Решение всех тригонометрических выражений из 4 задания ЕГЭ

(24sqrt{2},cos⁡(-frac{π}{3}),sin⁡(-frac{π}{4})=)(-24sqrt{2},cos⁡frac{π}{3},sin⁡frac{π}{4}).

Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений (frac{1}{2}), (frac{sqrt{2}}{2}), (frac{sqrt{3}}{2}) принимает наименьшее т.е. (cos,⁡frac{π}{3}=frac{1}{2}). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. (sin⁡,frac{π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}). Получается:

(-24sqrt{2},cos⁡frac{π}{3},sin⁡frac{π}{4}=-24sqrt{2}cdot)(frac{1}{2})(cdot)(frac{sqrt{2}}{2})(=)(frac{-24sqrt{2}cdotsqrt{2}}{4})(=)(frac{-24cdot 2}{4})(=-6cdot2=-12)

Ответ: (-12).

Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

(sin^2α cos^2⁡α=1).

Подставим вместо косинуса его значение:

(sin^2⁡α )((frac{2sqrt{6}}{5}))(^2=1)
(sin^2⁡α )(frac{4cdot 6}{25})(=1)
(sin^2⁡α )(frac{24}{25})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{24}{25})
(sin^2⁡α=)(frac{1}{25})
(sin⁡α=±)(frac{1}{5})

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида (x^2=a) (при (a>0)) два корня (x_1=sqrt{a})  и (x_2=-sqrt{a}). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение (frac{1}{5}), а может (-)(frac{1}{5}). И какое значение нам надо выбрать — с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что (α∈(frac{3π}{2};2π)). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок ((frac{3π}{2};2π)).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае (sinα=-frac{1}{5}) т.е. (5sin⁡α=5cdot(-frac{1}{5})=-1).

Ответ: (-1).

Есть 2 пути решения этой задачи:

— напрямую вычислить тангенс через формулу (tg^2α 1=)(frac{1}{cos^2⁡α});
— сначала с помощью тождества (sin^2⁡α cos^2⁡α=1) найти (sin⁡,α), а потом через формулу (tg,α=)(frac{sin⁡,α}{cos⁡,α}) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Вычисляем синус:

(sin^2⁡α )((frac{sqrt{10}}{10})^2)(=1)
(sin^2⁡α )(frac{10}{100})(=1)
(sin^2⁡α )(frac{1}{10})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{1}{10})
(sin^2⁡α=)(frac{9}{10});
(sin⁡,α=±)(frac{3}{sqrt{10}})

Опять (α∈(frac{3π}{2};2π)), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, (sin⁡,α=-)(frac{3}{sqrt{10}}).
А теперь вычисляем тангенс: (tg,α=-)(frac{3}{sqrt{10}})(:)(frac{sqrt{10}}{10})(=)(-frac{3}{sqrt{10}}cdotfrac{10}{sqrt{10}})(=-)(frac{30}{10})(=-3).

Ответ: (-3).