14 задание егэ по математике профильного уровня 2023: теория и практика
Заметим, что $x > 0, x ≠ {1}/{3}, x ≠ 1$.
Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:
${2}/{log_{3}x} {3}/{log_{3}3x} ≤ 2,$
${2}/{log_{3}x} {3}/{log_{3}3 log_{3}x} ≤ 2,$
${2}/{log_{3}x} {3}/{1 log_{3}x} ≤ 2$
Пусть $log_{3}x = t$, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:
${2}/{t} {3}/{1 t} ≤ 2$,
${2(1 t) 3t − 2t(1 t)}/{t(1 t)} ≤ 0$,
${2t^2 − 3t − 2}/{t(1 t)} ≥ 0$,
${(2t 1)(t − 2)}/{t(t 1)} ≥ 0.$
Получим два простых неравенства и одно двойное, решим их, возвращаясь к переменной $x$:
$t < -1, −{1}/{2}≤t<0, t ≥ 2,$
$log_3x < -1, log_3 {1}/{√3} ≤ log_3x < log_{3}1, log_{3}x ≥ log_{3}9,$
$0 < x<{1}/{3}, {1}/{√3}≤ x <1, x≥9.$
Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — $(0; {1}/{3})∪[{1}/{√3};1) ∪ [9; ∞)$.
Алгоритм решения:
- Выполняем чертеж, соответствующий условию и проводим высоту ВН.
- Вычисляем длину высоты ВН.
- Вычисляем BN.
- Показываем, что BM и MN перпендикулярны.
- Проводим перпендикуляр NP к ребру A1B2,
- Показываем, что отрезок MN перпендикулярен плоскости ABB1.
- Определяем линейный угол между плоскостями BMN и ABB1 и вычисляем его.
Второй вариант задания (из ященко, № 1)
[su_note note_color=”#defae6″]
На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
[/su_note]
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)
[su_note note_color=”#defae6″]
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
[/su_note]
Решение:
1. Выполняем чертеж к задаче.
Призма правильная, следовательно, основанием ее является равносторонний треугольник. H делит AC пополам, поскольку в равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой.
2. Тогда высоту BH можно вычислить по теореме Пифагора из треугольника АВН:
3. Вычисляем длину BN2 из треугольника BNH. Он тоже прямоугольный. По теореме Пифагора:
4. Отрезки BM и MN перпендикулярны, поскольку сумма квадратов их длин равна BN2, то есть 63:
По теореме, обратной теореме Пифагора, BMN – прямоугольный, причем угол M прямой.
Первая часть задания выполнена: утверждение доказано.
1. Проводим перпендикуляр NP к ребру A1B2.
Показываем , что NP перпендикулярна плоскости ABB1. Из построения и условия (призма правильная) следует:
А это означает, что 1.3. Выше было доказано, что 1.3. Выше было доказано, что
Вычисляем его.
N – середина отрезка A1C1, тогда NP = 1/2∙h, где h – высота в треугольнике A1B1C1. А он равносторонний и равен треугольнику АВС. Следовательно,
Ответ: