Алгоритм решения:
- Проведем перпендикуряры из вершин Аи С.
- Построим биссектрису угла В.
- Покажем, что биссектриса параллельна высотам.
- Измерим длину биссектрисы.
- Запишем ответ.
Второй вариант задания (из ященко, №1)
[su_note note_color=”#defae6″]
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
[/su_note]
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)
[su_note note_color=”#defae6″]
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите площадь.
[/su_note]
Пример № 5
Найдите градусную меру угла АВС.
Решение: Точка А имеет нецелые координаты, однако теорема о вписанном и центральном углах позволяет легко решить задачу.
Проведем радиусы в точки А и С.
По рисунку видно, что центральный угол АОС равен 135 градусам. Вписанный угол АВС опирается на те же точки окружности А и С. Согласно теореме, он в два раза меньше центрального.
135/2=67,5
Ответ: 67,5.
Пример №1
Найдите большую диагональ ромба.
Решение: Собственно, все, что нужно знать – определение диагонали и понятие больше-меньше.
Ответ: 4 см.
Удивительно, что в профильной математике встречаются такие задания. И в них тоже допускают ошибки. Видимо, от неожиданности уровня сложности.
Далее для разбора выбраны наиболее сложные задачи, встречавшиеся в третьем задании на экзаменах прошлых лет.
Пример №2
Найдите площадь треугольника.
Решение:
1) Достроим фигуру до прямоугольника. Его площадь равна 6*4=24
2) Найдем площади «лишних» прямоугольных треугольников
(4*4)/2=8 (зеленый)(2*2)/2=2 (синий)(6*2)/2=6 (красный)
3) Вычтем из площади прямоугольника лишние площади треугольников: 24-8-2-6=8
Ответ: 8.
Эту же задачу можно решить другим способом.
1) Треугольник является прямоугольным, так как его катеты расположены под углом 45 градусов к вертикальной линии.
2) Катеты найдем из прямоугольных треугольников
Sqrt(4^2 4^2)=4sqrt2 (четыре корня из двух)Sqrt(2^2 2^2)=2sqrt2 (два корня из двух)
3) Площадь искомого треугольника равна половине произведения катетов: (4sqrt2*2sqrt2)/2=(4*2*2)/2=8
Ответ: 8.
Пример №3
Найдите площадь многоугольника
Решение: Разобьем многоугольник на удобные фигуры и найдем их площади.
Площадь зеленого треугольника 1*3/2=1,5Площадь синего треугольника 2*1/2=1Площадь красного треугольника 1*2/2=1Площадь квадрата 2*2=4Площадь многоугольника равна их сумме: 1,5 1 1 4=7,5
Ответ: 7,5.
Эту задачу можно решить и вычитанием из площади прямоугольника.
Ответ: 7,5.
Пример №4
Найти площадь многоугольника.
Решение: Можно найти площадь вычитанием, как и в предыдущих заданиях.
Но быстрее можно получить результат с помощью формулы Пика. Для этого нужно сосчитать точки с целыми координатами внутри фигуры (синие) и точки с целыми координатами на контуре фигуры (красные).
Далее к числу точек внутри многоугольника прибавить половину точек на контуре и вычесть единицу.
7 9/2-1=10,5
Ответ: 10,5
Формула Пика не указана в кодификаторе, применять ее при решении заданий с развернутым ответом нельзя. Но в заданиях с кратким ответом она позволяет сэкономить время. Проверьте справедливость формулы на предыдущих примерах.
Пример №6
Найдите тангенс угла.
Решение: Выделим смежный острый угол.
Выделим прямоугольный треугольник с целочисленными координатами вершин, содержащий этот угол. Найдем тангенс острого угла как отношение противолежащего (зеленого) катета к прилежащему (синему).
tgA=4/1=4
Тангенс смежного тупого угла противоположен по знаку.
Ответ: -4.
В завершении хочется еще раз напомнить: листы с заданиями не проверяются. Можно все необходимые построения и вычисления делать прямо на рисунке. Это позволяет избежать ошибок по невнимательности.
Профессиональный преподаватель также сделал подробный разбор 1 и 2 задания, с которыми можно ознакомиться по ссылкам.
Пятый вариант задания (из ященко, №7)
[su_note note_color=”#defae6″]
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
[/su_note]
Решение:
1. По условию задачи каждая клетка представляет одну единицу длины. Тогда меньшее основание равно 3, большее – 4.
2. Длина средней линии трапеции находится по формуле
3. Имеем:
4. Значит, средняя линия равна 3,5.
Ответ: 3,5.
Третий вариант задания (из ященко, №2)
[su_note note_color=”#defae6″]
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
[/su_note]
Четвертый вариант задания (из ященко, №4)
[su_note note_color=”#defae6″]
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.
[/su_note]
