Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив

3621

На ЕГЭ по профильной математике с собой можно взять только черные гелевые ручки и линейку. На экзамене профильного уровня, в отличие от базового, не выдаются справочные материалы – выпускникам не предоставляются формулы, необходимые для решения задач. Исключение составляют лишь 5 формул по тригонометрии, но, естественно, они не помогут набрать максимальные баллы, если экзаменуемые не будут знать об остальных важных сведениях и математических свойствах.

Содержание

Содержание
Формулы стереометрии. Общий обзор!
Формулы для ЕГЭ по профильной математике. Геометрия
Планиметрия
Треугольник
Прямоугольный треугольник
Интенсивы ЕГЭ — лучший способ вспомнить все и сразу!
Равносторонний треугольник
Аргументы для итогового сочинения
Равносторонний шестиугольник
Ромб
Трапеция
Произвольный четырёхугольник
Окружность
Стереометрия
Самое популярное. Тригонометрия и площади фигур
Классическая стереометрия и метод координат
Сумма событий, произведение событий и их комбинации
Таблица производных и правила дифференцирования
Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.
Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.
Геометрия на ЕГЭ по математике. Треугольники, четырехугольники, окружности.
Формулы для ЕГЭ по профильной математике. Алгебра
Формулы сокращенного умножения
Прогрессия
Арифметическая
Геометрическая
Таблица степеней
Свойства степеней
Таблица квадратов
Свойства корней
Тригонометрия
Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрическая окружность
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Преобразование суммы и разности в произведение
Регулярные курсы по подготовке к олимпиадам и ЕГЭ
Вероятность
Свойства модуля
Производные
Основные правила дифференцирования
Таблица производных
Первообразные
Логарифмы
Квадратные уравнения
Дискриминант
Теорема Виета
Разложение на множители
Логика перебора.
Алгебра
Формулы для профильного ЕГЭ-2023 по математике
Формулы сокращённого умножения
Прогрессии
Арифметическая прогрессия:
Геометрическая прогрессия:
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Основные соотношения
Формулы двойного угла
Формулы суммы и разности аргументов
Преобразование суммы и разности в произведение
Формулы половинного аргумента
Обратные тригонометрические функции
Производные
Основные правила дифференцирования
Уравнение касательной
Производные элементарных функций
Первообразные
Таблица первообразных
Геометрия
Планиметрия (2D)
Стереометрия (3D)
Лучшие шпаргалки по математике. Качественно. Ничего лишнего.
Формулы объема и площади поверхности.
Выводы
Читайте также

Содержание

Формулы стереометрии. Общий обзор!

Формулы стереометрии. В этой статье общий обзор формул для решения задач по стереометрии. Нужно сказать, что задачи по стереометрии довольно разнообразны, но они несложны. Это задания на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов.

Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся., хотя более 80% таких задач решаются элементарно, практически устно.

Остальные требуют небольших усилий, наличия знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассматривать все эти задачи, не пропустите!

Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Ещё раз подчеркну, что сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия (максимум). Важно «увидеть» какую формулу необходимо применить, только и всего.

Все необходимые формулы представлены ниже:

Формулы стереометрии

Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив

Конечно, кроме указанных формул необходимо знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, понятие средней линии треугольника и ещё немного теоретических фактов, о которых мы поговорим в следующей статье.

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Формулы Теория | ЕГЭ-№2Формулы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции $f\left ( x \right )$ в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

$\boldsymbol{f$

1. На рисунке изображён график функции $y\ =\ f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0 .$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 .$

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке $x_0$ .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

$f$

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$
Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0.$

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке $x_0$ функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке $x_0$ образует тупой угол $\alpha$ с положительным направлением оси $X$ . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла $\varphi$ , смежного с углом $\alpha$ .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $tg \varphi = 0, 25.$ Поскольку $\alpha + \varphi = 180^{\circ}$ , имеем:

$tg \alpha = tg(180^{\circ} -\varphi ) = - tg \varphi = -0, 25.$

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая $y\ =\ -\ 4x\ -\ 11$ является касательной к графику функции $y\ =\ x^3 +\ 7x^2 +\ 7x\ -\ 6.$

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции $y=f\left(x\right)$ и прямой $y=kx+b$ в точке $x_0 .$

При $x= x_0$ значения выражений $f\left(x\right)$ и $kx+b$ равны.

При этом производная функции $f\left(x\right)$ равна угловому коэффициенту касательной, то есть $k$ .

$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$

$\left\{ \begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \\{3x}^2+14x+7=-4 \end{array}\right..$

Из второго уравнения находим $x =\ -1$ или $x=-\frac{11}{3}.$ Первому уравнению удовлетворяет только $x = -1$ .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^2 - 3t - 29$ , где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t = 3$ с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: $x\left(t\right)=t^2-3t-29.$

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

$v\left(t\right)=x$ В момент времени $t=3$ получим:

$v\left(3\right)=2\cdot 3-3=3$ .

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ , то функция $f (x)$ возрастает.

Если $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ , то функция $f (x)$ убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

$f(x)$	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$	$+$	0	$-$	0	$+$

5. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ , определенной на интервале $(-3; 9).$ Найдите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.

Производная функции $f {$ в точках максимума и минимума функции $f(x).$ Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-6; 5)$ . В какой точке отрезка $[-1; 3]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке $[-1;3]$ производная функции $f(x)$ положительна.

Значит, функция $f(x)$ возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение $f(x).$ Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции $y= f(x)$ , определённой на интервале $(-3; 8)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y = 1.$

Прямая $y=1$ параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции $y = f(x)$ точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-7; 14).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ на отрезке $[-6; 9].$

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке $[-6; 9]$ такая точка всего одна! Это $x=7.$

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-6; 5).$ Найдите точку экстремума функции $f(x)$ на отрезке $[-5; 4].$

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке $[- 5; 4]$ график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке $x = -2.$ В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, $x= -2$ является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция $F(x)$ , для которой $f(x)$ является производной, называется первообразной функции $y = f(x).$ Функции вида $y = F(x) + C$ образуют множество первообразных функции $y = f(x).$

10. На рисунке изображён график $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-6; 6).$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-4; 4] .$

Функция $F(x),$ для которой $f(x)$ является производной, называется первообразной функции $y = f(x).$

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку $[-4; 4]$ , в которых производная функции $F(x)$ равна нулю. Это точки максимума и минимума функции $F(x).$ На отрезке $[-4; 4]$ таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Формулы для ЕГЭ по профильной математике. Геометрия

Планиметрия

Треугольник

Следствие из теоремы косинусов:

Длина биссектрисы (через угол):

Длина биссектрисы (через отрезки):

Прямоугольный треугольник

Интенсивы ЕГЭ
— лучший способ вспомнить все и сразу!

Это ударная подготовка в течение 7 дней!

Про ЕГЭ: 8 вариантов ЕГЭ по обществознанию

Равносторонний треугольник

Аргументы для итогового сочинения

Подборка лучших аргументов

Равносторонний шестиугольник

Площадь внутреннего треугольника:

Площадь внутреннего прямоугольника:

Ромб

Трапеция

Произвольный четырёхугольник

Окружность

Стереометрия

27f77fef-868e-4746-af5a-ff3f5d564738

Самое популярное. Тригонометрия и площади фигур

Тригонометрический круг

Синус, косинус, тангенс…

Формулы тригонометрии

Геометрия. Площади фигур

Классическая стереометрия и метод координат

Основы стереометрии. Часть 1.

Основы стереометрии. Часть 2.

Стереометрия: Векторы и координаты.

Как расположить прямоугольную систему координат

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

$11.$ Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть $p$ – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

$p_1$ – вероятность того, что он сломается на второй год, $p_2$ – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно, $p= p_1+p_2.$

Тогда $p_1=p-p_2=0,93-0,87=0,06.$

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

$12.$ На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна $\frac{1}{2}.$ Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}).$ На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна $\frac{1}{2},$ а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна $\frac{1}{32},$ то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

$13.$ (А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку $1 - 0,2 = 0,8.$ Для второго $1 - 0,25 = 0,75.$ Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью $0,8\cdot0,75\cdot0,8\cdot0,75\cdot 0,8 =0,36\cdot0,8=0,288.$

$14.$ Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна $x$ . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна $1-x$ .

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: $0,4 x.$

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна $0,2 (1-x).$

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

$0,4 x + 0,2 (1-x) = 0,35.$

Решаем это уравнение и находим, что $x = 0,75$ – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

$15.$ Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна $0,05\cdot0,9$ ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна $0,95\cdot0,01$ ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна $0,05\cdot0,9+0,95\cdot0,01=0,0545.$

Ответ: 0,0545.

$16.$ Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна $0,6 \cdot 0,8.$

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
$1 - 0,5 \cdot 0,3.$
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна $0,6 \cdot 0,8 \cdot (1 - 0,5 \cdot 0,3) = 0,408.$ Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.

Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.

1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.

А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.

2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.

Про ЕГЭ: Все формулы для ОГЭ 2023 по физике 9 класс которые нужны

3. Производная функции $y=e^{x}$ равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции $y=e^{x}$ … и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.

4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.

5. Производная логарифма в точке $x_{0}$ обратно пропорциональна $x_{0}$ . Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.

Вспомним, как связаны производная и поведение функции.

Если производная $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ положительна, то функция $f(x)$ возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

$f(x)$	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$	+	0	—	0	+

Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.

Задача 1. Найдите точки максимумам функции $\displaystyle y=-\frac{x^{2}+25}{x}.$

Решение:

Область определения функции: $x\in (-\infty; 0)\cup (0;+\infty ).$

Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.

$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ если $x=\pm 5.$

Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.

Найдем знаки производной на каждом интервале.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите точки минимума функции $y=e^{x+10}(8x-3).$

Решение:

Применим формулу производной произведения.

Приравняем производную к нулю:

${y}$ , если $8x+5=0,$ $\displaystyle x=\frac{-5}{8}=-0,625.$

Если $x\textless -0,625,$ то $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ функция убывает.

Если $x\textgreater -0,625,$ то $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ функция возрастает, значит, $x=-0,625$ – точка минимума функции $y(x).$

В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Ответ: -0,625.

Задача 3. Найдите значение функции $f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$ в точке максимума.

Решение:

Найдем производную функции: $f$

Мы применили формулы производной степени.

Решим уравнение: $f$

$3x^{3}-12x^{2}-4x+12=0\Leftrightarrow 3x^{3}(x-3)-4(x-3)=0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (x-3)\cdot 4\cdot (x-1)\cdot (x+1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=3\\x=1\\x=-1\\\end{array}\right. .$

Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.

$x=1$ – точка максимума.

Найдём значение функции в этой точке: $f(1)=1-4-2+12+9=16.$

Ответ: 16.

Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:

Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:

Находим производную функции.
Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке $x_{0}$ , то $x_{0}$ – точка максимума функции.
Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке $x_{0}$ , то $x_{0}$ – точка минимума функции.
Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции $y=2\sqrt{2}(sinx+cosx)$ на отрезке $[0;\pi ].$

Решение:

$y=2\sqrt{2}(sinx+cosx), x\in [0;\pi ].$

Найдем производную: $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$

Приравняем производную к нулю:

$\displaystyle 2\sqrt{2}(cosx-sinx)=0\Leftrightarrow cosx=sinx\Leftrightarrow tgx=1\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$

Если $x\in [0;\pi ],$ то $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}.$

Так как $y$

Точка $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}$ – точка максимума функции $\displaystyle y(x); y_{max}(x)=y\left (\frac{\pi }{4}\right )=4.$

В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.

Ответ: 4.

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции $y=(x-21)e^{x-20}$ на отрезке $[19; 21].$

Решение:

Найдем производную функции:

$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ при $x=20.$

Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=20.$

Если $x\textless 20,$ то $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$

Если $x\textgreater 20$ то $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$

Значит, $x=20$ – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке достигается при $x=20.$

Это значение равно $y(20)=-1.$

Ответ: -1.

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции $y=3x^{2}-13x+7ln+5$ на отрезке $\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ].$

Решение:

Область определения функции: $x\textgreater 0.$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

$\displaystyle =\frac{6(x-1)\left ( x-\frac{7}{6} \right )}{x}.$

$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ если $6x^{2}-13x+7=0.$

$D=169-168=1; x=1$ или $\displaystyle x=\frac{7}{6}.$ Второй корень не принадлежит отрезку $\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ].$

Найдем знаки производной на отрезке:

В точке $x=1$ производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и наибольшее значение функции на отрезке $\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ]$ достигается при $x=1.$

Найдем значение функции при $x=1:$

$y(1)=3-13+7ln1+5=-5.$

Ответ: -5.

В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции $y=3cosx-\pi x+\pi ^{2}$ на отрезке $[-2\pi ; \pi ].$

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

У этого уравнения нет решений, так как $\displaystyle-\frac{\pi }{3}\textless -1.$

Это значит, что $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ при любых $x,$ то есть $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ а это означает, что $y(x)$ – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка $[-2\pi ; \pi ].$

$y_{min}=y(\pi )=-3.$

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции $y=7x-6sinx+8$ на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 0 \right ].$

Решение:

Найдем производную функции: $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$

$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ Производная функции не равна нулю ни при каком $x$ .

Мы знаем, что $-1\leq cosx\leq 1.$ Тогда $-6\leq -6cosx\leq 6.$

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ для всех $x.$

Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при $x=0.$

$y_{naim}=y(0)=7\cdot 0-6sin0+8=8.$

Ответ: 8.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции $\displaystyle y=13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot x-4\sqrt{3}\cdot cosx$ на отрезке $\displaystyle\left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].$

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$
$=2\sqrt{3}(2sinx-1).$

$Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ тогда $\displaystyle sinx=\frac{1}{2}.$

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение $\displaystyle x=\frac{\pi }{6}.$

Слева от этой точки Если $2sinx-1\textless 0,$ производная отрицательна.

Справа от этой точки $2sinx-1\textgreater 0,$ производная положительна.

Значит, $\displaystyle x=\frac{\pi }{6}$ – точка минимума функции, и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

$\displaystyle y\left ( \frac{\pi }{6} \right )=13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot \frac{\pi }{6}-4\sqrt{3}\cdot cos\frac{\pi }{6}=$

$\displaystyle =13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13-6=7.$

Ответ: 7.

В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).$

Решение:

Рассмотрим функцию $y=log_{2}t.$

Так как функция $y=log_{2}t$ монотонно возрастает, точка минимума функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5)$ будет при том же значении $x$ , что и точка минимума функции $t(x)=x^{2}+x+0,5.$ А ее найти легко:

$t$

$t$ при $\displaystyle x=-\frac{1}{2}.$

В точке $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ производная $Шпаргалка к ЕГЭ по математическому профилю тригонометрия и задание №7. Производная. Поведение функции. Примитив$ меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ – единственная точка минимума функции $t(x)$ и функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).$

$\displaystyle y_{min}=y\left ( -\frac{1}{2} \right )=log_{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+0,5 \right )=log_{2}\frac{1}{4}=-2.$

Ответ: -2.

Задача 11. Найдите наибольшее значение функции $y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ на отрезке $[-0,5; 6].$

Решение:

$y=\sqrt{x^{2}-4x+13}, x\in [-0,5; 6].$

Так как функция $y=\sqrt{t}$ монотонно возрастает при $t\geq 0,$ точка минимума функции $y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ соответствует точке минимума подкоренного выражения $t(x)={x^{2}-4x+13}.$

Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.

Функция $t(x)={x^{2}-4x+13}.$ задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при $\displaystyle x=\frac{4}{2}=2.$

Если $x\in [-0,5; 2], y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ – монотонно убывает.

Если $x\in [2; 6], y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ – монотонно возрастает.

Значит, наибольшее значение функции $y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ на отрезке $[-0,5; 6]$ достигается в одном из концов этого отрезка.

Сравним $y=(-0,5)$ и $y=(6):$

$y(-0,5)=\sqrt{0,25+13-2}=\sqrt{11,25}.$

$y(6)=\sqrt{25}=5.$

$y(-0,5)\textless y(6).$

$y_{max}=6.$

Ответ: 6.

Задача 12. Найдите точку максимума функции $y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2.$

Решение:

Рассмотрим функцию $t(x)=2+2x-x^{2}.$

Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при $x=1.$ Функция $y(t)=log_{2}t$ монотонно возрастает, и значит, большему значению $t$ будет соответствовать большее значение $y(t).$

Точка максимума функции $y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2$ будет такой же, как у функции $t(x)=2+2x-x^{2},$ то есть $x=1.$

Ответ: 1.

Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Таблица производных и правила дифференцирования» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна $1/2$ .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна $1/6$ (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже $1/6$ .

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете $25$ яблок, из них $8$ — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна $8/25$ , а зеленое — $17/25$ .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна $8/25+17/25=1$ .

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

$1.$ В фирме такси в данный момент свободно $15$ машин: $2$ красных, $9$ желтых и $4$ зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется $15$ машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна $9/15$ , то есть $0,6$ .

$2.$ В сборнике билетов по биологии всего $25$ билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна $23/25$ , то есть $0,92$ .

$3.$ Родительский комитет закупил $30$ пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них $12$ с картинами известных художников и $18$ с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: $0,6$ .

$4.$ В чемпионате по гимнастике участвуют $20$ спортсменок: $8$ — из России, $7$ — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен $5/20$ (поскольку из Китая — $5$ спортсменок). Ответ: $0,25$ .

$5.$ Ученика попросили назвать число от $1$ до $100$ . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \dotsc 100.$

Каждое пятое число из данного множества делится на $5$ . Значит, вероятность равна $1/5$ .

Про ЕГЭ: Контрольная работа по обществознанию в формате ЕГЭ, 10 класс

$6.$ Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

$1, 3, 5$ — нечетные числа; $2,4,6$ — четные. Вероятность нечетного числа очков равна $1/2$ .

Ответ: $0,5$ .

$7.$ Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел	орел
орел	решка
решка	орел
решка	решка

Три монеты? Правильно, $8.$ исходов, так как $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3=8$ .

Вот они:

орел	орел	орел
орел	орел	решка
орел	решка	орел
решка	орел	орел
орел	решка	решка
решка	орел	решка
решка	решка	орел
решка	решка	решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: $3/8$ .

$8.$ В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $8$ очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего $36$ возможных исходов, так как $6^2=36$ .

А теперь — благоприятные исходы:

$2$ $6$

$3$ $5$

$4$ $4$

$5$ $3$

$6$ $2$

Вероятность выпадения восьми очков равна $5/36 \approx 0,14$ .

$9.$ Стрелок попадает в цель с вероятностью $0,9$ . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна $0,9$ — следовательно, вероятность промаха $0,1$ . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна $0,9 \cdot 0,9=0,81$ . А вероятность четырех попаданий подряд равна $0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 = 0,6561$ .

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Геометрия на ЕГЭ по математике. Треугольники, четырехугольники, окружности.

Высоты, медианы, биссектрисы

Параллелограмм, ромб, квадрат и их свойства

Касательная к окружности

Центральные и вписанные углы

Формулы для ЕГЭ по профильной математике. Алгебра

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности: (a – b)² = a² – 2ab + b²

Разность квадратов: a² – b² = (a + b)(a – b)

Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Разность кубов: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Прогрессия

Арифметическая

Геометрическая

Таблица степеней

Скриншот 11-11-2022 034403

Свойства степеней

Скриншот 11-11-2022 034826

Таблица квадратов

Скриншот 11-11-2022 035150

Свойства корней

Скриншот 11-11-2022 035515

Тригонометрия

Таблица значений тригонометрических функций

Скриншот 11-11-2022 035849

Тригонометрическая окружность

Скриншот 11-11-2022 040226

Тригонометрические формулы

Скриншот 11-11-2022 040507

Обратные тригонометрические функции

Преобразование суммы и разности в произведение

Регулярные курсы по подготовке к олимпиадам и ЕГЭ

Поступаем в вуз мечты без проблем!

Вероятность

Вероятность события А: m – благоприятные, n – общее число событий

P(A) = m/n

События А и В происходят одновременно: A · B

Независимые события: P(A · B) = P(A) · P(B)

Зависимые события: P(A · B) = P(A) · P(B | A)

Происходит или А, или В: A + B

Несовместные события: P(A + B) = P(A) + P(B)

Совместные события: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A · B)

Свойства модуля

Производные

Основные правила дифференцирования

Таблица производных

Первообразные

Логарифмы

Квадратные уравнения

Дискриминант

Теорема Виета

Разложение на множители

3528

Логика перебора.

$10.$ В кармане у Пети было $2$ монеты по $5$ рублей и $4$ монеты по $10$ рублей. Петя не глядя переложил какие-то $3$ монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами $1$ , а десятирублевые цифрами $2$ — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора $1 1 2 2 2 2$ .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: $1$ , $2$ (это пятирублёвые), $3, 4, 5, 6$ (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от $1$ до $6$ . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами $1$ и $2$ не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора $1 2 3 4 5 6$ . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях $1 2 3$ и $2 3 1$ — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

$123, 124, 125, 126$ …

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — $134$ , а затем:

$135, 136, 145, 146, 156$ .

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на $1$ . Продолжаем:

$234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456$ .

Всего $20$ возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами $1$ и $2$ не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация $356$ нам не подходит — она означает, что фишки $1$ и $2$ обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только $1$ , либо только $2$ . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего $12$ благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна $12/20$ .

Ответ: $0,6$ .

Алгебра

Таблица производных.

Преобразования графиков функций. Задача С5.

Таблица производных и правила дифференцирования

Преобразования графиков функций

Если вам нравятся наши материалы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Лучшие шпаргалки по математике. Качественно. Ничего лишнего.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Формулы для профильного ЕГЭ-2023 по математике

Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2`
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2`
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)`

`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)`
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)`

`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`	Эти две формулы заучивать не обязательно, но желательно
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`	Эти две формулы заучивать не обязательно, но желательно

Прогрессии

Арифметическая прогрессия:

`a_n=a_(n-1)+d`

`a_n=a_1+(n-1)*d`

`S_n=((a_1+a_n)*n)/2`

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`

`b_n=b_1*q^(n-1)`

`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`

Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`