Задачи на производительность труда | ЕГЭ по математике (профильной)

Задачи на производительность труда | ЕГЭ по математике (профильной) ЕГЭ

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

При совместной работе задачи решаются через производительность.

Производительность при совместной работе равна сумме производительности каждого из рабочих.

$р_{совместная}=р_1 р_2… р_n$

Пример:

В помощь садовому насосу, перекачивающему $6$ литров воды за $4$ минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объём воды за $2$ минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать $27$ литров воды?

Решение:

Найдем производительность первого насоса. Работа (А) первого насоса – $6$ литров, время работы $t=4$ минуты.

$р_1={A}/{t}={6}/{4}={3}/{2}$ (литров/минуту)

Найдем производительность второго насоса. Второй насос выполняет тот же объем работы, т.е перекачивает $6$ литров воды. Время работы второго насоса $t=2$ минуты.

$р_2={A}/{t}={6}/{2}=3$(литров/минуту)

Найдем совместную производительность

$р_{совместная}=р_1 р_2={3}/{2} 3={3 6}/{2}={9}/{2}$ (литров/минуту)

Чтобы найти время, за которое оба насоса перекачивают $27$ литров воды, надо всю работу, т.е. $27$ литров разделить на совместную производительность

$t={A}/{p}={27}/{{9}/{2}}={27·2}/{9}=6$ минут.

Ответ: $6$

Решу егэ

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Пусть первый рабочий, работая отдельно, выполнит работу за х дней, x больше 12. Второй рабочий делает за 3 дня то, что первый делает за 2 дня, поэтому, работая отдельно, он выполнит всю работу за  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x дней. Объем работы не задан, примем его за 1. Производительность равна отношению работы ко времени ее выполнения:  v = дробь: числитель: A, знаменатель: t конец дроби . Составим таблицу по данным задачи.

Про ЕГЭ:  А. Ю. Бисеров, ЕГЭ-2021. Русский язык. Тематические тренировочные задания – скачать pdf на ЛитРес

Работая вместе, рабочие выполняют всю работу за 12 дней, то есть выполняют  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12 часть работы ежедневно. Производительности складываются, поэтому можно составить уравнение:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби 3x= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 3x = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12 равносильно 3x = 5 умножить на 12 равносильно x = 20.

Следовательно, первый рабочий, работая отдельно, выполнит всю работу за 20 дней.

Ответ: 20.

Приведем другое решение: сведем задачу к системе уравнений.

Обозначим v_1 и v_2 — объёмы работ, которые выполняют за день первый и второй рабочий, соответственно, полный объём работ примем за 1. Тогда по условию задачи 12(v_1 плюс v_2)=1 и 2v_1=3v_2. Решим полученную систему:

 система выражений  новая строка 12(v_1 плюс v_2)=1,  новая строка 2v_1=3v_2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка 12 левая круглая скобка v_1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби v_1 правая круглая скобка =1,  новая строка v_2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби v_1  конец системы . равносильно система выражений  новая строка 20v_1= 1,  новая строка v_2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби v_1  конец системы . равносильно система выражений  новая строка v_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби ,  новая строка v_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби .  конец системы .

Тем самым первый рабочий за день выполняет одну двадцатую всей работы, значит, работая отдельно, он справится с ней за 20 дней (а второй рабочий — за 30 дней).

Приведем арифметическое решение.

Пусть первый рабочий, работая один, выполняет в день некоторую часть работы; назовем ее нормой. Тогда второй выполняет две трети нормы, а вместе рабочие выполняют пять третьих нормы. За 12 дней рабочие выполнят всю работу или 12 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби = 20 норм. Следовательно, первый рабочий один может выполнить всю работу за 20 дней.

Приведем еще одно арифметическое решение (Павел Юкляев).

Первый рабочий работает в 1,5 раза быстрее второго. Тогда, работая вместе, рабочие будут работать в 2,5 раза быстрее, чем один второй рабочий. Следовательно, один второй рабочий потратил бы на выполнение заказа 12 · 2,5 = 30 дней, тогда один первый рабочий потратил бы 30 : 1,5 = 20 дней.

Оцените статью
ЕГЭ Live