14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика ЕГЭ

14 задание егэ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Заметим, что $x > 0, x ≠ {1}/{3}, x ≠ 1$.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

${2}/{log_{3}x} {3}/{log_{3}3x} ≤ 2,$

${2}/{log_{3}x} {3}/{log_{3}3 log_{3}x} ≤ 2,$

${2}/{log_{3}x} {3}/{1 log_{3}x} ≤ 2$

Пусть $log_{3}x = t$, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

${2}/{t} {3}/{1 t} ≤ 2$,

${2(1 t) 3t − 2t(1 t)}/{t(1 t)} ≤ 0$,

${2t^2 − 3t − 2}/{t(1 t)} ≥ 0$,

${(2t 1)(t − 2)}/{t(t 1)} ≥ 0.$

14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Получим два простых неравенства и одно двойное, решим их, возвращаясь к переменной $x$:

$t < -1, −{1}/{2}≤t<0, t ≥ 2,$

$log_3x < -1, log_3 {1}/{√3} ≤ log_3x < log_{3}1, log_{3}x ≥ log_{3}9,$

$0 < x<{1}/{3}, {1}/{√3}≤ x <1, x≥9.$

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — $(0; {1}/{3})∪[{1}/{√3};1) ∪ [9; ∞)$.

Алгоритм решения:

  1. Выполняем чертеж, соответствующий условию и проводим высоту ВН.
  2. Вычисляем длину высоты ВН.
  3. Вычисляем BN.
  4. Показываем, что BM и MN перпендикулярны.
  1. Проводим перпендикуляр NP к ребру A1B2,
  2. Показываем, что отрезок MN перпендикулярен плоскости ABB1.
  3. Определяем линейный угол между плоскостями BMN и ABB1 и вычисляем его.

Второй вариант задания (из ященко, № 1)

[su_note note_color=”#defae6″]

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

[/su_note]

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)

[su_note note_color=”#defae6″]

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

[/su_note]

Решение:

1. Выполняем чертеж к задаче.

http://www.egerest.ru/sites/default/files/ege2022/dem2022/dem_14_10.jpg

Призма правильная, следовательно, основанием ее является равносторонний треугольник. H делит AC пополам, поскольку в равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой.

2. Тогда высоту BH можно вычислить по теореме Пифагора из треугольника АВН:

3. Вычисляем длину BN2 из треугольника BNH. Он тоже прямоугольный. По теореме Пифагора:

4. Отрезки BM и MN перпендикулярны, поскольку сумма квадратов их длин равна BN2, то есть 63:

По теореме, обратной теореме Пифагора, BMN – прямоугольный, причем угол M прямой.

Первая часть задания выполнена: утверждение доказано.

1. Проводим перпендикуляр NP к ребру A1B2.

Показываем , что NP перпендикулярна плоскости ABB1. Из построения и условия (призма правильная) следует:

А это означает, что 14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика1.3. Выше было доказано, что 14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика1.3. Выше было доказано, что 14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Вычисляем его.

N – середина отрезка A1C1, тогда NP = 1/2∙h, где h – высота в треугольнике A1B1C1. А он равносторонний и равен треугольнику АВС. Следовательно, 14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Ответ:

14 задание ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Оцените статью
ЕГЭ Live