Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

Содержание

Что нужно знать о задаче по стереометрии № 14 варианта ким егэ
Многие школьники на экзамене даже не приступают к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.
14 задание егэ по математике профильного уровня 2023: теория и практика
Егэ 2022 по математике задание 14
Многие школьники на экзамене даже не приступают к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.
Подготовка к егэ по математике. практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. тема: «нахождение расстояний и углов, построение сечений»
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Решу егэ

Что нужно знать о задаче по стереометрии № 14 варианта ким егэ

Эта задача обычно состоит из двух частей:

доказательной, в которой вас попросят доказать некоторое утверждение для заданной конфигурации геометрических тел;

вычислительной, в которой нужно найти некоторую величину, опираясь на то утверждение, которое вы доказали в первой части задачи.

За решение данной задачи на экзамене по математике в 2022 году можно получить максимум два первичных балла. Допускается решить только «доказательную» или только «вычислительную» часть задачи и заработать в этом случае один первичный балл.

Многие школьники на экзамене даже не приступают к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.

В задачу № 14 традиционно включается лишь несколько вопросов из всех возможных для стереометрических задач:

нахождение расстояний в пространстве;

нахождение углов в пространстве;

построение сечения многогранников плоскостью;

нахождение площади этого сечения или объемов многогранников, на которые эта плоскость поделила исходный многогранник.
В соответствии с этими вопросами строится и подготовка к решению задачи.

Сначала, разумеется, нужно выучить все необходимые аксиомы и теоремы, которые понадобятся для доказательной части задачи. Помимо того, что знание аксиом и теорем поможет вам на экзамене непосредственно при решении задачи, их повторение позволит систематизировать и обобщить ваши знания по стереометрии вообще, то есть создать из этих знаний некую целостную картину.

Итак, что же нужно выучить?

Способы задания плоскости в пространстве, взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Определения, признаки и свойства параллельных прямых и плоскостей в пространстве.

Определения, признаки и свойства перпендикулярных прямых и плоскостей в пространстве.

После того как вы повторили теорию, можно приступать к рассмотрению методов решения задач. В курсе «1C:Репетитор» представлены все необходимые материалы для подготовки: видеолекции с теорией, тренажеры с пошаговым решением задач, тесты для самопроверки, интерактивные модели, позволяющие ученикам 10-х и 11-х классов наглядно рассмотреть методы решения задач по стереометрии, в том числе на примерах задач ЕГЭ 2022 года.

Мы рекомендуем решать задачи в такой последовательности:

Углы в пространстве (между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями);
Расстояния в пространстве (между двумя точками, между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми);
Решение многогранников, то есть нахождение углов между ребрами и гранями, расстояний между ребрами, площадей поверхностей, объемов по заданным в условии задачи элементам;
Сечения многогранников — методы построения сечений (например, метод следов) и нахождения площадей сечений и объемов получившихся после построения сечения многогранников (например, использование свойств перпендикулярной проекции и метод объемов).

Для всех указанных типов задач существуют различные методы решения:

классический (основанный на определениях и признаках);

метод проекций;

метод замены точки;

метод объемов.

Эти методы нужно знать и уметь применять, так как есть задачи, которые довольно сложно решаются одним методом и гораздо проще — другим.

При решении стереометрических задач более эффективным по сравнению с классическим методом нередко оказывается векторно-координатный. Классический метод решения задач требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, умения применять их на практике, строить чертежи пространственных тел и сводить стереометрическую задачу к цепочке планиметрических.

Классический метод, как правило, быстрее приводит к искомому результату, чем векторно-координатный, но требует определенной гибкости мышления. Векторно-координатный метод представляет собой набор готовых формул и алгоритмов, но при этом требует более длительных расчетов; тем не менее, для некоторых задач, например, для нахождения углов в пространстве, он предпочтительнее классического.

Многим абитуриентам не позволяет справиться со стереометрической задачей неразвитое пространственное воображение. В этом случае мы рекомендуем использовать для самоподготовки интерактивные тренажеры с динамическими моделями пространственных тел.

Такие тренажеры есть на портале «1С:Репетитор» (для перехода к их использованию необходимо зарегистрироваться): работая с ними, вы не только сможете «выстроить» решение задачи «по шагам», но и на объемной модели увидеть все этапы построения чертежа в различных ракурсах.

С помощью таких же динамических чертежей мы рекомендуем учиться строить сечения многогранников. Кроме того, что модель автоматически проверит правильность вашего построения, вы сами сможете, рассматривая сечение с разных сторон, убедиться, верно или неверно оно построено, и если неправильно, то в чем именно ошибка.

Про ЕГЭ: Проблема любви и бережного отношения к животным - готовые аргументы и тезисы - Итоговое сочинение и готовые эссе по текстам ЕГЭ

Последний вопрос, на который надо обратить внимание, — это нахождение площадей сечений или объемов, получившихся после построения сечения многогранников. Здесь также существуют подходы и теоремы, которые позволяют в общем случае существенно сократить трудозатраты на поиск решения и получение ответа. В курсе «1С:Репетитор» мы знакомим вас с этими приемами.

Если вы следовали нашим советам, разобрались со всеми вопросами, которые здесь затронуты, и решили достаточное количество задач, то велика вероятность, что вы практически готовы к решению задачи по стереометрии на профильном ЕГЭ по математике в 2022 году.

14 задание егэ по математике профильного уровня 2023: теория и практика

Заметим, что $x > 0, x ≠ {1}/{3}, x ≠ 1$.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

${2}/{log_{3}x} {3}/{log_{3}3x} ≤ 2,$

${2}/{log_{3}x} {3}/{log_{3}3 log_{3}x} ≤ 2,$

${2}/{log_{3}x} {3}/{1 log_{3}x} ≤ 2$

Пусть $log_{3}x = t$, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

${2}/{t} {3}/{1 t} ≤ 2$,

${2(1 t) 3t − 2t(1 t)}/{t(1 t)} ≤ 0$,

${2t^2 − 3t − 2}/{t(1 t)} ≥ 0$,

${(2t 1)(t − 2)}/{t(t 1)} ≥ 0.$

$Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»$

Получим два простых неравенства и одно двойное, решим их, возвращаясь к переменной $x$:

$t < -1, −{1}/{2}≤t<0, t ≥ 2,$

$log_3x < -1, log_3 {1}/{√3} ≤ log_3x < log_{3}1, log_{3}x ≥ log_{3}9,$

$0 < x<{1}/{3}, {1}/{√3}≤ x <1, x≥9.$

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — $(0; {1}/{3})∪[{1}/{√3};1) ∪ [9; ∞)$.

Егэ 2022 по математике задание 14

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ= 5 корней из 3, SC= 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.

Решение:

1. Поскольку SABC — правильная пирамида, то ABC — равносторонний треугольник, а остальные грани — равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5 sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.

2. Пусть D — середина BC, E — середина AS, SH — высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, EP — высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.

3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.

4. Поскольку пирамида правильная, точка H — это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH=2 AD).

5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH=AD 2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13²-5²) = 12.

6. Треугольники AEP и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и AP = AH/2, и EP = SH/2.

7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDP (нас как раз интересует угол EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Тангенс угла EDP = EP/DP = 6/5,
Угол EDP = arctg(6/5)

Ответ: arctg(6/5)

| Еще задания 14 профильного уровня егэ по математике с решением

Многие школьники на экзамене даже не приступают к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.

В задачу № 14 традиционно включается лишь несколько вопросов из всех возможных для стереометрических задач:

Подготовка к егэ по математике. практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. тема: «нахождение расстояний и углов, построение сечений»

1. Повторение.

1.1.Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника

Формулы: a² b²= c² Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

1.2.Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между
ними.

a² = b² c²– 2bc·cosA

1.3. Угол между пересекающимися и
скрещивающимися прямыми.

Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» За
угол между пересекающимися прямыми принимают
острый угол, образованный этими прямыми. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD
определяется как угол между пересекающимися
прямыми А₁В₁ и С₁D₁, при
этом А₁В₁|| АВ и С₁D₁|| CD.

1.4. Угол между плоскостями (АСН) и (СНD) – это
двугранный угол АСНD, где СН ребро.

Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» Точки
А и D лежат на гранях этого угла. AF CH, FD CH, FD Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» CH.

Угол AFD – линейный угол двугранного угла АCHD

2. Решение задач.

Задача №1.В правильной треугольной
призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ₁
и ВС₁.

Решение:

1) Продлим плоскость ВСС₁, тогда (AB₁, ВС₁) = (AB₁, ВС₁) = Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» (AB₁, DВ₁) =
AВ₁D, т. к. C₁В || B₁D. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

2) AB_{1 =}B₁D =из ABB_1.

3) из ABD по теореме
косинусов:

Ответ: 0,25.

Задача №2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁
найдите угол между прямой AC₁ и плоскостью
ВСC₁. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

Решение:

1) ВС₁ — проекция прямой АС₁ на
плоскость (ВCС₁), так как AB

(ВCС₁), то AB (ВCС₁), то AB Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» ВС₁; (AC₁, (ВCС₁))
= (AС₁,С₁В) = (AС₁,С₁В) = Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» AC₁B, т.е. АВC₁ – прямоугольный.

2) Пусть АВ = а, тогда ВС₁ = а из

Про ЕГЭ: Итоговая контрольная работа по математике в 4 классе на 2022-2023 учебный год

C₁CB.

3) .

4) AC₁B = arctg AC₁B = arctg Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» .

Ответ: arctg

Задача №3. Основанием прямой
треугольной призмы ABCA₁B₁C₁,
является равнобедренный треугольник АВС, в
котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро
призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ₁,
причем ВР : РВ₁= 1 : 3. Найдите тангенс
угла между плоскостями А₁В₁С₁
и АСР.

Решение: Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

1) Так как (АВС) || (А₁В₁С₁), то

(( А₁В₁С₁) ,
(АСР)) = ((АВС),(АСР)).

2) Т.к. ВН

АС (высота
р/б ),то по теореме о
трех перпендикулярах РН АС.

3) Тогда

РНВ –
линейный угол двугранного РАСВ. Найдем его из прямоугольного РАСВ. Найдем его из прямоугольного Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» РНВ.

4) РВ = 1/4 ВВ₁ = 1/4 · 24 = 6,

5) ВН² = АВ² – АН²(из

AНВ)

ВН² = 20² – 16² = 144, ВН = 12;

6) tg

РНВ = PB/HB = 6/12 = 0,5.Ответ: 0,5.

Задача №4. В правильной
четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и
плоскостью SAD.

Решение:

1) Так как ABCD – квадрат, то АВ

AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD)
будет AD. Значит,
искомый угол – двугранный угол при ребре
основания AD. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

2) SM – высота грани SAD, SM =/2,
МО || АВ, МО = 0,5АВ = 0,5.

3) ?SMO – искомый угол, косинус которого найдем из
прямоугольного

SMO.

сos ?SMO =
= =

Ответ :.

3. Повторение. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

3.1. Расстояние от точки до прямой.

Определение. Расстоянием от
точки до прямой в пространстве называется длина
перпендикуляра, проведённого из данной точки к
данной прямой.

3.2. Расстояние от точки до плоскости.

Определение. Расстоянием от
точки до плоскости является длина
перпендикуляра, проведённого из данной точки к
данной плоскости.

3.3. Расстояние между скрещивающимися
прямыми.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся
прямых называют отрезок с концами на этих прямых,
являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Определение. Расстоянием между
скрещивающимися прямыми называют длину их
общего перпендикуляра.

1 способ. Расстояние между скрещивающимися
прямыми равно расстоянию от любой точки одной из
этих прямых до плоскости, проходящей через
вторую прямую параллельно первой прямой.

2 способ. Расстояние между скрещивающимися
прямыми равно расстоянию между двумя
параллельными плоскостями, содержащими эти
прямые.

3 способ. Расстояние между скрещивающимися
прямыми равно расстоянию между их проекциями на
плоскость, перпендикулярную одной из них.

4. Решение задач.

Задача №5. В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
стороны основания которой равны 5, а боковые
рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С
до прямой A₁F₁. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

Решение:

1) Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, то
прямые AC и AF перпендикулярны.

AFпо доказанному,

A₁А по
определению правильной призмы

(

АA₁F₁)
по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости, т.е.

СА – перпендикуляр к плоскости, CA₁—
наклонная, A₁А – проекция наклонной,

A₁А

A₁F₁;
A₁F₁– прямая в плоскости.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA₁ A₁F₁, значит,
длина отрезка CA₁ равна искомому расстоянию.

2) Из АВС (АВ=ВС=5, АВС (АВ=ВС=5, Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» B = 120^o)

по теореме косинусов найдём СА: , ,

3) Из CAA_1,по теореме
Пифагора найдём CA₁:

CA₁²= 75 121 = 196

CA₁ = 14

Ответ: 14.

Задача №6. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно
плоскости основания АВС. Найдите расстояние
от А до плоскости, проходящей через середины
ребер АВ, АС и АD, если АD = 2, АВ = АС = 10, ВС
= 4.

Решение:

1) Построим плоскость КМN.

Т. к. КМ – средняя линия АDВ,
КМ?DВ,

MN — средняя линия АВC, МN
||| CВ, то (KMN) || (BCD) по признаку

параллельности плоскостей. АР – медиана и
высота р/б АВC.

KF – медиана и высота р/б KMN.

DP BC по теореме о трёх
перпендикулярах, KF || DP.

Искомое расстояние AH равно половине расстояния
от вершины А до плоскости BCD, т.к. (KMN) || (BCD) и KF –
средняя линия ADP.

2) LDA и LDA и Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» ADP подобны по двум углам, тогда LA:AP=AD:DP,
тогда AL = (AP*AD):DP.

Найдём АР из АВР по
теореме Пифагора (АВ=10, ВР = 2 ):

AP² = AB² – BP² = 100 – 20 = 80, АР= 4

Найдём DР из АDР по
теореме Пифагора: DP² = AD² AP² = 20
80 = 100, DP = 10.

Тогда AL =( 4 · 2):10=4. Итак, АН = 1/2 AL =
2.

Ответ: 2.

Задача №7. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

В правильной шестиугольной призме АВCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все
рёбра равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью,
проходящей через точки B, С₁ и F.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой C₁F.

Решение.

а) Сечение – четырёхугольник BC₁E₁F с
диагональю C₁F.

Сторона ВC₁= — диагональ квадрата ВВ1С1С со
стороной 1.

Сторону BF найдём из ABF по
теореме косинусов:

BF²=AB² AF²-2 * AB * AF * cosBAF;

BF²=AB² AF²-2 * AB * AF * cos120⁰= 3.

Тогда

Так как CBF=90°, то по
теореме о трёх перпендикулярах, BF BC₁.

Про ЕГЭ: Когда будут известны результаты ЕГЭ 2021: график публикации результатов | Новости

Значит,
сечение BC₁E₁F – прямоугольник.
Диагональ прямоугольника C₁F²=BF² BC₁²;
C₁F²=3 2=5.

Отсюда

б) Сечение – прямоугольник BC₁E₁F.

ВК C₁F, ВК –
искомое расстояние от точки В до прямой C₁F.

Найдем ВК как высоту из FBС₁,

Используя 2 формулы площади треугольника.

Задача №8. Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

Основанием прямой четырехугольной призмы
является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна , высота призмы равна Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» . Точка K — середина ребра ВВ1.
Через точки K и С₁ проведена плоскость a,
параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью a
является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося
сечением призмы плоскостью a.

Решение.

а) Для построения сечения призмы плоскостью

,
проведём КЕ || BD

₁

, E € B

₁

Плоскость a проходит через точки К, С₁и
Е.

Так как К – середина ВВ₁ и КЕ || BD₁, то
Е – середина диагонали А₁ С₁квадрата
А₁ В₁ С₁ Д₁. Значит,
плоскость a пересекает

грань А₁ В₁ С₁ Д₁по
диагонали А₁ С₁.

Соединив точки К, С₁ и А₁, получаем А₁ КС₁ — сечение
призмы плоскостью a.

А₁КВ₁ = А₁КВ₁ = Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» С₁ КВ₁ по двум
сторонам и углу между ними (А₁ В₁ = С ₁В₁
, , В₁ К –
общая сторона).

Из равенства треугольников следует, что А₁К
= С₁К, значит А₁
КС₁ — равнобедренный.

5. Задачи для самостоятельного решения.

На ребре AA₁ прямоугольного
параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
взята точка E так, что A₁E : EA = 2:5, на ребре BB₁
— точка F так, что B₁F : FB =1: 6, а точка Т —
середина ребра B₁ C₁. Известно, что AB = 5,
AD = 6 , AA₁ =14.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через
вершину D₁ .

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью
AA₁B₁ .

Ответ. б) arctg .

2) Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁,
все рёбра которой равны 4.

Через точки A, С₁ и середину T ребра
А₁В₁ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной
плоскостью является прямоугольным
треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и
плоскостью ABC .

Ответ. б) arctg 2.

3) В правильной шестиугольной призме А…F₁
все рёбра равны 2.

а) Докажите, что плоскость ВВ₁F
перпендикулярна прямой В₁С_1.

б) Найдите расстояние от точки В до плоскости F В₁С_1.

Ответ. б) .

4) В пирамиде DАВС известны длины ребер
АВ=АС=DВ=DС=13, DА =6, ВС=24.

а) Постройте прямую, перпендикулярную прямым DА
и ВС.

б) Найдите расстояние между прямыми DА и ВС.

Ответ. б) 4.

5) Высота правильной треугольной пирамиды равна
20, а медиана её основания равна 6.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через её вершину и перпендикулярной
ребру основания.

б) Найдите тангенс угла, который образует
боковое ребро с плоскостью основания.

Ответ. б) 5.

6) В правильной четырёхугольной пирамиде МАВСD с
вершиной М сторона основания равна 3, а боковое
ребро равно 6.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точку С и середину ребра МА
параллельно прямой ВD.

б) Найдите площадь этого сечения.

Ответ. б) 6.

Презентация.

Используемая литература.

1) И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин
“Подготовка к ЕГЭ по математике 2022, профильный
уровень”, Москва, издательство МЦНМО, 2022.

2) Интернет-ресурсы:

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно зарегистрироваться.Вы можете:

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Решу егэ

Решение.

Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений» а) По теореме о внешнем угле треугольника,

∠BOC = ∠BAO   ∠АBO = 2 · 30° = 60°.

Поэтому

angle BEC плюс angle BOC = 120 градусов плюс 60 градусов=180 градусов.

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠CBE = ∠COE.

б) По теореме косинусов,

BC= корень из (BE в квадрате плюс CE в квадрате минус 2BE умножить на CE умножить на косинус 120 градусов) = корень из (40 в квадрате плюс 24 в квадрате минус 2 умножить на 40 умножить на 24 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ) =8 корень из (25 плюс 9 плюс 15) = 8 умножить на 7 = 56.

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

EM= дробь: числитель: 2BE умножить на CE умножить на косинус дробь: числитель: angle BEC, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: BE плюс CE конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 40 умножить на 24 умножить на косинус 60 градусов, знаменатель: 40 плюс 24 конец дроби = 15.

По свойству биссектрисы треугольника дробь: числитель: CM, знаменатель: BM конец дроби = дробь: числитель: CE, знаменатель: BE конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , значит, CM= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби BC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 56=21, BM=35.

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что

MO= дробь: числитель: BM умножить на CM, знаменатель: EM конец дроби = дробь: числитель: 35 умножить на 21, знаменатель: 15 конец дроби =49.

Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM   2OM = 15   98 = 113.

Ответ: 113.

Примечание.

Зная длину отрезка СМ = 21, можно искать ME, применяя теорему косинусов к треугольнику СМЕ. Пусть в нем МЕ = х, тогда

441= 24 в квадрате плюс x в квадрате минус 2x умножить на 24 умножить на косинус 60 градусов равносильно x в квадрате минус 24x плюс 135=0 равносильно совокупность выражений x=9,x=15. конец совокупности .

Поскольку треугольник СМЕ остроугольный, решение х = 9 постороннее. Посторонние корни появляются из-за того, что по стороне, прилежащему к ней углу и противолежащей данному углу стороне треугольник определен неоднозначно. Аналогично для треугольника BME: можно найти два корня уравнения на длину EM: 15 и 25, больший корень является посторонним.

Ответ: 113.