Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

ФОРМУЛА ПИКА

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

Формула Пика

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Отметим узлы:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Отметим узлы:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдём площадь трапеции:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Отметим узлы:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдём площадь многоугольника:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Отметим узлы:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Отметим узлы:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Ответ: 9,5

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Посмотреть решение

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Посмотреть решение

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Посмотреть решение

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Посмотреть решение

Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.

Рассмотрим подход оговоренный в статье «Площадь четырёхугольника. Универсальный способ«.

Найдём площадь фигуры:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Опишем около неё прямоугольник:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Ответ: 4,5

В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Здравствуйте! В этой статье мы разберём задачи на нахождение площади треугольника построенного на листке в клетку (масштаб клетки 1×1). Фигуры на листе в клетку с вычислением их площади — это целая группа типов задач входящая в экзамен по математике. Кроме треугольника рассматриваются следующие фигуры — трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат.

Решение заданий с треугольником труда не представляет, относятся они к простейшим. Для решения необходимо знать формулу площади треугольника и знать один приём, о котором я вам расскажу ниже.

Вообще, способов нахождения площади любой фигуры, построенной на листе в клетку существует более пяти. Все здесь рассматривать не будем, в интернете вы без труда найдёте их описание. Уверен, что тех рекомендаций, которые представлены будет вполне достаточно для решения.

Итак! Вам необходимо знать и понимать одну из основных формул площади треугольника, она наиболее часто используется при решении:

Площадь треугольника. Определение.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Длину основания и высоту считаем по клеткам. В задаче 27545 это наглядно показано. То есть, если перед вами задача, где треугольник построен именно таким образом, то считаем оговоренным способом. Например, рассмотрим треугольники:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

У всех этих треугольников можно по клеткам установить длину основания и высоту. У первого основание равно 3, высота 5; у второго основание 6, высота 2; у третьего основание 6, высота 2; у четвертого основание равно 3, высота 8; у пятого основание равно 6, высота 2. Подставив их в формулу, остаётся только вычислить площадь (без ошибки).

Есть задачи, в которых треугольники расположены так, что по клеткам длину основания и высоту посчитать неудобно (но можно), вот примеры:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

В задачах, где будут даны подобные треугольники, используйте способ, который по моему мнению универсален, его достоинство объясню в одной из следующих статей: «заключите» такой треугольник в прямоугольник, вычислите площадь прямоугольника, затем из его площади вычтите площади треугольников. Пример:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найти площадь треугольника, изображённого на рисунке:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Заключим данный треугольник в прямоугольник:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Теперь вычислим площадь прямоугольника. Уверен, всем известно, что она равна произведению его соседних сторон:

Далее из его площади вычитаем площади трёх треугольников:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Ответ: 26

Есть ещё подобные задачи, но в них иначе представлено условие. Также нужно найти площадь треугольника, он построен на координатной плоскости, например:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решения аналогичны: если можем установить длину основания и высоту треугольника по координатам, то далее площадь вычисляем просто по формуле: Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

В треугольнике на рисунке 1 этого сделать нельзя, поэтому советую построить данный треугольник по координатам на листе в клетку, и использовать уже рассмотренный нами метод, а именно описать около треугольника прямоугольник.

В будущем мы рассмотрим нахождения площадей параллелограммов, трапеций, четырёхугольников, элементов круга, а так же «сложных» фигур, не пропустите!

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь поверхности многогранника. В данной рубрике в опубликованных статьях Общий обзор. Формулы стереометрии и Что ещё необходимо знать для решения по стереометрии мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения.

В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.

В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.

Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.

Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности многогранника

Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Ещё задачи , , . В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться — что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.

Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Казалось бы, данные задачи можно вообще не рассматривать, они же просты и понятны. Но в их решении важна практика. Повторюсь, что ошибиться очень легко, попрактикуйтесь с подобными задачами и вы убедитесь.

рытом банке задач много примеров аналогичных задач (смотрите ). Договоритесь с одноклассниками решить одни и те же задачи, затем сверьтесь.

Мы продолжим рассматривать задачи данной части, не пропустите!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде известно, что известно, что BB_1=12,A_1B_1=21, AD=16. Найдите длину диагонали

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 2. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=15,\;AD=17,\;AA_1=8$ прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=15,\;AD=17,\;AA_1=8$ . Ответ дайте в градусах.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер известны длины рёбер AB=16,AD=12,AA_1=9. Найдите синус угла между прямыми и и A_1C_1.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 4. Площадь поверхности куба равна Найдите его диагональ.

Решение: + показать

Задача 5. Объем куба равен Найдите площадь его поверхности.

Решение: + показать

Задача 6. Диагональ куба равна $\sqrt{12}$ . Найдите его объем.

Решение: + показать

Задача 6. Объем куба равна $375\sqrt{3}$ . Найдите его диагональ.

Решение: + показать

Задача 7. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?

Решение: + показать

Задача 8. Если каждое ребро куба увеличить на , то его площадь поверхности увеличится на , то его площадь поверхности увеличится на 594. Найдите ребро куба.

Решение: + показать

Задача 9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в раза?

Решение: + показать

Задача 10. Объем одного куба в раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Решение: + показать

Задача 11. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и и Площадь поверхности этого параллелепипеда равна Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение: + показать

Задача 12. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Найдите ребро равновеликого ему куба.

Решение: + показать

Задача 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и и 18. Диагональ параллелепипеда равна Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 14. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна Ребро, перпендикулярное этой грани, равно Ребро, перпендикулярное этой грани, равно Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 15. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: известны длины рёбер: AB=15,AD=12, AA_1=16. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и и C_1.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 16. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $\sqrt8$ и образует углы $30^{\circ}$ и образует углы $30^{\circ}$ , $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ и $45^{\circ}$ с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 17. В прямоугольном параллелепипеде ребро ребро AB=2 , ребро $AD=\sqrt5$ , ребро , ребро AA_1=2 . Точка — середина ребра — середина ребра BB_1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки $A_1,\;D_1,\;K$ .

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 18. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна и образует с плоскостью этой грани угол и образует с плоскостью этой грани угол °. Найдите объем параллелепипеда.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 19. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 20. Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды , если объем треугольной пирамиды ABDA_1 равен

Решение: + показать

Задача 21. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 22. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 23. Объем параллелепипеда равен равен 2,7. Найдите объем треугольной пирамиды

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение: + показать

Задача 24. В кубе точка точка — середина ребра , точка , точка — середина ребра , точка , точка — середина ребра Найдите угол Найдите угол MKL . Ответ дайте в градусах.

Про ЕГЭ: Оптимальный способ подготовиться к ЕГЭ за один месяц

Решение: + показать

тест

Вы можете пройти тест

Содержание

Многогранники
Объемы различных многогранников:
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
Теорема Пифагора
Базовая информация
Занимайтесь с образовательным порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!
Решение задачи
Составные многогранники. Площадь поверхности. Объем
Задачи на вычисление площадей поверхности многогранников разных видов

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Объемы различных многогранников:

Призма $V=S_{осн}·h$
Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

Первый способ.

Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
Найти объем параллелепипеда.
Найти объем лишней части фигуры.
Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:

2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:

Его длина равна $9-4=5$

Ширина равна $4$

Высота равна $7$

3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Второй способ

Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
Найти объем каждого параллелепипеда.
Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

Площадь поверхности пирамиды

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), можете посмотреть.

В типовых заданиях, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами пока не встречал.

Кстати, на проекте youclever неплохой визуальный гид по пирамиде: с красивыми картинками, основными формулами и свойствами. Подходит тем, кто лучше воспринимает информацию визуально. Там весь учебник по геометрии такой — мало задач, но много понятных рисунков.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись формулой Герона:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

где φ — двугранный угол при основании

Отсюда площадь полной поверхности правильной пирамиды может быть найдена по формуле:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Еще одна формула боковой поверхности правильной пирамиды:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

P — периметр основания, l — апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны A и B, а объём параллелепипеда равен V. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

По объему и двум сторонам параллелепипеда можно получить его третью сторону:

280 / (8 ⋅ 5) = 7

Осталось найти площадь поверхности параллелепипеда. Для этого найдем площади всех граней параллелепипеда и сложим их:

S = 8 ⋅ 5 + 8 ⋅ 5 + 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 8 + 7 ⋅ 8 = 8 ⋅ 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 8 ⋅ 2 = 80 + 70 + 112 = 262

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

C = V / (A ⋅ B) – третья сторона параллелепипеда

S = (A ⋅ B + A ⋅ C + B ⋅ C) ⋅ 2

где V – объем параллелепипеда, A и B – стороны параллелепипеда.

Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.

Площадь поверхности куба считается как сумма шести площадей граней(квадратов), которые являются сторонами этого куба

Пусть ребро куба равно a, тогда площадь одной его грани a² а так как таких граней 6 штук, следовательно площадь всей поверхности куба равна:

Корень извлекать нет смысла, так как дальше нам понадобиться Теорема Пифагора

Найдем диагональ куба:

диагональ куба — это гипотенуза.
один катет равен а
второй катет — это диагональ основания куба, то есть квадрата со сторонами а, и равен

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Сфера – это множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки (называемой центром сферы).

Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Основные формулы (где – радиус сферы или шара):

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Имеются две сферы и , про которые известно, что радиус первой сферы в раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера целиком находится внутри сферы . Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен , а объём тела, заключённого между сферами, равен . Найдите (V : V_2).

Пусть – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус в два раза больше, чем радиус , то (V_1 : V_2 = .

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле , то

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле , то

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Таким образом, площадь сечения равна

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Рассмотрим : т.к. , то – трапеция. Так как и – образующие усечённого конуса, то (AB = CD) и трапеция – равнобедренная.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан шар, диаметр которого равен . Плоскость пересекает диаметр шара под углом и делит его точкой пересечения в отношении , считая от вершины . Найдите объем пирамиды с вершиной в точке , в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью .

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Пусть – центр шара, – точка пересечения и плоскости . Пусть – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью .

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задачи по стереометрии, в которых требуется произвести расчет объема сферы и измерение других неизвестных параметров, встречаются в ЕГЭ каждый год. Это означает, что знать основные формулы и уметь оперативно находить правильный ответ должны выпускники с разным уровнем подготовки. Понимая принцип решения задач ЕГЭ, в которых требуется вычислить объем или, к примеру, площадь сферы, старшеклассники смогут выполнять упражнения с любым количеством действий и при этом получить достаточно высокие баллы по итогам прохождения экзаменационного испытания.

Про ЕГЭ: Темы итогового сочинения 2019-2020

Базовая информация

Сферой называется поверхность, которая состоит из множества точек пространства. Все они располагаются на одинаковом расстоянии от точки О. Она является центром сферы.
Геометрическое тело, которое ограничено сферой, называется шаром. Его осевое сечение представляет собой круг. Радиус последнего равен радиусу шара.
Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в n2 раз, а объем — в n3 раз.

Занимайтесь с образовательным порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!

Проблема поиска необходимой информации встает перед старшеклассниками достаточно остро. Не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А поиск базовых формул для вычисления площади, объема шара и других неизвестных параметров бывает достаточно трудоемким даже в онлайн-режиме.

Наш образовательный проект поможет сэкономить время и эффективно подготовиться к сдаче экзаменационного испытания. Мы предлагаем учащимся и их преподавателям выстроить процесс подготовки к ЕГЭ от простого к сложному. Такой подход позволит старшеклассникам понять, какие темы требуют более детального изучения, и улучшить имеющиеся знания.

Базовая информация, которую стоит повторить еще до выполнения задач на нахождение объема шара, представлена в разделе «Теоретическая справка». Материал, подготовленный опытными преподавателями «Школково», поможет вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи ЕГЭ по теме «Шар» или, например, по теме «Цилиндр», не вызывали затруднений, мы предлагаем также потренироваться в выполнении соответствующих упражнений. Множество заданий разной степени сложности вы найдете в разделе «Каталог». Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения. Попрактиковавшись в режиме онлайн и поняв принцип нахождения правильного ответа, школьники смогут без труда вычислить объем сферы.

При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему.

Выполнять онлайн-задания на нахождение площади боковой сферы могут не только школьники из столицы, но и выпускники из других российских городов.

Найти площадь поверхности решу егэ

Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

Решение задачи

В данном уроке рассматривается пример решения задачи на определение площади поверхности многогранника. Для решения задачи, прежде всего, необходимо знать, что площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Так как все грани заданного многогранника — прямоугольники, то для нахождения площади каждой грани используется формула площади прямоугольника: $Найти площадь поверхности решу егэ$ , где $Найти площадь поверхности решу егэ$ и – длины двух смежных сторон прямоугольника. Для определения площади поверхности определяется сначала площадь поверхности спереди и сзади, затем площадь поверхности слева и справа и, наконец, сверху и снизу. Причем, следует учесть, что попарно площади этих поверхностей равны. Таким образом, сложив площади всех найденных поверхностей, определяется искомая площадь поверхности многогранника.

Приведенное решение можно использовать с целью успешной подготовки к ЕГЭ по математике, в частности при решении задач типа В10.

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $\frac{AD+BC}{2}=\frac{4+2}{2}=3.$

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Величина вписанного угла $\alpha$ равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна ${90}^{\circ}.$ Тогда $\angle \alpha =\frac{{90}^{\circ}}{2}={45}^{\circ}.$

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на $\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

$OB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

${\sin \alpha }={\sin \angle AOB}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$ Осталось умножить найденное значение синуса на $\frac{\sqrt{5}}{2}.$

$\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}=1$

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где $d_1$ , где Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность и $d_2$ — диагонали.

Получим:

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным $5$ . Высоты этих треугольников равны $2$ и $3$ . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: $S = 5 + 7,5 = 12,5$ .

Ответ: $12,5$ .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной $5$ и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: $S=25-5-5-4,5=10,5$ .

Ответ: $10,5$ .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером $4\times 4$ отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3.$

Площадь каждого из маленьких треугольников равна $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1.$

Тогда площадь четырехугольника $S= 16 - 2 - 2 - 1 - 1 - 3 - 3 = 4.$

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса $1$ , длина дуги которого равна $2$ .

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна $\pi R^2=\pi$ , так как $R=1$ . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна $2\pi R=2\pi$ (так как $R=1$ ), а длина дуги данного сектора равна $2$ , следовательно, длина дуги в $\pi$ раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в $\pi$ раз меньше, чем полный круг (то есть $360$ градусов). Значит, и площадь сектора будет в $\pi$ раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: $1$ .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще $\frac{1}{8}$ круга, то есть $\frac{3}{8}$ круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на $\frac{3}{8}$ . Получим:

$\frac{3}{8}\cdot 2,8 =1,05$

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна $\pi R^2$ , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в ${\frac{4}{3}}^2 = \frac{16}{9}$ раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда $a^2=S=20.$

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты $\left(1;7\right),\left(9;2\right),\left(9;4\right),\left(1;9\right).$

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь фигуры (треугольник, четырёхугольник, трапеция и др.) по клеточкам (клеткам).

Какие есть формулы?

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Есть способ, при котором надо воспользоваться формулой, основой которой будет понятие узла, узла внутреннего и узла внешнего. Узел это пересечение линий, образующих эти самые клеточки. Внешние узлы, это узлы, находящиеся на сторонах и вершинах геометрических фигур, площади которых нам надо найти. А внутренние узлы, это узлы внутри этих фигур. Клеточки у нас со сторонами равными одному сантиметру (1 см).

Формула, о которой идет речь, называется формула Пика.

Выглядит она вот так:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

И по ней очень просто посчитать площадь фигуры S. В этой формуле M это количество внешних узлов, N — количество внутренних узлов.

Приведем пример, возьмем геометрическую фигуру параллелограмм:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Внутренние узлы — синие — N — их у нас 20.

Внешние узлы — красные — М — их у нас 18 и их количество нам надо поделить на два, получится 18/2 = 9 узлов.

Складываем 9 + 20 и вычитаем единицу: 20 + 9 — 1 = 28 см².

Еще один пример:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

S = 14/2 + 43 — 1 = 49 см².

система выбрала этот ответ лучшим

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Ксарфакс
[156K]

6 лет назад

Допустим, у нас есть произвольная фигура, построенная на листе в клетку. Необходимо вычислить её площадь.

Площадь фигуры по клеточкам

Для того, чтобы найти площадь любой фигуры по клеточкам, можно использовать формулу Пика.

Данная формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе.

Узел — это точка, которая лежит на пересечении 2 линий данной сетки: вертикальных и горизонтальных.

Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле:

как найти площадь фигуры по клеточкам

N — количество узлов, которые находятся внутри фигуры.

M — количество узлов, которые находятся на границах (на вершинах и сторонах).

Примеры нахождения площади по клеточкам

1) Найдём площадь треугольника. Будем считать, что одна клетка — это 1 см.

Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах.

площадь фигуры по клеткам

N = 7 (внутренние).

M = 8 (узлы на границах).

Площадь треугольника S = 7 + 8/2 — 1 = 10 см².

2) Найдём площадь трапеции по клеточкам, одна клетка — это 1 см. Отметим все узлы и подсчитаем их количество.

площадь фигуры трапеции по клеточкам

N = 11 (внутренние).

M = 12 (узлы на границах).

Площадь трапеции S = 11 + 12/2 — 1 = 16 см².

3) Найдём площадь произвольного многоугольника. Одна клетка — это 1 см.

Отметим внутренние узлы и узлы, расположенные на границах фигуры. Подсчитаем их количество.

площадь фигуры многоугольника по клеткам

N = 6 (внутренние узлы).

M = 8 (узлы на границах).

Площадь многоугольника S = 6 + 10/2 — 1 = 10 см².

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Марина Вологда
[295K]

3 года назад

Такие задачи очень часто встречаются, когда известен размер клеточки и дана фигура.

Вот пример таких задач:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Решение зависит от того, какая фигура дана и как именно она размещена относительно клеточек.

Возьмем простой пример, необходимо вычислить площадь вот такого треугольника:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Вспоминаем правило:

Теперь считаем, сколько клеточек треугольник в длину и сколько в высоту. У нас получается 2 в высоту и 6 в длину.

Подставляем к формуле:

S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2.

Считаем по клеточкам, подставляя формулу Пика:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Целых клеточек у нас 3.

Теперь считаем, сколько не целых: 6. Делим их на 2.

S = 3 + 6:2 = 6 см2.

А теперь высчитываем по формуле Пика: количество узлов сетки внутри — 2, количество узлов сетки, лежащих на границах — 10.

Подставляем к формуле и получаем — 2 + 10:2 — 1 = 6 см2.

Теперь давайте рассмотрим вот такой треугольник:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Чтобы найти площадь, вспоминаем правило:

Считаем клеточки и подставляем в формулу:

S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2.

А теперь находим по клеточкам: целых клеточек 2, не целых клеточек 8. Подставляем в формулу: 2 + 8:2 = 6 см2.

Пробуем сделать по формуле Пика: количество узлов сетки внутри — 3, количество узлов сетки, лежащих на границах — 8.

Подставляем к формуле и получаем — 3 + 8:2 — 1 = 6 см2.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Enot-Nina
[110K]

3 года назад

Найти площадь геометрической фигуры можно самыми разными способами:

Самый простой вариант — это вручную посчитать клеточки — целые и половинки также поскладывать. Простой, хотя и не самый быстрый и может не самый точный способ, но он работает. Чтобы легче было считать, достаточно расчертить фигуру на более простые.

Есть еще один способ — это использовать давно разработанную формулу. Это так называемая формула Пика. Для нее нужно посчитать количество узлов — точек пересечения клеточек, что окружены фигурой (находятся внутри нее), а также подсчитать количество пограничных узлов — по контуру фигуры.

Вот на картинке наглядно показано, как ее можно применять, чтоб посчитать площадь любой фигуры по клеточкам:

Как посчитать площадь фигуры по клеточкам

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Бархатные лапки
[382K]

3 года назад

Площадь любого многоугольника можно посчитать по клеточкам. Для этого применяем формулу Пика. На нашем рисунке В — количество узловых клеточек внутри фигуры, Г — количество узлов на границе . Узлы — пересечение двух линий. многоугольника. Площадь равна S = В + Г/2 — 1 Считаем точки на рисунке и подставляем в формулу. — 10 + 7/2 -1 = 12,5.

Таким образом можно посчитать площадь, если вершины фигуры лежат в узлах.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Ann Luka
[2.8K]

6 лет назад

Чтобы найти площадь фигуры по клеточкам, нужно посчитать сколько в фигуре целых клеточек. Потом нужно посчитать сколько не целых и поделить их количество на 2. Добавить к получившемуся числу количество целых клеточек — это и будет правильный ответ.

Например. В треугольнике 3 целых клетки и 4 не целых. 3+4/2=5 пощадь треугольника 5 клеток.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Outline
[18.3K]

3 года назад

Для того, чтобы определить площадь фигуры на бумаге в клеточку есть универсальная формула Пика, позволяющая вычислить площадь изображения, но в только в том случае, если вершины искомой фигуры имеют целые (натуральные числа) координаты. Называется эта формула, в честь Георга Пика:

S=В + Г / 2 − 1

В этой формуле буквенные обозначения означают следующее:

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника;

Г — количество целочисленных точек на границе (вершинах и сторонах) многоугольника;

S – площадь фигуры.

Здесь используется понятие «целочисленные» – это те, точки, которые расположены на пересечениях сетки (в ее узлах).

Для примера, найдем площадь треугольника:

Треугольник

Обозначим внутренние точки нашей фигуры красными кружками, а те, что на границах – синим цветом. Считаем красные и синие точки:

В=12, Г=4.

Исходя из подсчетов определяем площадь треугольника по формуле:

S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Можно убедиться в правильность проведенных выше расчетах. Рассчитываем площадь квадрата, обведенного красным, и вычитаем площади зеленого, синего и фиолетового треугольников:

Треугольник

S квадрата равна 36, площади треугольников: синего – 6, зеленого – 2, фиолетового – 15.

Исходя из полученных данных, S белого треугольника равна 13:

S=36-6-15-2=13.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

KritikSPb
[93.7K]

3 года назад

Подсчет клеточек — дело полезное. С их помощью можно найти площадь геометрической фигуры.

Достаточно воспользоваться формулой, доказанной Георгом Пиком в 1899 году.

Подходит для расчета площади фигур с прямыми сторонами и целым количеством углов, чаще всего применяют для нахождения площади разносторонних треугольников и многоугольников с числом углов больше 4-х.

На теорему Пика есть задания в ЕГЭ.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

127771
[273K]

3 года назад

Сначала я подумал, что нужно будет фигуру, которая указана на рисунке в клеточку разбить по фигурам так, чтобы можно посчитать площадь каждой фигуры по-отдельности, но оказалось все намного проще. Существует для данной задачи специальная формула Пика, которая выглядит следующим образом:

Площадь = В + Г/2 — 1, где:

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника.
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Теперь разберемся на примере, у нас есть такой пример:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Перед нами трапеция. Допустим площадь одной клетки 1 кв.см. Теперь можно воспользоваться формулой:

11+12/2-1=16 кв.см.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Бекки Шарп
[71.2K]

3 года назад

Найти площадь фигуры можно если вершины фигуры находятся в уголках клеточек, так называемые Целочисленные вершины или узловые точки. Решать задачу будем по формуле Пика, где

В — количество внутренних узловых точек,
Г — количество граничных узловых точек,

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Вот такая фигура у нас —

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Считаем точки и подставляем в формулу: S = 17 + 14/2 — 1 = 23

Ответ мы получаем в квадратных единицах, то есть клеточках.

Знаете ответ?

Про ЕГЭ: Подготовка к ЕГЭ по обществознанию: можно ли самому подготовиться к ЕГЭ по обществознанию | Фоксфорд.Медиа - Фоксфорд.Медиа

Составные многогранники. Площадь поверхности. Объем

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

311e2e2c481259de758d25b442f2ba60

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в раз?

Площадь поверхности тетраэдра равна Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра

pic-1

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

82173e2a373c19b17d150ef830c57ce7

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

pic-2

Объем тетраэдра равен 1,5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

pic-1

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,\;B,\;C,\;A_1,\;C_1$ правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 7.

xcvb

Вы можете пройти тест “Cоставные многогранники”

Задачи на вычисление площадей поверхности многогранников разных видов

Задание
8_1. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь
поверхности многогранника можно вычислить как сумму площадей всех его граней.
Причем площади передней и задней граней, равны

и
вся площадь поверхности равна

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задание
8_2. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдем
площадь поверхности как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со
сторонами 3, 3, 5 и вычтем площади двух граней 1х1 прямоугольного
параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 3 (см. рисунок).

Площадь
поверхности большого параллелепипеда, равна

Площади
двух граней 1х1 малого параллелепипеда, равны:

и
площадь поверхности фигуры

Задание
8_3. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Из
рисунка видно, что площадь поверхности фигуры будет меньше площади
прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 4 и 5 на площади двух квадратов,
размером 1х1, имеем:

Задание
8_4. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Можно
заметить, что площадь поверхности данной фигуры будет в точности совпадать с
площадью поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 5, 3 и 5 и
равна

Замечание. Не путайте
вычисление объема фигуры и площади его поверхности!

Задание
8_5. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь
поверхности данной фигуры равна площади поверхности прямоугольного
параллелепипеда со сторонами 3, 5 и 4, и равна

Замечание. Не путайте
вычисление объема фигуры и площади его поверхности!

Задание
8_6. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь
поверхности данной фигуры можно вычислить как площадь поверхности
прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 4 и 6 плюс две грани 1х4
площадью 4 (см. рисунок) и минус две грани площадью 2х1 (они вычитаются из
оснований). Таким образом, площадь фигуры равна

Задание
8_7. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площади
нижней и верхней граней равны Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность , площади боковых граней
можно вычислить как , площади передней и задней
граней соответственно и еще нужно учесть две площади
внутренней нижней и верхней граней Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность . Таким образом, вся
площадь поверхности фигуры равна

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задание
8_8. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь
поверхности фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда со сторонами 4, 3 и 2, минус четыре площади боковых квадратов,
размером 1х1. Имеем:

Задание
8_9. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

На
рисунке изображен прямоугольный параллелепипед с вырезом. Площадь поверхности
такой фигуры будет равна площади поверхности всего параллелепипеда со сторонами
5, 7 и 1 минус две площади фронтального выреза площадью 2х1=2 и плюс четыре
площади внутренних сторон выреза размерами 1х1 и 2х1. Таким образом, вся
площадь поверхности многогранника равна

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задание
8_10. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь поверхности многогранника
можно найти как сумму площадей двух прямоугольных параллелепипедов со сторонами
5, 4, 3 и 3, 2, 3 минус две площади основания нижнего параллелепипеда площадью
2х3 (две площади, т.к. она будет дважды учтена в большом и малом
параллелепипедах). Таким образом, получаем:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задание
8_11. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдем
площадь поверхности фигуры как площадь прямоугольного параллелепипеда со
сторонами 2, 2, 1 и вычтем две площади граней 1х1 во фронтальных плоскостях
(передней и задней), получим:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задание
8_12. Найдите площадь поверхности пространственного
креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных
кубов.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь
поверхности данной фигуры можно найти как сумму площадей поверхности 6 кубов
минус площадь поверхности одного куба (тот что внутри и эти грани не входят в
площадь поверхности), получаем:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задание
8_13. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Найдем
площадь поверхности этого многогранника
как сумму площадей поверхности большого (6х6х2) и малого (3х3х4) прямоугольных
параллелепипедов и вычтем дважды площадь поверхности соприкосновения граней
этих параллелепипедов, которая имеет размер 3х4, получим:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задание
8_14. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Площадь
поверхности этого многогранника
можно найти как сумму площадей поверхности каждого из трех параллелепипедов
размерами 2х5х6, 2х5х3 и 2х3х2 минус удвоенные площади соприкосновения этих
параллелепипедов, то есть минус удвоенные площади двух граней размерами 3х5 и
2х3 соответственно. В результате получаем площадь поверхности фигуры:

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Задание
8_15. Через среднюю линию основания треугольной
призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите
площадь боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности
отсеченной треугольной призмы равна 37.

Задачу 1 Базового ЕГЭ по математике решу равнением на окружность

Так
как плоскость сечения проведена через среднюю линию, то она делит боковую
плоскость пополам. Следовательно, площадь боковой поверхности большей призмы в
2 раза больше площадь боковой поверхности малой призмы и равна 74.

Все задания варианта