Задание №20 ЕГЭ по математике базового уровня ⋆ СПАДИЛО

Муниципальная научно – практическая конференция

молодых исследователей «Шаг в будущее»

«Задачи на смекалку в ЕГЭ по математике»

Автор

Колядина Валерия Александровна,

учащаяся 10 класса МКОУ «Верхнелуговатская СОШ»

Верхнехавского района Воронежской области

Руководитель

Черных Татьяна Владимировна,

учитель математики МКОУ «Верхнелуговатская СОШ»

Верхнехавского района Воронежской области

2022

Аннотация

Данная исследовательская работа посвящена задачам на смекалку из открытого банка заданий на сайте ФИПИ. ЕГЭ по математике – это обязательный экзамен для всех школьников, поэтому необходимо уметь решать такие задачи. Просматривая разделы открытого банка заданий на сайте ФИПИ, были выбраны все задачи на смекалку. После их распределения на группы удалось составить сборник задач – прототипов. Он поможет выпускникам подготовиться  к экзамену по математике, а также может использоваться на уроках математики и на практикумах. Отрабатывая навык решения различных видов задач на смекалку, можно хорошо подготовиться к ЕГЭ по математике.

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………….4

1. Основное содержание работы…………………………………………………………….6

1.  Что такое задача…………………………………………………..…………………6
2.  Виды задач……………………………………………………………………………6
3.  Способы решения задач…………………………………………………………….6

2.  Практическая часть……………………………………………………………………….7

1.  Виды задач на смекалку ……………………………………………………………7
2.  Решение задач……………………………………………………………………….7
3. Эксперимент………………………………………………………………………..17

Заключение…………………………………………………………….………………………..18

Список литературы……………………………………………………………………………..19

Приложение…………………………………………………………………………………….20

Введение.

Каждый ученик мечтает хорошо окончить школу, выбрать профессию, которая будет приносить ему радость и определенный заработок. Он, конечно же, знает, что в школьном возрасте нужно хорошо освоить весь школьный материал для того, чтобы, имея прочные знания получить необходимые баллы для поступления в желаемый ВУЗ. Это является сложной задачей. Школьники решают упражнения  из открытых банков заданий, размещенных на сайте «Федеральный институт педагогических измерений», изучают кимы прошлых лет, прорешивают типовые экзаменационные варианты, составленные разными авторами. Это нужно все для того, чтобы справиться с волнением перед экзаменом, так как страх появляется всегда от неизвестности. Я учусь в 10 классе и в этом году начала готовиться  к ЕГЭ. В связи с изменениями, которые в этом году коснулись математики, выпускникам придется выбирать уровень сдачи экзамена. Для получения аттестата достаточно будет сдать математику на базовом уровне, а чтобы поступить в ВУЗ на техническую специальность математику нужно будет сдавать на профильном уровне. Большинство заданий базовой математики у меня не вызывают затруднений, но некоторые заставляют задуматься. Я решила основательно подойти к подготовке к экзамену подробнее рассмотреть последнее 20 задание базового уровня математики. Поэтому тема моей исследовательской работы «Задачи на смекалку в ЕГЭ по математике».

Актуальность. ЕГЭ по математике – это обязательный экзамен для всех школьников. Баллы, полученные на экзамене, решают судьбу выпускника. Определяют, где он будет в будущем учиться, какую специальность получит. Поэтому, я считаю выбранную тему актуальной. Во-первых, я таким образом подготовлюсь к предстоящему экзамену, а во-вторых, решая математические задачи, мы развиваем свои умственные способности, свое мышление, тренируем память, учимся обобщать и делать выводы.

Проблема. Научиться решать «задачи на смекалку».

Объект исследования: математические задачи.

Предмет исследования: задачи на смекалку из открытого банка заданий на сайте ФИПИ.

Цель: исследовать задачи на смекалку открытого банка заданий на сайте ФИПИ.

Задачи:

1. Изучить классификацию математических задач;
2. Исследовать  способы решения задач на смекалку;
3. Научиться решать задачи на смекалку;
4. Разработать сборник задач для подготовки к ЕГЭ, который поможет научиться решать  задачи на смекалку.

Гипотеза: Если изучить все задачи на смекалку из открытого банка заданий, то можно научиться их решать.

Методы исследования:

1. Изучение литературы и других источников информации.
2. Опрос.
3. Анализ и синтез.
4. Эксперимент.

Теоретическая значимость моей исследовательской работы заключается в том, чтобы рассмотреть и обобщить все задачи на смекалку, которые мы можем встретить на экзамене.

Практическая значимость работы состоит в том, что отрабатывая навык решения задач на смекалку, можно хорошо подготовиться к ЕГЭ по математике. Данную работу можно будет использовать на практикуме «Подготовка к ЕГЭ по математике».

1. Основная часть

1. Теоретическая часть

Что такое задача?

Задачи в математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи определяет, насколько ученик обучен и развит. Научиться решать математические задачи очень важно, так как, зная подходы к решению математических задач, мы тем самым обучаемся взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и жизни вообще. Задача — это проблемная ситуация (вопрос), которая требует решения посредством использования определённых умений, знаний, размышлений. Это цель, которая находится в рамках проблемной ситуации, что необходимо достичь, а также условие и требование.

2.  Виды задач, решаемые в курсе математики.

По характеру объектов:

По отношению к теории:

По характеру требований:

1.  Способы решения задач.

2. Практическая часть

1. Виды задач на смекалку.

 Перед началом исследования я провела опрос среди учащихся 10-11 классов с целью выяснения количества выпускников сдающих ЕГЭ по математике на базовом уровне. В 10 классе выбрали базовый уровень 2 ученика (из 4) и  в 11 классе тоже  2 ученика (из 6). Поэтому считаю необходимым рассмотрение данной темы.

При решении 20 задания базового уровня предмета «Математика» проверяется умение строить и исследовать простейшие математические модели. Перебирая все задания из открытого банка на сайте ФИПИ, я насчитала 142 задачи на смекалку. Я их собрала в следующие группы:

1. Про улитку.
2. Про кузнечика.
3. Обменный пункт.
4. Про палку.
5. Бензоколонки.
6. Грибы в корзине.
7. Маша и медведь.
8. Викторина.
9. Глобус.
10. Прямоугольники.
11. Про колодец.
12. Про дом:

 1) Сколько этажей,

2) На каком этаже живет Саша,

3) Сколько человек живет в доме.

13. Про ленту.
14. Про таблицу.
15. Про игру.
16. Договор о дружбе.
17. Итоговая оценка.
18. Про натуральные числа.
19. Про два множителя.
20. О среднем арифметическом.
21. О восьми столбах.
22. О выпавших листах.

1.  Решения задач.

При решении задач я использовала разные методы. Некоторые задачи легко решались арифметическим методом,  путем рассуждения, другие – удобнее было решать арифметическим методом, составляя  уравнение.

1. Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?

   Решение. За день улитка заползает на 2 метра, а за ночь сползает на 1. Итого, она заползает на 1 метр за сутки. Через 7 дней она окажется на высоте 7 метров. И на восьмой день она заползёт на вершину дерева.

   Ответ: 8.

2. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, 
   в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 8 прыжков?

   Решение. Кузнечик может оказаться  только в точках с чётными координатами, потому что число прыжков, которое он делает, — чётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает восьми. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках:-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 и 8. То есть всего 9 точек.

   Ответ: 9.

3. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

         Решение.

4 золотых = 5 серебряных 1 медная

8 серебряных = 5 золотых 1 медная

        Так как не появилось золотых монет, то нам необходима схема обмена без золотых монет. Поэтому количество золотых монет должно быть равным в обоих случаях. Нам надо найти наименьшее общее кратное чисел 4 и 5, и привести наше золото в обоих случаях к нему:

20 золотых = 25 серебряных 5 медных

32 серебряных = 20 золотых 4 медных.

 Или

32 серебряных = 25 серебряных 5 медных 4 медных, то есть

32 серебряных = 25 серебряных 9 медных.

Получили схему обмена минуя золотые монеты, теперь, зная количество медных монет, нужно найти сколько раз такая операция выполнялась  45 : 9 = 5. И. наконец, получаем:

160 серебряных = 125 серебряных 45 медных.

Подставив, и получив конечный обмен, мы найдем какое количество серебра было поменяно. Значит — количество уменьшилось на 160 – 125 = 35.

Ответ: 35.

4. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если 
   по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

         Решение. Каждый распил увеличивает количество кусков на один. То есть всего 4 красные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. То есть вместе 20 линий. А кусков получится 21.

Ответ: 21.

5. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 55 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 20 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).

Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Решение. Прочитав задачу, заметим, что окружность разбита на три дуги АВ, ВГ И ГА. Найдем длину всей окружности, 50 40 20 = 70. Расставим все точки на окружности  согласно условию и определим нужное расстояние: БВ = АБ – АВ = 55 – 50 = 5 или БВ = (АГ ГВ) – АБ = (20 40) – 55 = 5.

Ответ: 5.

6.  В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Решение. Всего  — 40 грибов(грузди и рыжики). Рассмотрим условия: среди любых 17 грибов  имеется хотя бы один рыжик, значит, минимум 1 рыжик  есть в данном условии, следовательно (17 — 1) = 16 — это минимум груздей. Среди любых 25 грибов  — хотя бы один груздь, рассуждая аналогично, (25 — 1) = 24  – это минимум рыжиков. Теперь делаем проверку: 16 24 = 40, то есть мы получили общее количество грибов. Значит, в корзине именно 24 рыжика и 16 груздей.

Ответ: 24.

7. Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Решение. Так как варенье и Маша и Медведь съели поровну и при этом Медведь ел варенье в 3 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 3 раза дольше, чем Медведь (такую же половину). Тогда получается, что Медведь ел печенья в 3 раза дольше Маши и к тому же ел их в 3 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 3∙3=9 печений, съеденных Медведем. В сумме эти печенья составляют 1 9=10 и таких сумм в 100 печеньях ровно 100:10 = 10. Значит, Маша съела 10 печений, а Медведь 9∙10=90.

Ответ: 90.

8. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 70 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Решение. Пусть x — количество правильных ответов, y — количество неправильных ответов (причем y≥1, т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и z — количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение: 

x y z=33.

Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный списывали 12 очков, а если не отвечал, то давали 0 очков. То можно составить уравнение: 7x −12y 0z = 70 (т.к. ученик набрал 70 баллов). Из второго уравнения получим:

-12y = 70 — 7x, -12y = 7(10-7x).

Т.к. правая часть уравнения (70−7x) делится на 7, то и левая часть (−12y) должна делиться на 7. Предположим, что y = 7, тогда получим: 

−12⋅7=70−7x; -84 = 70 -7x, 7x = 154, x = 22. Подставим x в первое уравнение: 

22 7 z = 33, z = 4. 

Предположим, что y=14, тогда получим:

−12⋅14=70−7x; -168 = 70 — 7x, 7x= 238, x = 34 — противоречит, т.к. всего 33 вопроса. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал 22 верных ответа.

Ответ: 22.

9. На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей 
   и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Решение. Семнадцать параллелей разделили глобус на 18 частей, следовательно, 18 · 24 = 432 — на столько частей разделят глобус 17 параллелей и 24 меридиана.

Ответ: 432.

10. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке.

Площадь верхнего левого прямоугольника равна 12, поэтому ас = 12, аналогично, bc = 18, db=30.  При помощи полученной системы уравнений выразим значение ad:

 Из третьего уравнения получаем: ad = 20,  следовательно, искомая площадь равна 20.

Ответ: 20.

11. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?

Решение. Из условия, понимаем, что последовательность цен за каждый выкопанный метр является арифметической прогрессией с первым членом a1 = 4300 и разностью d = 1300, n = 9.

Подставляя эти данные в  формулу для суммы получаем:

S9 = ((2*4300 1300(9-1)/2)*11=((8600 10400)/2)*11=13800*11=104500.

Ответ: 104500.

12.  1). Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 455 квартир?

Решение. Число квартир, этажей и подъездов может быть только целым числом. Заметим, что число 455 делится на 5, 7 и 13. Следовательно, в доме должно быть 5 подъездов, 7 квартир и 13 этажей.

Ответ: 13.

2). Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде 
в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение. Предположим число квартир на этаже 4. Тогда на подъезд 12*4=48 квартир. В семи подъездах 48*7=336 квартир. По сравнению с 468 это мало. Предположим число квартир на этаже 6. Тогда на подъезд 12*6=72 квартир. В семи подъездах 72*7=504 квартиры. По сравнению с 468 это много. Предположим число квартир на этаже 5. Тогда на подъезд 12*5=60 квартир. В семи подъездах 60*7=420 квартир. По сравнению с 468 это в самый раз 468-420=48 квартир 48:5 = 9 и 3 в остатке. Таким образом, Сашина квартира на 10 этаже.

Ответ: 10.

3).  В доме всего восемнадцать квартир с номерами от 1 до 18. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах 
с 1-й по 13-ю включительно живёт суммарно 15 человек, а в квартирах 
с 11-й по 18-ю включительно живёт суммарно 20 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Решение.  Так как в квартирах с 1-й по 13 –ю включительно проживает всего 15 человек, то только в 2 из них может проживать 2 человека (15-13 =2). В квартирах 11, 12, 13 точно живут по 1 человеку  и могут быть еще размещения 1 1 1, 1 2 2, 2 2 1, 2 1 2. В оставшихся квартирах с 14 – ю по 18 – ю включительно (5 квартир) может проживать 20 — (1 1 1) =17 человек или 20 — (1 2 2) = 15 человек. Подходит только последний вариант размещения, потому что 15 :5 =3 – все оставшиеся квартиры имеют по 3 жильца. Значит, в квартирах с 1 –ю по 13 – ю проживают 15 человек, а с14 –й по 18 –ю – тоже 15 человек. Всего 15 15=30.

Ответ: 30.

13. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

Решение. Пусть a – расстояние от начала ленты до синей полоски;  b – расстояние между синей и красной полоской;  c – расстояние от красной полоски и до конца ленты.

При разрезании по красной полоске, часть ленты (a b) будет длиннее c на 35 см, то есть, имеем уравнение: (a b) — c = 35. При разрезании по синей полоске часть (b c) будет длиннее a на 5 см, то есть, (b c) — a = 5. Получаем следующую систему уравнений:

Сложим эти уравнения, получим:   . То есть, расстояние между полосками равно 20 см.

Ответ. 20.

14. 1)  Клетки таблицы 7×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Решение. Ниже на рисунке представлена таблица 7х5 клеток с отмеченными характерными клетками.

Из рисунка видно, что угловые клетки (красные) имеют по 2 соседа, а всего таких клеток 4, то есть, получаем число пар, равное 2∙4 = 8. Боковые клетки (синие) имеют по 3 пары и таких клеток в таблице 16, а пар 16∙3 = 48. Наконец, все остальные клетки (зеленые) имеют по 4 пары. Таких клеток 15, а пар 15∙4 = 60. Таким образом, имеем всего 8 48 60 = 116 пар. В приведенных расчетах все пары взяты дважды (так как мы брали все клетки подряд). На рисунке ниже для одной зеленой клетки показана пара, взятая дважды (см. черный кружок и зеленый не закрашенный квадрат).

Поэтому, число уникальных пар, равно 116:2 = 58.

По условию задания пар соседних клеток разного цвета 27, а пар соседних клеток чёрного цвета 21, следовательно, пар соседних клеток белого цвета, ровно 58-27-21 = 10. Ответ: 10.

2) В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?

Решение. Вычислим сумму натуральных чисел во всей таблице, для этого нужно сложить суммы чисел во всех столбцах: 103 97 93 = 293. Теперь найдем диапазон, в котором лежит число строк таблицы. Для этого разделим сумму чисел в таблице на сумму чисел в строке. Поскольку сумма чисел в строке больше 21, но меньше 24, она может быть равна 22 или 23. Если сумма в строке равна 22, то: 293 / 22 ≈ 13,3. Если сумма чисел в строке равна 23, то: 293 / 23 ≈ 12,7 Получается, что число строк в таблице лежит в диапазоне от 12,7 и 13,3. Единственное целое число, лежащее в данном диапазоне, равно 13.

Ответ: 13.

15.  Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий сыграл Лёша?

Решение. Больше всех партий сыграл Коля, следовательно, было сыграно не менее 23 партий. В одной из первых двух партий должен был участвовать Миша, значит, было сыграно не более 2*11 1 = 23 партии. Значит, Коля участвовал в каждой сыгранной партии. Таким образом, Лёша сыграл 23 − 11 = 12 партий.

 Ответ: 12.

16. Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

Решение. Всего было подписей 7⋅3 3⋅7=21 21=42. 
У одного договора две подписи, значит, всего было подписано 42:2=21 договор. 
Ответ: 21.

17. В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному 
    из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 1590. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 
    4,5 — до 5; а 2,8 — до 3.)

Решение.  Представим число 1590 в виде произведения 5 множителей (так как всего оценок 5). Заметим, что 1590 делится на 10: 1590= 159*(2*5), видим, что  159 делится на 3, то есть 159 = 3*53. Тогда имеем 1590 = 2*5*3*53, то есть оценки у Пети  были 2, 5, 3, 5, и 3. Найдем среднее арифметическое этих оценок (2 5 3 5  3) : 5 = 3,6. Значит, оценка в четверти у Пети 4.

Ответ:4.

18. Про натуральные числа AA, BB и СС известно, что каждое из них больше 5, 
    но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на AA, потом прибавили к полученному произведению BB и вычли СС. Получилось 172. Какое число было загадано?

Решение.  Числа А, В, С могут быть равны 6, 7 или 8. Пусть загадали число Х, тогда ХА – В С = 172, ХА = 172 (В – С). Рассмотрим различные случаи.

1. (В – С) = 0 (6 — 6  = 0, 7 – 7 = 0, 8 – 8 = 0) ХА = 172 0 = 172. Число 172 не делится нацело на 6, 7 и 8, значит, этот случай не подходит.
2. (В – С)  = 1 (7 – 6 = 1 или 8 – 7 = 1) . тогда АХ = 172 1 = 173. Число 173 не делится нацело на 6, 7 и 8, значит, этот случай не подходит.
3. (В – С)  = -1 (6 – 7 = -1 или 7 – 8 = -1) . тогда АХ = 172 (-1) = 171. Число 171 не делится нацело на 6, 7 и 8, значит, этот случай не подходит.
4. (В – С)  = 2 (8 – 6 = 2) . тогда АХ = 172 2 = 174. Число 174  делится нацело на 6, значит, А = 6, Х = 174 : 6 = 29.

Ответ: 2.

19.  Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 11. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 2?

Решение: Пусть первый сомножитель равен a, а второй b, их произведение равно ab. При увеличении этих сомножителей на 1 их произведение возрастает на 11, то есть,

 (а 1)(в 1) = ав 11, ав а в 1 – ав = 11, а в = 10.

Теперь вычислим, на сколько увеличится произведение, если сомножители увеличить на 2:

(а 2)(в 2) – ав = ав 2а 2в 4 – ав = 2 (а в) 4 = 2* 10 4 = 24.

Ответ: 24.

20. Среднее арифметическое восьми различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?

Решение: Пусть а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8 — первые 8 натуральных чисел. По условию задания

,

тогда сумма первых 8 чисел, равна:

S8 = 13*8 = 104.

При добавлении восьмого числа a9 среднее арифметическое этих чисел равно 14, то есть, , откуда  .

Ответ: 22.

21. Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

Решение. От каждого столба отходит по 6 проводов, следовательно всего будет  соединений. Заметим, что каждые два столба связаны одним проводом, поэтому между этими восемью столбами будет протянуто всего  проводов.

Ответ: 28.

22. Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 298, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Решение. Из числа 298 можно составить числа 289, 829, 892, 928 и 982. Число 289 не подходит, поскольку оно меньше числа 298. Номер первой страницы после выпавших листов должен быть нечётным, поскольку номер последней страницы перед выпавшими листами чётный. Следовательно, нам подходит только число 829. Вычтем из числа 829 одну страницу, поскольку страница 829 не выпала, а является первой страницей после выпавших листов. Теперь можно найти количество выпавших листов: 

Ответ: 265.

2.  Эксперимент.

26 февраля в 55 регионах России проходила акция  «Единый день сдачи ЕГЭ родителями». Она призвана помочь выпускникам и их родителям снять лишнее напряжение, связанное  с подготовкой к ЕГЭ, лучше познакомить общественность с экзаменационной процедурой. Мы тоже приняли участие в акции,  провели ЕГЭ для родителей выпускников.  Принимали участие 6 родителей. Им было предложен вариант по математике базового уровня сложности (Приложение 2). Как видим из таблиц, родители хорошо справились с заданием, средний балл составил – 4,2. Причем половина  из них справились с заданиями на смекалку.

Заключение.

Моя работа может быть использована на уроках математики и во внеклассной работе. Считаю, что проделанная работа помогла мне расширить знания по математике. Я научилась решать задачи на смекалку, а это поможет мне не только в подготовке и сдаче ЕГЭ по математике, но и в жизни. Решая математические задачи, мы развиваем свои умственные способности, свое мышление, тренируем память, учимся обобщать и делать выводы. Рассмотрев все задачи на смекалку на сайте ФИПИ, я составила сборник задач- прототипов. Считаю, что это будет полезно выпускникам, которые готовятся к экзамену (Приложение1).

Проводя исследование среди родителей, убедилась, что экзамена по математике не стоит бояться. С ним справляются легко даже родители, которые уже давно учились в школе. Еще раз убедилась, в необходимости уметь решать математические задачи, так как способы и подходы к решению нужны каждому взрослому человеку.

Список использованной литературы

1. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.
2. Фридман Л. М. Как научиться решать задачи. – М.: Просвещение, 1989.
3. Перельман Я. И. занимательная алгебра. Занимательная геометрия. – М.: АСТ,2006.
4. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.
5. Ященко И. В. Типовые экзаменационные варианты. Математика. Базовый уровень. 30 вариантов. – М.: Национальное образование, 2022.
6. Федеральный институт педагогических измерений:  http://www.fipi.ru/

Приложение 1.

Сборник задач для подготовки к ЕГЭ по математике (базовый уровень) задачи №20.

1.  Про улитку.

1. Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
2. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева 
   от его основания?
3. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 11 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
4. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 12 м. За сколько дней улитка доползёт от основания 
   до вершины дерева?
5. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 14 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
6. Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 11 м. За сколько дней улитка доползёт от основания 
   до вершины дерева?
7. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева 
   от его основания?
8. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 11 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева 
   от его основания?
9. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 12 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева 
   от его основания?
10. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
11. Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
12. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт от основания 
    до вершины дерева?

2.  Про кузнечика.

1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, 
   в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 8 прыжков?
2. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 4 прыжка, начиная прыгать из начала координат?
3. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 12 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
4. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 10 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
5. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 9 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
6. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
7. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 12 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
8. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 11 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
9. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
   на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
   на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
   ровно 10 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
10. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
    на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
    на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
    ровно 9 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
11. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
    на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
    на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
    ровно 11 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
12. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
    на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек 
    на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав 
    ровно 5 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
13. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении 
    на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, 
    в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 7 прыжков?

3.  Обменный пункт.

1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

2. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

3. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

4. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную;

·        за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 60 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

5. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 5 золотых монет получить 6 серебряных и одну медную;

·        за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 55 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

6.  В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

·        за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

7. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

·        за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

8. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

·        за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

9. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;

·        за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

10.  В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

·        за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;

·        за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых 
не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

4.  Про палку.

1. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
2. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 11 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
3. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
4. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 8 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
5. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
6. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым — 13 кусков, а если по зелёным — 5 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
7. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
8. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 10 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
9. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 10 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
10. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 8 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

5.  Бензоколонки.

1. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 55 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 20 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
2. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
3. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 40 км, между А и В — 25 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
4. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
5. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
6. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 35 км, между А и В — 15 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
7. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
8. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
9. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

6.  Грибы в корзине.

1. В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
2. В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
3. В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
4. В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
5. В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
6. В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
7. В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 
   11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

7.  Маша и медведь.

1. Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
2. Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
3. Маша и Медведь съели 51 печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
4. Маша и Медведь съели 85 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

8.  Викторина.

1. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 70 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
2. Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
3. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
4. Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
5. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 
   13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

9.  Глобус.

1. На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей 
   и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
2. На поверхности глобуса фломастером проведены 24 параллели 
   и 17 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

3. На поверхности глобуса фломастером проведены 16 параллелей 
   и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
4. На поверхности глобуса фломастером проведены 18 параллелей 
   и 16 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
5. На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей 
   и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
6. На поверхности глобуса фломастером проведены 20 параллелей 
   и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
7. На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
8. На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
9. На поверхности глобуса фломастером проведены 14 параллелей 
   и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
10. На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

10.  Прямоугольники.

1. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

2. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего 
   и далее по часовой стрелке, равны 13, 14 и 12. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

3. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 12 и 24. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

4. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего 
   и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

5. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 15 и 20. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

6. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего 
   и далее по часовой стрелке, равны 17, 15 и 18. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

11.  Про колодец.

1. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 
   11 метров?
2. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?
3. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 
   8 метров?
4. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4100 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 7 метров?
5. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 
   9 метров?
6. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4000 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 7 метров?
7. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3600 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1400 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 8 метров?
8. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3900 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1200 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 6 метров?
9. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?
10.  Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 10 метров?
11.  Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3800 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1500 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 6 метров?

12.  Про дом.

1. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 455 квартир?
2. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?
3. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 357 квартир?
4. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 357 квартир?
5.  Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 105 квартир?
6. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 114 квартир?
7. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде 
   в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
   что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
8. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде 
   в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
9. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде 
   в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
   что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинаются с единицы.)
10.  Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде 
    в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинаются с единицы.)
11. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде 
    в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
    что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
12.   Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде 
    в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, 
    что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинаются с единицы.)
13.   Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинаются с единицы.)
14.  В доме всего восемнадцать квартир с номерами от 1 до 18. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах 
    с 1-й по 13-ю включительно живёт суммарно 15 человек, а в квартирах 
    с 11-й по 18-ю включительно живёт суммарно 20 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?
15.  В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах 
    с 1-й по 10-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах 
    с 7-й по 14-ю включительно живёт суммарно 18 человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?
16.   В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах 
    с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в квартирах 
    с 6-й по 14-ю включительно живёт суммарно 22 человека. Сколько всего человек живёт в этом доме?

13.  Про ленту.

1. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками
2. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 15 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 75 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.
3. На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 10 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 40 см длиннее другой. Найдите расстояние  (в сантиметрах) между красной и синей полосками.
4.  На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 75 см длиннее другой. Найдите расстояние  (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

14.  Про таблицу.

1. Клетки таблицы 7×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 27 пар соседних клеток разного цвета и 21 пара соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
2. Клетки таблицы 5×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 14 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
3. Клетки таблицы 6×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 26 пар соседних клеток разного цвета и 6 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
4. Клетки таблицы 4×5 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 15 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
5. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?
6.   В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце 
   равна 119, во втором — 125, в третьем — 133, а сумма чисел в каждой строке больше 15, но меньше 18. Сколько всего строк в таблице?
7. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 93, во втором — 107, в третьем — 123, а сумма чисел в каждой строке больше 19, но меньше 22. Сколько всего строк в таблице?
8.  В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 85, во втором — 77, в третьем — 71, а сумма чисел в каждой строке больше 12, но меньше 15. Сколько всего строк в таблице?
9. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 49, во втором — 97, в третьем — 146, а сумма чисел в каждой строке больше 18, но меньше 21. Сколько всего строк в таблице?

15.  Про игру.

1. Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий сыграл Лёша?
2. Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 13 партий, а Коля — 27. Сколько партий сыграл Лёша?
3. Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 9 партий, а Коля — 19. Сколько партий сыграл Лёша?

16.  О дружбе.

1. Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?
2. Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?
3. Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?
4. Из десяти стран две подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся восьми — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

17.  Итоговая оценка.

1. В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному 
   из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 1590. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 — до 5; а 2,8 — до 3.)
2. В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному 
   из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 414. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, 3,2 округляется до 3; 4,5 — до 5; а 2,8 — до 3.)

18.  Про натуральные числа.

1. Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 5, 
   но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 172. Какое число было загадано?
2. Про натуральные числа A, B  и С известно, что каждое из них больше 4, 
   но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С.  Получилось 165. Какое число было загадано?

19.  Про множители.

1. Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 11. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 2?
2. Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 3. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

20. О среднем арифметическом.

1. Среднее арифметическое восьми различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?

21. О восьми столбах.

1. Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

22.  О выпавших листах.

1. Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 298, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Приложение 2. Результаты ЕГЭ по математике (базовый уровень), написанный родителями.