В задачнике на определение логарифмических неравенств и показательных уровнений рассматриваются решения логических равенства, имеющих вид матрицы

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Тренажёр № 5 (в форме ЕГЭ)

Тема: Логарифмические уравнения и неравенства

 (учебник алгебры и начал анализа авторов Ш.А.Алимова и др.)

I уровень сложности

Ответом к заданиям В1 – В3 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде конечной  десятичной дроби. Это число надо записать в ответ.

Тренажёр № 5 (в форме ЕГЭ)

Тема: Логарифмические уравнения и неравенства

 (учебник алгебры и начал анализа авторов Ш.А.Алимова и др.)

I уровень сложности

Ответом к заданиям В1 – В3 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде конечной  десятичной дроби. Это число надо записать в ответ.

Тренажёр № 5 (в форме ЕГЭ)

Тема: Логарифмические уравнения и неравенства

 (учебник алгебры и начал анализа авторов Ш.А.Алимова и др.)

II уровень сложности

Тренажёр № 5 (в форме ЕГЭ)

Тема: Логарифмические уравнения и неравенства

 (учебник алгебры и начал анализа авторов Ш.А.Алимова и др.)

II уровень сложности

урок 10. Математика ЕГЭ

Метод рационализации

Метод рационализации (равносильности) необходим для успешной сдачи ЕГЭ по профильной математике. В экзаменационных вариантах попадаются неравенства, которые удобнее и быстрее всего решать именно методом рационализации. Довольно часто можно обойтись и без него, но тогда количество вычислений в решении увеличивается в несколько раз, что повышает вероятность ошибки.

Прежде чем приступить к его изучению нужно обязательно знать следующие темы:

1. Свойства степеней и показательных функции
2. Свойства логарифмов
3. Решение показательных уравнений и показательных неравенств
4. Решение логарифмических уравнений и логарифмических неравенств
5. Метод замены переменной
6. Метод интервалов

Когда применяется метод рационализации?

Вторые неравенства в системах имеют строгий знак неравенства, так как это условия, накладываемые на знаменатель.

Согласитесь, решать две такие системы не очень приятное занятие. Хотя тут это вполне реально. Но что, если неравенства в системах будут значительно сложнее, или множителей будет не два, а больше. Тогда ваше решение будет очень громоздким. И вот тут на помощь приходит метод рационализации, или его еще называют методом равносильности. Он позволяет сократить вычисления в несколько раз.

Чуть ниже мы решим этот пример.

Второй случай, когда целесообразно применять метод рационализации, это когда в основании логарифмической или показательной функции лежит переменное основание. Показательных функций это касается в меньшей степени, а вот в логарифмах встречается часто. Например:

Значит, во-первых, переменное основание дает нам дополнительные условия в ОДЗ, про которые ни в коем случае нельзя забывать!

Проблема в том, что, так как основание переменное, оно может быть абсолютно любым в зависимости от \(x\). А следовательно, мы не знаем, менять нам знак неравенства или нет.

Даже в таком легком примере пришлось решать две системы плюс еще система с ОДЗ — не очень приятно. Здесь, опять же, выручает метод рационализации.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Перед тем, как приступить к изучению, немного поговорим про равносильные преобразования. Им не уделяют достаточно внимания в школе, кажется, что это очевидная штука. Но это очень важно.

Итак, равносильные преобразования — это преобразования, при которых не меняются корни уравнения или неравенства. Например, перенос слагаемого в неравенстве слева направо от знака неравенства — это ни что иное, как равносильное преобразование. Ведь если перенести слагаемое, не забыв при этом поменять перед ним знак, то корни неравенства или уравнения останутся теми же самыми — они не изменятся, их не станет больше и даже меньше их не будет. Корни уравнения после преобразования будут один в один, как до преобразования.

Вам, возможно, кажется, что я говорю очевидные вещи. Но равносильные преобразования бывают гораздо сложнее. Например, в методе рационализации мы как раз будем делать равносильные преобразования.

Рассмотрим применение метода рационализации для начала на простом примере:

Оказывается, вместо решения логарифмического неравенства с переменным основанием, я могу решить равносильное ему обыкновенное неравенство на ОДЗ, и корни будут абсолютно такие же:
$$(x-1)((2x+5)-x)>0; \qquad (**)$$
$$(x-1)(x+5)>0;$$

Давайте попробуем разобраться, почему корни получившегося неравенства будут совпадать на ОДЗ с корнями исходного логарифмического неравенства.

Действительно, если основание логарифмов больше единицы — \(x > 1\), то знак неравенства (*) должен сохраниться или, другими словами, \((2х+5)\) должно быть больше \(x\).

А если основание от нуля до единицы — \(0 \lt х \lt 1\), то знак неравенства меняется на противоположный и \((х+5)\) должно быть меньше \(х\). (Смотри (*)).

Именно эти два условия и описывает неравенство (**). Посмотрите на него внимательно. Для того, чтобы неравенство было верно, необходимо, чтобы произведение двух скобок было больше нуля. Это возможно в двух случаях: если скобки обе положительные, и если обе отрицательные.

Первая скобка положительна при \(x>1\), тогда, чтобы неравенство (**) было верным, необходимо выполнение условия \(2x+5>x\). Один в один случай, когда основания логарифмов больше 1.

И наоборот, если первая скобка отрицательна на ОДЗ при \(0 \lt x \lt 1\), то вторая скобка тоже должна быть отрицательной, чтобы выполнялось неравенство (**), то есть \(2x+5 \lt x\). Случай, когда основания логарифмов меньше единицы, но больше нуля.

В случае, если у нас неравенство (**) со знаком меньше, а не больше, как в примере выше, рассуждения будут точно такими же, только произведение двух множителей (скобок) будет меньше нуля, при условии, что они разных знаков: первый множитель отрицательный, второй положительный и наоборот!

Дорешаем пример (**) при помощи метода интервалов:

C учетом ОДЗ получим:
Ответ: \(x\in(1;+\infty)\).

Метод рационализации для логарифмов в общем виде

Общая схема метода рационализации выглядит так:

Разберем несколько примеров применения метода рационализации в логарифмических неравенствах без полного решения. Просто посмотрим, как делаются равносильные преобразования, дорешивать до конца не будем.

Общий случай метода рационализации

Бывают логарифмические неравенства в виде произведения или частного различных множителей. В таких примерах обойтись без рационализации сложно. Разберем на примере:

Было бы здорово решить наше неравенство методом интервалов, но, к сожалению, метод интервалов применим только для линейных множителей (без всяких логарифмов, показательных функций, степеней и др.).

Обратите внимание, что неравенство \((x+3-1)(7-2x-1) \ge 0 \) будет выполняться точно при таких же \(x\) на ОДЗ логарифма.

Рассмотрим еще более сложный пример на рационализацию:

Подставим получившееся преобразование в исходное неравенство:
$$ (x-1)*(x+3-1)(x+2-1)*(3-1)((x+3)^2-1) \le 0;$$
Упростим выражения в скобках
$$ (x-1)*(x+2)(x+1)*2*(x+2)(x+4) \le 0;$$
$$2 (x-1)*(x+2)^2*(x+1)*(x+4) \le 0;$$

Решим методом интервалов с учетом ОДЗ:

Метод рационализации в показательных неравенствах

Посмотрим, как это работает на простом примере из обыкновенных показательных неравенств:

Чтобы во всем разобраться, нужно вспомнить, как решаются показательные неравенства. Первым делом приводим к одинаковому основанию: у нас в примере №7 слева и справа основание 5, поэтому с этим все хорошо. Дальше мы смотрим, больше ли основание единицы, если да, то просто вычеркиваем основание, сохраняем знак неравенства и сравниваем степени. А если меньше, то не забываем поменять знак неравенства на противоположный.

В нашем примере основание \(5>1\) поэтому решение всего неравенства сводится к решению \(2x-3 \ge x+4\). Обратите внимание на (**): оно представляет из себя произведение двух скобок \((5-1)\) и \(((2x-3)-(x+4))\), а произведение будет больше нуля когда? Когда множители либо оба положительны, либо оба отрицательны.

Так как очевидно \((5-1)>0\), то второй множитель \(((2x-3)-(x+4))\) тоже должен быть больше нуля, чтобы все неравенство было верным. Или другими словами, должно выполняться: \(2x-3 \ge x+4\), что то же самое, если бы мы решали без всякой рационализации.
Можно вообще все показательные неравенства решать рационализацией. Она дает вам право не обращать внимания на основание (больше или меньше единицы). Посмотрим еще простой пример:

Это все эквивалентно обычному методу решения показательных неравенств с избавлением от основания. Здесь основания слева и справа одинаковые и меньше единицы, значит вычеркиваем их и меняем знак неравенства: \(x+2\le-2x-4\). В методе рационализации у нас тоже все свелось к точно такому же неравенству.

Примеры №7 и 8 обычно не решают методом рационализации. Давайте разберем пример, в котором рационализация сильно упрощает решение:

Теперь разберем более общий случай применения метода рационализации. Дело в том, что часто встречаются смешанные неравенства, и в них кроме показательной функции бывают логарифмические, тригонометрические, линейные и т.д. В общем, намешана вся школьная программа. В таких случаях нам тоже может помочь рационализация.

Общее правило рационализации

Рассмотрим пример посложнее.

Формулы метода рационализации

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.

Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.

Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Уравнения и неравенства с модулем 

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

1. Решите неравенство:

Тогда , а

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

2. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

Значит, корни этого уравнения:

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Вернемся к переменной

Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим Для этого рассмотрим функцию

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если и , то

4. Решите неравенство

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство:

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение заменим на

Решить ее легко.

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Стереометрия. Расстояния и углы в пространстве

Как решать логарифмические уравнения

Уравнения, содержащие в том или ином виде логарифмы от некоторого выражения, зависящего от \(х\), называются логарифмическими.

Давайте сразу же рассмотрим пример, так будет легче всего разобраться.

Мы видим слева и справа логарифмы с одинаковыми основаниями, равными \(2\). Вполне логично предположить, что логарифмы будут равны, если будут равны выражения, стоящие под логарифмом (их называют аргументами) — то есть \(х=5\). Мы только что решили логарифмическое уравнение!

На самом деле, абсолютно такая же логика применима при решении почти всех логарифмических уравнений — если у нас сравниваются два логарифма с одинаковыми основаниями, то мы можем избавиться от логарифмов, приравнять их аргументы и решить получившееся уравнение.

Опять имеем два логарифма с одинаковым основанием \(3\). Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:

$$ 2x+5=11,$$
$$ 2x=6,$$
$$ x=3.$$

Кажется, что все очень просто. Но есть несколько непростых нюансов, которые необходимо обсудить. Давайте посмотрим еще один пример:

Смотрим на основания — они одинаковые, значит убираем логарифмы и решаем уравнение:

Мы решили уравнение, но я хочу позанудствовать и проверить, действительно ли получившийся корень является корнем исходного уравнения. Для этого подставим его в логарифмическое уравнение:

Мы получили слева и справа два одинаковых логарифма, вот только эти логарифмы НЕ СУЩЕСТВУЮТ, потому что нельзя взять логарифм от отрицательного числа.

Значит, с нашим решением что-то не так — мы нашли корень, подставили его в уравнение, но получили логарифм от отрицательного числа, который не существует!

Тут самое время вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ). В логарифмах нужно всегда внимательно следить за тем, чтобы не нарушались ограничения, которые вытекают из определения логарифма. Рассмотрим логарифм от некоторой функции:

Область допустимых значений (ОДЗ) для него будет задаваться системой неравенств:

Следующая трудность при решении логарифмических уравнений возникает, когда у нас сравниваются логарифмы с разными основаниями:

Запишем ОДЗ: \(x>0\).

У логарифма слева основание \(2\), а у логарифма справа основание \(4\). Чтобы воспользоваться способом решения, аналогичным первым трем примерам, необходимо привести логарифмы к одинаковому основанию.

Вспоминаем, что в самом начале к уравнению мы записывали ОДЗ \(х>0\). Тогда корень \(x=-3\) не удовлетворяет ОДЗ. Обратите внимание, что без учета ОДЗ в этом случае, мы бы получили неправильный ответ.

Подробнее про свойства логарифмов можно посмотреть тут. Логарифмические уравнения с разными основаниями встречаются в ЕГЭ регулярно, поэтому важно уметь применять все свойства логарифмов.

Рассмотрим еще один пример.

Как видим, в примере есть только логарифм в левой части равенства, а справа стоит просто число 2. Давайте постараемся привести к такому же виду, как и в прошлых примерах. То есть сделаем так, чтобы справа появился логарифм с основанием 5.

Подведем итоги. В большинстве случаев, для того, чтобы решить простейшее логарифмическое уравнение, необходимо привести логарифмы слева и справа к одинаковому основанию. Затем приравнять подлогарифмические выражения и решить получившееся уравнения. При этом ни в коем случае не забываем про ОДЗ. На ЕГЭ, если вы вдруг запишите в ответ хотя бы один корень, не удовлетворяющий ОДЗ, то вам поставят за это задание 0 баллов.

Обратите внимание на «или» в ОДЗ. Оказывается можно накладывать условие больше нуля только на одную функцию: либо на f(x), либо на g(x) — смотря какое неравенство вам кажется легче для решения. Дело в том, что если одна из функций будет больше нуля, то и другая автоматически тоже будет будет больше, ведь мы ищем корни, при которых \(f(x)=g(x)\).

Для того, чтобы закрепить материал, решим еще одно логарифмическое уравнение:

Здесь все несколько сложнее, чем в предыдущих примерах. Для того чтобы представить наше уравнение в виде (*), нужно избавиться от множителя \(2\) перед первым логарифмом, кроме этого, нам мешается отдельное слагаемое \(4\), и в придачу ко всем этим неприятностям у логарифмов разные основания!

Логарифмические уравнения с переменным основанием

Рассмотри теперь уравнение, в котором есть, так называемый, логарифм с переменным основанием. То есть логарифм, у которого в основании стоит какое-то выражение, зависящее от \(х\).

В основании логарифма стоит \((1-х)\), это переменное основание, потому что я могу подставлять различные значения \(х\) и каждый раз основание логарифма будет разным. Ничего страшного в этом нет, начинаем решать, руководствуясь тем же принципом, что и в предыдущих примерах — стараемся привести обе части уравнения к виду двух логарифмов с одинаковым основанием. Для этого нужно представить \(1\) справа в виде логарифма с основанием \((1-х)\).

Замена переменной в уравнениях с логарифмами

Разберем еще один частый тип логарифмических уравнений — это уравнения с заменой переменной. Общий принцип заключается в том, чтобы привести все логарифмы в уравнении к одинаковому основанию и одинаковому аргументу, а потом сделать замену.

Проще разобрать на примерах:

Как и любой пример на логарифмы, начинаем с ОДЗ:

В уравнении один из логарифмов в квадрате, поэтому представить в виде равенства двух логарифмов, как мы делали в предыдущих примерах, не получится. Кроме этого, замечаем, что у нас оба логарифма абсолютно одинаковые (у них одинаковые основания, и одинаковые аргументы).

Посмотрим теперь на сам пример. Видим два логарифма, у них одинаковые основания, что хорошо. Но функции, стоящие под логарифмами, разные. Постараемся при помощи свойств логарифма сделать одинаковые аргументы, чтобы потом сделать замену.

Зеденым цветом показано решение первого неравенства в системе, синим — второго и фиолетовым третьего. Область, которая находится на пересечении сразу всех трех промежутков заштрихована бордовым.

Решаем методом интервалов, и находим пересечение решений всех неравенств в системе:

В итоге получаем ОДЗ: \(x>1\).

Как решать логарифмические неравенства?

Решение неравенств с логарифмами похоже на решение обычных логарифмических уравнений. Но есть несколько моментов, которые необходимо учитывать.

Если у вас возникают сложности с вычислением логарифмов настоятельно рекомендую сначала почитать про логарифмы и их свойства.

Оказывается, если основание у логарифма больше единицы, то логарифм будет возрастающей функцией: чем БОЛЬШЕЕ значение аргумента, тем БОЛЬШЕ сам логарифм. Если основание логарифма меньше единицы, то логарифм будет убывающей функцией: чем БОЛЬШЕЕ значение аргумента, тем МЕНЬШЕ значение логарифма.

Находим пересечение указанных областей. И видим, что все \(x>8\) удовлетворяют ОДЗ, записываем ответ.

Ответ: \(x>8.\)

Конкретно в этом примере это не критично, но дальше, когда будут гораздо более сложные примеры, решение дополнительных неравенств в ОДЗ может существенно усложнить жизнь. Особенно это касается заданий с параметром. Настоятельно рекомендую думать, а не просто по схеме накладывать ОДЗ на все подряд.

Метод замены переменной в неравенствах с логарифмом

Еще один очень популярный тип неравенств — это неравенства, которые решаются при помощи замены переменной. Как всегда, проще разобраться с этим на примерах:

А знак совокупности используется, когда нужно объединить решение каждого неравенства — то есть решением совокупности будут все корни, полученные в каждом неравенстве по отдельности.

В данном примере мы используем совокупность, так как нас устраивают и \(t<1\), и \(t>2\). И то, и то является решением нашего неравенства.

Понимание разницы между совокупностью и системой — принципиальный момент при решении логарифмических и показательных неравенств. С совокупностью мы познакомились в этом примере, а когда используется система, поговорим чуть позже.

Обратите внимание, на точку \(t=1\), она нас устраивает, ведь при этом значении \(t\) все выражение равно нулю. В ЕГЭ очень часто попадаются отдельные точки, про которые надо не забыть.

С основными стандартными типами логарифмических неравенств мы познакомились. Теперь обсудим «подводные камни», которые часто встречаются при решении логарифмических неравенств.

ОДЗ в логарифмических неравенствах. Как сделать проще?

Иногда можно немного упростить себе жизнь при поиске ОДЗ в неравенствах. Для этого нам понадобится немного логики. Разберем на примере:

Что избавляет нас от необходимости решать \(16-x^2>0\), это будет лишним действием.
Конкретно в этом примере нет большой трудности решить все условия из ОДЗ и не думать. Но часто встречаются примеры, в которых выше представленная логика поможет вам не запутаться, ведь иногда это спасает от необходимости решения очень сложных неравенств. Особенно это касается решения заданий с параметрами в профильном ЕГЭ по математике. Вот там каждое лишнее условие в разы увеличивает объем работы.

Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Разберемся, как решать, на примере:

Заметим, что данный квадратный многочлен больше нуля при любых значениях \(х\). Второе неравенство имеет решения при \(х>0\). А третье дает нам \(x\neq 1\).
Объединяя все решения, получаем итоговое ОДЗ:
$$x\in(0;3)\cup(3;+\infty);$$

Метод сужения ОДЗ в логарифмических неравенствах

Эта неприятная штука часто встречается в ЕГЭ по профильной математике и приводит к множеству ошибок и потерянным баллам.

Оказывается, при решении логарифмических неравенств не всегда можно применять формулы из свойств логарифмов (вынесение степени, логарифм от произведения или частного и т.д.). Это связано с изменением области определения логарифмов.

Что это все значит? Проще обсудить на примерах. Рассмотрим простое неравенство с логарифмом:

Итак, мы решили одно и то же неравенство двумя способами, но ответ получился разный. Как вы думаете, почему? Какое из решений будет верным?

На самом деле, все очень просто. Напоминаю, что логарифм существует только от положительных чисел. Значит, когда под логарифмом стоит \(x^2\), то вместо \(x\) можно подставлять любые значения, кроме 0. Вторая степень будет превращать подлогарифмическое выражение в положительное, что нас устраивает. Поэтому могут существовать отрицательные значения \(x\), при подстановке которых ничего не нарушается. Собственно говоря, у нас так и получилось в первом случае: \(x\in(-\infty;-9)\cup(9;+\infty)\). Есть отрицательные корни, которые удовлетворяют ОДЗ.

А во втором случае, как только мы вынесли из-под логарифма четную степень, отрицательные корни \(x\) больше не подходят, ведь логарифм не будет существовать, и положительные корни — единственные, которые могут получиться. Другими словами, наше ОДЗ СУЗИЛОСЬ!
И, как мы увидели, ответ получился другой, без отрицательных промежутков. Что, разумеется, неправильно.

Очень важное общее правило. Нельзя с логарифмами производить такие преобразования, при которых происходит сужение области допустимых значений ВСЕГО ПРИМЕРА. Если ОДЗ после преобразования остается прежним или увеличивается, то такое преобразование разрешено.

Отдельная очень важная оговорка про то, что ОДЗ не должно сужаться у всего примера. Посмотрите еще раз на разобранный выше пример 6. Там в одном из логарифмов была четная четвертая степень, которую мы не постеснялись вынести, и ни про какое сужение ОДЗ даже речи не было. Неужели неправильно решили пример? Нет, все абсолютно верно, ведь ОДЗ всего неравенства не сузилось, а значит, можно было пользоваться формулой.

Кстати, все эти размышления касаются не только формул вынесения степени, а всех свойств логарифма (суммы, разности и т.д.), нужно быть внимательными! Но чаще всего встречаются ловушки, связанные с вынесением четной степени.