Задачи на прогрессии и проценты (включая часть С) | ЕГЭ по математике (профильной)

Задачи на вклады, кредиты, наценки

Чтобы найти сумму денег с учетом годовой ставки, необходимо:

1. К $100%$ прибавить годовой процент вклада.
2. Найти полученный процент от изначального количества денег.

В некоторых задачах на проценты удобно использовать пропорцию, например:

Для решения некоторых задач необходимо быть знакомым с термином «сложные проценты», который часто нужен для решения задач о вкладах, кредитах и пр. Простыми словами, «сложные проценты» возникают тогда, когда мы начисляем проценты на проценты. Давайте разберем на примере.

Допустим мы положили в банк $X$ рублей под $N%$ годовых. И оставили деньги в банке не на один, а на два года. Это значит, что в конце первого года мы смогли бы забрать $X X*{N/100} = X(1 {N/100})$ рублей, но мы их не забираем, а оставляем на второй год.

И теперь как бы сумма нашего «нового» вклада на второй год под $N%$ составляет уже не $X$, а $X(1 {N/100})$ рублей. То есть в течение второго года проценты будут начисляться в том числе на проценты, накопленные за первый год. Итого под конец второго года мы сможем забрать $X(1 {N/100})

Задачи на скидки

Скидка — это снижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

1. Из $100%$ вычесть процент скидки.
2. Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Задачи на сложные проценты.

Формула сложных процентов связывает четыре величины:

1. $S_0$ — начальный вклад;
2. $S_n$ — накопленную сумму (будущую стоимость вклада);
3. $р$ — годовую процентную ставку;
4. $n$ — время в годах, кварталах или месяцах.

Зная три величины, всегда можно найти четвертую:

$S_n=S_0(1 {p}/{100})^n$

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=({√^n{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Операция нахождения первоначального вклада $S_0$, если известно, что через n лет он должен составить сумму $S_n$, называется дисконтированием:

$S_0={S_n}/{(1 {p}/{100})^n}$

Сколько лет вклад $S_0$ должен пролежать в банке под $р%$ годовых, чтобы достигнуть величины $S_n$.

$n={ln⁡S_n-ln⁡S_0}/{ln⁡(1 {p}/{100})}$

Задачи на смеси и сплавы.

В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:

1. Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
2. Процентное содержание чистого вещества в растворе.

Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:

1. Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
2. Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.

Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.

$m_{1 раствора}·%_{1 вещества} m_{2 раствора}·%_{2 вещества}=m_{смеси}·%_{смеси}$

Решу егэ