Математическая модель | Текстовые задачи | Теория | Решутест. Продвинутый тренажёр тестов

ЕГЭ

Основные требования

Во время сдачи базового госэкзамена вам понадобятся познания, которые были получены из школьного курса алгебры и геометрии. Вы должны уметь решать разнообразные неравенства и уравнения, а также знать терминологию и алгоритмы решения разных задач. А вот чтобы выполнить тесты высокой сложности, вы должны знать:

  • планиметрию;
  • стереометрию;
  • прогрессию.

Помимо этого от учащегося потребуется знание финансовой математики и умение работать с параметрическими системами, уравнениями, неравенствами, процентами.

https://www.youtube.com/playlist?list=PLrpAqXzEvTyxnytb5qse4Kpf8Au9YDNzb

Во время подготовки вам придется повторить теорию. При этом вы должны совмещать ее с практикой, чтобы уметь применять все выученные правила, теоремы, аксиомы.

Задание 11 егэ по математике профильного уровня 2023 — теория и практика

В цехе по изготовлению железных шурупов работают два мастера. Первый мастер изготавливает 80 шурупов на час быстрей, чем второй рабочий – 78 шурупов. Определите, сколько шурупов изготовит первый мастер за 3 часа, если за час первый мастер изготавливает на 3 шурупа больше, чем второй мастер.

Задачи

1. Альбом, который стоил 140 рублей, продаётся с 30%-ой скидкой. При покупке 4 таких альбомов покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение: Новая стоимость альбома равна 140 ∙ (1 – 0,3) = 140 ∙ 0,7 = 98 рублей, тогда при покупке 4 таких альбомов покупатель потратит 98 ∙ 4 = 392 рубля. И сдача равна 500 – 392 = 108 рублей.

2. Государству принадлежит 70% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 50 млн. р. Какая сумма (в млн. рублей) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Решение: Запишем все данные в виде таблицы:

Получаем зависимость:

100% ― 50 млн. рублей;

10% ― 5 млн. рублей.

Тогда можем легко посчитать сумму, которая должная пойти на выплату частным акционерам, взяв 3 раза по 10%:

3 ∙ 5 = 15 млн. рублей.

Государству Частным лицам Общее
Проценты 70% 30% 100%
Абсолютное значение 35 млн. руб. 15 млн. руб. 50 млн. руб.

3. Задача. Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 750 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?Решение: Имеем формулу для цены товара, который уценивают:

первоначальная цена (1 ― величина скидки в долях) = новая цена.

Подставим то, что нам дано по условию:

первоначальная цена (1 – 0,4) = 750;

первоначальная цена = 750 : 0,6;

первоначальная цена = 1250.

4. Задача. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре ― 1500 рублей с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 4 до 8 человек ― 10%; более 8 человек ― 15%».

Сколько рублей должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 8 человек?Решение: Стоимость семинаров для группы без скидки равна 1500 ∙ 8 = 12000. Скидка будет составлять 10%, так как по условию именно такая скидка для групп из 8 человек. 10% от 12000 ― это 1200, значит, стоимость со скидкой будет: 12000 – 1200 = 10800.

5. Задача. Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 4800 рублей. В марте он стал стоить 3840 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по март?
Решение: Цена за телефон снизилась на 4800 – 3840 = 960 рублей. Поделим эту разницу на цену в январе: формула=0,2.

Значит, цену снизили на 0,2 ∙ 100% = 20%.

6. Задача. Апельсины подешевели на 20%. Сколько апельсинов (в кг) можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 4,8 кг?

Решение: Нам не дана стоимость 1 кг апельсин, поэтому возьмем удобное для вычисления число, например, пусть 1 кг апельсин стоил 100 рублей. Тогда сейчас он стоит 100 ∙ (1 – 0,2) = 80 рублей. Количество денег, на которое мы покупали 4,8 кг апельсин легко посчитать : 4,8 ∙ 100 = 480 рублей. Таким образом, сейчас мы можем купить на эти деньги формула в задаче=6 кг апельсинов.

7. Задача.  На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 35 рублей за штуку. У Вани есть 160 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Решение. Делим 160 на 35, получаем 4 целых. Но Ване нужно купить нечетное число цветов, поэтому в ответе указываем 3.

8. Задача. Сырок стоит 6 рублей 70 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей?

Решение. Переведем все в копейки. Сырок стоит 670 копеек, а у нас имеется 5000 копеек. Делим 5000 на 670 и получаем 7, 46…Так как часть сырка купить нельзя, округляем в меньшую сторону до целого ― 7 сырков.

Математическая модель | текстовые задачи | теория | решутест. продвинутый тренажёр тестов

Текстовые задачи — это одни из самых нелюбимых заданий, особенно у учеников старших классов, потому что чем дальше, тем запутаннее становится условие, тем сложнее становится составить уравнение и верно решить задачу. Но, как и в любой теме в математике, чтобы уверенно решать сложные задачи, необходимо разобраться с самыми основными приемами.

Разберем эти задачи с самого начала. Текстовая задача состоит из условия, в котором описана некоторая ситуация, и вопроса, на который нужно дать ответ.

Пример:

Решение любой текстовой задачи можно разделить на несколько основных этапов:

  • Работа с условием
  • Составление математической модели
  • Проверка ответа

Работа с условием

Для облегчения работы с условием полезно использовать иллюстрацию или моделирование. Это может быть краткая запись условия математически или словесно. Также это может быть дополнительный рисунок или таблица.

Пример: Петя выше Коли, Сережа ниже Коли. Кто выше?

Иллюстрация:

Из рисунка сразу понятен ответ: Петя выше всех.

Пример.

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 45 км/ч, скорость другого — 55 км/ч. Сейчас между ними 200 км. Через сколько часов они встретятся?

Иллюстрация:

Пусть х часов — время движения обоих поездов, тогда по рисунку видно, что первый проедет 45х км, а второй — 55х км.

Составим математическую модель:

45х 55х = 200

100х = 200

х = 2 ч

Ответ: 2 ч.

Для составления уравнения по условию задачи используются различные приемы, в зависимости от данной в условии зависимости величин.

Математическая модель

Математика, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке. В таблице приведены различные ситуации и их математические модели.

x — число девочек

y — число мальчиков

Реальная ситуация Математическая модель
В классе поровну мальчиков и девочек   $ { x=y} $
Девочек на 5 больше, чем мальчиков   $ { x=y 5, ; или; x-y=5,; или; x-5=y} $
Мальчиков в 2 раза больше, чем девочек   $ { y=2x, ; или; frac{y}{2}=x,; или; frac{y}{x}=2} $
Если в класс перейдут 3 мальчика, то девочек станет в два раза больше   $ { y=2(y 3)} $

Алгебраическая зависимость

Такая зависимость выражается в словах: выше/ниже, больше/меньше, дороже/дешевле, длиннее/короче и т. д.

При составлении уравнения особое значение играют используемые предлоги: «в» и «на».

Пример: Петя выше Коли на 20 см, Сережа ниже Коли на 10 см. На сколько см Петя выше Сережи?

Решение: Пусть П — рост Пети, К — рост Коли, С — рост Сережи.

Кстати, обратите внимание на этот приём — выбирать «говорящие» переменные, а не безликие иксы и игреки, чтобы не запутаться при работе с уравнением.

Выразим рост мальчиков.

Петя выше Коли на 20 см: П – 20 = К

Сережа ниже Коли на 10 см: К = С 10

Подставим в первое уравнение рост Коли: П – 20 = С 10

Нам нужно найти, на сколько см Петя выше Сережи: П – С

П – 20 = С 10

П – С = 20 10

П – С = 30

Получаем, что Петя выше Сережи на 30 см.

Пример: На уроке труда ученики делали снежинки. Всего было сделано 12 снежинок. Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля. Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома. Сколько снежинок сделала Маша?

Решение:

Пусть М — количество снежинок, которое сделала Маша, К — снежинки Коли, Р — снежинки Ромы.

Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля: К = М/2

Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома: Р = К 4 = М/2 4

Вместе ребята сделали 12 снежинок: М К Р = 12

Подставим все выраженные через М значения: М М/2 М/2 4 = 12

М = 4.

Маша сделала 4 снежинки.

Процентная зависимость

С процентами нам постоянно приходиться сталкиваться в повседневной жизни. “Скидка 30%”, “Кредит без процентов за 5 минут”, “Арендная плата выросла на 12%” — со всех сторон на нас сыпятся рекламные слоганы и призывы. Но что же значит это таинственное слово “проценты”? И как ими оперировать?

Сегодня мы с вами дадим определение процентов, поймём, как находится процент от некоторого числа, как можно найти одно количество процентов, уже зная другое. И, конечно, рассмотрим каждый из этих случаев на конкретном примере.

Как кирка у каменщика, камертон у настройщика или световой меч у Джедая, в математике тоже существуют свои инструменты, нужные для выполнения тех или иных операций. И проценты как раз и являются таким удобным инструментом. Нужны они для нахождения части от чего-то. Вообще говоря, звучит похоже на определение дроби. И действительно, проценты очень тесно связаны с дробями, по сути, основываясь на них.

Так что же такое один процент?

Процент — это всегда доля какого-то числа.

100% — все число

50% — половина

25% — четверть

Чтобы найти 1%, необходимо поделить всё число на 100.

Пример:

Есть 100 яблок.

$ 1% ;от ;всех ;яблок; –frac{100}{100} = 1 ;яблоко. $

Есть 200 груш

$ 1% ;от ;всех ;груш; –frac{200}{100} = 2 ;груши. $

Для работы с процентами используется пропорция, в которой в одном столбце записываются реальные значения, в другом — соответствующие проценты.

Пример:

200 груш — 100 %

2 груши — 1 %

Пропорция отражает зависимость величин. По-другому это можно записать в виде двух дробей.

$ frac{200}{2}=frac{100}{1} $

Исходя из правил работы с дробями, получаем правила работы с пропорцией.

1. Внутри одной дроби можно сокращать значения.

2. Произведение накрест лежащих значений равно: 200 · 1 = 2 · 100

Эту тему мы еще подробно пройдем на курсе.

Рассмотрим несколько примеров работы с процентами в текстовых задачах.

Ситуация при работе с процентами усложняется, когда изначально нам известен не 1%, а несколько — например, 20. А требуют найти какое-нибудь неудобное число процентов

Пример: 38% населения деревни — это 76 человек. Сколько человек составляет 15% от общего населения?

Так как мы не можем сразу найти 15%, то нам вначале понадобится сделать промежуточный шаг — найти 1%. Если 38% — это 76 человек, то, разделив на 38, мы получим так нужный нам 1%. 38% = 76 человек ⇒1% = 2 человека. Тогда 15% = 30 человек

Но неугомонные математики не остановились и на этом. Что будет, если мы возьмём процент от какого-то числа, вычтем или прибавим к начальному числу, а затем снова возьмём то же количество процентов?

Пример: В 2022 дом стоял 2 тысячи рублей. В 2022 его цена увеличилась на 20%, а в 2022 — ещё на 20%. Сколько дом стоил к концу 2022 года?

На примере этой задаче мы посмотрим не только на то, как нужно брать проценты от разных величин, но и как переводить проценты в дроби. Решим её двумя способами:

Способ 1 Для начала давайте выясним, сколько стоил дом в 2022. Его стоимость увеличилась на 20%, т.е. на 400 рублей (1% = 2000:100 = 20, 20% = 400) и стала, соответственно, равна 2400. Теперь нам нужно узнать, сколько он стал стоить в 2022. Важно! Сейчас мы будем брать 20% от новой цены, т.е. той, которая была на дом в 2022 году. Если 1% = 2400:100 = 24, то 20% = 480, то есть новая цена в 2022 году — 2400 480 = 2880

Способ 2 Если 1% — это 0,01 от чего-то, то 20% — это 0,2. Тогда 20% от первоначальной цены это 2000⋅0,2 = 400, и цена на дом в 2022 году стала 2400. Теперь находим 20% от новой стоимости 2400⋅0,2 = 480 и итоговую стоимость в 2022 году: 2400 480 = 2880

Отлично! Итак, мы не только узнали, что такое проценты, как можно с ними обращаться, но и выяснили, как можно брать проценты от разных величин и как сопоставлять проценты с дробями. Больше интересных фактов и приёмов работы с процентами вы узнаете в процессе курса.

Также текстовые задачи могут быть посвящены прогрессиям, производительности, темпу — обо всем этом мы поговорим на нашем курсе. А сейчас приступайте к задачам для тренировки.

Примеры решения текстовых задач из егэ

Разберем эти задачи с самого начала. Текстовая задача состоит из условия, в котором описана некоторая ситуация, и вопроса, на который нужно дать ответ.

Задача: Коля наклеил на 5 листов по 2 наклейки. Сколько наклеек наклеил Коля?Условие: Коля наклеил на 5 листов по 2 наклейки.Вопрос: Сколько наклеек наклеил Коля?

Решение любой текстовой задачи можно разделить на несколько основных этапов:

  • Работа с условием;
  • Составление уравнения;
  • Проверка ответа.

Для одного уравнения может быть составлено множество различных условий.

Пример:Уравнение: 2  х = 5.Условие 1: Маша и Петя вместе нашли 5 грибов. Маша нашла 2. Сколько грибов нашел Петя?Условие 2: Букет состоит из ромашек и колокольчиков. Всего в букете 5 цветков, из них 2 ромашки. Сколько колокольчиков в букете?Условие 3: На елке было 5 игрушек. Две из них упали и разбились. Сколько игрушек осталось на елке?

Для облегчения работы с условием полезно использовать иллюстрацию или моделирование. Это может быть краткая запись условия математически или словесно. Также это может быть дополнительный рисунок или таблица.

Задача: Петя выше Коли, Сережа ниже Коли. Кто выше?

Из рисунка сразу понятен ответ: Петя выше всех.

Для составления уравнения по условию задачи используются различные приемы, в зависимости от данной в условии зависимости величин.

Принципы подготовительного процесса

С самого начала года необходимо готовиться к ЕГЭ. Благодаря этому можно качественно усвоить весь необходимый материал.

Желательно повторять вслух все прочитанное, чтобы запомнить правила.

Некоторые аксиомы и теоремы нужно будет просто выучить. А после этого применять их при работе с тренировочными упражнениями.

Если вы готовитесь вместе с одноклассниками, контролируйте друг друга. Так материал быстрее усвоится.

Анализируйте ошибки во время решения задач. Благодаря этому вы значительно продвинетесь в подготовке.

Не забывайте про решение практических заданий. Во время сдачи тестирования этот навык вам очень пригодится.

Процентная зависимость

Процент ― это всегда доля какого-то числа.

100% ― все число;50% ― половина;25% ― четверть.

Чтобы найти 1%, необходимо поделить всё число на 100.

Задача:
Есть 100 яблок.
1% от всех яблок  нахождение 1 процента=1 яблоко.
Есть 200 груш.
1% от всех груш ―1 % от числа=1 яблоко.
Есть 200 груш.
1% от всех груш ―
= 2 груши.

Для работы с процентами используется пропорция, в которой в одном столбце записываются реальные значения, в другом ― соответствующие проценты.

Пример:200 груш ― 100 %;2 груши ― 1 %.

Прогрессия отражает зависимость величин. По-другому это можно записать в виде двух дробей:формула формула 2.
Исходя из правил работы с дробями, получаем правила работы с пропорцией:

  • Внутри одной дроби можно сокращать значения.
  • Произведение накрест лежащих значений равно: 200 ∙ 1 = 2 ∙ 100.
Оцените статью
ЕГЭ Live