Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа — Правила вычисления производных. Производная сложной функции. Таблица производных)

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x) g(x))’=f'(x) g'(x).

у = 10 3х

у′ = 0 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет
обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u v)′ = u′ v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x3).

y′ = (5 ⋅ x3)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х3-1 = 15х2

Попробуйте самостоятельно решить эти примеры. Правильные ответы найдете в конце статьи:

Правила вычисления производных

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

      Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,

где  c – любое число.

      Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

      Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))’ = f ‘ (x) g’ (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

      Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

      Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))’ ==f ‘ (x) g (x) f (x) g’ (x),

      Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

      Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

      Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x)

Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 2×2)4?

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 2×2)4.

Заменим 3 2×2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′u ⋅ u′x = 4u3 ⋅ u’x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u3 ⋅ u′x = 4 (3 2×2)3 ⋅ (3 2×2)′ = 16 (3 2×2)3 ⋅ х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x3 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V V′U.

y′ = (x3 4)′ ⋅ cos x (x3 4) ⋅ cos x′ = 3×2 ⋅ cos x (x3 4) ⋅ (-sin x) = 3×2 ⋅ cos x – (x3 4) ⋅ sin x

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx   b , где  k  и  b  – любые числа,

Функция	Формула для производной
y = (kx b) c , где  c – любое число.	y’ = kc (kx b) c – 1 ,
y = ( f (x)) c , где  c – любое число.
y = ekx b	y = kekx b
y = e f (x)
y = akx b где  a – любое положительное число, не равное 1
y = a f (x) где  a – любое положительное число, не равное 1
y = ln (kx b) ,   kx b > 0	, kx b > 0
y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0	, f (x) > 0
y = log a (kx b) ,   kx b > 0 где  a – любое положительное число, не равное 1	,   kx b > 0
y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0 где  a – любое положительное число, не равное 1	,   f (x) > 0
y = sin (kx b)	y’ = k cos (kx b)
y = sin ( f (x))
y = cos (kx b)	y’ = – k sin (kx b)
y = cos ( f (x))
y = tg (kx b), где	, ,
y = tg ( f (x)), где	, ,
y = ctg (kx b), где	, ,
y = ctg ( f (x)), где	, ,
y = arcsin (kx b),
y = arcsin ( f (x)),
y = arccos (kx b),
y = arccos ( f (x)),
y = arctg (kx b)
y = arctg ( f (x))
y = arcctg (kx b)
y = arcctg ( f (x))

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Функция	Формула для производной	Название формулы
y = c , где  c – любое число	y’ = 0	Производная от постоянной функции
y = x c , где  c – любое число	y’ = c xc – 1	Производная степенной функции
y = e x	y’ = e x	Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)
y = a x где  a – любое положительное число, не равное 1	y’ = a x ln a	Производная от показательной функции с основанием   a
y = ln x ,   x > 0	,   x > 0	Производная от натурального логарифма
y = log a x ,   x > 0 где  a – любое положительное число, не равное 1	,   x > 0	Производная от логарифма по основанию   a
y = sin x	y’ = cos x	Производная синуса
y = cos x	y’ = – sin x	Производная косинуса
y = tg x ,	, ,	Производная тангенса
y = ctg x ,	, ,	Производная котангенса
y = arcsin x ,		Производная арксинуса
y = arccos x ,		Производная арккосинуса
y = arctg x		Производная арктангенса
y = arcctg x		Производная арккотангенса