Как решать задания с параметром?

Автор Андрей На чтение 48 мин. Просмотров 12 Опубликовано 31.05.2023

Теория для решения заданий 15 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Закон преломления светового потока на границе раздела двух сред. Явление полного отражения света на границе раздела с оптически более плотной средой.

Подробно разбираем основную теорию про космос необходимую для успешного решения задач по астрономии в ЕГЭ по физике. Также рассмотри несколько основных примеров задания №24 из ЕГЭ.

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Основные ошибки, что нужно знать, статистика прошлых лет в первой части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1)
Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа $γ$: $x_1≤x_2<γ$.
Только один из корней принадлежит какому-то промежутку $(γ;β):$
2 случая: $γ<x_1<β≤x_2;$ или $x_1≤γ<x_2<β.$
Некоторое число $∝$ лежит между корнями: $(x_1<γ<x_2)$.
И т.д. Условия могут быть различными.

Теперь разберемся, как при помощи математики записать те или иные условия. Разберем условие: $x_1≤x_2<γ$. Точно такие же рассуждения будут справедливы и для других условий.

Очевидно, что $D≥0$, для того, чтобы корни существовали (либо один, либо два корня — то и то нас устраивает – именно поэтому знак неравенства больше либо равно).
Чтобы некоторое число лежало вне отрезка $(x_1,x_2)$, необходимо рассмотреть два случая: ветки параболы направлены вверх $(a>0)$; ветки параболы направлены вниз $(a<0)$.
- $a>0$. Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число $γ$ должно по условию лежать вне отрезка $(x_1,x_2)$, то $f(γ)>0$.
- $a<0$. Значит, между корнями функция принимает положительные значения, а вне этого отрезка – отрицательные. Так как наше число $γ$ должно по условию лежать вне отрезка $(x_1,x_2)$, то $f(γ)<0$.

Используем небольшую хитрость, чтобы описать оба этих условия: $a*f(γ)>0$. Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа $γ$.

В итоге получаем:

если $a*f(γ)<0$, то $γ∈(x_1,x_2)$,

если $a*f(γ)>0$, то $γ∉(x_1,x_2)$.

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа $γ$. Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы $x_0$ относительно $γ$. Заметим, что вершина лежит между точками $x_1$ и $x_2$. Если $x_0<γ$, то в системе с предыдущими условиями это будет означать, что число $γ$ лежит справа от отрезка $(x_1,x_2)$ и соответственно удовлетворяет условию задачи $x_1≤x_2<γ$.

Таким образом, для того, чтобы решить задачу с условием $x_1≤x_2<γ$ необходимо решить следующую систему:

То, что дискриминант неотрицательный дает нам существование корней. Второе неравенство указывает, что $γ∉(x_1,x_2)$. И последнее в совокупности с первыми двумя, что оба корня лежат слева от $γ$.
Аналогичные рассуждения можно провести для любых условий. Настоятельно рекомендую разобраться во всех пунктах и откуда возникает вышеуказанная система неравенств, и вы легко сможете проводить анализ квадратных уравнений с параметром.

Ниже приведена таблица, в которой разобраны все варианты расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующие им условия. (см. таблицу)

При каких значениях параметра a уравнение
$$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$
имеет более одного корня?

1 случай:
Если $a(a+3)=0$, то уравнение будет линейным. При $a=0$ исходное уравнение превращается в $6x-9=0$, корень которого $x=1,5$. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет один корень.

При $a=-3$ получаем $0*x^2+0*x-0=0$, корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

$$ f(-2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(-2)-a-1=2a^2+7a+3; $$
$$ f(2)=(a+1)*4-(a^2+2a)*(2)-a-1=-2a^2-a+3; $$
$$ D=(a^2+2a)^2+4(a+1)^2=(a^2+2a+2)^2=(1+(a+1)^2 )^2>0.$$

Подставляем полученные выражения в систему:

После равносильных преобразований получим систему:

Наша задача свелась к исследованию квадратного многочлена:

$$ f(x)=x^2+(2a-1)x+(a^2+5). $$

Обратим внимание, что коэффициент при $x^2$ положителен, т.е. ветки параболы направлены вверх.

$$ f(-a)≤0 ⇔ a+5≤0 ⇔ a≤-5;$$

Таким образом, при $a ≤ -5$ мы имеем одно решение:

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида:
$$p(a)x-q(a)=0,$$
где $p(a)$ и $q(a)$- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все $x$ при всех значениях параметра $a$. Приведем наше уравнение к виду:
$$p(a)x=q(a),$$
Отсюда единственное решение:

$x=\frac{q(a)}{p(a)}$ при $p(a)≠0.$

Если же $p(a)=0$ и $q(a)=0$, то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда $p(a)=0$,а $q(a)≠0$, то уравнение не имеет решений.
Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с $x$ в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились.
Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Решить уравнение $ax-5a=7x-3$ при всех возможных $a$.

Найдите все $a$, при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Из ОДЗ видно, что $5a+x≠0$ и $x-5a≠0,$ таким образом, $x≠±5a.$
Приведем уравнение к общему знаменателю $x^2-25a^2$ и умножим на него все уравнение:
$$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$
$$-15ax=-75a^2$$
$$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: $a=0.$ Получаем уравнение $0*x=0.$ Решениями этого уравнения будет любое число, кроме $x=0$ (ОДЗ $x≠±5a$).

Ответ: При $a=0$ решениями уравнения будут все действительные числа, кроме $x=0.$ Если $a≠0,$ то решений нет.