bрешая 
которую,  получим  b2=6, b4=24 (второе решение b=24,b=6 bb144 не подходит
по условию, так как прогрессия возрастающая).

По формуле  b=bbнайдем b=12 (b=-12 не подходит по
условию, так как прогрессия возрастающая). Тогда q=2,
b₁=3,  S₉= =1533.

О т в е т: 1533

Найдите знаменатель возрастающей прогрессии, если сумма  первых
трех членов равна 7, а их произведение равно 8. Ответ:2

Частное от деления четвертого члена геометрический прогрессии на
ее первый член 64, третий член прогрессии равен 8.  Найдите первый член
прогрессии. Ответ 0,5

Найдите первое из четырех чисел, образующих геометрическую
прогрессию, у которой сумма крайних членов равна -49, а сумма средних членов
14. Ответ7

Равность между вторым и первым членами геометрической прогрессии
равна 18, а разность между четвертым и третьим 162. Найдите знаменатель
прогрессии. Ответ 3

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой третий
член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18. Ответ -2

Между числами 243 и 1 поместить четыре числа, которые вместе с
данными членами образовали бы геометрическую прогрессию. Ответ 1/3

Поместить между числами 7 и 56 два числа, которые образовали бы
вместе с данными числами геометрическую прогрессию. Ответ 14; 28

Между числами 2 и 162 поместить три числа, которые вместе с
данными числами образовали бы геометрическую прогрессию. Ответ 6; 18; 54 или
-6; 18; -54.

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на 1,5 больше,
чем сумма ее первых 3 членов. Пятый член прогрессии в четыре раза больше его
третьего члена. Найдите четвертый член прогрессии, если известно, что ее
знаменатель положителен. Ответ0,5

Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии
равно 12.  частное отделения второго члена на четвертый равно 3. Найдите второй
член прогрессии. Ответ -6; 6 12. Знаменатель геометрической прогрессии с
конечным числом членом равен  , третий равен  и сумма всех членов
прогрессии 1  . Найдите число членов прогрессии. Ответ
4.

Найдите число членов геометрической прогрессии, у которой первый,
второй и последний члены соответственно равны 3; 12 и 3072. Ответ 6.

Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии, у
которой произведение  первых трех членов равно 1000, а сумма их квадратов 525.
Ответ 2.

Найдите 10q, где q-знаменатель убывающей геометрической
прогрессии, у которой произведение первых трех членов  равно 1000, а сумма
квадратов 525. Ответ 0,5

Геометрическая прогрессия состоит из 6 членов. Найдите ее
знаменатель, зная, что сумма трех первых членов в 8 раз меньше суммы трех
последних членов. Ответ 2.

Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии, если
разность пятого и первого членов прогрессии в пять раз больше третьего и
первого членов. Ответ 2.

Произведение второго и седьмого членов геометрической прогрессии
равно -2. Найдите произведение первых восьми членов этой прогрессии. Ответ 16.

Произведение третьего и восьмого членов геометрической прогрессии
равно 3. Найдите произведение первых десяти членов. Ответ 243

Произведение восемнадцатого и двадцать третьего членов
геометрической прогрессии равно 1,9. Найдите произведение двенадцатого и
двадцать девятого членов этой прогрессии. Ответ 1,9

В геометрической прогрессии bb=13. Найдите отношение суммы первых двадцати bb

четырех ее членов к сумме первых ее двенадцати
членов. Ответ 14.

В геометрической прогрессии отношение суммы первых ее
восемнадцати членов к сумме первых  ее девяти членов равно 7. Найдите b. Ответ 6. bb23. Сумма первых трех членов геометрической
прогрессии равна 12, а сумма первых шести ее членов равна -84. Найдите третий
член прогрессии. Ответ 16.

В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а
сумма шести членов равна -63. Найдите сумму первых десяти членов этой
прогрессии. Ответ 1023.

В геометрической прогрессии сумма первого и пятого членов равна
51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии
нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069? Ответ 10.

Найдите третий член геометрической прогрессии, если ее
знаменатель равен 3, а сумма первых четырех членов равна -40. Ответ -9.

Найдите первый член бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, в которой второй член равен 6, а сумма членов равна  суммы
квадратов ее членов. Ответ: 12.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
9, а сумма квадратов членов той же прогрессии 40,5. Найдите первый член этой
прогрессии.  Ответ: 6.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдите знаменатель этой прогрессии.
Ответ: -0,5.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
если известно, что сумма ее первого и четвертого членов равна 54, а сумма
второго и третьего 36. Ответ: 96.

Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма
которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна  . Ответ: 3

Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, у
которой каждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов.
Ответ:0,2.

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии в три раза
больше ее первого члена. Найдите отношение пятого и седьмого членов этой
прогрессии. Ответ: 9/4.

Найдите третий член бесконечной геометрической убывающей
прогрессии, сумма которой равна 1,6, а второй член равен -0,5. Ответ: 0,125.

Найдите четыре числа, соответствующие убывающей геометрической
прогрессии, зная, что сумма ее крайних членов равна 11  , а сумма средних 10.
Ответ: 9; 6; 4; 8/3.

Найдите три положительных числа, которые образуют геометрическую
прогрессию, если их сумма равна 21, а сумма обратных величин равна.
Ответ: 3; 6; 12.

Найдите разность четвертого и первого членов геометрической
прогрессии, если сумму

3          1.
первых n членов геометрической прогрессии можно найти по формуле Sn  = 5
4  Ответ:
372.

Sn – сумма первых n членов геометрической прогрессии. Найдите
знаменатель прогрессии, если при любом n  выполняется равенство Log₃
(0,5*S_n+1)=n. Ответ: 3.

При каких значениях n (n
N) числа 2n-1, 2n+1, 9n, n+26 являются четырьмя последовательными членами
геометрической прогрессии? Ответ: 1.

В треугольнике ABC провели среднюю линию  AC, в треугольнике ABC также провели  среднюю  линию 
AC  во  вновь получившемся 
треугольнике   ABC  снова провели среднюю линию 
AС и так далее. Найдите площадь
треугольника ABC, если известно, что площадь
треугольника ABC равна 768см². Ответ: 3/256.

В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16см, вписан
другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во
второй треугольник таким же способом вписан третий и так далее. Найдите
периметр восьмого треугольника. Ответ:318 42. Дан равносторонний треугольник со
стороной 8см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго
треугольника построен третий и так далее. Найдите периметр шестого
треугольника, построенного из высот. Ответ: 10,125.

Дан квадрат, сторона которого равна 4см. Середины его сторон
являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются
вершинами третьего квадрата и так далее. Найдите сумму площадей всех квадратов.
Ответ: 32

В
окружности, радиус которой равен 5см, вписан правильный треугольник. В
треугольник вписана окружность, в окружность снова вписан правильный
треугольник и так далее. Найдите сумму периметров треугольников. Ответ:30 3 .

В квадрат вписан круг, в этот круг вписан квадрат и так  далее.
Найдите сумму площадей всех кругов, если сторона первого квадрата равна 8см.
Ответ: 32

Дан квадрат со стороной 128см. Середины его сторон являются
вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами
третьего квадрата и так далее.  Найдите длину стороны седьмого квадрата. Ответ:
16.

Задачи
на задержку движения

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал
автобус. В середине пути он был задержан на 10 мин, но, увеличив скорость на 20
км/ч, прибыл в пункт В вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую
половину пути? Ответ: 60 км/ч.

Поезд был задержан у семафора на 16 мин и ликвидировал опоздание
на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч большей. Какова скорость
поезда по расписанию? Ответ: 60 км/ч 

Поезд должен пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан на 10
мин у семафора. Увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч, он прибыл на место
назначения с опозданием на 2 мин. Определите первоначальную скорость. Ответ: 50
км/ч.

Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Через 2 ч
после начала движения он был задержан на 10 мин и, чтобы прийти вовремя в пункт
назначения, увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость
поезда. Ответ: 55 км/ч.

Велосипедист проехал 40 км из города в деревню. На обратном пути
он поехал с той же скоростью, но через 2 ч езды сделал остановку на 20 мин.
После остановки он увеличил скорость на 4 км/ч и поэтому потратил на весь
обратный путь из деревни в город столько же времени, сколько на путь из города
в деревню. Найдите первоначальную скорость велосипедиста. Ответ: 12 км/ч.

Задачи
на движение «по реке»

Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и
такое же расстояние по течению, затратив на весь путь 14ч. Определите
собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч. Ответ: 7 км/ч.

Теплоход прошел по течению реки 96 км и столько же против
течения, затратив на весь путь 10 ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч.
Определите скорость теплохода в стоячей воде. Ответ: 20 км/ч.

Лодка может проплыть 18 км по течению реки и еще 2 км против
течения за то же время, какое требуется плоту, чтобы проплыть 8 км по этой
реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость
лодки 8 км/ч. Ответ: 4 км/ч.

Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с
намерением вернуться обратно через 5 ч. Скорость течения реки 2 км/ч,
собственная скорость лодки 8 км/ч. На какое наибольшее расстояние по реке они
могут отплыть, если перед возвращением планируют пробыть на берегу 3 ч? Ответ:
7,5 км.

За 7 ч катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения.
В другой раз катер за 7 ч прошел 80 км по течению реки и 48 против течения.
Определите собственную скорость катера и скорость течения реки. Ответ: 18 км/ч;
2 км/ч

Из пункта А в пункт В против течения реки выехала моторная лодка.
В пути сломался мотор, и, пока его 20 мин чинили, лодку сносило вниз по реке.
Определите, насколько позднее прибыла лодка из-за поломки мотора, если
известно, что обычно путь из А в В лодка проходит в 1,5 раза дольше, чем путь
из В в А. Ответ: 25 мин.

Катер проходит 96 км. вниз по течению реки от А до В и обратно за
14 ч. Одновременно с катером из А отправился плот. На пути обратно катер
встретил плот на расстоянии 24 км от А. Определите скорость катера в стоячей
воде и скорость течение. 

  Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде, а у
км/ч – скорость течения реки. Тогда   (х + у) км/ч – скорость катера по течения
реки, а (х – у) – скорость катера против течения. Расстояние 96 км вниз по
течению катер проходит за 96(х + у) ч, а обратный путь – 96(х + у) ч. Поэтому
96(х + у) +96(х – у) = 14. (1) Расстояние 24 км плот проходит за 24/у (ч). Это
же время потребовалось катеру, чтобы пройти вниз по течению реки на 96 км и обратный
путь 72 км, то есть 24/у = 96/(х + у) = 72/(х – у).(2) Итак задача свелась к
решению системы уравнений (1) и (2). Преобразуем уравнение (2), освободившись в
нем от общего знаменателя. Получим 24(х + У) (х – у) = 96у(х – у) + 72у(х + у),
х— у= у (4х 4у 3х 3у),
откуда

(после приведения подобных членов)
х =7ху. Так
как х 0,
то х =7у. Подставляя это выражение в уравнение (1), найдём у =2 км/ч. Тогда х
=14 км/ч.

  Ответ: 14 км\ч.

  8. Моторная лодка проходит расстояние АВ, равное
28 км, в оба конца за 5 ч 50 мин. Однажды, выйдя из пункта В в пункт А,
находящийся выше по течению реки, лодка через два часа встретила плот,
отправившийся из А за 4 часа до выхода лодки из В. Найдите скорость течения
реки и собственную скорость моторной лодки. Ответ: 2км/ч.; 10 км/ч.