Подготовка к ЕГЭ. Решение задач по теме «Объемы многогранников»

а) За­ме­тим, что пря­мые BE и CD па­рал­лель­ны C₁D₁, сле­до­ва­тель­но, се­че­ние про­хо­дит через точку С₁. От­ре­зок CF пе­ре­се­ка­ет BE, а сле­до­ва­тель­но, и плос­кость се­че­ния в точке O — цен­тре ос­но­ва­ния. Таким об­ра­зом, CO = FO. Про­ек­ции рав­ных от­рез­ков на одну плос­кость равны, сле­до­ва­тель­но, C’O = F’O, где C’ и F’ —  про­ек­ции точек C и F на се­че­ние BED₁C₁. Тре­уголь­ни­ки CC’O и FF’O равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. По­это­му CC’ = FF’.

б) За­ме­тим, что FE₁ па­рал­лель­но BC₁, сле­до­ва­тель­но, пря­мая FE₁ па­рал­лель­на се­че­нию BED₁C₁. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от пря­мой FE₁ до се­че­ния BED₁C₁. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое рас­сто­я­ние, это, на­при­мер, FF’ = CC’. Най­дем по­след­нее как вы­со­ту пи­ра­ми­ды BECC₁, опу­щен­ную из вер­ши­ны С. Объем пи­ра­ми­ды BECC₁:

от­ку­да

Из свойств пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка:

Оче­вид­но, что се­че­ние BED₁C₁ — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция в ко­то­рой бо­ко­вая сто­ро­на От­ку­да ее вы­со­та равна

Таким об­ра­зом,

Ответ: б)

Ре­ше­ние:

За­да­чу решим не­сколь­ки­ми ме­то­да­ми.

а) Ме­то­дом объ­е­мов.

Пусть  — вы­со­та за­дан­ной пра­виль­ной пи­ра­ми­ды,

SM — ее апо­фе­ма,  — ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния,

По­сколь­ку а это зна­чит, что т. е.

Пусть Тогда

За­ме­ча­ние:

По­сколь­ку центр впи­сан­но­го шара рав­но­уда­ле­на от всех гра­ней за­дан­ной пи­ра­ми­ды, то это об­сто­я­тель­ство поз­во­ля­ет вы­ра­зить ра­ди­ус шара, впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду, через объем пи­ра­ми­ды и пло­щадь ее пол­ной по­верх­но­сти. Мы имеем воз­мож­ность мыс­лен­но раз­бить за­дан­ную пи­ра­ми­ду на че­ты­ре пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­я­ми ко­то­рых будут слу­жить грани за­дан­ной пи­ра­ми­ды, а вы­со­ты их будут равны ра­ди­у­су ис­ко­мо­го шара. Так как объем за­дан­ной пи­ра­ми­ды V будет равен сумме объ­е­мов пи­ра­мид, со­став­ля­ю­щих эту пи­ра­ми­ду, то по­нят­но, что где r — ис­ко­мый ра­ди­ус.

б) Ис­поль­зо­ва­ние тан­ген­са по­ло­вин­но­го угла.

Ис­ко­мый центр впи­сан­но­го шара будет ле­жать на SO (а это надо бы до­ка­зать!). Кроме того, центр впи­сан­но­го шара есть точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис ли­ней­ных углов дву­гран­ных углов, об­ра­зу­е­мых бо­ко­вы­ми гра­ня­ми и ос­но­ва­ни­ем за­дан­ной пи­ра­ми­ды. Таким об­ра­зом, центр шара лежит на пе­ре­се­че­нии вы­со­ты пи­ра­ми­ды SO и бис­сек­три­сы угла Если это — точка то и есть ис­ко­мый ра­ди­ус.

Вы­чис­лив OM и SM, можно найти ко­си­нус угла Тогда по фор­му­ле тан­ген­са по­ло­вин­но­го угла смо­жем вы­чис­лить и зна­че­ние тан­ген­са угла

в) Метод пло­ща­дей.

Пусть Тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Будем иметь в виду, что центр впи­сан­но­го шара (сферы) лежит на Обо­зна­чим эту точку Опу­стим из нее пер­пен­ди­ку­ляр к грани Ясно, что где r — ра­ди­ус шара (сферы). Те­перь со­еди­ним точку от­рез­ком с точ­кой Тре­уголь­ник SOD раз­би­ва­ет­ся на два тре­уголь­ни­ка: и

г) Ко­ор­ди­нат­ный метод ис­сле­до­ва­ния.

По­ме­стим пи­ра­ми­ду в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть Тогда

Для даль­ней­ше­го ис­сле­до­ва­ния этих рас­сто­я­ний нам впол­не до­ста­точ­но.

Будем иметь в виду, что центр впи­сан­но­го шара (сферы) лежит на Обо­зна­чим эту точку Тогда ра­ди­ус шара (сферы) равен

Зная, что точка уда­ле­на от грани ASCна то же рас­сто­я­ние, что и от ос­но­ва­ния ABC, для до­сти­же­ния цели найти ис­ко­мый ра­ди­ус, ис­поль­зу­ем фор­му­лу рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти.

Най­дем ко­ор­ди­на­ты точек

В нашем слу­чае очень легко со­ста­вить урав­не­ния плос­ко­стей ASC и Ясно, что урав­не­ние плос­ко­сти ABC за­ве­до­мо имеет вид:

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти ASC, имея в виду, что в этой же плос­ко­сти лежит также точка

В си­сте­ме, при­ве­ден­ной ниже, пер­вое урав­не­ние учи­ты­ва­ет при­над­леж­ность точки D, вто­рое — при­над­леж­ность точки S, а тре­тье — при­над­леж­ность точки

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: или

Те­перь не­труд­но найти рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти

По­сколь­ку то

Оче­вид­но, что 

Сле­до­ва­тель­но,

д) Метод по­до­бия.

Пусть 

Тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Будем иметь в виду, что центр впи­сан­но­го шара (сферы) лежит на Обо­зна­чим эту точку Опу­стим из нее пер­пен­ди­ку­ляр к грани ASC. Ясно, что где r — ра­ди­ус шара (сферы).

Те­перь со­еди­ним точку от­рез­ком с точ­кой

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки и SOD по­доб­ны как име­ю­щие общий ост­рый угол. Зна­чит, Будем иметь в виду, что В таком слу­чае:

Ответ: