Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа — Правила вычисления производных. Производная сложной функции. Таблица производных)

ЕГЭ

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

Функция f (x)

Производная f’ (х)

С (т. е. константа, любое число)

0

х

1

xn

nxn-1

√x

1/(2√x)

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

1/cos2(х)

ctg x

-1/sin2x

ex

ex

ax

ax * ln a

ln x

1/x

logax

1/(x * ln a)

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x) g(x))’=f'(x) g'(x).

у = 10 3х

у′ = 0 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет
обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u v)′ = u′ v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x3).

y′ = (5 ⋅ x3)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х3-1 = 15х2

Попробуйте самостоятельно решить эти примеры. Правильные ответы найдете в конце статьи:

Правила вычисления производных

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

      Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,

где  c – любое число.

      Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

      Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))’ = f ‘ (x) g’ (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

      Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

      Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))’ ==f ‘ (x) g (x) f (x) g’ (x),

      Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

      Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

      Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x)

Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 2×2)4?

Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 2×2)4.

Заменим 3 2×2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′u ⋅ u′x = 4u3 ⋅ u’x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u3 ⋅ u′x = 4 (3 2×2)3 ⋅ (3 2×2)′ = 16 (3 2×2)3 ⋅ х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x3 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V V′U.

y′ = (x3 4)′ ⋅ cos x (x3 4) ⋅ cos x′ = 3×2 ⋅ cos x (x3 4) ⋅ (-sin x) = 3×2 ⋅ cos x – (x3 4) ⋅ sin x

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx   b , где  k  и  b  – любые числа, производная сложной функции

Функция Формула для производной

y = (kx b) c ,

где  c – любое число.

y’ = kc (kx b) c – 1 ,

y = ( f (x)) c ,

где  c – любое число.

производная сложной функции производная степени
y = ekx b y = kekx b
y = e f (x) производная сложной функции производная экспоненты

y = akx b

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции

y = a f (x)

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции
y = ln (kx b) ,   kx b > 0 производная сложной функции производная показательной функции,

kx b > 0

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0 производная сложной функции производная натурального логарифма,

f (x) > 0

y = log a (kx b) ,   kx b > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная показательной функции,   kx b > 0

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная сложной функции производная логарифма,   f (x) > 0
y = sin (kx b) y’ = k cos (kx b)
y = sin ( f (x)) производная сложной функции производная синуса
y = cos (kx b) y’ = – k sin (kx b)
y = cos ( f (x)) производная сложной функции производная косинуса

y = tg (kx b),

где производная сложной функции производная тангенса

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса,

y = tg ( f (x)),

где производная сложной функции производная тангенса

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса,

y = ctg (kx b),

где производная сложной функции производная котангенса

производная сложной функции производная котангенса ,
производная сложной функции производная котангенса ,

y = ctg ( f (x)),

где производная сложной функции производная котангенса

производная сложной функции производная котангенса ,
производная сложной функции производная котангенса ,
y = arcsin (kx b), производная сложной функции производная арксинуса производная сложной функции производная арксинуса
y = arcsin ( f (x)), производная сложной функции производная арксинуса производная сложной функции производная арксинуса
y = arccos (kx b), производная сложной функции производная арккосинуса производная сложной функции производная арккосинуса
y = arccos ( f (x)), производная сложной функции производная арккосинуса производная сложной функции производная арккосинуса
y = arctg (kx b) производная сложной функции производная арктангенса
y = arctg ( f (x)) производная сложной функции производная арктангенса
y = arcctg (kx b) производная сложной функции производная арккотангенса
y = arcctg ( f (x)) производная сложной функции производная арккотангенса

Функция:

y = (kx b) c ,

где  c – любое число.

Формула для производной:

y’ = kc (kx b) c – 1 ,

Функция:

y = ( f (x)) c ,

где  c – любое число.

Формула для производной:

производная сложной функции производная степени

Функция:

y = ekx b

Формула для производной:

y = kekx b

Функция:

y = e f (x)

Формула для производной:

производная сложной функции производная экспоненты

Функция:

y = akx b

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции

Функция:

y = a f (x)

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции

Функция:

y = ln (kx b) ,   kx b > 0

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции,   kx b > 0

Функция:

y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0

Формула для производной:

производная сложной функции производная натурального логарифма,   f (x) > 0

Функция:

y = log a (kx b) ,   kx b > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции,   kx b > 0

Функция:

y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная логарифма,   f (x) > 0

Функция:

y = sin (kx b)

Формула для производной:

y’ = k cos (kx b)

Функция:

y = sin ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная синуса

Функция:

y = cos (kx b)

Формула для производной:

y’ = – k sin (kx b)

Функция:

y = cos ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная косинуса

Функция:

y = tg (kx b),

где производная сложной функции производная тангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса,

Функция:

y = tg ( f (x)),

где производная сложной функции производная тангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная тангенса, производная сложной функции производная тангенса,

Функция:

y = ctg (kx b),

где производная сложной функции производная котангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная котангенса , производная сложной функции производная котангенса ,

Функция:

y = ctg ( f (x)),

где производная сложной функции производная котангенса

Формула для производной:

производная сложной функции производная котангенса , производная сложной функции производная котангенса ,

Функция:

y = arcsin (kx b), производная сложной функции производная арксинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арксинуса

Функция:

y = arcsin ( f (x)), производная сложной функции производная арксинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арксинуса

Функция:

y = arccos (kx b), производная сложной функции производная арккосинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккосинуса

Функция:

y = arccos ( f (x)), производная сложной функции производная арккосинуса

Формула для производной:

Функция:

y = arctg (kx b)

Формула для производной:

производная сложной функции производная арктангенса

Функция:

y = arctg ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная арктангенса

Функция:

y = arcctg (kx b)

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккотангенса

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Функция Формула для производной Название формулы

y = c ,

где  c – любое число

y’ = 0 Производная от постоянной функции

y = x c ,

где  c – любое число

y’ = c xc – 1 Производная степенной функции
y = e x y’ = e x Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

y = a x

где  a – любое положительное число, не равное 1

y’ = a x ln a Производная от показательной функции с основанием   a
y = ln x ,   x > 0 производная натурального логарифма,   x > 0 Производная от натурального логарифма

y = log a x ,   x > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

производная логарифма по основанию a,   x > 0 Производная от логарифма по основанию   a
y = sin x y’ = cos x Производная синуса
y = cos x y’ = – sin x Производная косинуса

y = tg x ,

производная тангенса

производная тангенса , производная тангенса , Производная тангенса

y = ctg x ,

производная котангенса

производная котангенса , производная котангенса , Производная котангенса

y = arcsin x , производная арксинуса

производная арксинуса Производная арксинуса

y = arccos x , производная арккосинуса

производная арккосинуса Производная арккосинуса
y = arctg x производная арктангенса Производная арктангенса
y = arcctg x производная арктангенса Производная арккотангенса
Производная от постоянной функции

Функция:

y = c ,

где  c – любое число

Формула для производной:

y’ = 0

Производная степенной функции

Функция:

y = x c ,

где  c – любое число

Формула для производной:

y’ = c xc – 1

Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

Функция:

y = e x

Формула для производной:

y’ = e x

Производная от показательной функции с основанием   a

Функция:

y = a x

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y’ = a x ln a

Производная от натурального логарифма

Функция:

y = ln x ,   x > 0

Формула для производной:

производная натурального логарифма,   x > 0

Производная от логарифма по основанию   a

Функция:

y = log a x ,   x > 0

где  a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная логарифма по основанию a,   x > 0

Производная синуса

Функция:

y = sin x

Формула для производной:

y’ = cos x

Производная косинуса

Функция:

y = cos x

Формула для производной:

y’ = – sin x

Производная тангенса

Функция:

y = tg x ,

где

Формула для производной:

производная тангенса ,

Производная котангенса

Функция:

y = ctg x ,

где

производная котангенса

Формула для производной:

Производная арксинуса

Функция:

y = arcsin x , производная арксинуса

Формула для производной:

производная арксинуса

Производная арккосинуса

Функция:

y = arccos x , производная арккосинуса

Формула для производной:

производная арккосинуса

Производная арктангенса

Функция:

y = arctg x

Формула для производной:

производная арктангенса

Производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg x

Формула для производной:

производная арктангенса

Оцените статью
ЕГЭ Live