Задачи на прогрессии и проценты (включая часть С) | ЕГЭ по математике (профильной)

Задачи на прогрессии и проценты (включая часть С) | ЕГЭ по математике (профильной) ЕГЭ

Задачи на вклады, кредиты, наценки

Чтобы найти сумму денег с учетом годовой ставки, необходимо:

  1. К $100%$ прибавить годовой процент вклада.
  2. Найти полученный процент от изначального количества денег.

Клиент положил в банк 150000 рублей под $12%$ годовых. Какую сумму он сможет снять через год?

Решение.

$100% 12%=112%$ — это процент, который составляет сумма денег клиента через год относительно первоначальной суммы.

Найдем $112%$ от $150000$ рублей:

${112⋅150000}/{100}=168000$ рублей.

Ответ: $168000$.

В некоторых задачах на проценты удобно использовать пропорцию, например:

Мешок картошки стоил $200$ рублей. После повышения цены он стал стоить $250$ рублей. На сколько процентов была повышена цена на мешок картошки?

Решение.

Возьмем за $100%$ изначальную стоимость товара (так как именно с ней мы будем сравнивать стоимость после повышения цены):

$100% — 200$р.

Пусть $х%$ — столько процентов составляет новая цена относительно старой.

$х%- 250$р.

С этими данными составим и решим пропорцию:

${100%}/{х%}={200}/{250}$.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:

$200⋅х=100⋅250$.

$х={100⋅250}/{200}=125%$.

Новая стоимость мешка с картошкой составляет $125%$ относительно начальной цены.

Цена увеличилась на $125%-100%=25%$.

Ответ: $25$.

Рабочая тетрадь по математике стоит $65$ рублей. Сколько тетрадей может купить ученик на $450$ рублей, если действует скидка $8%$?

Решение.

Найдем, сколько процентов составляет стоимость тетради с учетом скидки:

$100%-8%=92%$.

Найдем $92%$ от $65$ рублей и получим стоимость $1$ тетради со скидкой:

${92⋅65}/{100}=59.8$ рублей

Далее разделим $450$ рублей на стоимость одной тетради:

${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$

Дробное число тетрадей мы купить не можем, на восемь тетрадей денег не хватит, поэтому ученик сможет купить только $7$ тетрадей.

Ответ: $7$.

Для решения некоторых задач необходимо быть знакомым с термином «сложные проценты», который часто нужен для решения задач о вкладах, кредитах и пр. Простыми словами, «сложные проценты» возникают тогда, когда мы начисляем проценты на проценты. Давайте разберем на примере.

Допустим мы положили в банк $X$ рублей под $N%$ годовых. И оставили деньги в банке не на один, а на два года. Это значит, что в конце первого года мы смогли бы забрать $X X*{N/100} = X(1 {N/100})$ рублей, но мы их не забираем, а оставляем на второй год.

Про ЕГЭ:  ЕГЭ 2019, Математика, Профильный уровень, 36 вариантов, Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2, Ященко И.В., Волчкевич М.А., Высоцкий И.Р.

И теперь как бы сумма нашего «нового» вклада на второй год под $N%$ составляет уже не $X$, а $X(1 {N/100})$ рублей. То есть в течение второго года проценты будут начисляться в том числе на проценты, накопленные за первый год. Итого под конец второго года мы сможем забрать $X(1 {N/100})

Задачи на скидки

Скидка — это снижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

  1. Из $100%$ вычесть процент скидки.
  2. Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Пример.

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки?

Решение.

Найдем, какой процент от начальной стоимости будет составлять стоимость куртки со скидкой:

$100%-20%=80%$.

Посчитаем, сколько составляет $80%$ от $4500$ рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

${4500·80}/{100}=3600$ — стоимость куртки с учетом скидки.

Задачи на сложные проценты.

Формула сложных процентов связывает четыре величины:

  1. $S_0$ — начальный вклад;
  2. $S_n$ — накопленную сумму (будущую стоимость вклада);
  3. $р$ — годовую процентную ставку;
  4. $n$ — время в годах, кварталах или месяцах.

Зная три величины, всегда можно найти четвертую:

$S_n=S_0(1 {p}/{100})^n$

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=({√^n{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Операция нахождения первоначального вклада $S_0$, если известно, что через n лет он должен составить сумму $S_n$, называется дисконтированием:

$S_0={S_n}/{(1 {p}/{100})^n}$

Сколько лет вклад $S_0$ должен пролежать в банке под $р%$ годовых, чтобы достигнуть величины $S_n$.

$n={ln⁡S_n-ln⁡S_0}/{ln⁡(1 {p}/{100})}$

Задачи на смеси и сплавы.

В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:

  1. Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
  2. Процентное содержание чистого вещества в растворе.

Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:

  1. Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
  2. Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.
Про ЕГЭ:  ЕГЭ по русскому языку - 11 класс - 2008.

Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.

$m_{1 раствора}·%_{1 вещества} m_{2 раствора}·%_{2 вещества}=m_{смеси}·%_{смеси}$

Пример:

Смешали $2$ кг $15%$-ного водного раствора некоторого вещества с $8$ кг $10%$-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Пусть $х%$ — концентрация получившегося раствора.

Составим к задаче схему.

$1$ раствор
Масса — $2$кг
Процентное содержание вещества — $15%$
$2$ раствор
Масса — $8$кг
Процентное содержание вещества — $10%$
Смесь растворов
Масса – $2$кг$ 8$кг$=10$кг
Процентное содержание вещества — $х%$

Составим уравнение:

$15%·2 10%·8=х%·10$ Уберем в уравнении знак процента, чтобы он не мешал при расчетах

$15·2 10·8=10·х$

$30 80=10х$

$10х=110$

$х=11%$ — концентрация получившегося раствора.

Ответ: $11$

Решу егэ

Решение.

Арифметический подход к решению.

1. 3600 · 1,485 = 5346 тыс. руб. — размер вклада к концу третьего года хранения.

2. 3600 · 1,1 · 1,1 · 1,1 = 4791,6 тыс. руб. — размер вклада к концу третьего года хранения, зависящего от первоначально внесенной суммы.

3. 5346 − 4791,6 = 554,4 тыс. руб. составляют ежегодные дополнительно внесенные вклады, включая начисленные процентные надбавки.

4. Пусть одну часть из суммы 554,4 тыс. руб. составляет дополнительно внесенная сумма в третий год хранения вклада вместе с процентной надбавкой, начисленной на ту же сумму. Тогда 1,1 часть составит размер дополнительно внесенной суммы во второй год хранения вклада с учетом процентной надбавки, начисленной дважды (два года подряд).

5. Всего 1 1,1 = 2,1 (части).

6. 554,4 : 2.1 = 264 тыс. руб. — доля одной части от 554, 4 т. р. вместе с ежегодной процентной надбавкой.

7. 264 : 1,1 = 240 тыс. руб. — сумма, ежегодно добавленная к вкладу.

Алгебраический подход к решению.

Пусть Владимир ежегодно вносил на счет x тыс. руб.

К концу первого года хранения размер вклада стал 3600 · 1,1 = 3960 тыс. руб.

Владимир дополнительно внес x р. Размер вклада стал 3960 x тыс. руб.

К концу второго года хранения размер вклада стал (3960 x) · 1,1 = 4356 1,1x тыс. руб.

Про ЕГЭ:  Историческое сочинение, задание 25 по подготовке к ЕГЭ по истории в 11-м классе.материал для подготовки к егэ (гиа) по истории (11 класс)

Владимир вновь сделал дополнительный взнос x тыс. руб.

Размер вклада стал 4356 1,1x x = 4356 2,1x тыс. руб.

К концу года были начислены проценты на сумму 4356 2,1x тыс. руб.

Размер вклада стал (4356 2,1x) · 1,1 = 4791,6 2,31x тыс. руб., который равен 3600 · 1,485 =5346 тыс. руб.

Таким образом, составим и решим уравнение: 4791,6 2,31x = 5346 ⇔ 2,31x = 554,4 ⇔ x = 240.

Ответ: 240 тыс. рублей.

Ответ: 240 тыс. рублей.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 120.

§

§

Ре­ше­ние.

Ариф­ме­ти­че­ский под­ход к ре­ше­нию.

1. 3600 · 1,485 = 5346 тыс. руб. — раз­мер вкла­да к концу тре­тье­го года хра­не­ния.

2. 3600 · 1,1 · 1,1 · 1,1 = 4791,6 тыс. руб. — раз­мер вкла­да к концу тре­тье­го года хра­не­ния, за­ви­ся­ще­го от пер­во­на­чаль­но вне­сен­ной суммы.

3. 5346 − 4791,6 = 554,4 тыс. руб. со­став­ля­ют еже­год­ные до­пол­ни­тель­но вне­сен­ные вкла­ды, вклю­чая на­чис­лен­ные про­цент­ные над­бав­ки.

4. Пусть одну часть из суммы 554,4 тыс. руб. со­став­ля­ет до­пол­ни­тель­но вне­сен­ная сумма в тре­тий год хра­не­ния вкла­да вме­сте с про­цент­ной над­бав­кой, на­чис­лен­ной на ту же сумму. Тогда 1,1 часть со­ста­вит раз­мер до­пол­ни­тель­но вне­сен­ной суммы во вто­рой год хра­не­ния вкла­да с уче­том про­цент­ной над­бав­ки, на­чис­лен­ной два­жды (два года под­ряд).

5. Всего 1 1,1 = 2,1 (части).

6. 554,4 : 2.1 = 264 тыс. руб. — доля одной части от 554, 4 т. р. вме­сте с еже­год­ной про­цент­ной над­бав­кой.

7. 264 : 1,1 = 240 тыс. руб. — сумма, еже­год­но до­бав­лен­ная к вкла­ду.

Ал­геб­ра­и­че­ский под­ход к ре­ше­нию.

Пусть Вла­ди­мир еже­год­но вно­сил на счет x тыс. руб.

К концу пер­во­го года хра­не­ния раз­мер вкла­да стал 3600 · 1,1 = 3960 тыс. руб.

Вла­ди­мир до­пол­ни­тель­но внес x р. Раз­мер вкла­да стал 3960 x тыс. руб.

К концу вто­ро­го года хра­не­ния раз­мер вкла­да стал (3960 x) · 1,1 = 4356 1,1x тыс. руб.

Вла­ди­мир вновь сде­лал до­пол­ни­тель­ный взнос x тыс. руб.

Раз­мер вкла­да стал 4356 1,1x x = 4356 2,1x тыс. руб.

К концу года были на­чис­ле­ны про­цен­ты на сумму 4356 2,1x тыс. руб.

Раз­мер вкла­да стал (4356 2,1x) · 1,1 = 4791,6 2,31x тыс. руб., ко­то­рый равен 3600 · 1,485 =5346 тыс. руб.

Таким об­ра­зом, со­ста­вим и решим урав­не­ние: 4791,6 2,31x = 5346 ⇔ 2,31x = 554,4 ⇔ x = 240.

Ответ: 240 тыс. руб­лей.

Ответ: 240 тыс. руб­лей.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 120.

Оцените статью
ЕГЭ Live