Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика ЕГЭ

Алгоритм решения:

  1. Рассматриваем второе уравнения, устанавливаем, что является его графиком.
  2. Определяем условие единственности решения.
  3. Находим расстояние между центрами, определяем значения параметра.
  4. Записываем ответ.

Второй вариант (из ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнениеhttp://self-edu.ru/htm/2022/ege2022_36/files/1_18.files/image001.gifимеет ровно один корень.

[/su_note]

Задание 18 егэ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

а) Да. Например, на доске может быть написано шесть чисел 7, 8, 9, 10, 11, 12.

б) Заметим, что среди написанных чисел только одно число может быть больше 11, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, больших 11, больше 140. Аналогично среди написанных чисел только одно число может быть меньше 8, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, меньших 8, меньше 50. Таким образом, помимо наименьшего и наибольшего чисел, на доске могут быть написаны только числа 8, 9, 10, 11. Следовательно, на доске не может быть более шести чисел.

в) Пусть на доске написаны числа $a_1 , a_2 , a_3 , a_4$ , причём $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$. Тогда для выполнения условий задачи достаточно, чтобы выполнялись неравенства $a_1 · a_2 > 50, a_3 · a_4 < 140$.

В пункте «б» было доказано $8 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ 11$. Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $a_2 = 8, a_3 = 9$, то $8a_1 > 50, 9a_4 < 140$, получаем $a_1 = 7, 10 ≤ a_4 ≤ 15$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 7, a_4 = 15, 7 8 9 15 = 39$.

2. Если $a_2 = 9, a_3 = 10$, то $9a_1 > 50, 10a_4 < 140$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 8, 11 ≤ a_4 ≤ 13$. В этом случае, наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 8, a_4 = 13, 8 9 10 13 = 40$.

3. Если $a_2 = 10, a_3 = 11$, то $10a_1 > 50, 11a_4 < 140$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 9, a_4 ≤ 12$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 9$ и $a_4 = 12, 9 10 11 12 = 42$.

4. Если $a_2 = 8, a_3 = 10$, то $8a_1 > 50, 10a_4 < 140$, получаем $a_1 = 7, 11 ≤ a_4 ≤ 13$. В этом случае, наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 7, a_4 = 13, 7 8 10 13 = 38$.

Про ЕГЭ:  Сочинение-рассуждение «Мое понимание патриотизма»

5. Если $a_2 = 8, a_3 = 11$, то $8a_1 > 50 a_4 = 12$, получаем $a_1 = 7, a_4 = 12$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы $7 8 11 12 = 38$.

6. Если $a_2 = 9, a_3 = 11$, то $9a_1 > 50, a_4 = 12$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 8, a_4 = 12$.

В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 8, a_4 = 12, 8 9 11 12 = 40$.

Таким образом, наибольшее значение суммы равно $42$.

Задачи с параметром в егэ по математике. задания 18 профильного егэ (часть 2)

Блок 1. Введение

Блок 2. Координатно-параметрический метод

Блок 3. Преобразование графиков

Блок 4. Системы с параметром

Блок 5. Квадратичная функция

5.1Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2 ax 1}{x^2 x 1}| lt 3 выполняется при всех значениях xСмотреть видеоразбор
5.2При каких значениях p вершины парабол y=-x^2 2px 3 и y=x^2-6px p расположены по разные стороны от оси x?Смотреть видеоразбор
5.3Найти все значения a, при каждом из которых f(x)=x^2-|x-a^2|-5x имеет хотя бы одну точку максимумаСмотреть видеоразбор
5.4Найдите все значения параметра a при каждом из которых множество значений функции y=frac{3x 3-2ax}{x^2 2(2a 1)x 4a^2 4a 2} содержит отрезок [0;1]Смотреть видеоразбор
5.5Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{5a-15x ax}{x^2-2ax a^2 25} содержит отрезок [0;1]Смотреть видеоразбор
5.6Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2 x-2a}{x a}-1| le 2 не имеет решений на интервале (1;2)Смотреть видеоразбор
5.7Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение frac{a^3-(x 2)a^2 xa x^2}{a x} = 0 имеет ровно один кореньdQwQ&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.7″>Смотреть видеоразбор
5.8Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{cos{x}-a}{cos{2x}-4}содержит число −2Смотреть видеоразбор
5.9Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (4cos{x}-3-a)cos{x}-2,5cos{2x} 1,5=0 имеет хотя бы один корень7:EWQT&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.9″>Смотреть видеоразбор
5.10Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4^{|x|}=frac{7a}{a-5}cdot 2^{|x|}-frac{12a 17}{a-5} имеет ровно два различных корняPQvXCTARj<0=&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.10″>Смотреть видеоразбор
5.11Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства frac{a-(a^2-2a-3)cos{x} 4}{sin^2{x} a^2 1} lt 1 содержит отрезок [-frac{pi}{3}; frac{pi}{2}]Смотреть видеоразбор

Блок 6. Расположение корней квадратного уравнения

Блок 7. Аналитический метод

Блок 8. Функциональные методы

8.1Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2 (a 7)^2=|x-7-a| |x a 7| имеет единственный кореньСмотреть видеоразбор
8.2Найти все значения параметра a, при каждом из которых система begin{cases} ax^2 4ax-8y 6a 28 le 0 \ ax^2-6ay-8x 11a-12 le 0 end{cases} имеет ровно одно решениеU4z`8W0H&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.2″>Смотреть видеоразбор
8.3Найдите все значения параметра alpha из интервала (0; pi), при каждом из которых система begin{cases} x^2 y^2-4(x y)sin{alpha} 8sin^2{alpha} = 2sin{alpha}-1 \ frac{x}{y} frac{y}{x} = 2sin{alpha} 4sin^2{alpha} end{cases} имеет единственное решениеСмотреть видеоразбор
8.4Найдите все неотрицательные значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства 1 le frac{2a x^2-4log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a 9)}{5sqrt{18x^4 7x^2} 2a 4 (log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a 9))} состоит из одной точки и найти это решение.3?CQDaR9zdo`oB&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.4″>Смотреть видеоразбор
8.5Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 8x^6 (a-|x|)^3 2x^2-|x| a=0 имеет более трёх различных решений.K7s^0O&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.5″>Смотреть видеоразбор
8.6Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^10 (a-2|x|)^5 x^2-2|x| a=0 имеет более трёх различных решений.Смотреть видеоразбор
8.7Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 64x^6-(a-3x)^3 4x^2 3x=a имеет более одного корня.Смотреть видеоразбор
8.8Найти все значения параметра a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y , удовлетворяющих неравенству 5|x-2| 3|x a| le sqrt{4-y^2} 7Смотреть видеоразбор
8.9Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (log_7(2x 2a)-log_7(2x-2a))^2-8a(log_7(2x 2a)-log_7(2x-2a)) 12a^2 8a-4 имеет ровно два корня.Смотреть видеоразбор
8.10Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a^2-10a 5sqrt{x^2 25}=4|x-5a|-8|x| имеет хотя бы один кореньСмотреть видеоразбор
8.11Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a 2)^2 cdot log_3(2x-x^2) (3x-1)^2 cdot log_{11}(1-frac{x^2}{2})=0 имеет решениеСмотреть видеоразбор
8.12При каких значениях параметра a уравнение ax^6=e^x имеет одно положительное решение?6dKGGa90EN&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.12″>Смотреть видеоразбор
Про ЕГЭ:  Конспект урока русского языка 11 класс &quot; Культура речи. Подготовка к ЕГЭ&quot; | План-конспект урока по русскому языку (11 класс) на тему: | Образовательная социальная сеть

Блок 9. Разные задачи с параметром

9.1Найти все значения параметра a, при которых уравнение sqrt{1-(x^2-4x-a^2 2a 3)^6} sqrt{1 (x^2-4x-a^2 2a 3)^6} = 2 имеет только один положительный кореньСмотреть видеоразбор
9.2Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение f(x)=2x^3-3ax^2 5 на отрезке, заданном неравенством |x-2| le 1, не меньше, чем −3Смотреть видеоразбор
9.3Найдите все значения параметра b , при каждом из которых для любого a неравенство (x-a-2b)^2 (y-3a-b)^2 lt frac{1}{2} имеет хотя бы одно целочисленное решение (x, y).p0VQVIg@02IUB6K4U6&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №9.3″>Смотреть видеоразбор
9.4Найти все a, при каждом из которых уравнение sqrt{a-9cos^4{x}}=sin^2{x} имеет решениеСмотреть видеоразбор
9.5Найдите наибольшее целое значение a, при котором уравнение 3x^2-12x 3a 9=4sin{frac{4x-x^2-a-3}{2}} cdot cos{frac{x^2-2x-a-1}{2}} имеет ровно два различных решенияСмотреть видеоразбор
9.6Найдите все целые отрицательные значения параметра a, при каждом из которых существует такое действительное число b>a, что неравенство 21b ge 6|a b|-3|b-2|-|a-b|-9|a^2-b 2| 16 не выполненоСмотреть видеоразбор

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение:

  • (|x|–5)2 (y–4)2=4
  • (x–2)2 y2=a2

[/su_note]

Рекомендации по подготовке к выполнению задания №18 — 4егэ

Задача, связанная со свойствами делимости целых чисел, логическим перебором.

Задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учащихся. Для того чтобы продвинуться в его решении, не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки стандарта математического образования, однако необходимо проявить определённый уровень математической культуры, логического мышления, который формируется при решении задач профильного уровня на протяжении всего обучения в школе. Ответ на первый вопрос задачи по силам большинству успевающих учеников, главное здесь — не испугаться условия, дочитать его до конца и немного подумать.

Про ЕГЭ:  Демоверсия ЕГЭ русский язык 2019 ФИПИ

Успешность решения задания 18 (ранее 21 или 19) в ЕГЭ 2022-2020 гг.

Доля выпускников, приступивших к выполнению этого задания вариантов ЕГЭ в 2022—2021 гг., в среднем составляет 12—15% от общего числа сдающих. В таблице указан процент выпускников, получивших в разные годы за выполнение этого задания от 1 до 4 баллов.
Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Общность всех формулировок заданий №18 последних лет

С 2022 года вариант ЕГЭ по математике содержит четырёхбалльное задание С7 (в этом году №18) олимпиадного характера. Большую долю среди задач, уже использованных в вариантах экзамена, составляют задачи на последовательности (чисел, ходов, наборов чисел и т.д.)

Характерной особенностью подобных задач является исследование элементов заданной последовательности следующего вида:

а) на наличие элемента, обладающего заданным свойством;
б) подсчёт количества элементов, обладающих заданным свойством;
в) оценка (наибольшего или наименьшего значения) либо количества элементов, обладающих заданным свойством, либо некоторой числовой характеристики заданных элементов;
г) приведение примера, подтверждающего полученную оценку (подразумевается, но в условии не формулируется!).

zadanie_18m.pdf
Пособие по теме.

Решение:

Данное уравнение равносильно виду:

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Рассматриваем случай:

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

 при условии

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Получаем

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

.

При этом значении х условие принимает

видЗадание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Отсюда

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Имеем в данном случае:

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

 при

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

.

Рассмотрим теперь случай:

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

,

при этом

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

.

Решаем уравнение. Получаем:

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Отсюда

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

.

Условие

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

принимает вид:

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Следовательно, получается

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

. То есть

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

 при

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

.

Корни

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

 равны между собой, если

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

.

Таким образом, уравнение имеет только один корень если

Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практикаОтвет:Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практикаОтвет:Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Оцените статью
ЕГЭ Live