«Стратегии решения совместных задач с использованием профилей совместной работы и Решения 4055, изложенные в публикации И.В. Ященко по математике за 2018 г., включающей множество из 30 уникальных методологий»

Подготовка к ЕГЭ по математике, 11 класс

Описание материала: Предлагаю вам статью, в которой показаны способы решения экономических задач на кредиты. Описаны два вида кредита: с аннуитетным платежом и дифференцированным платежом. Данный материал будет полезен для учителей математики 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня (задача 17).

Аннуитетный и дифференцированный платежи

1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.
2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

Предлагаю рассмотреть решения экономических задач на кредиты доступными для учащихся способами.

Задачи на кредит с аннуитетным платежом

Задача 1.
1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:

Ответ: 5 месяцев.

Задача 2.
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Дмитрий взял в банке кредит 4 290 000 рублей.

Дмитрий выплатил кредит за два года, поэтому сумма долга в конце второго года равна 0.
Получим уравнение:

Значит сумма платежа равна 2622050р.
Ответ: 2622050 рублей.

Задачи на кредит с дифференцированным платежом

При решении задач на кредиты с дифференцированным платежом начисляемые проценты за весь период кредитования можно вычислить с помощью формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии. И потом найти сумму общего платежа. Считаю, что этот метод будет прост и понятен для учащихся.

Задача 3
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму надо выплатить банку за первые 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.
Сумма начисленных «процентов» за 12 месяцев (в млн. р.):

В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии :

За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за первые 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 666 000 = 1 866 000 р.
Ответ: 1 866 000 рублей.

Задача 4

15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение:
Пусть в банке взяли кредит S рублей. Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на

Сумма начисленных процентов за 5 месяцев:

Всего банку будет выплачено S + 0,03S = 1,03S. Значит общая сумма выплаченных денег от суммы кредита составляет 103%.
Ответ: 103%.

Задача 5
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.

Сумма начисленных процентов за 12 последних месяцев (в млн):

В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой:

За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за последние 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 156 000 = 1 356 000 р.
Ответ: 1 356 000 рублей.

Задача 6
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных процентов к остатку. В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 15 месяцев должны заплатить долг – S рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

За 7 месяцев выплачено

Из этого условия найдём S.
Восьмая выплата состоит из величины ежемесячной выплаты долга

и процентов, начисленных на величину долга после седьмой выплаты:

Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 488 000 рублей.
Ответ: 1 488 000 рублей.

Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма взятая в кредит. Найдите r.

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 9 месяцев должны заплатить долг – S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:

Значит кредит взят под 3% в месяц.
Ответ: 3%.

Задача 8
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

В (1) подставим (2), получим: 1,08 ∙1 500 000 = 1620000
Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 620 000 рублей.
Ответ: 1 620 000 рублей.

Задача 9
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь период кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

Значит за 18 месяцев должны заплатить долг – S рублей и сумму ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

Значит сумма выплаченных банку денег составляет 119% от суммы долга.
Ответ: 119%.

Задача 10
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

За первый год кредитования следует выплатить:

Получим уравнение: 0,5925 S = 177750,
S = 300000
Значит в кредит взяли 300 000 рублей.
Ответ: 300 000 рублей.

Задача 11
15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что я сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 39% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

Значит за 25 месяцев должны заплатить долг –S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:

Задача 12
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тысяч рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

Значит за последние 12 месяцев должны заплатить долг –

Получим уравнение: 0,5325 S = 1597500; S = 3 00 000.
Значит планируется взять 3 000 000 рублей.
Ответ: 3 000 000 рублей.

Литература
И.В.Ященко. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. Издательство «Экзамен», М. 2017.

Рекомендуем посмотреть

Урок математики в 4 классе

Конспект урока математики в 1 классе «Ознакомление с решением составных задач»

Конспект урока по математике, 2 класс. Решение задач

Конспект урока по химии. Решение расчетных задач, 10 класс

Контрольная работа с дескрипторами для 2 класса по теме «Решение задач» по системе Л.В. Занкова

Задание
20.
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1)
за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;

2)
за 7 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.

У
Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного
пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато
появилось 20 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у
Николая?

Условно
обозначим через a – число золотых монет, через b – число
серебряных монет, а через c – число медных
монет. Тогда операции 1 и 2 могут быть записаны в виде

Второй
операцией он может использовать две золотые (из трех) монеты для получения двух
серебряных и одной медной монеты и еще останется одна золотая и медная монета с
предыдущей операции:

Затем,
Николай может достать еще 4 серебряные монеты, чтобы получить 7b серебряных
монет для выполнения первой операции:

Наконец,
следующей операцией он может обменять 4a золотых монет
на 6b+2c монет других
достоинств:

В
результате этих четырех операций избавились от золотых монет (a=0), но
приобрели медные. При этом, число серебряных монет, взятых во время операций
обмена, составило 7b+4b=11b, а в результате
получилось только 6b этих монет, то есть, серебряных монет стало на 11b-6b = 5b меньше.

По
условию задания необходимо получить 20 медных монет. Этого можно достичь на 4
итерации, так как 5c∙4=20c. Тогда серебряных монет станет
меньше на 5b∙4=20b, то есть на 20
монет.

Все задания варианта

В какой части ЕГЭ встречаются задачи на прогрессии и насколько сложно их решать?

Задачи на прогрессии – наиболее простой и наименее объемный тип задач блока заданий 9. Они делятся на два подтипа по характеру прогрессии: арифметической и геометрической. Задачи второго подтипа не требуют никаких знаний, кроме представления о геометрической прогрессии. Для решения же первого подтипа нужно знание пары элементарных формул и умения с ними работать.

Задачи на арифметические прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность (или ряд) чисел, где между соседними числами одинаковая разница.

При этом числа должны либо только расти, либо только уменьшаться. Вот несколько простейших примеров:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 7 10 13 16 19

5 3 1 -1 –3 –5 –7

В общем виде арифметическая прогрессия обозначается обычно вот так:

Элемент, стоящий в арифметической прогрессии под номером n, обозначают соответственно an.

Как решать задачи на арифметическую прогрессию ЕГЭ

Для решения всех номеров данного подтипа необходимо знать три формулы: представления n-ного элемента через первый и разность прогрессии и суммы n элементов прогрессии в двух записях:

Как уже говорили, каждый последующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой d.

Скажите, чему равна разность в следующей арифметической прогрессии: 12 17 22 27?

Получается a2 =a1 + d. Точно так же a3 =a2 + d, a4 =a3 + d

А на сколько отличаются элементы, стоящие через один? Например a3 и a1?

Верно, на две разности, a3 =a1 + 2d. Давайте продолжим для остальных элементов:

Видите закономерность? Для того чтобы, скажем, получить 8й элемент последовательности, нужно к первому прибавить 7 разностей, чтобы получить 15й элемент, нужно прибавить 14 разностей.

an =a1 + (n-1)d — первая формула, которую нужно записать и выучить.

В конце концов, доля задач на арифметическую прогрессию из всех задач задания 8 невелика, а за полгода подобные формулы без постоянной практики легко забываются.

Аналогично можно «обосновать» формулу суммы прогрессии.Например, есть следующая прогрессия: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Если я попрошу вас найти сумму первых трех элементов, вам нужно сложить 3 + 5 + 7. Если надо найти сумму первых 6 элементов, соответственно 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13. Обозначается сумма прогрессии буквой S:

S3 = 3+5+7, S4 = 3+5+7+9, S6 = 3+5+7+9+11+13 — число внизу означает число первых элементов, которые мы суммируем.

Давайте теперь получим формулу, по которой можно рассчитывать сумму первых n элементов в зависимости от n. Попробуем на примере прогрессии, которую мы знаем. Скажем, нужно узнать сумму первых 9 элементов такой прогрессии:

1 2 3 4 5 6 7 8 9, S9 – ?

Можно просто «руками» сложить все 9 чисел и получить ответ. Но если мы работаем с очень большой прогрессией (скажем, больше 100 элементов), это очень долгий способ.

Заметьте вот такую штуку: 1 + 9=10, 2 + 8=10 тоже, как и 3 + 7. Складывая 1е число слева и 1е справа, мы получаем такую же сумму, как и складывая, скажем, 4е число слева и справа. В сумме они равны 10, в среднем (если разделить такую пару пополам) 5. Единственное число, которое не с чем складывать — это 5, но оно как раз равно среднему!

Выходит, у арифметической прогрессии есть некоторое «среднее число», которое в этой прогрессии равно 5. И если мы сложим 9 чисел прогрессии, мы получим то же самое, как если мы сложим 9 пятерок, проще говоря, умножим 9 на 5. Так мы тоже получим сумму прогрессии.

Вывод: для того, чтобы посчитать сумму прогрессии, нужно среднее число прогрессии умножить на число элементов.

Это вторая формула, которую вам следует знать.

Теперь, если подставить первую полученную формулу во вторую, мы получим третью формулу:

Эти три формулы нужно знать или научиться получать, чтобы решать задачи на прогрессию в ЕГЭ по профильной математике.

Задачи на геометрические прогрессии – теория

Начнем, как обычно, с самых азов, проведя параллели между прогрессиями.

Допустим, у нас есть числовая последовательность: 3, 6, 9, 12, 15.

Вы сразу же ответите, что это арифметическая последовательность с разностью прогрессии d=3. А что вы тогда можете сказать насчет такого набора: 1, 10, 100, 1000, 10000.

Если вы будете вычитать из последующего числа предыдущее, то увидите, что каждый раз получается новая разница (9;90;900 и т.д.). Но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в 10 раз больше предыдущего! Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается bn.

Геометрическая прогрессия bn — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Повторим: q – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии. Оно может быть положительным и отрицательным, но не нулем.

Допустим, q у нас положительное. Пусть в нашем случае q=3, а b1 =4.

Чему равен второй член b2 и b3? Несложно заметить, что: b2=4*3=12, b3=12*3=36

А что если q отрицательное? Например, q=−3, а b1=4. Чему равен второй член b2 = и b3 =?

Таким образом, если q<0, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

То есть, если вы видите прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на 100% отрицательный.

Перейдем снова к теоретической части. Если в геометрической прогрессии вы знаете первый член и знаменатель, то вы можете найти любой член прогрессии по формуле:

Также запишем формулы, которые нам также могут пригодиться для решения данных задач.

Примеры задач на арифметическую прогрессию

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день

в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Примеры задач на геометрическую прогрессию

Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Ответ: 320 000

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль

в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответ: 50 000

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

Первый рабочий изготавливает $200$ деталей за время, которое второй рабочий потратит на изготовление $180$ таких же деталей. Найдите производительность первого рабочего, если он изготавливает в минуту на $2$ детали больше, чем второй?

Пусть $х$ деталей/мин — производительность второго рабочего, тогда $(х+2)$ деталей/мин — производительность первого рабочего.

Создаем стандартную таблицу и столбец «Производительность»(р) заполняем данными с неизвестными.

Так как первый рабочий изготовил $200$ деталей — это его выполненная работа, у второго рабочего работа равна $180$ деталей.

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи время на выполнение работы рабочие затратили одинаковое. Поэтому содержимое третьего столбца приравняем друг к другу.

Решим полученное уравнение по свойству пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

Разделим обе части уравнения на $20$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

$х=18$ (деталей в минуту)- производительность второго рабочего.

$(х+2)=18+2=20$ (деталей в минуту)- производительность первого рабочего.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

При совместной работе задачи решаются через производительность.

Производительность при совместной работе равна сумме производительности каждого из рабочих.

В помощь садовому насосу, перекачивающему $6$ литров воды за $4$ минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объём воды за $2$ минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать $27$ литров воды?

Найдем производительность первого насоса. Работа (А) первого насоса – $6$ литров, время работы $t=4$ минуты.

Найдем производительность второго насоса. Второй насос выполняет тот же объем работы, т.е перекачивает $6$ литров воды. Время работы второго насоса $t=2$ минуты.

Найдем совместную производительность

Чтобы найти время, за которое оба насоса перекачивают $27$ литров воды, надо всю работу, т.е. $27$ литров разделить на совместную производительность

Процент – это сотая доля числа.

Процент обозначается символом $%$.

Задачи на скидки

Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки.

Найдем, сколько процентов будет стоить куртка, после скидки: $100%-20%=80%$

Посчитаем, сколько составляет 80% от 4500 рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи
мы постарались расположить по возрастанию сложности.

• На рисунке изображен график некоторой функции ). Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры. В ответе запишите площадь, умноженную на 3.
• На рисунке изображен график некоторой функции ). Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры. В ответе запишите площадь, умноженную на 3.

11 октября 2021

Пять вероятностных задач

Решение непростых задач по теории вероятностей.

1) Симметричную монету бросают 16 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 8 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 7 орлов»?

2) Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

3) В викторине участвуют 5 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых двух играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет третий раунд?

4) Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует 10 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

5) Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 20/23 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 — р на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен —1?