Алгоритм решения:
- Приравняем уравнения касательной и функции.
- Упрощаем полученное равенство.
- Находим дискриминант.
- Определяем параметр а, при котором решение единственное.
- Записываем ответ.
Второй вариант задания (из ященко, №4)
[su_note note_color=”#defae6″]
На рисунке изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
[/su_note]
Задача 1
Катер должен пересечь реку шириной $L = 50$ м и со скоростью течения $u =2$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = {L} / {u}ctgα$, где $α$ — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $α$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше $25$ с?
Задача 10
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_{п} = 15 ^°$C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой $T_{в} = 95 ^°$C. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0{,}3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$ м, вода охлаждается до температуры $T$, причём $x = α {cm} / {γ}log _2 {T_{в} — T_{п}} / {T — T_{п}}$, где $c = 4200{Вт⋅с} / {кг ⋅ °C!{}}$ — теплоёмкость воды, $γ = 35{Вт} / {м ⋅ °C!{}}$ — коэффициент теплообмена, а $α=2{,}5$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $180$ м.
Задача 12
Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 3{,}5 ⋅ 10^{-6}$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 18$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции $B$ которого лежит в той же плоскости и составляет угол $α$ с направлением движения шарика.
Значение индукции поля $B = 5 ⋅ 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_{л} = qvBsin α$ (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $α ∈[0°;180°]$ шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_{л}$ была не менее чем $3{,}15 ⋅ 10^{-7}$ Н? Ответ дайте в градусах.
Задача 13
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $υ= 8$ молей воздуха объёмом $V_1=80$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = α υ Tlog _2 {V_1} / {V_2}$, где $α=5{,}75$ $ {Дж} / {моль ⋅ К}$ — постоянная, а $T = 280$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $51520$ Дж.
Задача 14
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $125$ раз?
Задача 15
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $P$ (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = {4mg} / {π D^2}$, где $m = 2700$ кг — общая масса навеса и колонны, $D$ — диаметр колонны (в метрах).
Задача 16
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=2{,}25 8t — 4t^2$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?
Задача 2
Груз массой $0{,}6$ кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v=v_0sin {2π t} / {T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=24$ с — период колебаний, $v_0=1{,}4$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = {mv^2} / {2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через $2$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Задача 20
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле $F_A = ρgl^3$, где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ = 1000$ кг/м3 плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9.8$ Н/кг).
Задача 5
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 25$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $10$ до $80$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $100$ до $150$ см.
Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение ${1} / {d_1} {1} / {d_2} = {1} / {f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение
Из условия следует, что $d_1$ должно быть минимальным подходящим числом, таким что выполняется равенство ${1}/{d_1} {1}/{d_2} = {1}/{25}$. Так как $d_1 > 0$, то чем меньше $d_1$, тем больше ${1}/{d_1}$. Тогда нам нужно найти наибольшее значение ${1}/{d_1}$. Числа ${1}/{d_1}$ и ${1}/{d_2}$ положительны, их сумма равна ${1}/{25}$. Чем больше одно из указанных чисел, тем меньше другое. Найдём наименьшее значение ${1}/{d_2}$. Это значение равно ${1}/{150}$. В этом случае ${1}/{d_1} = {1}/{25} — {1}/{150} = {1}/{30} , d_1 = 30$. Число $30$ находится в пределах от $10$ до $80$, следовательно, это значение является ответом.
Ответ: 30
Задача 6
Два тела, массой $m=5$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=30$ м/с под углом $2α$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 sin^2 α$, где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с.
Задача 7
Плоский замкнутый контур площадью $S = 0{,}8$ м$^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $ϵ_{i} = aScos α$, где $α$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=7{,}5 ⋅ 10^{-5}$ Тл/с — постоянная, $S$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в $м^2$). При каком минимальном угле $α$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $3√ 3⋅10^{-5}$ В?
Задача 8
Рейтинг $R$ интернет-магазина книг вычисляется по формуле $R=r_{пок} — {r_{пок} — r_{экс}} / {(K 2)^m}$, где $m={0{,}05K} / {r_{пок} 4{,}5}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин.
Задача 9
Рейтинг $R$ интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле $R=r_{пок} — {r_{пок} — r_{экс}} / {(K 1)^m}$, где $m={0{,}03K} / {r_{пок} 0{,}9}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин.
Решение
Посчитаем $m$ по формуле $m={0{,}03K} / {r_{пок} 0{,}9}$. Получим
$m={0{,}03⋅ 80} / {3{,}9 0{,}9}=0{,}5$.
Тогда $R=r_{пок} — {r_{пок} — r_{экс}} / {(K 1)^m}=3{,}9 — {3{,}9 — 2{,}1} / {81^{0,5}}=3{,}9-{1{,}8} / {9}=3{,}7$.
Ответ: 3.7
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)
[su_note note_color=”#defae6″]
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
[/su_note]
Решение
Найдём высоту $h_1$, стоя на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км.
Решим уравнение $√ {{6400h_1} / {500}}=3{,}2$;
${64h_1} / {5}=3{,}2^2$;
$h_1={3{,}2^2⋅5} / {64}={3{,}2⋅5} / {20}=0{,}8$ (м).
Найдём высоту $h_2$, стоя на которой наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии $5{,}6$ км.
Решим уравнение: $√ {{6400h_2} / {500}}=5{,}6$;
${64h_2} / {5}=5{,}6^2$;
$h_2={5{,}6^2⋅5} / {8^2}=0{,}7^2⋅5=2{,}45$ (м).
Таким образом, наблюдателю надо подняться на $2{,}45-0{,}8=1{,}65$ (м).
Учитывая, что высота одной ступеньки равна $15$ см $= 0{,}15$ м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на ${1{,}65} / {0{,}15}={165} / {15}=11$ (ступенек).
Пояснение: часто в этой задаче путают размерность высот $h_1$ и $h_2$. Обратите внимание, что в условии в первом предложении указано, что высота наблюдателя над землей измеряется в метрах.
Ответ: 11
Решение:
1. Координаты точки касания удовлетворяют обоим уравнениям: касательной и функции. Поэтому мы можем приравнять уравнения. Получим:
2. Упрощаем равенство, перенеся все слагаемые в одну сторону:
3. В точке касания должно быть одно решение, поэтому дискриминант полученного уравнения должен равняться нулю. Таково условие единственности
корня
квадратного уравнения.
4. Получаем:
Ответ: 4.
Третий вариант задания (из ященко, №21)
[su_note note_color=”#defae6″]
Прямая
является касательной к графику функции
. Найдите а.
[/su_note]
