Задание №19 ЕГЭ по математике базового уровня с решением — EzMath

Задание №19 ЕГЭ по математике базового уровня с решением - EzMath ЕГЭ

Алгоритм выполнения

  1. Если произведение >0, то, значит, оно не равно нулю. Следовательно, ни один из множителей не может быть равным 0.
  2. Если произведение кратно 15, следовательно, оно кратно 5 и кратно 3.
  3. Если произведение кратно 5, то результат его должен оканчиваться 0 или 5. В данном случае берем 5, т.к. 0 не может быть одним из множителей (см.п.1).
  4. Итак, последняя цифра числа равна 5. Тогда произведение первых трех равно 25:5=5. Это означает, что нужно подобать 3 цифры так, чтобы их произведение было менее 5.
  5. Из всех полученных наборов цифр выбираем такой, чтобы сумма этих цифр плюс 5 (последняя, 4-я цифра) была кратной 3.

Алгоритм выполнения:

  1. Вспомнить признак делимости на 10 и сформулировать признак делимости на 20.
  2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
  3. Разместить предпоследние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось четное число в результате с учетом суммы первых цифр.
  4. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.

Вариант 19мб1

Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь оно такое число.

Вариант 19мб10

Найдите пятизначные число, кратное 25, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вариант 19мб11

Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

Вариант 19мб12

Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны 0. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вариант 19мб13

Найдите четырехзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вариант 19мб2

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ □□ □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вариант 19мб3

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 2; 3; 5; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ □□ □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 20. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вариант 19мб4

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вариант 19мб5

Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Вариант 19мб7

Найдите четное трехзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вариант 19мб8

Найдите шестизначное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Вариант 19мб9

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Как решать задание 19 егэ по математике базового уровня – разбор заданий

Единый государственный экзамен по математике базового уровня состоит из 20 заданий. В задании 19 проверяются навыки работы с цифровой записью числа. Школьник должен знать признаки делимости чисел на простые и составные числа и уметь применять их для решения различных задач. Здесь вы можете узнать, как решать задание 19 ЕГЭ по математике базового уровня, а также изучить примеры и способы решения на основе подробно разобранных заданий.

Все заданияЕГЭ база все задания (263)ЕГЭ база задание 1 (5)ЕГЭ база задание 2 (6)ЕГЭ база задание 3 (45)ЕГЭ база задание 4 (33)ЕГЭ база задание 5 (2)ЕГЭ база задание 6 (44)ЕГЭ база задание 7 (1)ЕГЭ база задание 8 (12)ЕГЭ база задание 10 (22)ЕГЭ база задание 12 (5)ЕГЭ база задание 13 (20)ЕГЭ база задание 15 (13)ЕГЭ база задание 19 (23)ЕГЭ база задание 20 (32)

Решение:

Обозначим первую цифру числа x, а вторую – y. Тогда третье число с учетом суммы цифр равной 20 будет равно 20 – (x y). (x y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится.

По условию сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Запишем сумму квадратов цифр:

x 2  y2  (20 – (x y))2

Преобразуем полученное выражение. Преобразуем квадрат разности с учетом формулы приведения.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(20 – (x y))2 = 400 -40(x y) (x y)2

Подставим получившееся выражение в начальное, получим:

x 2  y2  (20 – (x y))2 = x 2  y2  400 — 40(x y) (x y)2

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x y)2= x2  2xy y2

Подставим:

x 2  y2  (20 – (x y))2 = x 2  y2  400 — 40(x y) (x y)2 = x 2  y2  400 — 40(x y) x2  2xy y2

Приведем подобные слагаемые(сложим x2 с x2 и y2 с y2), получим:

x 2  y2  400 — 40(x y) x2  2xy y2 = 2x 2  2y2  2 · 200 — 2 · 20(x y) 2xy

Вынесем множитель 2 за скобку:

2x 2  2y2  2 · 200 — 2 · 20(x y) 2xy = 2(x 2  y2  200 — 20(x y) xy)

Для удобства объединим 200 и 20(x y) и вынесем 20 за скобку, получим:

2(x 2  y2  20(10 — (x y)) xy)

Множитель 2 – четный, поэтому он никак не влияет на делимость на 3 или 9. Можем его не брать в расчет и рассматривать выражение:

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy

Предположим, что и x, и y делятся на 3. Тогда x 2  y2  xy делится на 3, а 20(10 — (x y)) – не делится. Следовательно, и вся сумма x 2  y2  20(10 — (x y)) xy на 3 не делится.

Предположим, что на 3 делится только одна цифра. Тогда, учитывая, что (x y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится, подберем возможные пары.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом подстановки проверим, соответствуют эти пары условию.

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 3 2  82  20(10 — (3 8)) 3 · 8 = 9 64 – 20 24 = 77

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 6 2  52  20(10 — (6 5)) 6 · 5 = 36 25 – 20 30 = 71

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 6 2  72  20(10 — (6 7)) 6 · 7 = 36 49 – 60 42 = 67

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 6 2  82  20(10 — (6 8)) 6 · 8 = 36 64 – 80 48 = 68

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 9 2  22  20(10 — (9 2)) 9 · 2 = 81 4 – 20 18 = 83

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 9 2  42  20(10 — (9 4)) 9 · 4 = 81 16 – 60 36 = 73

Ни одна из полученных сумм не удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9».

Следующие пары можно не проверять, так как они дают уже имеющиеся тройки цифр.

Предположим, что ни одна из цифр числа не делится на 3.

Возможные пары:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Проверим:

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 4 2  72  20(10 — (4 7)) 4 · 7 = 16 49 – 20 28 = 73

x 2  y2  20(10 — (x y)) xy = 5 2  72  20(10 — (5 7)) 5 · 7 = 25 49 – 40 35 = 69

Сумма 69 удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9». Следовательно, подходят цифры 5,7,8 в любом порядке.

Ответ: 578

Оцените статью
ЕГЭ Live