Задание 8 егэ по математике профильный уровень — текстовые задачи
Прототипы задания №8 ЕГЭ по математике профильного уровня — текстовые задачи. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.
Для успешного выполнения задания №8 необходимо уметь строить и исследовать простейшие математические модели.
Практика
Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 2.1, 2.2
Уровень сложности задания — повышенный.
Максимальный балл за выполнение задания — 1
Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 7
Примеры заданий:
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Связанные страницы:
Задача 1
Свежие подосиновики содержат $78%$ воды, а сушёные — $12%$. Сколько килограммов свежих подосиновиков требуется для получения $3$ кг сушёных грибов?
Решение
Предположим, что подосиновики состоят из воды и «сухого остатка». В сушёных грибах содержится 100% — 12% = 88% «сухого остатка», в свежих — 100% — 78% = 22% «сухого остатка». В 3 кг сушёных грибов содержится 3 · 0.88 = 2,64 кг «сухого остатка», в свежих грибах, из которых приготовили сушёные, этого остатка было столько же, но в процентах это составляет уже 22%.
Если 2.64 кг — это 22%, то 100% это 2.64 : 0,22 = 12 кг. Требуется 12 килограммов свежих подосиновиков.
Ответ: 12
Задача 13
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $84$ км/ч, проезжает мимо здания вокзала, длина которого равна $250$ метров, за $2$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.
Задача 4
Теплоход в 6:00 вышел из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $204$ км по реке от пункта $A$. Пробыв в пункте $B$ 2 часа 20 минут, теплоход отправился назад и вернулся в пункт отправления в 20:00 того же дня. Найдите скорость течения, если собственная скорость теплохода равна $35$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задача 5
От продовольственного склада до супермаркета, расстояние между которыми $240$ км, с постоянной скоростью выехала фура. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на $20$ км/ч больше прежней. По дороге фура сделала остановку на 2 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь до супермаркета. Найдите скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета через $x$ км/ч, тогда путь $240$ км она проедет за ${240}/{x}$ ч. Скорость фуры на обратном пути равна $(x 20)$ км/ч, таким образом, время, затраченное на обратный путь, равно ${240}/{x 20}$ ч. Составим и решим уравнение: ${240}/{x} — {240}/{x 20} = 2, 240 · 20 = 2x(x 20), x^2 20x — 2400 = 0, x_1 = 40, x_2 = -60$.
Скорость $-60$ км/ч не удовлетворяет условию, поэтому скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета равна $40$ км/ч.
Ответ: 40
Задача 6
От замка А к замку В, расстояние между которыми $20$ км, одновременно вылетели два почтовых голубя. Известно, что за час первый голубь пролетает на $20$ км меньше, чем второй. Найдите скорость второго голубя, если он прилетел в замок В на $ 5$ минут раньше первого голубя. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Обозначим скорость второго голубя через $x$ км/ч, тогда по условию скорость первого голубя $(x — 20)$ км/ч. Время, затраченное на полёт первым голубем, равно ${20}/{x — 20}$ ч. Время, затраченное на полёт вторым голубем, равно ${20}/{x}$ ч.
Составим и решим уравнение: ${20}/{x — 20} — {20}/{x} = {5}/{60}, {4}/{x — 20} — {4}/{x} = {1}/{60}, 4x — 4(x — 20) = {x(x — 20)}/{60}, x^2 — 20x — 4800 = 0, x_1 = 80, x_2 = -60$.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость второго голубя $80$ км/ч.
Ответ: 80
Задача 7
Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы вдвое, а если бы зарплата жены сократилась впятеро, то общий доход семьи сократился бы на $ 32%$. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет стипендия их сына-студента?
Задача 9
В сентябре в магазине продали товаров на $585000$ рублей. В октябре сумма продаж возросла на $8%$, а в ноябре — на $10%$ по сравнению с октябрём. На сколько рублей продал магазин товаров в ноябре?
Решение
Обозначим скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета через $x$ км/ч, тогда путь $240$ км она проедет за ${240}/{x}$ ч. Скорость фуры на обратном пути равна $(x 20)$ км/ч, таким образом, время, затраченное на обратный путь, равно ${240}/{x 20}$ ч. Составим и решим уравнение: ${240}/{x} — {240}/{x 20} = 2, 240 · 20 = 2x(x 20), x^2 20x — 2400 = 0, x_1 = 40, x_2 = -60$.
Скорость $-60$ км/ч не удовлетворяет условию, поэтому скорость фуры по пути от продовольственного склада до супермаркета равна $40$ км/ч.
Ответ: 40
