Алгоритм решения:
- Обозначаем неизвестные скорости переменными х и у.
- Составляем систему уравнений, исходя из условия.
- Выражаем х из одного уравнения системы через переменную у.
- Найденное выражение подставляем в другое уравнение системы и решаем получившееся уравнение.
- Записываем ответ.
Второй вариант задания
[su_note note_color=”#defae6″]
Расстояние между пристанями А и В равно 77 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 40 км.
Задание 11 егэ по математике профильного уровня 2023: теория и практика
Областью определения этой функции является интервал $(4; ∞)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций.
$y′ = {-8}/{2√x} {12}/{x — 4} = {-8(x — 4) 24√x}/{2√x(x — 4)} = {-4x 16 12√x}/{√x(x — 4)}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, -4x 16 12√x = 0$.
Сделаем замену $√x = t$ $(t > 2)$. Получим уравнение $-4t^2 12t 16 = 0; t^2 — 3t — 4 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем:
$t_{1,2} = {3± √{9 16}}/{2} = {3±2}/{5}$,
$t_1 = -1, t_2 = 4$.
$t = -1$ не удовлетворяет условию $t > 2$.
Уравнение $√x = 4$ имеет решение $x = 16$. Получили единственную стационарную точку $x = 16$, принадлежащую промежутку $(4; ∞)$.
При $x > 4$ знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = -4x 16 12√x$. Для определения её знака на интервале $(4; ∞)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $x = 16$, и другая, больше, чем $x = 16$.
$y_1 (9) = -4 · 9 16 12√9 = -36 16 36 > 0$, а $y_1 (25) = -4 · 25 16 12√25 = -100 16 60 < 0$.
3. Получаем, что производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через единственную экстремальную точку $x = 16$. Поэтому точка $x = 16$ будет точкой максимума.
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)
[su_note note_color=”#defae6″]
Весной катер идёт против течения реки в 1 2/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 3/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
[/su_note]
Решение:
1. Пусть скорость лодки равна х км/ч. Тогда ее скорость по течению равна х 4 км/ч, а против течения х – 4 км/ч.
2. Пока лодка шла из точки A к точке B и обратно, плот по течению реки проплыл 40 км. Скорость течения равна 4 км/ч, можно установить, сколько времени двигался плот: 40:4=10 ч. Лодка отправилась в путь на 1 ч позже: 10 – 1= 9 ч. Расстояние в 77 км в направлении течения моторная лодка проплыла за
ч, а против течения за
ч. Время, которое лодка была в движении туда и обратно равно 9 ч. Получаем уравнение:
Упрощаем полученное уравнение, и находим из него х:
77(х – 4) 77(х 4)=9(х 4)(х – 4)
77х – 77∙4 77х 77∙4 = 9 (х2 – 16)
154х – 9х2 9∙16
– 9х2 154х 144 = 0
9х2 – 154х – 144=0
https://www.youtube.com/watch?v=YTE4rzUqLwA
Решаем квадратное уравнение через дискриминант, получаем:
Скорость не может быть отрицательной, тогда второй
корень
не удовлетворяет условию. Получаем, что скорость моторной лодки равнялась 18 км/ч.
Ответ: 18.
Третий вариант задания (из ященко, №31)
[su_note note_color=”#defae6″]
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 30 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в километрах в час.
[/su_note]
