ЕГЭ по математике база и метод интервалов. Как решать С3. Урок 2. ЕГЭ 2014, Метод интервала

Чтобы хорошо сдать ЕГЭ по математике, необходимо не только изучать теорию, но и практиковаться. С помощью онлайн-теста вы можете потренироваться и проверить свои знания. Вашему вниманию предоставлены пробные задания по профильной математике.

Данный онлайн-тест является ознакомительным и дает представление о том, какими будут задания на ЕГЭ по математике в 2016 году. Решая пробные задачи, вы ознакомитесь со структурой и содержанием контрольных заданий и степенью их сложности.

На решение теста дается неограниченное количество времени.

Как и обещал, сейчас мы разберем решения нескольких рациональных неравенств методом интервалов.

Начнем с разминки:

Не смотря на то, что оно такое легкое, оно было на четвертой тренировочной работе ЕГЭ 2013.

Первое, что необходимо сделать — разложить на множители. Можно, конечно, воспользоваться формулой:

$$ax^2 + bx+c = a(x-x_1)(x-x_2),$$

Но в данном случае это неудобно. Проще поступить следующим образом:

Как бы это ни было печально, но некоторые ученики забывают, что можно так легко разложить многочлен на множители. (Вообще говоря, эта тема заслуживает отдельного урока.)

Итак, продолжаем решение.

Отметим нули и знаки функции на `Ox`.

Метод интервалов и большое рациональное неравенство с дробями

Наконец, перейдем к более сложным заданиям. Например, решим следующее неравенство:

Точки, которые соответствуют знаменателю незакрашены, красным выделено решение неравенства.

Метод интервалов и еще одно большое рациональное неравенство с дробями

Последнее неравенство в этом уроке:

Как мы перешли от квадратного неравенства к системе?

Для примера возьмем неравенство `a^2 <25`. Его легко записать в виде `a^2 — 25 <0`. А затем воспользоваться формулой разность квадратов `(a-5)(a+5) <0`. В итоге получим решение `-5<a<5`. В нашем случае это удобнее расписать в виде двух разных неравенств.

Нули функции для первого неравенства: `2, 0.5 , 0`; для второго неравенства: `-2, -0.5, 0`.

Отметим решения обоих неравенств на числовой оси.

Вот и получили ответ.

Задания для тренировки

• `(5x+2)(9-5x)(25x^2-35-18)<0`,
• `x^2+(2-\sqrt{15})x -2\sqrt{15}\leqslant 0`.

Решите систему неравенств:

На этом все. Оставляйте вопросы в комментариях, будем разбираться вместе. Оставляйте лайки и делитесь с друзьями! До новых встреч.

PS: В видео есть разбор всех неравенств этого урока.

В перечень предметов, которые сдают в обязательном порядке, входит математика. И степень сложности отличается в зависимости от специализации, выбранной выпускником. Если для выбранного направления этот предмет не важен, то экзамен сдают на базовом уровне. А тем, кто планирует поступать в технические или экономические институты, следует более серьезно отнестись к подготовке. Задания по профильной математике сложнее для вычислений.

Процедура экзамена

Хорошее знание предмета и предварительная тренировка – залог успешного прохождения испытания. Оно включает 18 задач. Уровни сложности разные, и на то, чтобы написать ответ, отводится достаточно много времени – 235 минут.

Что можно с собой взять? Только линейку. Все необходимое, в том числе и справочные материалы, предоставят на месте.

Структура теста

Примеры сгруппированы в два блока.

Первый включает базовые примеры с краткими ответами. Их решение помогает определять степень подготовки и умение применять знания.

Второй блок состоит из более сложных заданий. С 12 по 16 – это повышенный уровень, а 17 и 18 – высокий. На семь задач нужно будет дать подробный, с развернутой аргументацией, ответ.

Как засчитывают баллы

Как готовиться?

Основная рекомендация по подготовке – уделить особое внимание решению примеров по всем пройденным темам. Хорошего знания теории будет недостаточно для успешной сдачи ЕГЭ по профильной математике. Необходимы практические навыки. А планомерная и методичная работа помогает лучше усвоить материал и довести до автоматизма процесс вычислений. В результате на экзамене вы будете готовы решать быстро и правильно.

Не стоит откладывать тренировку на последние дни, ожидая новые ЕГЭ. Вполне можно использовать и прошлогодние – это даст необходимую практику. А когда станут известны актуальные версии, будет легче их решить на уже отработанной базе, не вспоминая впопыхах материал.

Что нужно для результативной сдачи испытания?

Не зацикливайтесь только на теории, не упускайте из внимания практику.

Для лучшей проверки рекомендуется выполнять разные варианты. Это поможет определить, какие задания тяжелее решить и какой математический раздел следует подтянуть. С чем вы испытываете сложности? С неравенствами или функциями? Со стереометрическими задачами или алгебраическими уравнениями? Все плохо понимаемые вопросы следует тщательно проработать, чтобы потом не испытывать неуверенность на экзамене.

Будьте внимательны, приступая к вычислениям. Нередко допускаются ошибки, даже при простых заданиях. Банальная рассеянность может лишь вас заветных баллов.

Успехов вам на ЕГЭ!

//spadilo. ru/wp-content/uploads/2021/08/%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%81%D1%82_%D0%B5%D0%B3%D1%8D_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0. png» alt=»ЕГЭ по математике»>

В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня — у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2020 году. Начинаем!

ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида — базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.

Разбор заданий ЕГЭ по математике ()

Если вы решились сдавать профильный ЕГЭ по математике, вам нужно очень серьёзно готовиться к экзамену, потому что каждый балл будет заработан буквально кровью и потом. Хотя кровью, наверное, не нужно, пусть останется только пот))

Трудиться придётся много. А мы вам поможем. Стратегия подготовки у каждого выпускника своя, но давайте будем честны: подготовиться на  баллов по профильной математике без посторонней помощи могут лишь единицы. Уверены, что из 145 человек, сдавших в 2018 году профиль на 100 баллов, половина (а, может быть, и больше) ходила к репетиторам. А что ж говорить тогда об остальных? Сегодня мы расскажем вам о 3 очень крутых репетиторах, которые сделали 3 крутых сайта для подготовки к профильной математике.

1. Сайт Александра Ларина

 первом месте, конечно, Александр Ларин. Надеемся, что вы знаете уже это имя. Если нет, cрочно заходи по  ищи всё, что нужно для тренировок. Да, сайт, конечно, невзрачный и немного старомодный, но пусть тебя это не смущает. Этот репетитор  Юрий Дудь среди всех   его сайте вы найдёте новый по профильной математике пробник каждую неделю. Нам нравится его девиз:

Начальный уровень не важен, важно желание максимально реализовать свой потенциал. Тогда результат обеспечен.

2. Бесплатный курс из 100 занятий по подготовке к ЕГЭ по математике от Дмитрия Гущина

 так давно Дмитрий Гущин запустил новый бесплатный курс из 100 занятий по   математике. Просто авторизуйтесь, пройдите входное тестирование, система пришлёт отчёт о ваших знаниях и разработает индивидуальный план занятий. Фантастика! А еще на сайте Решу ЕГЭ есть  по профильной математике. 

  особом представлении, поскольку это самый крутой бесплатный ресурс для подготовки к  любому предмету. Чем полезен этот сайт для прохождения заданий профиля по 

 первую очередь, конечно, это ресурс для самопроверки. У них есть не только задания из официального банка ЕГЭ, каждый месяц они создают свои варианты заданий. Главная фишка в том, что система проверяет и оценивает ваши ответы. Вы всегда сможете увидеть, где у вас слабые места. Но  надо думать, что сайт  может только это. Здесь предусмотрен один очень классный сервис: ваш учитель или репетитор может составить на этом сайте ваше персональное задание, учитывая ваши слабые места, ему присваивается номер, и  сможете решить его, просто набрав номер в поиске. Пока никто ещё не 

3. Видеокурс Михаила Пенкина на сайте 4ege.ru

 отдадим преподавателю кафедры общей физики МФТИ Михаилу Пенкину, который ведет свои видеозанятия по   самых уважаемых сайтов о  

Запишись на наши онлайн-курсы: http://lancmanschool.ru/webinar/ 

Если материал показался интересным – ставь лайк, делись с друзьями в соцсетях и подписывайся на обновления нашего блога. Кнопку подписки ты найдёшь сразу под постом. Мы пишем о ЕГЭ много (а главное, интересно).

Редактор колонки — ЕГЭ-блогер Мария Кучерова (mel.fm, newtonew.com). 

Полезные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня:

ТОП-5 блогеров YouTube, которые помогут подготовиться к ЕГЭ по математике

5 мобильных приложений для подготовки к профильному ЕГЭ по математике

Профильный ЕГЭ по математике сдают не все. Это вариант для тех, кто намерен поступить в технический Вуз или освоить профессию, связанную с экономикой или математикой. Чтобы сдать данный экзамен, вам нужно будет показать глубокие знания предмета.

Основные требования

Во время сдачи базового госэкзамена вам понадобятся познания, которые были получены из школьного курса алгебры и геометрии. Вы должны уметь решать разнообразные неравенства и уравнения, а также знать терминологию и алгоритмы решения разных задач. А вот чтобы выполнить тесты высокой сложности, вы должны знать:

• планиметрию;
• стереометрию;
• прогрессию.

Помимо этого от учащегося потребуется знание финансовой математики и умение работать с параметрическими системами, уравнениями, неравенствами, процентами.

Во время подготовки вам придется повторить теорию. При этом вы должны совмещать ее с практикой, чтобы уметь применять все выученные правила, теоремы, аксиомы.

Принципы подготовительного процесса

С самого начала года необходимо готовиться к ЕГЭ. Благодаря этому можно качественно усвоить весь необходимый материал.

Желательно повторять вслух все прочитанное, чтобы запомнить правила.

Некоторые аксиомы и теоремы нужно будет просто выучить. А после этого применять их при работе с тренировочными упражнениями.

Если вы готовитесь вместе с одноклассниками, контролируйте друг друга. Так материал быстрее усвоится.

Анализируйте ошибки во время решения задач. Благодаря этому вы значительно продвинетесь в подготовке.

Не забывайте про решение практических заданий. Во время сдачи тестирования этот навык вам очень пригодится.

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

$х = — 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

• $a$ — старший коэффициент;
• $b$ — средний коэффициент;
• $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

$4х^2 — 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х — 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0   х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

$x^2 — 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 — 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х — 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = — 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

Устные способы

$4х^2+ 3х — 7 = 0$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x — 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x — 3)^3 = $3³

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х — 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x — 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х (3х — 5) = -2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

$3х^2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x ≠ 0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

3. решаем полученное уравнение

Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

Воспользуемся основным свойством пропорции

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$

В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком корня, называются иррациональными.

Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду: $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$
2. Обе части уравнение возвести в квадрат: $√{f(x)}^2=(g(x))^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$
3. Решить полученное рациональное уравнение.
4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

Обе части уравнение возведем в квадрат:

Получаем квадратное уравнение:

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно $х_1=1$ подходит.

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень $х_2=3$ подходит

$х_1=1$ наименьший корень.

Так как в иррациональных уравнениях иногда необходимо возводить в квадрат не только число, но и целое выражение, необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе число плюс квадрат второго числа. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Возведем обе части уравнения в квадрат

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

Приводим подобные слагаемые:

Найдем корни уравнения через дискриминант:

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения $a^x=a^m$, где, $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение $25·5^х=1$

В левой части уравнения необходимо сделать одну степень с основанием $5$ и в правой части уравнения представить число $1$ в виде степени с основанием $5$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются

Далее проговариваем: степени с одинаковым основанием $(а >0, a≠1)$ равны только тогда, когда равны их показатели

Чтобы решить данное уравнение, вынесем степень с наименьшим показателем как общий множитель

Разделим обе части уравнения на $15$

Уроки С1 из ЕГЭ по математике постепенно подходят концу. Одна из тем, о которой мы еще не поговорили, это синус и косинус двойного угла. Без них решение многих задач С1 будет крайне затруднительным.

Чтобы легко решать первое задание части С, придется эти формулы выучить.

Выглядят формулы двойного угла следующим образом:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x;$$

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Гарантированно запомнить их получится, только если вы прорешаете достаточное количество задач. Давайте решим несколько примеров вместе.

Первый пример. Синус двойного угла

Распишем косинус в левой части уравнения по формуле приведения (они были в шестом уроке). Далее подробные пояснения моментов, которые были в прошлых уроках, уже не привожу.

А теперь распишем синус по формуле двойного угла.

Ответ получен. Подобное задание было на реальном ЕГЭ 2013 года. Его решение (вместе с отбором корней) можно посмотреть в этой статье.

Переходим к следующему примеру.

Второй пример. Косинус двойного угла

Распишем косинус по формуле двойного угла.

Несколько строк, и ответ получен (единственное, чего не хватает до полного оформления — тригонометрической окружности).

Эта задача была среди задач для подготовки к ЕГЭ 2012.

Третий пример. Синус двойного угла

Запишем `36` как `6^2` и воспользуемся свойствами степеней.

Избавимся от одинаковых оснований степеней (эта операция называется логарифмированием).

$$2\sin 2x  = 2\sin x.$$

Дальше все предельно ясно. Разделим на 2 левую и правую часть, распишем синус двойного угла, синус из правой части перенесем в левую.

$$2\sin x \cos x — \sin x = 0,$$

$$\sin x (2 \cos x — 1)= 0,$$

Эта задача была среди задач для подготовки к ЕГЭ 2012.

На этом седьмой урок окончен. Он получился не очень длинным, потому что мы перешли к практике, к заданиям максимально приближенным к реальным задачам ЕГЭ.

Задачи для тренировки

• `\sin 2x = \sqrt{3} \cos \left(\frac{3\pi}{2} \right)` (задача из реального ЕГЭ 2013);
• `\mathrm{tg}\ x + \cos\left(\frac{3\pi}{2} -2x\right) = 0`;
• `\frac{1}{2}\sin 2x + \sin^2 x-\sin x = \cos x`.

Для самых старательных: найдите `\sin 15^\circ` и `\cos 15^\circ` (воспользоваться формулой двойного угла для `\sin 30^\circ` и основным тригонометрическим тождеством).

Поздравляю вас, дорогие читатели!

Наконец-то мы дошли до решения тригонометрических уравнений. Сейчас мы решим несколько уравнений, которые похожи на задания ЕГЭ. Конечно, в реальном экзамене, задачи будут немного сложнее, но суть останется та же.

Для начала рассмотрим легкое уравнение (подобные мы уже решали в прошлых уроках, но повторить всегда полезно).

Думаю, объяснения, как решать, излишни.

Горизонтальным пунктиром отмечено решение для уравнения с синусом, вертикальным — с косинусом.

Таким образом, итоговое решение можно записать, например, так:

Тригонометрическое уравнение с ОДЗ

Важное отличие в этом примере, что в знаменателе появился синус. Хотя мы немного решали подобные уравнения в предыдущих уроках, стоит остановиться на ОДЗ поподробнее.

ОДЗ

`\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi k`. Когда мы будем отмечать решение на круге, эту серию корней мы отметим специально проколотыми (открытыми) точками, чтобы показать, что `x` не может принимать такие значения.

Решение

Приведем к общему знаменателю, а затем поочередно приравняем обе скобки к нулю.

Надеюсь, решение этих уравнений не вызовет затруднений.

Серии корней — решений уравнения — показаны ниже красными точками. ОДЗ отмечена на рисунке синим.

Решение квадратного тригонометрического уравнения

Следующий пункт нашей программы — решение квадратного уравнения. Ничего сложного собой не представляет. Главное — увидеть квадратное уравнение и выполнить замену как будет показано ниже.

$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$

$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$

Пусть `t= \sin x`, тогда получим:

$$3t^2 + t-2=0.$$

Выполним обратную замену.

Решение квадратного уравнения с тангенсом

Решим следующее уравнение:

Обратим внимание, что аргумент у тангенса равен `2x` и чтобы получить окончательный ответ, нужно будет поделить на `2`. Пусть `t=\tg 2x`, тогда

$$t^2 — 6t +5 =0, $$

$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$

$$\tg x = 5, \tg x = 1.$$

Теперь поделим обе серии на два, чтобы узнать, чему равен, собственно, `x`.

Вот мы и получили ответ.

Последнее уравнение (произведение тангенса на синус)

$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$

ОДЗ

Решение

Эти уравнения решаются легко. Получим:

Теперь самое интересное: поскольку у нас было ОДЗ, нужно выполнить отбор корней. Отметим полученные серии корней на круге. (Как это сделать, детально показано в приложенном видео.)

Синим отмечено ОДЗ, красным — решения. Видно, что ответ будет `x = \pi k`.

На этом пятый урок закончен. Обязательно практикуйтесь в решении уравнений. Одно дело в знать ход решения в общих чертах, другое дело — сориентироваться, при решении конкретной задачи. Постепенно отрабатывайте каждый элемент решения задачи. Сейчас главное — научиться грамотно работать с тригонометрическим кругом, находить с его помощью решения, видеть ОДЗ и правильно делать замены для квадратных уравнений.

Задачи для тренировки

• `2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0`,
• `3 {\tg}^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
• `2\cos^2 3x — 5\cos 3x -3  =0`,
• `\sin^2 4x + \sin x — \cos^2x =0` (применить основное тригонометрическое тождество),
• `4\sin^2 \left(x-\frac{\pi}{3} \right) — 3 =0`.

На этом хватит. Будут вопросы — спрашивайте! Оставляйте лайки, если мой труд оказался полезен 🙂

Скачивая материалы с этого сайта, Вы принимаете условия

 Варианты ЕГЭ 2023 базового уровня 

ЕГЭбаз 2023 №01-12

ЕГЭбаз 2023 №13-24 в VK по платной подписке

 Задачники ЕГЭ 2023 базового уровня 

Задание 01. Текстовые задачи (простейшие)

Задание 02. Размеры и единицы измерения

Задание 03. Графики и диаграммы

Задание 04. Преобразование выражений (формулы)

Задание 05. Теория вероятностей

Задание 06. Выбор оптимального варианта

Задание 07. Анализ графиков и таблиц

Задание 08. Анализ утверждений

Задание 09. Площадь

Задание 10. Прикладная планиметрия

Задание 11. Прикладная стереометрия

Задание 12. Планиметрия

Задание 13. Стереометрия

Задание 14. Действия с дробями

Задание 15. Текстовые задачи (проценты)

Задание 16. Вычисления и преобразования

Задание 17. Уравнения

Задание 18. Числа и неравенства

Задание 19. Цифровая запись числа

Задание 20. Текстовая задача

Задание 21. Задачи на смекалку

 Варианты ЕГЭ 2023 профильного уровня 

ЕГЭпроф 2023 №01-10

ЕГЭпроф 2023 №11-24 впо платной подписке

 Задачники ЕГЭ 2023 профильного уровня 

Задание 01. Планиметрия

Задание 02. Стереометрия

Задание 03. Теория вероятностей

Задание 04. Теория вероятностей (повыш. сложность)

Задание 05. Простейшие уравнения

Задание 06. Значение выражения

Задание 07. Производная и первообразная

Задание 08. Задачи с прикладным содержанием

Задание 09. Текстовые задачи

Задание 10. Функции

Задание 11. Исследование функций

Задание 12. Уравнения

Задание 13. Стереометрия

Задание 14. Неравенства

Задание 15. Финансовая математика

Задание 16. —-

Задание 17. —-

Задание 18. —-

ОТВЕТЫ к Задачникам ЕГЭ 2023 года

МАТЕРИАЛЫ прошлых лет (ЕГЭ АРХИВ)

Преобразование выражений

В задании №4 ЕГЭ по математике базового уровня нам необходимо продемонстрировать умения работы с выражениями. В данных задачах необходимо выразить из заданного выражения нужную переменную и вычислить её, подставив значения.

Тематика заданий: преобразования выражений

Бал: 1 из 20

Сложность задания: ◊◊

Разбор типовых вариантов заданий №4 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 4МБ1

Алгоритм выполнения:

1. Подставить данные значения в выражение.
2. Решить уравнение относительно неизвестной.

Решение:

Подставим все значения в данное выражение, получим:

20 = v₀ + 7 · 2

20 = v₀ + 14.

Найдем неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

v₀ = 20 – 14

v₀ = 6

Ответ: v₀ = 6

Вариант 4МБ2

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты h (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле  . Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты 0,9 м. Считайте, что ускорение свободного падения g равно 9,8 м/с2.

Алгоритм выполнения:

1. Подставить все значения в данную формулу.
2. Произвести вычисления.

Решение:

По условию задания дана высота h=0,9 м и ускорение свободного падения g=9,8 м/с2. Подставим эти значения в формулу вычисления скорости v, получим:

Делаем умножение 1,8 на 9,8, имеем:

Примечание: При умножении в столбик десятичных дробей запятая записывается строго под запятой. В полученном результате справа отсчитывают столько знаков, сколько поле запятой в ОБЕИХ дробях ВМЕСТЕ.

и извлекаем из числа 17,64 квадратный корень:

Ответ: 4,2 м/с.

Вариант 4МБ3

Алгоритм выполнения задания:

1. Подставить все известные значения в данную формулу.
2. Провести вычисления.

Решение:

Подставим в формулу энергии конденсатора значения q=0,019 Кл и C =   Ф, получим:

Пояснения:

Если степень стоит за скобкой, а внутри скобки произведение, то степень относится к каждому из множителей. То есть (19 · 10^-3)² = 19² · 10^-3·2.

Чтобы найти вторую степень числа нужно умножить число само на себя.

19² = 19 · 19 = 361

Умножить на число в отрицательной степени, значит разделить на это число, но только в положительной степени.

361 · 10^-3 = 361/1000 = 0,361

Ответ: 0,361.

Вариант 4МБ4

Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле  , где C — ёмкость конденсатора (в Ф), a q — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите энергию конденсатора (в Дж) ёмкостью   Ф, если заряд на его обкладке равен 0,07 Кл.

Алгоритм выполнения:

1. Подставить все известные значения в данную формулу.
2. Провести вычисления.

Решение:

Подставим в формулу энергии конденсатора значения q=0,07 Кл и C =   Ф, получим:

.

Пояснения:

Если степень стоит за скобкой, а внутри скобки произведение, то степень относится к каждому из множителей. То есть (7 · 10^-2)² = 7² · 10^-2·2.

Чтобы найти вторую степень числа нужно умножить число само на себя.

7² = 7 · 7 = 49

Умножить на число в отрицательной степени, значит разделить на это число, но только в положительной степени.

49 · 10^-1 = 49/10 = 4,9

Вариант 4МБ5 (демо)

Алгоритм выполнения:

1. Подставить данные значения в выражение.
2. Решить уравнение относительно неизвестной.

Решение:

Подставим все значения в данное выражение, получим:

84 = m ·12

2. Найдем неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно разделить произведение на известный множитель.

m = 84 : 12

Ответ: 7 кг.

Вариант 4МБ6 (ЕГЭ 2017)

Теперь можем подставить числа из условия:

Вариант 4МБ7

Найдите v₀ из равенства v = v₀ + at , если v = 20 , t = 2 и a = 7 .

Аналогично выразим v₀, перенеся at в левую часть:

v – at = v₀

20 – 7 • 2 = 6 = v₀

Вариант 4МБ8

Найдите S из равенства S = v₀t + at²/2 , если v₀ = 6 , t = 2 , a = −2.

В данном случае нам необходимо просто подставить числа и выполнить вычисления:

S = 6 • 2 + (-2) • 2²/2 = 12 -4 = 8

Вариант 4МБ9

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула , где t_C – температура в градусах по шкале Цельсия, t_F – температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 95 градусов по шкале Фаренгейта?

Алгоритм выполнения

1. Подставляем данное в условии для t_F значение, равное 95, в формулу для t_C.
2. Выполняем числовые расчеты в формуле в такой последовательности: 1) вычитание в скобках; 2) внесение в числитель дроби 5/9 полученной в скобках разности; 3) сокращение 63 в числителе и 9 в знаменателе на 9; 4) нахождение конечного результата.

Решение:

Вычисляем вычитание в скобках:

Далее умножаем на 5/9, замечаем, что 63 делится на 9 – это 7, что и умножаем на 5, получаем 35!

Ответ: 35

Вариант 4МБ10

Алгоритм выполнения

1. Подставляем числовые данные из условия в формулу для Е.
2. Производим вычисления. Сначала возводим v в квадрат (получаем 16). Затем сокращаем 16 в числителе и 2 в знаменателе на 2. Далее выполняем умножение.

Решение:

Возводим 4 в квадрат – это 16, умножаем на 10 – 160 и делим на 2 – 80 – вот и ответ!

Ответ:80

Вариант 4МБ11

Ускорение тела (в м/с²) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле , где ω – угловая скорость вращения (в с^–1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите а (в м/с²), если R=4 м и ω=7 с^–1.

Алгоритм выполнения

1. Подставляем в формулу числовые значения для R и ω.
2. Делаем вычисления в полученном числовом выражении: 1) возводим в квадрат 7; 2) выполняем умножение.

Решение:

Если R=4 и ω=7, то а = 7² · 4 = 49 · 4 = 196 (м/с²)

Ответ:196

Вариант 4МБ12

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле , где U – напряжение (в вольтах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите P (в ваттах), если R= 6 Ом и U=12 В.

Алгоритм выполнения

1. Поскольку все числовые данные приведены в условии в соответствии с СИ, то просто подставляем эти числа в формулу для мощности.
2. Вычисляем значение для Р: 1) в числителе 12² представляем как 12·12; 2) выполняем сокращение на 6; 3) находим произведение.

Решение:

Возводим 12 в квадрат – это 144, затем делим на 6 – это 24. Либо замечаем, что 12 можно сократить на 6 – это 2, тогда умножаем оставшуюся от квадрата 12 на 2 – снова получаем 24.

Ответ:24

Вариант 4МБ13

Алгоритм выполнения

1. Т.к. ответ требуется дать в метрах, то l тоже необходимо перевести в метры.
2. Числовые данные подставляем в формулу для s.
3. Производим умножение.

Решение:

l=50 см=0,5 м

Если l=0,5 n=1600, то s=0,5·1600=800 (м)

Ответ:800

Вариант 4МБ14

Закон Гука можно записать в виде F=kx, где F – сила (в ньютонах), с которой растягивают пружину, х – абсолютное удлинение пружины (в метрах), а k – коэффициент упругости. Пользуясь этой формулой, найдите х (в метрах), если F=51 Н и k=3 Н/м.

Алгоритм выполнения

1. Из приведенной в условии формулы выражаем искомое удлинение х.
2. В полученную формулу подставляем данные в условии числовые величины.
3. Делаем вычисление.

Решение:

Искомое удлинение x находим как частное – F/k, так как x множитель.

Подставляя значения, получаем:

Вариант 4МБ15

Алгоритм выполнения

1. Подставляем в формулу приведенные в условии соответствующие числовые данные.
2. Производим вычисления. Делаем это оптимальным способом: сначала находим I², потом умножаем полученное число на значение для t, и уже затем множим это произведение на значение для R.

Если I=2 А, R=13 Ом, t=5 с, то А=2²·13·5=4·13·5=(4·5)·13=20·13=260 (Дж)

Вариант 4МБ16

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле , где n – количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите n, если ∑=15π.

Алгоритм выполнения

1. Преобразовываем формулу и выражаем из нее искомое n.
2. Подставляем в полученное уравнение формулу ∑=15π.
3. Выполняем сокращение на π. Находим конечный результат.

15π/π +2 = 17

Вариант 4МБ17

Среднее геометрическое трех чисел a, b и c вычисляется по формуле . Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 4, 27.

Алгоритм выполнения

1. Подставляем в формулу числовые данные из условия.
2. В подкоренном выражении представляем 4 как 2², а 27 как 3³.
3. Произведение 2·2² представляем как 2³. Получаем две степени с показателем 3.
4. Выносим степени из-под куб.корня. Получаем произведение оснований этих степеней. Вычисляем произведение.

Решение:

2 при умножении на 4 дает 2 в кубе, а 27 – это три в кубе. По свойству корней избавляемся от кубического корня и степеней для 2 и 3 поочередно (просто сокращая корень на степень), а затем выполняем умножение 2 на 3 – получаем 6.

Вариант 4МБ18

Площадь треугольника вычисляется по формуле , где b и c – две стороны треугольника, а α – угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если b=18, c=16 и sinα=1/3.

Алгоритм выполнения

1. Подставляем в формулу приведенные в условии числовые данные.
2. Заводим 18 и 16 в числитель, получаем дробь с числителем и знаменателем в виде произведений, соответственно, чисел 18, 16 и 2,3.
3. Сокращаем 18 и 3 на 3, а 16 и 2 на 2. Получаем в знаменателе 1, а в числителе произведение 6 и 8. Находим это произведение.

Задачи на проценты

В задании №3 ЕГЭ по математике нам предстоит решить простую задачу на проценты или часть от целого. Данные задачи в большинстве случаев интуитивно понятны, так как взяты из реальных жизненных ситуаций, тем не менее необходимо быть внимательным при их выполнении.

Тематика заданий: часть от целого, доли, проценты

Бал: 1 из 20

Сложность задания: ◊

Разбор типовых вариантов заданий №3 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 3МБ1

Банк начисляет на срочный вклад 8% годовых. Вкладчик положил на счёт 7000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.

• Вариант 2.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

Решение:

• Вариант 1.

Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.

Вычислим 108% от 7000, получим:

1. 7000 : 100 = 70(рублей) – составит 1 %.
2. 70 · 108 = 7560(рублей) – составит вклад через год.

• Вариант 2.

Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь(разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.

108% = 108 : 100 = 1,08

7000 · 1,08 или

Выполнив умножение столбиком, имеем:

Вариант 3МБ2

Банк начисляет на срочный вклад 7 % годовых. Вкладчик положил на счёт 3000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.

• Вариант 2.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

Решение:

• Вариант 1.

Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.

Вычислим 107% от 3000, получим:

1. 3000 : 100 = 30(рублей) – составит 1 %.
2. 30 · 107 = 3210(рублей) – составит вклад через год.

• Вариант 2.

Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь (разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.

107% = 107 : 100 = 1,07

3000 · 1,07 или

Вариант 3МБ3

В сентябре 1 кг слив стоил 40 рублей, в октябре сливы подорожали на 40%, а в ноябре ещё на 15%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в ноябре?

Алгоритм выполнения:

1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.

Решение с пояснениями:

Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:

40 : 100 = 0,4 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.

Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.

100 + 40 = 140 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

140 · 0,4 = 56 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.

Найдем стоимость 1% от новой стоимости.

56 : 100 = 0,56 (рубля) – 1% от новой стоимости.

Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.

100 + 15 = 115 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

115 · 0,56 = 64,4 (рубля) – конечная стоимость.

Решение в общем виде:

Подорожание на 40% означает увеличение стоимости на 140%, то есть, 40 рублей становятся равными

 рублей.

Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 15%, что составило

 рублей.

Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 40+15=55% и вычислять 155% от 40 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.

Вариант 3МБ4

В сентябре 1 кг винограда стоил 90 рублей, в октябре виноград подорожал на 20 %, а в ноябре ещё на 25 %. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Алгоритм выполнения:

1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.

Подробный разбор:

Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:

90 : 100 = 0,9 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.

Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.

100 + 20 = 120 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

120 · 0,9 = 108 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.

Найдем стоимость 1% от новой стоимости.

108 : 100 = 1,08 (рубля) – 1% от новой стоимости.

Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.

100 + 25 = 125 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

125 · 1,08 = 135 (рублей) – конечная стоимость.

Решение в общем виде:

Подорожание на 20% означает увеличение стоимости на 120%, то есть, для 90 рублей имеем:

 рублей.

Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 25%, что составило

 рублей.

Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 20+25=45% и вычислять 145% от 90 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.

Вариант 3МБ5

Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доход физических лиц в размере 13 %. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

1. Вычесть из 100% налог в процентах.
2. Найти 1% от начальной суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.

• Вариант 2.

1. Вычесть из 100% налог в процентах.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

Решение:

• Вариант 1.

Вычтем из 100% налог в процентах.

100 – 13 = 87 (%) – получит Иван Кузьмич после вычета налога.

Найдем 1 % от начальной суммы.

20000 : 100 = 200 (рублей) – составит 1%.

Найдем 87% от 20000.

87 · 200 = 17400 (рублей) – получит Иван Кузьмич.

• Вариант 2.

Вычтем из 100% налог в процентах. 100 – 13 = 87 (%)

Полученные проценты переведем в десятичную дробь (разделить на сто). 87 : 100 = 0,87

Найдем процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

20000 · 0,87 = 17400 (рублей)

Ответ: 17400 рублей получит Иван Кузьмич.

Вариант 3МБ6

Решение:

Нам известно, что количество учеников, сдававших ЕГЭ по физике равно 25, и это составляет 1/3 от общего числа выпускников. Значит 25 – это 1/3, тогда общее число учеников:

25 • 3 = 75

Количество учеников, не сдававших ЕГЭ по физике, равно:

75 – 25 = 50

Ответ: 50

Вариант 3МБ7

Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена стоимость футболки?

Алгоритм выполнения

1. От 800 отнимаем 680. Узнаем, сколько рублей составило снижение.
2. Делим результат вычитания на 800. Это даст нам долю, которую составляет скидка от первоначальной стоимости.
3. Полученное число умножаем на 100. Получаем снижение в процентах.

Решение:

800 – 680 = 120 (руб.) – составляет снижение

120 : 800 = 0,15 – доля скидки

0,15 ·100 = 15 %

Ответ: 15

Вариант 3МБ8

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько составляет 5% от стоимости мебели. Для этого 3500 делит на 100 и умножаем на 5.
2. К 3500 прибавляем полученное число.

Решение:

3500 : 100 · 5 = 175 (руб.) – стоимость сборки мебели

3500 + 175 = 3675 (руб.) стоит мебель со сборкой

Ответ: 3675

Вариант 3МБ9

Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 840 рублей. Сколько рублей стоит товар до распродажи?

Алгоритм выполнения

1. От 100 % вычитаем 40%, чтобы найти, сколько процентов составляет уцененная стоимость. Получим 60 %.
2. Воспользуемся правилом нахождения целого по его части. Для этого 840 разделим на 60 и умножим на 100.

Решение:

100 – 40 = 60 % – составляет цена товара после его уценки.

840 : 60 · 100 = 1400 (руб.)

1400

Вариант 3МБ10

Магазин делает пенсионерам скидку. Батон хлеба стоит в магазине 15 рублей, а пенсионер заплатил за него 14 рублей 40 копеек (грандиозная скидка – прим. ред. 😉 ) Сколько процентов составила скидка для пенсионера?

Алгоритм выполнения

1. От 15 руб. отнимаем 14 руб.40 коп. Так найдем сумму скидки. Выразим эту сумму в рублях.
2. Полученное число разделим на 15 и умножим на 100 %.

Решение:

15 руб. – 14 руб.40 коп. = 60 коп. = 0,6 руб.

0,6 : 15 ·100 % = 4 %.

Ответ: 4

Вариант 3МБ11

Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 93:7. Других деревьев в парке нет. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

Алгоритм выполнения

1. Суммируем 93 и 7, чтобы найти общее кол-во деревьев в парке.
2. Кол-во лиственных деревьев (7) делим на общее кол-во деревьев и умножаем на 100 %.

Решение:

93 + 7 = 100 (шт.) – деревьев всего в парке.

7 : 100 ·100 = 7 %

Ответ: 7

Вариант 3МБ12

Городской бюджет составляет 48 млн. рублей, а расходы на одну из его статей составили 40%. Сколько миллионов рублей потрачены на эту статью бюджета?

Алгоритм выполнения

Нужно применить правило нахождения части от целого по ее проценту. Для этого целое делится на 100 и умножается на кол-во процентов.

Решение:

48 : 100 · 40 = 19,2 (млн.руб.)

Ответ: 19,2

Вариант 3МБ13

Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 1800 рублей. В июне он стал стоить 1530 рублей. На сколько процентов снизилась цена мобильного телефона в период с февраля по июнь?

Алгоритм выполнения

1. Из 1800 вычитаем 1530. Определяем, сколько рублей составила скидка.
2. Полученное число делим на первоначальную цену и умножаем на 100 %.

Решение:

1800 – 1530 = 270 (руб.) – скидка

270 : 1800 · 100 = 15 %

Ответ: 15

Вариант 3МБ14

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 10%, во второй – на 25%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1600 рублей?

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько (в руб.) составляет 10 % от стоимости чайника. Для этого 1600 делим на 100 и умножаем на 10.
2. От первоначальной стоимости отнимаем сумму скидки, составляющей 10 %.
3. Полученную цену со скидкой делим на 100 и умножаем на 25. Так найдем величину скидки (в руб.) после второго снижения цены.
4. От числа, полученного в п.2 отнимаем число, полученное в п.3.

Решение:

1600 : 100 · 10 = 160 (руб.) – составляет скидка в 10 %

1600 – 160 = 1440 (руб.) – стал стоить чайник после понижения цены на 10 %

1440 : 100 · 25 = 360 (руб.) составляет скидка в 25 %

1440 – 360 = 1080 (руб.)

Ответ: 1080

Вариант 3МБ15

Магазин детских товаров закупает погремушки по оптовой цене 110 рублей за одну штуку и продает с наценкой 30%. Сколько рублей будут стоить 4 такие погремушки, купленные в этом магазине?

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько рублей составляет наценка в 30 %. Для этого закупочную стоимость делим на 100 и умножаем на 30.
2. К закупочной стоимости прибавляет сумму наценки.
3. Полученное число умножаем на 4.

Решение:

110 : 100 · 30 = 33 (руб.) – равна наценка

110 + 33 = 143 (руб.) – стоит погремушка в магазине

143 · 4 = 572 (руб.) – стоят 4 погремушки

Ответ: 572

Вариант 3МБ16

Число больных гриппом в школе уменьшилось за месяц в два раза. На сколько процентов уменьшилось число больных гриппом?

Алгоритм выполнения

1. Обозначим число больных через х. Тогда кол-во больных через месяц станет равным х/2.
2. х/2 делим на х и умножаем на 100 %. Так найдем кол-во процентов, которое составит число больных через месяц по отношению к первоначальному их кол-ву. В процессе вычисления х сократится.

Решение:

х / 2 : х · 100 % = х / 2· 1 / х· 100 % =1 / 2 · 100 % = 0,5 · 100 % = 50 %

Ответ: 50