Задание 17. Задача с параметрами — профильный ЕГЭ по математике

Теория для решения заданий 15 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Закон преломления светового потока на границе раздела двух сред. Явление полного отражения света на границе раздела с оптически более плотной средой.

Подробно разбираем основную теорию про космос необходимую для успешного решения задач по астрономии в ЕГЭ по физике. Также рассмотри несколько основных примеров задания №24 из ЕГЭ.

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Основные ошибки, что нужно знать, статистика прошлых лет в первой части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме

Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости или в плоскости . Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

17 (С6) Параметры*

Путеводитель по задачам с параметром

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Также можно купить бумажную версию книги здесь.

ЕГЭ 2020, математика, задачи с параметром, задача 18 (профильный уровень), Ященко И.В., Шестаков С.А., 2020.

Пособия по математике серии «ЕГЭ 2020. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче Единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи 18. На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по теме «Задачи с параметром». Пособие также будет полезным при изучении тем «Уравнения и системы уравнений», «Неравенства и системы неравенств». Пособие предназначено для учащихся старшей школы и учителей математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).

Эта книга в значительной своей части посвящена уравнениям и неравенствам с параметрами, т. е. уравнениям и неравенствам, содержащим наряду с неизвестной величиной ещё и буквенные параметры, при различных числовых значениях которых меняется число решений уравнения или неравенства, а иногда и его вид. Решение задач с параметрами предполагает, в сущности, определённую исследовательскую деятельность, требующую внимания и уверенного владения материалом школьной программы по математике во всей её полноте, умения выдвигать и проверять гипотезы, проводить (в том числе и достаточно разветвлённые) логические построения и делать выводы. Поэтому такие задания относятся к сложным и располагаются в вариантах вступительных экзаменов и ЕГЭ по математике на последних позициях, предназначенных для тех выпускников и абитуриентов, которые претендуют на высокий экзаменационный балл.

Предисловие.Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром и нестандартных задачах.Глава 2. Квадратный трёхчлен в задачах с параметром и не стандартных задачах.Глава 3. Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств.Глава 4. Графические интерпретации.Глава 5. Другие методы.Ответы.

Купить
.

По кнопкам выше и ниже «Купить бумажную книгу» и по ссылке «Купить» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.

On the buttons above and below you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.

Дата публикации: 25.07.2020 07:57 UTC

Ященко :: Шестаков :: 2020 :: ЕГЭ 2020 :: математика

Следующие учебники и книги:

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №17.

И знать здесь действительно нужно много.

Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики».

Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно обратные.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.

И после этого – учимся решать сами задачи №17 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Базовые элементы для решения задач с параметрами

Графический способ решения задач с параметрами

Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами

Использование четности функций в задачах с параметрами

Условия касания в задачах с параметрами

Метод оценки в задачах с параметрами

Вот пример решения и оформления задачи с параметром

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 17 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Рассмотрим следующую задачу

Найдите все значения параметра с, при которых уравнение

имеет ровно три различных решения.

И решим её дважды: аналитическим методом, т.е. алгебраическими преобразованиями и анализом их результатов, и графическим методом. После чего вы сможете сделать выводы о своих предпочтениях, а также будете более уверенно себя чувствовать при решении подобных задач на ЕГЭ профильного уровня по математике.

x2 − 2x = 0 при x = 0 и при x = 2;

x2 − 3x + 2 = 0 при x = 1 и при x = 2.

(Уравнения легко решаются по теореме Виета, поэтому полное решение не привожу.)

Эти значения разбивают числовую ось на четыре интервала. В каждом из этих интервалов берём какое-нибудь число, подставляем его в оба подмодульных выражения и проверяем их знаки. Чтобы не запутаться лучше делать отметки непосредственно на числовой оси.

Итак,
1) если x ≤ 0 или x ≥ 2, оба модуля открываются со знаком плюс. Получаем

x2 − 2x + x2 − 3x + 2 = x2 − 4x + c
2×2 − 5x + 2 = x2 − 4x + c

2) если 0 < x ≤ 1, первый модуль открывается со знаком минус. Получаем

−(x2 − 2x) + x2 − 3x + 2 = x2 − 4x + c
− x + 2 = x2 − 4x + c

3) если 1 < x ≤ 2, оба модуля открываются со знаком минус. Получаем

−(x2 − 2x) −(x2 − 3x + 2) = x2 − 4x + c
−2×2 + 5x − 2 = x2 − 4x + c

Обратите внимание, что границы промежутков, т.е. значення переменной, в которых хотя бы один модуль равен нулю, тоже нужно «не потерять». Поскольку «+0» и «−0» это всё равно 0, присоединить их можно как к левому, так и к правому интервалу — на выбор, но включить нужно только один раз.

Переходим непосредственно к решению задачи.

Аналитическое решение задачи с параметром.

Преобразуем все три полученные выше уравнения к стандартному виду квадратного уравнения и решим их.

1) 2×2 − 5x + 2 = x2 − 4x + c; x2 − x + 2 − c = 0.

Дискриминант этого уравнения D = (−1)2 − 4·1·(2 − c) = 4c − 7,

x1 = 1 − √4c − 7   и  
x2 = 1 + √4c − 7

При 4c − 7 = 0; c = 7/4; c = 1,75 уравнение будет иметь один корень x = 1/2, совпадающий с абсциссой вершины соответствующей параболы.

Однако, эти корни будут являться корнями исходного уравнения с модулями только в том случае, если они принадлежат тем промежуткам, в которых исходное уравнение приобрело данный вид, т.е. при или . Вспомним, что корни квадратного уравнения расположены симметрично относительно вершины параболы. Абсцисса вершины (x = 1/2) в нашем случае не принадлежит промежутку и расположена между точками x = 0 и x = 2, таким образом корни преобразованного уравнения будут являться корнями исходного уравнения тогда, когда будут выполнены следующие неравенства

x1 = 1 − √4c − 7 ≤ 0   и   x2 = 1 + √4c − 7 ≥ 2.

Решаем эти неравенства

Аналогично разбираемся со следующими участками числовой оси.

2)
−x + 2 = x2 − 4x + c; −x2 + 3x + 2 − c = 0; x2 − 3x + c − 2 = 0.

Дискриминант D = 32 − 4·1·(c − 2) = 17 − 4c.

x1 = 3 − √17 − 4c   и  
x2 = 3 + √17 − 4c

Решаем соответствующие неравенства.

Обратите внимание, что знак радикала указывает на арифметический корень, имеющий неотрицательные значения. Поэтому при решении неравенства можем обе его части возвести в квадрат, не изменяя знак неравенства, только тогда, когда они обе имеют знак плюс.

Рассмотрим третий промежуток (1;2).

3)
−2×2 + 5x − 2 = x2 − 4x + c;
−3×2 + 9x − 2 − c = 0;
3×2 − 9x + 2 + c = 0.

Дискриминант D = 92 − 4·3·(2 + c) = 57 − 12c.

x2 − x1 = = √57 − 12c

Вывод: при 4 ≤ c < 4,75 существуют и принадлежат рассматриваемому промежутку различных корня уравнения. При c = 4,75 уравнение имеет корень x = 3/2, который тоже принадлежит промежутку (1;2).

Подведём итоги. Для этого также воспользуемся схемой. Изобразим числовую ось для парметра с. Отметим на ней полученные результаты — количество корней на каждом участке. (Как бы табличка: в строке отмечено, какой промежуток оси х дал корни, в столбце — сколько корней поступило при соответствующих значениях параметра c.)

Поскольку промежутки не пересекаются (вспомним — граничные точки присоединяли только к одному интервалу!), корни не могут повториться, т.е. как и требует вопрос задачи, на схеме отмечено число различных решений. Ровно три таковых будет получено при и с = 4,75.

Ответ: с = 4; с = 4,75.

Графическое решение задачи с параметром.

Чтобы графически решить уравнение, нужно нарисовать два пересекающихся графика функций. Один график функции, совпадающей с правой частью уравнения, второй — с левой. Однако, график той функции, которая содержит параметр, будет изменять своё положение в зависимости от его значения. Значит, для того чтобы понять влияние параметра на результат решения уравнения, нужно будет построить этот график несколько раз. Поэтому нужно преобразовать уравнение так, чтобы та часть, которая содержит параметр была как можно проще.

В нашем случае после этапа раскрытия модулей получилось три уравнения, каждое из которых нужно решить на своём интервале. Во всех трёх слева и справа находятся квадратные трёхчлены, соответствующие графики — параболы — можно построить. График правой части, содержащей параметр, будет двигаться только вдоль оси Oy, так как параметр присутствует только в третьем коэффициенте трёхчлена. Казалось бы, можно начинать строить графики. (В конце страницы приведены примеры рисунков при таком подходе.) Но задумаемся, а нельзя ли проще? Например, прямую всегда легче построить чем параболу, а горизонтальную прямую ещё легче и строить, и анализировать. Поэтому начинаем с преобразований уравнений, полученных в процессе раскрытия модулей.

1) 2×2 − 5x + 2 = x2 − 4x + c; x2 − x + 2 = c.

2) −x + 2 = x2 − 4x + c; −x2 + 3x + 2 = c;

3) −2×2 + 5x − 2 = x2 − 4x + c; −3×2 + 9x − 2 = c.

Итак, в левой части всех уравнений — квадратные трёхчлены, графики которых — параболы. В правой части постоянная величина, равная параметру. График функции прямая, параллельная оси абсцисс.

Строим графики, точнее от руки вы сможете построить только эскизы графиков, поэтому не имеет смысла использовать много точек для построения параболы. Чтобы не терять время на лишние расчёты, пока достаточно построить её по трём точкам: обязательно точно вычислить координаты вершины и еще две любые точки, которые легко считать устно (например, при x = 1 или х = 0). Глядя на эскизы, поймёте, что надо уточнить позже.

все приведенные ниже графики можно поочерёдно увеличивать щелчком клавиши мыши.

1) Строим параболу y1 = x2 − x + 2, обводим толстой линией ту её часть, которая находится на участках или .

3) Строим на этом же чертеже параболу y3 = −3×2 + 9x − 2, обводим ту её часть, которая принадлежит участку .

Проверяем точки пересечения парабол друг с другом. Очевидно (по смыслу модуля), что они должны пересекаться на границах интервалов, т.е. должно быть

y1(0) = y2(0); y1(0) = 02 − 0 + 2 = 2; y2(0) = 02 + 3·0 + 2 = 2;

y2(1) = y3(1); y2(1) = −12 + 3·1 + 2 = 4; y3(1) = −3·12 + 9·1 − 2 = 4;

y3(2) = y1(2); y3(2) = −3·22 + 9·2 − 2 = 4; y1(2) = 22 − 2 + 2 = 4.

Поправляем нарисованные от руки параболы так, чтобы они точно проходили через эти точки: (0;2), (1;4), (2;4). И еще раз обводим весь график целиком.

Правая часть всех уравнений — прямые, параллельные оси абсцисс и пересекающие ось ординат на уровне . Чертим несколько таких прямых. Считаем количество точек пересечения с построенным графиком.

«Невооруженным глазом» видно, что три точки пересечения, а следовательно, и три решения исходное уравнение будет иметь при и с = 4,75.

Важное замечание: «невооруженным глазом» можно смотреть только при условии, что участвующие в ответе точки уже проверены точным расчётом, в противном случае надо проверять подстановкой в уравнения. Напоминаю, мы выше просчитывали вершины парабол для построения, т.е. ордината 4,75 уже подтверждена. Также проверяли точки пересечения парабол на границах интервалов, ордината 4 расчётом подтверждена. Можем писать ответ.

Пример альтернативного графического решения.

Рассматриваем уравнения в том виде, в каком мы их получили, раскрыв модули.

1) если x ≤ 0 или x ≥ 2, 2×2 − 5x + 2 = x2 − 4x + c;
2) если 0 < x ≤ 1, − x + 2 = x2 − 4x + c;
3) если 1 < x ≤ 2, −2×2 + 5x − 2 = x2 − 4x + c.

Последовательно строим графики функций y1 = 2×2 − 5x + 2, y2 = − x + 2 и y3 = −2×2 + 5x − 2, обводя их толстой линией на нужном участке. На этом же чертеже строим набор парабол вида y = x2 − 4x + c.

Всё правильно. Всё готово для ответа. А что можно разглядеть на этих графиках? Тем более, если они ещё и нарисованы от руки, как эскиз? Делайте свои выводы.

Задача 18 одного из вариантов ЕГЭ 2015 года:
система уравнений с параметром. На мой взгляд, хорошо решается графическим методом.

Задача 18 одного из вариантов ЕГЭ 2016 года: уравнение с параметром На мой взгляд, хорошо решается аналитическим методом.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий В.С., 2011.

Книга посвящена решению задач с параметрами, которые для многих школьников традиционно являются задачами повышенной трудности. Задачи классифицированы как по типам, так и по методам решений, начиная от простейших задач до трудных, встречающихся на олимпиадах, ЕГЭ и вступительных экзаменах в МГУ.Для учащихся 8-11 классов, учителей школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов.

ЧТО ТАКОЕ ПАРАМЕТР.Как это ни покажется странным, задачи с параметрами мы решаем чуть ли не ежедневно, при этом в большинстве своем не зная, что такое параметр. Например, придя в магазин покупать какой-либо товар, мы смотрим на его цену. Если цена будет очень высокой, мы не купим его. Если цена будет вполне приемлемой, мы принимаем решение купить товар. Но если цена товара резко уменьшилась (например, в результате распродажи), мы можем купить несколько единиц этого товара. Таким образом, если рассматривать цену товара как параметр, то от значений этого параметра будет зависеть, купим или нс купим мы этот товар, а если и купим, то сколько единиц.

Та же самая картина имеет место и в математике при решении уравнений. При одних значениях коэффициентов уравнение может вообще не иметь решений, при других — одно решение, при третьих — бесконечно много решений. Например, в школьном курсе алгебры мы часто встречались с ситуацией, когда квадратное уравнение в зависимости от значений коэффициентов имело два решения, одно решение или не имело решений вовсе.

Дата публикации: 08.07.2018 13:35 UTC

ЕГЭ по математике :: математика :: Высоцкий

Уравнения с параметром. Задача 18 (С6)

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.

(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).

И, разумеется, будет задавать точно такие же пары решений (x) и (y).
Теперь перейдем к уравнениям с параметром. Заметим, что параметр – это обычная переменная, которая ничем не отличается от рассмотренных выше переменных (x) и (y). Поэтому, если мы вместо (y) в уравнении (1) запишем параметр (a), то суть уравнения от этого не поменяется. То есть уравнение (1) можно рассматривать относительно (x) с параметром (y) или наоборот. В дальнейшем параметр будем обозначать за (a).

График (x(a)) для этого же примера на рисунке 4.

На мой взгляд, будет более наглядно, если показывать графический метод на примерах. Поэтому, давайте разберем примеры от простых к сложным, которые могут встретиться на ЕГЭ.

Определить, при каких значениях параметра (a) уравнение (x^2-3x-2a=0) имеет: а) 2 корня; б) 1 корень; в) не имеет корней;

1 способ решения:

Приведем уравнение к виду (x^2-3x=2a). И построим графики (y=1/2*(x^2-3x)) (показан красной линией) и (y=a) (синяя линия). Обратите внимание, график (y=a) – это просто семейство прямых параллельных оси (x) в плоскости ((xOy)) (Рис. 6). Точки пересечения красной линии с семейством синих линий – это корни нашего уравнения. Если, например, (a=5), то графики (y=5) и (y=1/2*(x^2-3x)) имеют две общие точки, а значит, и два решения. При (a=-1.125) оба графика имеют только одну общую точку ((1.5;-1.125)) – это единственное решение.

2 способ решения:

Таким же образом можно решить данное уравнение, построив графики в плоскости ((xOa)). Для этого выразим (a=1/2*(x^2-3x).)

Различным значениям параметра (a) можно поставить значения искомого (x), для это проведем горизонтальные линии.

Решить уравнение: (cos^2⁡x-2 cos⁡x+a=0)

Построим в плоскости ((tOa)) график нашей функции (a=2t-t^2:)

Сделаем обратную замену:

Решить уравнение (sin^4⁡x-(a-1) sin^2⁡x-(2a+2)=0.)

Сделаем замену: (t=sin^2⁡x ) ⇔ (t^2-(a-1)t-2a-2=0;)

Таким образом, необходимо решить систему:

Построим решения данной системы на координатной плоскости ((tOa)).

Решим уравнение (t^2-3t-a=0).

Данному уравнению равносильна система:

Построим множество точек, которые удовлетворяют полученной системе:

Решить неравенство (9^x-(a-1) 3^x-a≥0)

Построим график, получившейся системы неравенств на плоскости ((tOa)).

Оранжевой областью выделено решение первого неравенства системы, синей областью – второго неравенства. Их пересечение – это решение все системы.

Наша функция будет определена при условии, что выражение под логарифмом будет больше нуля:

Как видно из рисунка 13, точка ((-1/2;-3)) – точка минимума; а ((2;2)) – точка максимума.

Найдем асимптоты. Напомню, что вертикальные асимптоты бывают только в точках разрыва, поэтому наличие вертикальной асимптоты можно проверить, взяв предел от функции в точке разрыва. В нашем случае нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот не будет.

Значит, есть горизонтальная асимптота (p=1).

Подробнее можно посмотреть здесь.

На рисунке 14 при помощи штриховки показаны точки, которые будут корнями системы

Преобразуем исходную систему:

Построим график полученной системы:

Обратите внимание, что (y=1), (x=0) не может быть решением системы при любых значениях параметра (a).

Найдем асимптоты (см. пример 9):

Значит (y=1) – вертикальная асимптота.

Значит горизонтальные асимптоты отсутствуют.

И проверим на наличие наклонных асимптот:

Получим уравнение наклонной асимптоты (a=-y-1).

Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.

Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Разбор линейных уравнений с параметром. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a

Решение показательных и логарифмических уравнений с параметром

Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 17 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 17 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Потому что, кроме него, есть и другие:

— Квадратные уравнения и неравенства с параметрами.

— Задачи с параметрами. Условия касания.

— Метод оценки в задачах с параметрами.

— Использование четности функций в задачах с параметрами.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 17.

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 17, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

— Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

— второе уравнение имеет решение

задает окружность с центром в начале координат и радиусом

являются две точки, в которых прямая

пересекает окружность, заданную уравнением

А вот уравнение

задает семейство параллельных прямых

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением

, пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса

не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой

, то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности

Значит, в случае касания

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра

, что система уравнений

имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 17. Задача с параметрами u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

ЧТО ТАКОЕ ПАРАМЕТР.Как это ни покажется странным, задачи с параметрами мы решаем чуть ли не ежедневно, при этом в большинстве своем не зная, что такое параметр. Например, придя в магазин покупать какой-либо товар, мы смотрим на его цену. Если цена будет очень высокой, мы не купим его. Если цена будет вполне приемлемой, мы принимаем решение купить товар. Но если цена товара резко уменьшилась (например, в результате распродажи), мы можем купить несколько единиц этого товара. Таким образом, если рассматривать цену товара как параметр, то от значений этого параметра будет зависеть, купим или не купим мы этот товар, а если и купим, то сколько единиц.

Дата публикации: 07.10.2013 08:49 UTC