Решу егэ
а) Ясно, что 
так как степенная функция с целым отрицательным показателем определена только для чисел, отличных от нуля:
Уравнение 
не имеет из-за ограниченности синуса. Рассмотрим второй множитель:
Итак, общим решением заданного уравнения являются числа вида
б) Отбор корней можно сделать несколькими способами:
1. Путем решения двойных неравенств.
Решим неравенство 
относительно целых 
При 
получим 
при 
Теперь решим неравенство 
При 
при 
при 
Таким образом, корнями уравнения, принадлежащими заданному отрезку, являются числа: 
2. С помощью графика функции 
Для этого достаточно построить график для значений x от 
до 
пересечь график прямыми 
Точек пересечения этих прямых и графика функции 
окажется 5.
Абсциссы точек пересечения легко обнаружить:
3. Перебором различных целых значений 
Легко заметить, что из серии корней 
можно получить искомые корни только при 
а из серии — только при 
При значениях 
дальнейшие поиски корней не имеет смысла.
4. С помощью единичной окружности
Однако, как показывает опыт, последний способ отбора корней, принадлежащих заданному промежутку, с помощью единичной окружности в большинстве случаев является самым удобным способом, быстро приводящим к цели.
Замечание: В самом начале решения задачи мы отметили, что 
Если в конце решения мы получили бы результат 
или 
то серию корней 
исключили бы как посторонние.
Ответ: а) 
б) 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 1.
§
В решении этого задания ошибок нет, однако я нахожу его достаточно сложным для восприятия учеником среднестатистической школы (лично до самого дошло только с третьего раза). А потому разрешите предоставить альтернативный способ решения данного номера, который не должен вызывать затруднений:
(ОДЗ и решение до sin2x cos2x=-1 остается неизменным)
sin2x cos2x=-1 —> (Раскладываем косинус двойного угла) sin2x cos^2 x -sin^2 x =-1 —> (Переносим синус в квадрате в правую часть) sin2x cos^2 x = sin^2 x -1 —> (Раскладываем единицу по основному тригонометрическому тождеству) sin2x cos^2 x = sin^2 x -sin^2 x — cos^2 x —> (Синусы сокращаются, раскладываем синус двойного угла, обе части делим на 2 и переносим косинус в квадрате в левую часть) sinxcos cos^2 x=0 —> (Выносим косинус как общий множитель и приравниваем обе части к нулю)
В итоге, решения cos x =0 не будут удовлетворять ОДЗ, а sinx cosx=0 перейдет в tgx = -1, чей корень -П/4 П/n, где n принадлежит z.
В заключение, у нас получились те же корни, что и при решении первым способом, однако при этом мы задействовали лишь те формулы, которые даны в справочном материале ЕГЭ по математике.
—————————————————
P.S Буду рад, если Вы ознакомитесь с таким решением и примите его как альтернативное для данного номера.
§
а) Ясно, что так как степенная функция с целым отрицательным показателем определена только для чисел, отличных от нуля:
Уравнение не имеет из-за ограниченности синуса. Рассмотрим второй множитель:
Итак, общим решением заданного уравнения являются числа вида
б) Отбор корней можно сделать несколькими способами:
1. Путем решения двойных неравенств.
Решим неравенство относительно целых
При получим при
Теперь решим неравенство
При при при
Таким образом, корнями уравнения, принадлежащими заданному отрезку, являются числа:
2. С помощью графика функции
Для этого достаточно построить график для значений x от до пересечь график прямыми Точек пересечения этих прямых и графика функции окажется 5.
Абсциссы точек пересечения легко обнаружить:
3. Перебором различных целых значений
Легко заметить, что из серии корней можно получить искомые корни только при а из серии — только при
При значениях дальнейшие поиски корней не имеет смысла.
4. С помощью единичной окружности
Однако, как показывает опыт, последний способ отбора корней, принадлежащих заданному промежутку, с помощью единичной окружности в большинстве случаев является самым удобным способом, быстро приводящим к цели.
Замечание: В самом начале решения задачи мы отметили, что Если в конце решения мы получили бы результат или то серию корней исключили бы как посторонние.
Ответ: а) б)
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 1.
Тригонометрические уравнения. задания егэ по математике (профильный уровень)
а)1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac{3pi }2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x, что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1 cos x. Получим уравнение: 5(1 cos x) =frac{11 5tgx}{1 tgx}.
Заметим, что frac{11 5tgx}{1 tgx}= frac{5(1 tgx) 6}{1 tgx}= 5 frac{6}{1 tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5 5 cos x=5 frac{6}{1 tgx}. Отсюда cos x =frac{dfrac65}{1 tgx}, cos x sin x =frac65.
2. Преобразуем sin x cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x sin x= cos x cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.
Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac{3sqrt 2}5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac{3sqrt 2}5 2pi k, k in mathbb Z,
или x-fracpi 4= -arccos frac{3sqrt 2}5 2pi t, t in mathbb Z.
Поэтому x=fracpi 4 arccos frac{3sqrt 2}5 2pi k,k in mathbb Z,
или x =fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5 2pi t,t in mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4 arccos frac{3sqrt 2}5 и b=fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
frac{sqrt 2}{2}<frac{3sqrt 2}2<1.
Действительно, frac{sqrt 2}{2}=frac{5sqrt 2}{10}<frac{6sqrt2}{10}=frac{3sqrt2}{5}.
Заметим также, что left( frac{3sqrt 2}5right) ^2=frac{18}{25}<1^2=1, значит frac{3sqrt 2}5<1.
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
arccos 1<arccos frac{3sqrt 2}5<arccos frac{sqrt 2}2,
0<arccosfrac{3sqrt2}{5}<frac{pi}{4}.
Отсюда fracpi 4 0<fracpi 4 arccos frac{3sqrt 2}5<fracpi 4 fracpi 4,
0<fracpi 4 arccos frac{3sqrt 2}5<fracpi 2,
0<a<fracpi 2.
Аналогично, -fracpi 4<arccosfrac{3sqrt2}{5}<0,
0=fracpi 4-fracpi 4<fracpi 4-arccos frac{3sqrt 2}5<fracpi 4<fracpi 2,
0<b<fracpi 2.
При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.
Bigg( a-2pi =-frac74pi arccos frac{3sqrt 2}5,,b-2pi =-frac74pi -arccos frac{3sqrt 2}5Bigg). При этом -2pi <a-2pi <-frac{3pi }2,
-2pi <b-2pi <-frac{3pi }2. Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac{3pi }2right).
При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac{7pi }2.
