Задание 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

ЕГЭ

Алгоритм решения:

  1. Рассматриваем второе уравнения, устанавливаем, что является его графиком.
  2. Определяем условие единственности решения.
  3. Находим расстояние между центрами, определяем значения параметра.
  4. Записываем ответ.

Второй вариант (из ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнениеhttp://self-edu.ru/htm/2022/ege2022_36/files/1_18.files/image001.gifимеет ровно один корень.

[/su_note]

Задание 18 егэ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

а) Да. Например, на доске может быть написано шесть чисел 7, 8, 9, 10, 11, 12.

б) Заметим, что среди написанных чисел только одно число может быть больше 11, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, больших 11, больше 140. Аналогично среди написанных чисел только одно число может быть меньше 8, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, меньших 8, меньше 50. Таким образом, помимо наименьшего и наибольшего чисел, на доске могут быть написаны только числа 8, 9, 10, 11. Следовательно, на доске не может быть более шести чисел.

в) Пусть на доске написаны числа $a_1 , a_2 , a_3 , a_4$ , причём $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$. Тогда для выполнения условий задачи достаточно, чтобы выполнялись неравенства $a_1 · a_2 > 50, a_3 · a_4 < 140$.

В пункте «б» было доказано $8 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ 11$. Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $a_2 = 8, a_3 = 9$, то $8a_1 > 50, 9a_4 < 140$, получаем $a_1 = 7, 10 ≤ a_4 ≤ 15$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 7, a_4 = 15, 7 8 9 15 = 39$.

2. Если $a_2 = 9, a_3 = 10$, то $9a_1 > 50, 10a_4 < 140$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 8, 11 ≤ a_4 ≤ 13$. В этом случае, наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 8, a_4 = 13, 8 9 10 13 = 40$.

3. Если $a_2 = 10, a_3 = 11$, то $10a_1 > 50, 11a_4 < 140$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 9, a_4 ≤ 12$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 9$ и $a_4 = 12, 9 10 11 12 = 42$.

4. Если $a_2 = 8, a_3 = 10$, то $8a_1 > 50, 10a_4 < 140$, получаем $a_1 = 7, 11 ≤ a_4 ≤ 13$. В этом случае, наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 7, a_4 = 13, 7 8 10 13 = 38$.

5. Если $a_2 = 8, a_3 = 11$, то $8a_1 > 50 a_4 = 12$, получаем $a_1 = 7, a_4 = 12$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы $7 8 11 12 = 38$.

6. Если $a_2 = 9, a_3 = 11$, то $9a_1 > 50, a_4 = 12$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 8, a_4 = 12$.

В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 8, a_4 = 12, 8 9 11 12 = 40$.

Таким образом, наибольшее значение суммы равно $42$.

Задачи с параметром в егэ по математике. задания 18 профильного егэ (часть 2)

Блок 1. Введение

Блок 2. Координатно-параметрический метод

Блок 3. Преобразование графиков

Блок 4. Системы с параметром

Блок 5. Квадратичная функция

5.1 Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2 ax 1}{x^2 x 1}| lt 3 выполняется при всех значениях x Смотреть видеоразбор
5.2 При каких значениях p вершины парабол y=-x^2 2px 3 и y=x^2-6px p расположены по разные стороны от оси x? Смотреть видеоразбор
5.3 Найти все значения a, при каждом из которых f(x)=x^2-|x-a^2|-5x имеет хотя бы одну точку максимума Смотреть видеоразбор
5.4 Найдите все значения параметра a при каждом из которых множество значений функции y=frac{3x 3-2ax}{x^2 2(2a 1)x 4a^2 4a 2} содержит отрезок [0;1] Смотреть видеоразбор
5.5 Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{5a-15x ax}{x^2-2ax a^2 25} содержит отрезок [0;1] Смотреть видеоразбор
5.6 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2 x-2a}{x a}-1| le 2 не имеет решений на интервале (1;2) Смотреть видеоразбор
5.7 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение frac{a^3-(x 2)a^2 xa x^2}{a x} = 0 имеет ровно один корень dQwQ&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.7″>Смотреть видеоразбор
5.8 Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{cos{x}-a}{cos{2x}-4}содержит число −2 Смотреть видеоразбор
5.9 Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (4cos{x}-3-a)cos{x}-2,5cos{2x} 1,5=0 имеет хотя бы один корень 7:EWQT&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.9″>Смотреть видеоразбор
5.10 Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4^{|x|}=frac{7a}{a-5}cdot 2^{|x|}-frac{12a 17}{a-5} имеет ровно два различных корня PQvXCTARj<0=&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.10″>Смотреть видеоразбор
5.11 Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства frac{a-(a^2-2a-3)cos{x} 4}{sin^2{x} a^2 1} lt 1 содержит отрезок [-frac{pi}{3}; frac{pi}{2}] Смотреть видеоразбор

Блок 6. Расположение корней квадратного уравнения

Блок 7. Аналитический метод

Блок 8. Функциональные методы

8.1 Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2 (a 7)^2=|x-7-a| |x a 7| имеет единственный корень Смотреть видеоразбор
8.2 Найти все значения параметра a, при каждом из которых система begin{cases} ax^2 4ax-8y 6a 28 le 0 \ ax^2-6ay-8x 11a-12 le 0 end{cases} имеет ровно одно решение U4z`8W0H&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.2″>Смотреть видеоразбор
8.3 Найдите все значения параметра alpha из интервала (0; pi), при каждом из которых система begin{cases} x^2 y^2-4(x y)sin{alpha} 8sin^2{alpha} = 2sin{alpha}-1 \ frac{x}{y} frac{y}{x} = 2sin{alpha} 4sin^2{alpha} end{cases} имеет единственное решение Смотреть видеоразбор
8.4 Найдите все неотрицательные значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства 1 le frac{2a x^2-4log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a 9)}{5sqrt{18x^4 7x^2} 2a 4 (log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a 9))} состоит из одной точки и найти это решение. 3?CQDaR9zdo`oB&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.4″>Смотреть видеоразбор
8.5 Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 8x^6 (a-|x|)^3 2x^2-|x| a=0 имеет более трёх различных решений. K7s^0O&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.5″>Смотреть видеоразбор
8.6 Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^10 (a-2|x|)^5 x^2-2|x| a=0 имеет более трёх различных решений. Смотреть видеоразбор
8.7 Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 64x^6-(a-3x)^3 4x^2 3x=a имеет более одного корня. Смотреть видеоразбор
8.8 Найти все значения параметра a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y , удовлетворяющих неравенству 5|x-2| 3|x a| le sqrt{4-y^2} 7 Смотреть видеоразбор
8.9 Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (log_7(2x 2a)-log_7(2x-2a))^2-8a(log_7(2x 2a)-log_7(2x-2a)) 12a^2 8a-4 имеет ровно два корня. Смотреть видеоразбор
8.10 Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a^2-10a 5sqrt{x^2 25}=4|x-5a|-8|x| имеет хотя бы один корень Смотреть видеоразбор
8.11 Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a 2)^2 cdot log_3(2x-x^2) (3x-1)^2 cdot log_{11}(1-frac{x^2}{2})=0 имеет решение Смотреть видеоразбор
8.12 При каких значениях параметра a уравнение ax^6=e^x имеет одно положительное решение? 6dKGGa90EN&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.12″>Смотреть видеоразбор

Блок 9. Разные задачи с параметром

9.1 Найти все значения параметра a, при которых уравнение sqrt{1-(x^2-4x-a^2 2a 3)^6} sqrt{1 (x^2-4x-a^2 2a 3)^6} = 2 имеет только один положительный корень Смотреть видеоразбор
9.2 Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение f(x)=2x^3-3ax^2 5 на отрезке, заданном неравенством |x-2| le 1, не меньше, чем −3 Смотреть видеоразбор
9.3 Найдите все значения параметра b , при каждом из которых для любого a неравенство (x-a-2b)^2 (y-3a-b)^2 lt frac{1}{2} имеет хотя бы одно целочисленное решение (x, y). p0VQVIg@02IUB6K4U6&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №9.3″>Смотреть видеоразбор
9.4 Найти все a, при каждом из которых уравнение sqrt{a-9cos^4{x}}=sin^2{x} имеет решение Смотреть видеоразбор
9.5 Найдите наибольшее целое значение a, при котором уравнение 3x^2-12x 3a 9=4sin{frac{4x-x^2-a-3}{2}} cdot cos{frac{x^2-2x-a-1}{2}} имеет ровно два различных решения Смотреть видеоразбор
9.6 Найдите все целые отрицательные значения параметра a, при каждом из которых существует такое действительное число b>a, что неравенство 21b ge 6|a b|-3|b-2|-|a-b|-9|a^2-b 2| 16 не выполнено Смотреть видеоразбор

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение:

  • (|x|–5)2 (y–4)2=4
  • (x–2)2 y2=a2

[/su_note]

Рекомендации по подготовке к выполнению задания №18 — 4егэ

Задача, связанная со свойствами делимости целых чисел, логическим перебором.

Задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учащихся. Для того чтобы продвинуться в его решении, не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки стандарта математического образования, однако необходимо проявить определённый уровень математической культуры, логического мышления, который формируется при решении задач профильного уровня на протяжении всего обучения в школе. Ответ на первый вопрос задачи по силам большинству успевающих учеников, главное здесь — не испугаться условия, дочитать его до конца и немного подумать.

Успешность решения задания 18 (ранее 21 или 19) в ЕГЭ 2022-2020 гг.

Доля выпускников, приступивших к выполнению этого задания вариантов ЕГЭ в 2022—2021 гг., в среднем составляет 12—15% от общего числа сдающих. В таблице указан процент выпускников, получивших в разные годы за выполнение этого задания от 1 до 4 баллов.

Общность всех формулировок заданий №18 последних лет

С 2022 года вариант ЕГЭ по математике содержит четырёхбалльное задание С7 (в этом году №18) олимпиадного характера. Большую долю среди задач, уже использованных в вариантах экзамена, составляют задачи на последовательности (чисел, ходов, наборов чисел и т.д.)

Характерной особенностью подобных задач является исследование элементов заданной последовательности следующего вида:

а) на наличие элемента, обладающего заданным свойством;
б) подсчёт количества элементов, обладающих заданным свойством;
в) оценка (наибольшего или наименьшего значения) либо количества элементов, обладающих заданным свойством, либо некоторой числовой характеристики заданных элементов;
г) приведение примера, подтверждающего полученную оценку (подразумевается, но в условии не формулируется!).

zadanie_18m.pdf
Пособие по теме.

Решение:

Данное уравнение равносильно виду:

Рассматриваем случай:

 при условии

Получаем

.

При этом значении х условие принимает

вид

Отсюда

Имеем в данном случае:

 при

.

Рассмотрим теперь случай:

,

при этом

.

Решаем уравнение. Получаем:

Отсюда

.

Условие

принимает вид:

Следовательно, получается

. То есть

 при

.

Корни

 равны между собой, если


.

Таким образом, уравнение имеет только один корень если

Ответ:Ответ:

Оцените статью
ЕГЭ Live