Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог ЕГЭ

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 2,31a ≥ 28

a ≥ расчет стоимости

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Задача 10

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых решение неравенства ${(2√x — a)(a — x)}/ {√{3 — a^2 — x^2}}≥ 0$ содержит отрезок длины не менее $0.5$.

Решение

${(2√x — a)(a — x)}/{√{3 — a^2 — x^2}} ≥ 0$. Попробуем преобразовать неравенство к более простому виду. Заметим, что знаменатель влияет только на ОДЗ. Поэтому неравенство равносильно системе ${table (2√x — a)(a — x) ≥ 0; 3 — a^2 — x^2 > 0;$. Второе неравенство системы преобразуем так, чтобы получить неравенство для внутренней части круга. Первое неравенство преобразуем так, чтобы скобки выглядели симметрично ${table (2√x — a)(a — x) ≤ 0; a^2 x^2 < 3;$

Изобразим множество решений системы в системе координат $Oxa$. Решению соответствует заштрихованная область. При этом каждому фиксированному значению $a$ соответствует горизонтальная прямая. При фиксированном значении a решениями системы будут $x$, равные абсциссам тех точек горизонтальной прямой, которые лежат в заштрихованной области.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Прямая $a = x$ пересекает окружность $x^2 a^2 = 3$ при $a = x = {√3}/{√2}$.

1) Из рисунка видно, что если горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит ниже (не выше) точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до графика $a = x$.

2) Если же горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит выше точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до окружности $a^2 x^2 = 3$, при этом точки самой окружности в заштрихованную область не входят.

Таким образом, в первом случае (то есть при $a ≤ {√3}/{√2}$) выполняется $a ≤ 2√x, a ≥ x$, следовательно, $x ∈ [{a^2}/{4}; a]$.

При $a > {√3}/{√2}$ решением является промежуток $[{a^2}/{4}; √{3 — a^2})$.

Отсюда решение содержит отрезок длиной не менее ${1}/{2}$, если

$[table{{table a ≤ {√3}/{√2}; a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5}; {{table a > {√3}/{√2}; √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5};$

$[table{{table a ≤ {√3}/{√2}; a^2-4a 2 ≤ 0}; {{table a > {√3}/{√2}; 3-a^2 > ({a^2}/{4} {1}/{2})^2};$

Решив системы, получим: $a ∈[2-√2; {√3}/{√2}]$ или $a ∈ ({√3}/{√2}; √2)$, отсюда $a ∈ [2 — √2; √2)$.

Замечание. Задачу можно решить и другими способами, например аналитически. Получив систему, можно заметить, что первое неравенство системы при $a < 0$ не имеет решений, а при $a ≥ 0$ имеет решением промежуток $[{1}/{4}a^2; a]$ (если $a ≤ 4$) или промежуток $[a; {1}/{4}a^2]$ (если $a > 4$). Решением второго неравенства будут $x$, удовлетворяющие неравенству $x < √{3 — a^2}$. Отсюда, в частности, $a ≤ √3$, то есть случай $a > 4$ не возможен.

Несложно убедиться, что при ограничениях $0 ≤ a ≤ √3$ для решения задачи достаточно решить систему ${table a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5; √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5;$

Ответ: $[2-√2;√2)$

Задачи для практики

Задача 3

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений ${{table {y=a-x{,}}; {|x-2|(y 5x-10)=(x-2)^3};}$ имеет ровно четыре различных решения.

Решение

При замене $y x = t$ получим систему уравнений ${{table t=a; {|x — 2|(t 4x — 10) = (x — 2)^3};}$ которая имеет, столько же решений, что и заданная система.

График первого уравнения системы $t = a$ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

Построим график второго уравнения.

1) При $x ≥ 2$ получим $(x — 2)(t 4x — 10) = (x — 2)^3$,

$(x — 2)(t 4x — 10 — (x — 2)^2) = 0$,

$(x — 2)(t — x^2 8x — 14) = 0$,

$x — 2 = 0$ или $t — x^2 8x — 14 = 0$.

$x = 2$ — вертикальная прямая.

$t = x^2 — 8x 14$ — парабола с вершиной $(4; -2), t(2) = 2$.

2) При $x < 2$ получим $-(x — 2)(t 4x — 10) = (x — 2)^3$,

$(x — 2)(t 4x — 10 (x — 2)^2) = 0$.

$x — 2 = 0$ не выполняется при $x < 2$.

$t 4x — 10 (x — 2)^2 = 0, t = -x^2 6$ — парабола с вершиной $(0; 6), t(2) = 2$.

На рисунке изображен график второго уравнения полученной системы.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

График прямой $t = a$ и уравнения $|x — 2|(t 4x — 10) = (x — 2)^3$ имеют ровно $4$ общие точки при $-2 < a < 2, 2 < a < 6$.

Ответ: (-2;2);(2;6)

Задача 4

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение ${x-4a} / {x 4} {x-1} / {x-a}=1$ имеет единственный корень.

Решение

Преобразуем данное уравнение.

${(x — 4a)(x — a) (x 4)(x — 1) — (x 4)(x — a)}/{(x 4)(x — a)} = 0$,

${x^2 — ax — 4ax 4a^2 x^2 3x — 4 — x^2 ax — 4x 4a}/{(x 4)(x — a)} = 0$,

${x^2 — x(4a 1) 4a^2 4a — 4}/{(x 4)(x — a)} = 0$,

${tablex^2 — x(4a 1) 4a^2 4a — 4 = 0; (x 4)(x — a) ≠ 0;$.

Решим уравнение $x^2 — x(4a 1) 4a^2 4a — 4 = 0$.

$x = {(4a 1) ±√{-8a 17}}/{2}$

1. При $D < 0$ уравнение корней не имеет.

2. При $D = 0, -8a 17 = 0, a = {17}/{8}$. Уравнение имеет единственный корень $x = {4a 1}/{2}$ при $a = {17}/{8}. x = {4 · {17}/{8} 1}/{2} = 4.75$.

Выполнено условие $x ≠ -4, x ≠ a$.

Значит, $a = {17}/{8} = 2.125$ удовлетворяет условию задачи.

3. При $D > 0$ уравнение имеет два корня.

$x = {(4a 1) ±√{17 — 8a}/{2}$.

Проверим при каких значениях $a$ значения $x = -4$ и $x = a$ являются корнями уравнения $x^2 — x(4a 1) 4a^2 4a — 4 = 0$.

При $x = -4$ должно выполняться равенство $16 4(4a 1) 4a^2 4a — 4 = 0, a^2 5a 4 = 0, a = -4, a = -1$.

При $x = a$ должно выполняться равенство $a^2 — 4a^2 — a 4a^2 4a — 4 = 0, a^2 3a — 4 = 0, a = 1, a = -4$.

При $a = -1, a = 1$ исходное уравнение имеет единственный корень.

При $а=-4$, $D>0$ и корни $х=-4$ и $х=а$ совпадают, поэтому это значение параметра также подходит

Ответ: -4$;$-1$;$1$;$2.125

Задача 6

Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(ax-2x 3)(4x^6-19x^4-x^2(5 4a)-a-17)=0$ имеет хотя бы один целый корень.

Решение

Рассмотрим два случая:

1) $ax — 2x 3 = 0$; при $x = 0$ получим $3=0$, это не верно.

При $x ≠ 0, a = {2x — 3}/{x}, a = 2 — {3}/{x}$.

По условию числа $a$ и $x$ целые, поэтому число ${3}/{x}$ тоже целое, что возможно при $x = ±1, x = ±3$.

При $x = 1$ получим $a = -1$,

при $x = -1$ получим $a = 5$,

при $x = 3$ получим $a = 1$,

при $x = -3$ получим $a = 3$.

2) $4x^6 — 19x^4 — 5x^2 — 4ax^2 — a — 17 = 0$,

$a(4x^2 1) = 4x^6 — 19x^4 — 5x^2 — 17$,

$a = {4x^6 — 19x^4 — 5x^2 — 17}/{4x^2 1}$.

$a = x^4 -5x^2 — {17}/{4x^2 1}$. Так как $a$ и $x$ — целые числа, то ${17}/{4x^2 1}$ тоже целое число. Это возможно при $4x^2 1 = 1$ или $4x^2 1 = 17$.

$x^2 = 0, x = 0, a = 0 — 0 — 17 = -17$;

$x^2 = 4, x = ±2, a = 2^4 — 5·2^2 — {17}/{4·2^2 1} = -5$.

Уравнение имеет хотя бы один целый корень при значениях $a$, равных $-17; -5; -1; 1; 3; 5$.

Ответ:

Задача 7

Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(ax-2-x)(3x^5 7x^3 2x 4-3x^2a-a)=0$ имеет хотя бы один целый корень.

Решение

Рассмотрим два случая:

1) $ax — 2 — x = 0$; при $x ≠ 0$ получим $a = {2 x}/{x} = 1 {2}/{x}$.

Так как по условию $a$ и $x$ целые числа, то ${2}/{x}$ тоже целое число. Это возможно, если $x = ±1$ или $x = ±2$.

$x = 1; a — 2 — 1 = 0; a = 3;$

$x = -1; -a — 2 — (-1) = 0; a = -1;$

$x = 2; 2a — 2 — 2 = 0; a = 2;$

$x = -2; -2a — 2 — (-2); a = 0.$

Если $x = 0$, то $0 — 2 — 0 = 0$ не выполняется.

2) $3x^5 7x^3 2x 4 — 3x^2a — a = 0,$

$a(3x^2 1) = 3x^5 7x^3 2x 4,$

$a = {3x^5 7x^3 2x 4}/{3x^2 1}$

$a = x^3 2x {4}/{3x^2 1}$. Поскольку $a$ и $x$ — целые числа, то ${4}/{3x^2 1}$ также целое число. Это возможно, если $3x^2 1 = 4$, или $3x^2 1 = 2$, или $3x^2 1 = 1$.

Получаем $x^2 = 1$ или $3x^2 = 1$ или $x^2 = 0$.

Целые корни:

$x = 1$, тогда $a = 1^3 2·1 {4}/{3·1^2 1} = 4$;

$x = -1$, тогда $a = (-1)^3 2·(-1) {4}/{3·(-1)^2 1} = -2$;

$x = 0$, тогда $a = 0 0 4 = 4$.

Целые корни есть при значениях $a: -2; -1; 0; 2; 3; 4$.

Ответ: -2$;$-1$;$0$;$2$;$3$;$4

Задача 8

Найдите все значения $a > 0$, при каждом из которых система

${table(x — 4)^2 (|y| — 4)^2 = 9; x^2 (y — 4)^2 = a^2;$

имеет ровно $2$ решения.

Решение

Если $y ≥ 0$, то первое уравнение задаёт окружность $∅_1$ с центром в точке $C_1(4; 4)$ радиуса $3$, а если $y < 0$, то оно задаёт окружность $∅_2$ с центром в точке $C_2(4; -4)$ того же радиуса.

При $a > 0$ второе уравнение задаёт окружность $∅$ с центром в точке $C (0; 4)$ радиуса $a$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при каждом из которых окружность $∅$ имеет ровно две общие точки с объединением окружностей $∅_1$ и $∅_2$.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Координаты точки касания окружностей $∅$ и $∅_2$ явно видны на чертеже: это точки $A_1(1; 4)$ и $B_1(7; 4)$. То есть при $a = CA_1=1$ и $a = CB_1=7$ окружности $∅$ и $∅_2$ касаются. При $a > 7$ и $a < 1$ окружности $∅$ и $∅_1$ не пересекаются, при $1 < a < 7$ окружности $∅$ и $∅_2$ имеют $2$ общие точки.

Из точки $C$ проведём луч $CC_2$ и обозначим $A_2$ и $B_2$ точки его пересечения с окружностью $∅_2$, где $A_2$ лежит между $C$ и $C_2$. Заметим, что длина отрезка $CC_2 = √{4^2 (4-(-4))^2} = √{80} = 4√5$.

Про ЕГЭ:  25.04.2011 Варианты досрочного ЕГЭ 2011 по математике + критерии

При $a < CA_2$ или $a > CB_2$ окружности $∅$ и $∅_2$ не пересекаются. При $CA_2 < a < CB_2$ окружности $∅$ и $∅_2$ имеют $2$ общие точки. При $a = CA_2 = 4√5 − 3$ или $a = CB_2 = 4√5 3$, окружности $∅$ и $∅_2$ касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность $∅$ с одной из окружностей $∅_1$ и $∅_2$ имеет $2$ общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как $1 < 4√5 − 3 < 7 < 4√5 3$, то условию задачи удовлетворяют значения $a ∈ (1; 4√5 − 3) ∪ (7; 4√5 3).$.

Ответ: $(1;4√5-3)∪(7;4√5 3)$

Задача 9

Найдите все значения $a > 0$, при каждом из которых система

${table(|x| — 3)^2 (y — 3)^2 = 4; (x 3)^2 y^2 = a^2;$

имеет единственное решение.

Решение

Если $x ≥ 0$, то первое уравнение задаёт окружность $∅_1$ с центром в точке $C_1(3; 3)$ радиуса $2$, а если $x < 0$, то оно задаёт окружность $∅_2$ с центром в точке $C_2(−3; 3)$ того же радиуса.

При $a > 0$ второе уравнение задаёт окружность $∅$ с центром в точке $C (−3; 0)$ радиуса $a$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при каждом из которых окружность $∅$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей $∅_1$ и $∅_2$.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Из точки $C$ проведём луч $CC_1$ и обозначим $A_1$ и $B_1$ точки его пересечения с окружностью $∅_1$, где $A_1$ лежит между $C$ и $C_1$.

Так как $CC_1 = √{6^2 3^2} = √{45} = 3√5$, то $CA_1 = 3√5 − 2, CB_1 = 3√5 2$.

При $a < CA_1$ или $a > CB_1$ окружности $∅$ и $∅_1$ не пересекаются. При $CA_1 < a < CB_1$ окружности $∅$ и $∅_1$ имеют $2$ общие точки. При $a = CA_1 = 3√5 − 2$ или $a = CB_1 = 3√5 2$, окружности $∅$ и $∅_1$ касаются.

Координаты точки касания окружностей $∅$ и $∅_2$ явно видны на чертеже: это точки $A_2(−3; 1)$ и $B_2(−3; 5)$. То есть при $a = 1$ и $a = 5$ окружности $∅$ и $∅_2$ касаются. При остальных значениях параметра $a$ окружности $∅$ и $∅_2$ либо имеют $2$ общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $∅$ касается ровно одной из двух окружностей $∅_1$ и $∅_2$ и не пересекается с другой.

Так как $1 < 3√5 − 2 < 5 < 3√5 2$, то условию задачи удовлетворяют только числа $a = 1$ и $a = 3√5 2$.

Ответ: $1;3√5 2$

Задача 10

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых решение неравенства ${(2√x — a)(a — x)}/ {√{3 — a^2 — x^2}}≥ 0$ содержит отрезок длины не менее $0.5$.

Решение

${(2√x — a)(a — x)}/{√{3 — a^2 — x^2}} ≥ 0$. Попробуем преобразовать неравенство к более простому виду. Заметим, что знаменатель влияет только на ОДЗ. Поэтому неравенство равносильно системе ${table (2√x — a)(a — x) ≥ 0; 3 — a^2 — x^2 > 0;$. Второе неравенство системы преобразуем так, чтобы получить неравенство для внутренней части круга. Первое неравенство преобразуем так, чтобы скобки выглядели симметрично ${table (2√x — a)(a — x) ≤ 0; a^2 x^2 < 3;$

Изобразим множество решений системы в системе координат $Oxa$. Решению соответствует заштрихованная область. При этом каждому фиксированному значению $a$ соответствует горизонтальная прямая. При фиксированном значении a решениями системы будут $x$, равные абсциссам тех точек горизонтальной прямой, которые лежат в заштрихованной области.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Прямая $a = x$ пересекает окружность $x^2 a^2 = 3$ при $a = x = {√3}/{√2}$.

1) Из рисунка видно, что если горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит ниже (не выше) точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до графика $a = x$.

2) Если же горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит выше точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до окружности $a^2 x^2 = 3$, при этом точки самой окружности в заштрихованную область не входят.

Таким образом, в первом случае (то есть при $a ≤ {√3}/{√2}$) выполняется $a ≤ 2√x, a ≥ x$, следовательно, $x ∈ [{a^2}/{4}; a]$.

При $a > {√3}/{√2}$ решением является промежуток $[{a^2}/{4}; √{3 — a^2})$.

Отсюда решение содержит отрезок длиной не менее ${1}/{2}$, если

$[table{{table a ≤ {√3}/{√2}; a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5}; {{table a > {√3}/{√2}; √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5};$

$[table{{table a ≤ {√3}/{√2}; a^2-4a 2 ≤ 0}; {{table a > {√3}/{√2}; 3-a^2 > ({a^2}/{4} {1}/{2})^2};$

Решив системы, получим: $a ∈[2-√2; {√3}/{√2}]$ или $a ∈ ({√3}/{√2}; √2)$, отсюда $a ∈ [2 — √2; √2)$.

Замечание. Задачу можно решить и другими способами, например аналитически. Получив систему, можно заметить, что первое неравенство системы при $a < 0$ не имеет решений, а при $a ≥ 0$ имеет решением промежуток $[{1}/{4}a^2; a]$ (если $a ≤ 4$) или промежуток $[a; {1}/{4}a^2]$ (если $a > 4$). Решением второго неравенства будут $x$, удовлетворяющие неравенству $x < √{3 — a^2}$. Отсюда, в частности, $a ≤ √3$, то есть случай $a > 4$ не возможен.

Несложно убедиться, что при ограничениях $0 ≤ a ≤ √3$ для решения задачи достаточно решить систему ${table a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5; √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5;$

Ответ: $[2-√2;√2)$

Задача 11

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений ${tabley=√{-8-6x-x^2}; y ax=a 1;$ имеет единственное решение.

Решение

Построим график уравнения $y = √{−8−6x−x^2}$.

Преобразовав подкоренное выражение, получим: $y = √{1−(x^2 6x 9)}, y =√{1−(x 3)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 1−(x 3)^2, (x 3)^2 y^2 = 1$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность радиусом $1$ с центром в точке $(−3;0)$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y ax = a 1$ запишем в виде $y = −a(x−1) 1$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $−a$, проходящих через точку $M(1;1)$.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Рассмотрим рисунок. Видно, что система имеет единственное решение, если:

1) прямая $MC$ касается полуокружности, поэтому $−a = a_1 = 0$,

2) прямая и полуокружность имеют единственную общую точку, при этом $a_2 < −a ≤ a_3$.

Найдём $a_2$ из условия, что прямая $y = a_2(x−1) 1$ проходит через точку $A(−4;0)$.

$a_2(−4−1) 1 = 0, a_2 ={1}/{5}$.

Найдём $a_3$ из условия, что прямая $y = a_3(x−1) 1$ проходит через точку $B(−2;0)$.

$a_3(−2−1) 1 = 0, a_3 ={1}/{3}$.

Имеем ${1}/{5} < −a ≤ {1}/{3}$, значит, $−{1}/{3} ≤ a < −{1}/{5}$.

Следовательно, система имеет единственное решение, если $−{1}/{3} ≤ a < −{1}/{5}$ и $a = 0$.

Ответ: $[-{1}/{3};-{1}/{5});0$

Задача 12

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

${tabley=√{-5-6x-x^2}; y-ax=2-3a;$

имеет ровно два решения.

Решение

Построим график уравнения $y = √{-5 — 6x — x^2}$,

Преобразовав подкоренное выражение, получим $y = √{4 — (x^2 6x 9)}, y = √{2^2 — (x 3)^2}$.

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 2^2 — (x 3)^2, (x 3)^2 y^2 = 2^2$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность с центром в точке $(-3; 0)$ радиусом $2$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y-ax = 2-3a$ запишем в виде $y = a(x-3) 2$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $a$, проходящих через точку $M (3; 2)$.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если $a_1 < a ≤ a_2$. Прямая $BM$ касается окружности и является горизонтальной, поэтому её угловой коэффициент равен $0$, значит, $a_1 = 0$. Найдём $a_2$ из условия, что прямая $AM$ $y = a(x — 3) 2$ проходит через точку $A(-5; 0)$.

$a(-5 — 3) 2 = 0, a = {1}/{4}$, значит, $a_2 = {1}/{4}$.

Следовательно, система имеет ровно два решения при $0 < a ≤ {1}/{4}$.

Ответ: $(0;{1}/{4}]$

Задача 13

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

${table(x 1)^2=(y-2)^2; (x 1)^2 (y-a)^2=3a^2-2a 4;$

имеет ровно три решения.

Решение

Уравнение $(x 1)^2 = (y — 2)^2$ равносильно совокупности двух уравнений

$[table x 1=y-2; x 1=-y 2;$ $[table y=x 3; y=-x 1;$

Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $y = x 3$ и $y = -x 1$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(-1; 2)$, так как система ${table y = x 3; y = -x 1;$ имеет единственное решение $(-1; 2)$.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

При каждом значении $a$ множеством решений второго уравнения системы $(x 1)^2 (y — a)^2 = 3a^2 — 2a 4$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(-1; a)$, лежащей на прямой $x = -1$, и радиусом $√{3a^2 — 2a 4}$ (заметим, что $3a^2 — 2a 4 > 0$ для любого $a$).

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

В таком случае точка $(-1; 2)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(-1 1)^2 (2 — a)^2 = 3a^2 — 2a 4$.

Отсюда получаем: $4 — 4a a^2 = 3a^2 — 2a 4; 2a^2 2a = 0; 2a ·(a 1) = 0; $

$a = 0$ или $a = -1$.

Ответ:

Задача 14

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

${table(x-3)^2=(y-1)^2; (x-a)^2 (y-1)^2=3a^2-8a 9;$

имеет ровно три решения.

Решение

Уравнение $(x — 3)^2 = (y — 1)^2$ равносильно совокупности двух уравнений

$[table x-3=y-1; x-3=-y 1;$ $[table y=x-2; y=-x 4;$

Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $y = x — 2$ и $y = -x 4$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(3; 1)$, так как система ${table y = x — 2; y = -x 4;$ имеет единственное решение $(3; 1)$.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

При каждом значении $a$ множеством решений второго уравнения системы $(x — a)^2 (y — 1)^2 = 3a^2 — 8a 9$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(a; 1)$, лежащей на прямой $y = 1$, и радиусом $√{3a^2 — 8a 9}$ (заметим, что $3a^2 — 8a 9 > 0$ для любого $a$).

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

В таком случае точка $(3; 1)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(3 — a)^2 (1 — 1)^2 = 3a^2 — 8a 9$.

Отсюда получаем: $9 — 6a a^2 = 3a^2 — 8a 9; 2a^2 — 2a = 0; 2a ·(a — 1) = 0; a = 0$ или $a = 1$.

Ответ: $0;1$

Задача 15

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение ${3x a — x^2 4a^2x — x^3}/{4a^2x — x^3} = 1$ имеет единственный корень.

Решение

В левой части уравнения выделим целую часть

${3x a — x^2 4a^{2}x — x^3}/{4a^{2}x — x^3} = {4a^{2}x — x^3}/{4a^{2}x — x^3} {-x^2 3x a}/{4a^{2}x — x^3} = 1 {-x^2 3x a}/{4a^{2}x — x^3}$.

Тогда уравнение примет вид ${-x^2 3x a}/{4a^{2}x — x^3} = 0$. Оно равносильно системе

${table -x^2 3x a = 0; 4a^{2}x — x^3 ≠ 0;$ ${table a = x^2 — 3x; x ≠ 0, x ≠ ±2a;$

Решим систему графически в системе координат $xOa$. Для этого строим графики функций $a = x^2 — 3x$ и $a = ±{x}/{2}$.

Графиком функции $a = x^2 — 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы — точка $({3}/{2}; -{9}/{4})$, точки $(0; 0)$ и $(3; 0)$ принадлежат параболе. Графиками функций $a = ±{x}/{2}$ являются прямые.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Решая уравнение $x^2 — 3x = {x}/{2}$, находим точки пересечения прямой $a = {x}/{2}$ и параболы $a = x^2 — 3x: x = 0, x = {7}/{2}$, откуда $a = 0, a = {7}/{4}$. Аналогично, решая уравнение $x^2 — 3x = — {x}/{2}$, находим $x = 0, x = {5}/{2}$. Тогда $a = 0, a = — {5}/{4}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых при $a = — {9}/{4}, a = — {5}/{4}, a = 0, a = {7}/{4}$.

Ответ: $-{9}/{4};-{5}/{4};0;{7}/{4}$

Задача 16

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение ${x^3 x^2 — 16a^2x — 5x a}/{x^3 — 16a^2x}= 1$ имеет единственный корень.

Решение
Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

В левой части уравнения выделим целую часть

${x^3 x^2 — 16a^2x — 5x a}/{x^3 — 16a^2x} = {x^3 — 16a^2x}/{x^3 — 16a^2x} {x^2 — 5x a}/{x^3 — 16a^2x} = 1 {x^2 — 5x a}/{x^3 — 16a^2x}$.

Тогда уравнение примет вид ${x^2 — 5x a}/{x^3 — 16a^2x} = 0$.

Оно равносильно системе

${tablex^2 — 5x a = 0; x^3 — 16a^2x ≠ 0;$ ${tablea = -x^2 5x; x ≠ 0, x ≠±4a;$

Про ЕГЭ:  ЕГЭ, Математика, Профильный уровень, Типовые экзаменационные варианты, 36 вариантов, Ященко И.В., 2018

Решим систему графически в системе координат $xOa$. Для этого построим графики функций $a = -x^2 5x$ и $a =±{x}/{4}$.

Графиком функции $a = -x^2 5x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы — точка $({5}/{2}; {25}/{4})$, точки (0; 0) и (5; 0) принадлежат параболе. Графиками функций $a =±{x}/{4}$ являются прямые.

Решая уравнение $-x^2 5x = {x}/{4}$, находим точки пересечения прямой $a ={x}/{4}$ и параболы $a = -x^2 5x: x = 0, x = {19}/{4}$, откуда $a = 0, a = {19}/{16}$. Аналогично, решая уравнение $-x^2 5x = -{x}/{4}$, находим $a = 0, a = -{21}/{16}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при $a = -{21}/{16}, a = 0, a = {19}/{16}; a = {25}/{4}$.

Ответ: $-{21}/{16};0;{19}/{16};{25}/{4}$

Задача 17

Найдите все значения параметра $а$, при которых уравнение $√{3^x-a} {a-1}/{√{3^x-a}}=1$ имеет ровно два различных корня.

Решение
Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

После приведения к общему знаменателю уравнение примет вид ${3x — a a — 1}/{√{3^x — a}} = 1$ или ${3^x — 1}/{√{3^x — a}} = 1$. Пусть $3^x = t, t > 0$. Заметим, что после замены каждому положительному корню уравнения ${t — 1}/{√{t — a}} = 1$ соответствует единственный корень исходного уравнения (это следует из монотонности функции $3^x = t$). Уравнение ${t — 1}/{√{t — a}} = 1$ равносильно системе

${tablet — 1=√{t — a}; t>a;$

Возведём в квадрат обе части первого уравнения, учитывая, что $t ≥ 1$.

${tablea=-t^2 3t-1; t>a; t ≥ 1;$

Решим систему графически в системе координат $tOa$.

Вершина параболы $a = -t^2 3t — 1$ — точка с координатами $({3}/{2};{5}/{4})$.

Графики функций $a = -t^2 3t — 1$ и $a = t$ имеют единственную общую точку $t = 1$. Множество точек, удовлетворяющих неравенству $a < t$, представляет собой полуплоскость, лежащую ниже прямой $a = t$. $-t^2 3t — 1 = t, t^2 — 2t 1 = 0, t = 1$.

По графику видно, что парабола $a = -t^2 3t-1$ и прямая $a = const$ имеют ровно две общие точки при условии $t ≥ 1$, если $1 < a < {5}/{4}$, значит, исходное уравнение имеет ровно два корня при этих же значениях $a$.

Ответ: $(1;{5}/{4})$

Задача 18

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение ${x^2 ax 2}/{2}=√{4x^2 ax 1}$ имеет ровно три различных корня.

Решение

Уравнение ${x^2 ax 2}/{2} = √{4x^2 ax 1}$ при ${x^2 ax 2}/{2} < 0$ не имеет корней. При $x^2 ax 2 ≥ 0$ обе части уравнения можно возвести в квадрат.

$(x^2 ax 2)^2 = 4(4x^2 ax 1)$,

$x^4 ax^3 2x^2 ax^3 a^2x^2 2ax 2x^2 2ax 4 = 16x^2 4ax 4$,

$x^4 2ax^3 x^2(a^2 — 12) = 0$,

$x^2(x^2 2ax a^2 — 12) = 0$,

$x^2((x a)^2 — 12) = 0$,

$x_1 = 0, (x a — √{12})(x a √{12}) = 0$,

$x_2 = -a √{12}, x_3 = -a — √{12}$.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа $x_1, x_2, x_3$ были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие $x^2 ax 2 ≥ 0$.

$x_2≠0$ и $x_3≠0$, если $a≠√{12}=2√3$ и $a≠-√{12} = -2√3$.

Обозначим $g(x) = x^2 ax 2. g(0) = 2 > 0$. Числа $x_2 = -a 2√3$ и $x_3 = -a — 2√3$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

${tableg(x_2) ≥ 0; g(x_3) ≥ 0;$ ${table(-a 2√3)^2 a(-a 2√3) 2 ≥ 0; (-a — 2√3)^2 a(-a — 2√3) 2 ≥ 0;$

${table-2a√3 14 ≥ 0; 2a√3 14 ≥ 0;$ ${tablea≤{7}/{√3}; a≥-{7}/{√3};$

Таким образом, $a∊[-{7}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{7}/{√3}]$.

Ответ: $[-{7}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{7}/{√3}]$

Задача 19

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $x^2 ax 4 = √{20x^2 8ax 16}$ имеет ровно три различных корня.

Решение

Уравнение $x^2 ax 4 = √{20x^2 8ax 16}$ при $x^2 ax 4 <0$ не имеет корней. При $x^2 ax 4≥0$ (1) можно обе части уравнения возвести в квадрат.

$(x^2 ax 4)^2 = 20x^2 8ax 16$,

$x^4 ax^3 4x^2 ax^3 a^2x^2 4ax 4x^2 4ax 16 = 20x^2 8ax 16$,

$x^4 2ax^3 x^2(a^2 — 12) = 0$,

$x^2(x^2 2ax a^2 — 12) = 0$,

$x^2((x a)^2 — 12) = 0$,

$x_1 = 0, (x a — √{12})(x a √{12}) = 0$,

$x_2 = -a √{12}, x_3 = -a — √{12}$.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо выполнение условия (1) для чисел $x_1, x_2, x_3$ и выполнение условия, что эти числа различны.

$x_2≠ 0$ и $x_3≠0$, если $a ≠√{12} = 2√3$ и $a ≠-√{12} = -2√3$.

Обозначим $g(x) = x^2 ax 4. g(x_1) = g(0) = 4 > 0$. Числа $x_2 = -a √{12}$ и $x_3 = -a — √{12}$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

${tableg(x_2) ≥ 0; g(x_3) ≥ 0;$ ${table(-a √{12})^2 a(-a √{12}) 4 ≥ 0; (-a — √{12})^2 a(-a — √{12}) 4 ≥ 0;$

${table-a√{12} 16 ≥ 0; a√{12} 16 ≥ 0;$ ${tablea≤{8}/{√3}; a≥-{8}/{√3};$

Таким образом, $a∈[-{8}/{√3}; -2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{8}/{√3}]$

Ответ: $[-{8}/{√3};-2√3)∪(-2√3;2√3)∪(2√3;{8}/{√3}]$

Задача 20

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений ${table(xy^2-5xy-5y 25)/{√{x 5}}=0; y=ax;$ имеет ровно два различных решения.

Решение
Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Первое уравнение ${xy^2 — 5xy — 5y 25}/{√{x 5}}= 0$ параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде ${(y — 5)(xy — 5)}/{√{x 5}} = 0$, разложив числитель на множители.

При $x ≤ -5$ первое уравнение системы не имеет смысла. При $x > -5$ уравнение задаёт прямую $y = 5$ и гиперболу $y ={5}/{x}$.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$ с прямой $y = ax$ при условии $x>-5$.

Найдём координаты точек $A, B$ и $C$.

$B$ — точка пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$, чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений ${tabley = 5; y ={5}/{x};$
Получаем $B(1; 5)$.

У точек $A$ и $C$ абсцисса равна $-5$, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. $A(-5; 5)$ и $C(-5;-1)$.

При каждом значении $a$ уравнение $y = ax$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $a$, проходящую через начало координат. Чтобы найти значение $a$, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Например, для точки $A(-5; 5)$ получаем $x = -5; y = 5; 5 = a·(-5); a = -1$. Аналогично для $B(1; 5)$ получим $a = 5$. Для $C(-5;-1)$ получим $a ={1}/{5}$.

При $x>-5$ прямая $y = ax$ пересекает прямую $y = 5$ при $a<-1$ и $a>0$, пересекает правую ветвь гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a>0$, пересекает левую ветвь гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a>{1}/{5}$. При этом прямая $y = ax$ проходит через точку пересечения прямой $y = 5$ и гиперболы $y ={5}/{x}$ при $a = 5$.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $0< a ≤0.2; a = 5$.

Ответ: $(0;0.2]∪${5}

Показать еще

Статистика

В задании №17 требуется решить текстовую задачу. Наиболее часто встречаются задачи экономического содержания на кредиты, вклады и оптимальный выбор.

Получить за решение этого задания можно 3 первичных балла, если обоснованно получен верный ответ. Если математическая модель построена верно, но решение недостаточно обоснованно, или допущена вычислительная ошибка – вы получите 2 первичных балла. А вот если решение не завершено, при правильно построенной математической модели, то вам достанется 1 первичный балл.

Виды платежей

1. Аннуитетный платеж — вариант ежемесячного платежа по кредиту, когда размер ежемесячного платежа остаётся постоянным на всём периоде кредитования.

Ключевые фразы:

  • известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года)
  • он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей

  • кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 56 507 рублей

2. Дифференцированный платеж — вариант ежемесячного платежа по кредиту, когда сумма долга каждый год уменьшается на одну и ту же сумму, а размер ежемесячного платежа по погашению кредита постепенно уменьшается к концу периода кредитования.

Ключевые фразы:

  • должен быть на X тысяч рублей меньше долга на n-е число предыдущего месяца
  • n-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на n-е число предыдущего месяца

3. Фиксированные платежи — долг уменьшается по заданным в таблице или в условии задачи параметрам.

Ключевые фразы:

  • выплатили за 2 года платежами 130 000 рублей в первый год и 150 000 рублей во второй
  • 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Пример

В июле планируется взять кредит на сумму 1 342 000 рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей необходимо будет отдать, если кредит будет погашен 4 равными платежами.

Решение:

Заметим, что долг был погашен 4 равными платежами, то есть это аннуитетный платеж. Введем обозначения:

  • $x$ — ежегодный платеж
  • $s$ — сумма кредита

  • $r$ — процентная ставка

  • $k=1 r/100$ — коэффициент.

Например, если долг через год увеличился на 20%, то стал $1,2⋅S$, где $k=1 20/100=1.2$. При помощи коэффициента удобно находить процентное увеличение в одно действие. То есть вместо $S 0.2⋅S=1.2⋅S$, мы сразу же находим итоговую величину (было 100%, стало 120%, то есть $1.2⋅S$).

Составим таблицу на 4 года:

Мы знаем, что после последнего платежа долг должен быть полностью погашен:

Сразу отмечу, что обычно вместо 1,2 удобнее было бы подставить как дробь 6/5. Но в данном примере нам повезло и расчеты оказались относительно простые.

После того как мы нашли x — ежегодный платеж, необходимо ответить на вопрос задачи, то есть найти общую сумму выплат за все 4 года, то есть 4x.

Еще больше крутых лайфхаков, разборов, ловушек ЕГЭ и теории в нашей группе вконтакте и инсте преподавателей @turboegemath и @turbomath

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

  1. Приравниваем производную к нулю.     формула 11     Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT БлогПриведём к общему знаменателю.  формула 12Приравняем числитель к 0.формула 13Приравняем числитель к 0.Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT БлогВозведём в квадрат.формула 14Получили единственную точку экстремума.
  2. Проверим, является ли она точкой максимума.на числовой оси отмечаем знак производнойВидим, что в точке t=180 производная меняет знак с на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.вычисленияВидим, что в точке t=180 производная меняет знак с на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT БлогОтвет: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2022 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму  Формула суммы процентов

Воспользуемся этой формулой, считаяS0= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются.

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на Формула процентов

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

формула, где r— натуральное число,процент, где r— натуральное число,Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блогкоэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%.

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7 2) тысячи рублей

В третий год (7 2) 2= 7 2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7 2) 2) 2= 7 2∙3 тысячи рублей

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на формула

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%.

Решение

${(2√x — a)(a — x)}/{√{3 — a^2 — x^2}} ≥ 0$. Попробуем преобразовать неравенство к более простому виду. Заметим, что знаменатель влияет только на ОДЗ. Поэтому неравенство равносильно системе ${table (2√x — a)(a — x) ≥ 0; 3 — a^2 — x^2 > 0;$. Второе неравенство системы преобразуем так, чтобы получить неравенство для внутренней части круга. Первое неравенство преобразуем так, чтобы скобки выглядели симметрично ${table (2√x — a)(a — x) ≤ 0; a^2 x^2 < 3;$

Изобразим множество решений системы в системе координат $Oxa$. Решению соответствует заштрихованная область. При этом каждому фиксированному значению $a$ соответствует горизонтальная прямая. При фиксированном значении a решениями системы будут $x$, равные абсциссам тех точек горизонтальной прямой, которые лежат в заштрихованной области.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу — REPIT Блог

Прямая $a = x$ пересекает окружность $x^2 a^2 = 3$ при $a = x = {√3}/{√2}$.

1) Из рисунка видно, что если горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит ниже (не выше) точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до графика $a = x$.

2) Если же горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит выше точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до окружности $a^2 x^2 = 3$, при этом точки самой окружности в заштрихованную область не входят.

Таким образом, в первом случае (то есть при $a ≤ {√3}/{√2}$) выполняется $a ≤ 2√x, a ≥ x$, следовательно, $x ∈ [{a^2}/{4}; a]$.

При $a > {√3}/{√2}$ решением является промежуток $[{a^2}/{4}; √{3 — a^2})$.

Отсюда решение содержит отрезок длиной не менее ${1}/{2}$, если

$[table{{table a ≤ {√3}/{√2}; a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5}; {{table a > {√3}/{√2}; √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5};$

$[table{{table a ≤ {√3}/{√2}; a^2-4a 2 ≤ 0}; {{table a > {√3}/{√2}; 3-a^2 > ({a^2}/{4} {1}/{2})^2};$

Решив системы, получим: $a ∈[2-√2; {√3}/{√2}]$ или $a ∈ ({√3}/{√2}; √2)$, отсюда $a ∈ [2 — √2; √2)$.

Замечание. Задачу можно решить и другими способами, например аналитически. Получив систему, можно заметить, что первое неравенство системы при $a < 0$ не имеет решений, а при $a ≥ 0$ имеет решением промежуток $[{1}/{4}a^2; a]$ (если $a ≤ 4$) или промежуток $[a; {1}/{4}a^2]$ (если $a > 4$). Решением второго неравенства будут $x$, удовлетворяющие неравенству $x < √{3 — a^2}$. Отсюда, в частности, $a ≤ √3$, то есть случай $a > 4$ не возможен.

Несложно убедиться, что при ограничениях $0 ≤ a ≤ √3$ для решения задачи достаточно решить систему ${table a-{1}/{4}a^2 ≥ 0.5; √{3-a^2}-{a^2}/{4} > 0.5;$

Ответ: $[2-√2;√2)$

Тип 3. долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

Дата15.0115.0215.0315.0415.0515.0615.07
Долг(в млн рублей)10,90,80,70,60,50

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2022-2022 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Про ЕГЭ:  Тренировочный вариант №210920 ЕГЭ 2022 по русскому языку 11 класс 100 баллов с ответами | ЕГЭ ОГЭ СТАТГРАД ВПР 100 баллов
Оцените статью
ЕГЭ Live