Решение тригонометрических уравнений

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

При этом $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ 0,\;a> 0,\;a\neq 1″ alt=»b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1″>.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

$\log _{a}\left ( bc \right )=\log _{a}b+\log _{a}c$ (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

$\log _{a}\left ( \frac{b}{c}\right )=\log _{a}b-\log _{a}c$ (Логарифм частного равен разности логарифмов)
$\log _{a}b^{m}=m\log_{a}b$ (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

$\log _{a}b=\frac{\log _{c}b}{\log _{c}a}$

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

$x=-12.$

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение $\log _{a}b$ определено при $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ 0,\;a> 0,\;a\neq 1″ alt=»b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1″>.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: $\log _{2}\left ( 4-x \right )=7$

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде $\log _{2}2^{7}$ . Дальше все просто.

3. Решите уравнение: $\log _{5}\left ( 5-x \right )=2\cdot \log _{5}3$

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

$x=-4$

4. Решите уравнение: $\log _{5}\left ( 4+x \right )=2$

Область допустимых значений: $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ 0.» alt=»4+x> 0.»> Значит, $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ -4.» alt=»x> -4.»>

Представим 2 в правой части уравнения как $\log _{5}25$ — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

$\log _{5}\left ( 4+x \right )=\log _{5}25$

Функция $y=\log _{5}x$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ -4″ alt=»x> -4″>.

$4+x=25$

5. Решите уравнение: $\log _{8}\left ( x^{2}+x \right )=\log _{8}\left ( x^{2}-4 \right )$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: $2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9$ .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

$\log _{4}b=\frac{\log _{2}b}{\log _{2}4}=\frac{\log _{2}b}{2}$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left (2^{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )} \right )^{\frac{1}{2}}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 4x+5 \right )^{\frac{1}{2}}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{4x+5}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+5=81\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=19\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.» alt=»2^{\log _{4}\left ( 4x+5 \right )}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^\frac{{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )}}{2}=9\\ 4x+5> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left (2^{\log _{2}\left ( 4x+5 \right )} \right )^{\frac{1}{2}}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 4x+5 \right )^{\frac{1}{2}}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{4x+5}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+5=81\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=19\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.»>

7.Решите уравнение: $\log _{x}x^{2}=\log _{x}\left ( 12-x \right )$ .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

Теперь можно «убрать» логарифмы.

$x^{2}=12-x$

$x^{2}+x-12=0$

$x_{1}=3;\;x_{2}=-4$ — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ 0″ alt=»x> 0″>.

8. Решите уравнение $6\log _{8}^{2}x-5\log _{8}x+1=0$ .

Сделаем замену $\log _{8}x=t$ . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

$6t^{2}-5t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{1}{3} \end{array} \right.$

Вернемся к переменной х:

$\left[ \begin{array}{ccc} \log _{8}x=\frac{1}{2}\\ \log _{8}x=\frac{1}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=8^{\frac{1}{2}}\\ x=8^{\frac{1}{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=\sqrt{8}\\ x=2 \end{array} \right.$

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине $x^{4}$ прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

$\log _{3}3\left ( x^{4}+25 \right )=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \log _{3}\left (30x^{2}+12 \right )$

$\left (30x^{2}+12 \right )$

$3\left ( x^{4}+25 \right) = 30x^{2}+12$

$3 x^{4} - 30x^{2}+63=0$

$x^{4} - 10x^{2}+21=0$

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения $x^{2}$ и $x^{4}$ . Сделаем замену $x^{2}=t,\;t\geq 0$

$t^{2}-10t+21=0$

$\left[ \begin{array}{ccc} t_{1}=3\\ t_{2}=7 \end{array} \right.$

Вернемся к переменной х. Получим:

$x_{1}=\sqrt{3},\;x_{2}=-\sqrt{3},\;x_{3}=\sqrt{7},\;x_{4}=-\sqrt{7}$ . Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмические уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую надо возвести $a$ , чтобы получить $b$ .

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}c}\Leftrightarrow { }\boldsymbol{{{ a}}^{{ c}}}{ }{ =}\boldsymbol{{ b}}.$

Основное логарифмическое тождество:

$\boldsymbol{{{ a}}^{{{{ log}}_{{ a}} { b}}}{ =}{ b}{,}}$

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} {{ a}}^{{ c}}}{ =c}}.$

Основные формулы для логарифмов:

$\boldsymbol{log_a(bc)}=\boldsymbol{log_ab+log_ac}$ (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

$\boldsymbol{log_a {{b} \over {c}}=log_ab-log_ac}$ (Логарифм частного равен разности логарифмов)

$\boldsymbol{log_ab^m=mlog_ab}$ (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

$\boldsymbol{{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{{{ log}}_{{ c}} { b}}}{{{{ log}}_{{ c}} { a}}} }$

$\boldsymbol{{ }{{{ log}}_{{ a}} { b}}{ =}\frac{{ 1}}{{{{ log}}_{{ b}} { a}}}}.$

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду ${{ } }{{log}_a {{ x}}_{{ 1}}}{ \textless }{{log}_a {{ x}}_{{ 2}}}.$ Знак здесь может быть любой: $\textgreater , \textgreater , \textless .$ Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени ${a} \textgreater 1$ , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что $0 \textless {a} \textless 1,$ знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения ${{log}_a x}$ .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение ${{log}_a x}.$

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.
Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!
Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

0;\\ 2x>0. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;15+3x%3E0;\\&space;2x%3E0.&space;\end{matrix}\right.»>

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

0;\\ x>0. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;2x-9%3E0;\\&space;x%3E0.&space;\end{matrix}\right.»>

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку <img title="\frac{5}{6}, логарифмическая функция с основанием $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство $2{{log}_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{log}_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}}$

$2{{\log }_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{\log }_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}1-x \textgreater 0 \\3x+1 \textgreater 0 \\{\left(1-x\right)}^2 \textgreater 3x+1 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \end{array}\\1+x^2-2x \textgreater 3x+1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \end{array}\\x^2-5x \textgreater 0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x \textless 1 \\x \textgreater -\frac{1}{3} \\x\left(x-5\right) \textgreater 0 \end{array}\right.$

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

5. Решите неравенство ${{log}_{x^2+1} \frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 0}$

Если $x\ne 0$ , то $x^2+1 \textgreater 1$ . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

$\frac{2\cdot 4^x-15\cdot 2^x+23}{4^x-9\cdot 2^x+14}\ge 1$

$\frac{2t^2-15t+23}{t^2-9t+14}-1\ge 0$

$\frac{2t^2-15t+23-t^2+9t-14}{t^2-9t+14}\ge 0$

$\frac{t^2-6t+9}{t^2-9t+14}\ge 0$

$\frac{{\left(t-3\right)}^2}{\left(t-2\right)\left(t-7\right)}\ge 0$

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

$\left[ \begin{array}{c}t=3 \\t \textgreater 7 \\t \textless 2 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}2^x=3 \\2^x \textgreater 7 \\2^x \textless 2 \end{array}\right. \\x\ne 0 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x={{\log }_2 3} \\x \textless 1 \\x \textgreater {{\log }_2 7} \end{array}\right. \\x\ne 0 \end{array}\right.\right.\right.$

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

0;\\ \frac{4}{x}\neq 1;\\ x\neq 1;\\ 16x\neq 1. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;x%3E0;\\&space;\frac{4}{x}\neq&space;1;\\&space;x\neq&space;1;\\&space;16x\neq&space;1.&space;\end{matrix}\right.»>

Упростим эту систему:

0;\\ x\neq 4;\\ x\neq 1;\\ x\neq \frac{1}{16}. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;x%3E0;\\&space;x\neq&space;4;\\&space;x\neq&space;1;\\&space;x\neq&space;\frac{1}{16}.&space;\end{matrix}\right.»>

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

Вернемся к переменной x:

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!
Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\frac{2-3x}{x}%3E0″>Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$
$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ Видим, что условие 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\frac{2-3x}{x}%3E0″> (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$
$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ Решаем неравенство методом интервалов:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

${{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ +}{{\log }_{\frac{{ 1}}{{ 3}}} \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +1}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}}$

Неравенство равносильно системе:

$\left\{ \begin{array}{c}{{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10 \textgreater 0} \\{ x}{ +5 \textgreater 0} \\{{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20 \textgreater 0} \\{{\log }_{{ 3}} \left({{ x}}^{{ 2}}{ +7x+10}\right){ -}{{\log }_{{ 3}} \frac{{ x+5}}{{ 9}}{ +}{{\log }_{{ 3}} { 3}}\ge {{\log }_{{ 3}} \left({{ 3x}}^{{ 2}}{ +16x+20}\right)}}} \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+5)(x+2) \textgreater 0\\x+5 \textgreater 0 \\(x+2)(x+{10\over3}) \textgreater 0 \\log_3{{(x+5)(x+2)\cdot9 \cdot 3}\over(x+5)} \textgreater log_3\left ( 3(x+2)(x+{{10}\over3{}}) \right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\9\cdot (x+2)\geq(x+2)(x+{{10}\over{3}}) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\x+ {{10}\over{3}} \leq9 \end{matrix}\right. \textless = \textgreater \left\{\begin{matrix} x \textgreater -2\\x\leq {{17}\over{3}} \end{matrix}\right.$

$\newline x^2+7x+10=0 \hfill \newline D=0; \newline \, x_{1,2} = {{-7 \pm3 }\over{2}}; \newline x_1=-5x; \, x_2=-2; \newline 3x^2+16x+20=0 \newline D=16^2-12\cdot 20 = \newline =16\cdot(16-3\cdot 5 )=16; \newline x_{1,2}={{-16 \pm4 }\over{6}}; \newline x_1=-2; \, x_2=-{{10}\over{3}}$

9. Решите неравенство:

log_{2}\left ( 5^{4-x^{2}}-2 \right )^{2}.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_{2}\left&space;(&space;\left&space;(&space;5^{-x^{2}}-3&space;\right&space;)\left&space;(&space;5^{-x^{2}+9}-1&space;\right&space;)&space;\right&space;)+log_{2}\frac{5^{-x^{2}}-3}{5^{-x^{2}+9}-1}%3Elog_{2}\left&space;(&space;5^{4-x^{2}}-2&space;\right&space;)^{2}.»>

Выражение 5^—x²навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$
$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

Неравенство примет вид:

log_{2}\left ( 625t-2 \right )^{2}» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_{2}\left&space;(&space;\left&space;(&space;t-3&space;\right&space;)&space;\left&space;(&space;5^{9}\cdot&space;t-1&space;\right&space;)\right&space;)+log_{2}\frac{t-3}{5^{9}\cdot&space;t-1}%3Elog_{2}\left&space;(&space;625t-2&space;\right&space;)^{2}»>

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5⁹ · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)².

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

Аккуратно запишем ОДЗ

0;\\ \frac{t-3}{5^{9}\cdot t-1}>0;\\ 625t-2\neq 0 \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;t%3E0;\\&space;\frac{t-3}{5^{9}\cdot&space;t-1}%3E0;\\&space;625t-2\neq&space;0&space;\end{matrix}\right.»>

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

(625t-2)^{2}» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3)^{2}%3E(625t-2)^{2}»>

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3)^{2}-(625t-2)^{2}%3E0;»>
0;» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(t-3-625t+2)(t-3+625t-2)%3E0;»>
0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(-624t-1)(626t-5)%3E0.»>
Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! Вспомним, что $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Вернемся к переменной x

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

0;\\ |x|-2\neq 1;\\ |x-3|\neq 0. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;|x|-2%3E0;\\&space;|x|-2\neq&space;1;\\&space;|x-3|\neq&space;0.&space;\end{matrix}\right.»>

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! Воспользуемся формулой $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ и перейдем к основанию 10:

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

0\\ x+2\neq 1\\ 36+16x-x^{2}>0\\ x\neq 18 \end{matrix}\right. \: \: \: \: \: \: \: \: \Leftrightarrow \: \: \: \: \: \left\{\begin{matrix} x>-2\\ x\neq -1\\ x\in (-2;18) \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;x+2%3E0\\&space;x+2\neq&space;1\\&space;36+16x-x^{2}%3E0\\&space;x\neq&space;18&space;\end{matrix}\right.&space;\:&space;\:&space;\:&space;\:&space;\:&space;\:&space;\:&space;\:&space;\Leftrightarrow&space;\:&space;\:&space;\:&space;\:&space;\:&space;\left\{\begin{matrix}&space;x%3E-2\\&space;x\neq&space;-1\\&space;x\in&space;(-2;18)&space;\end{matrix}\right.»>
Итак, $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ Это ОДЗ.

Обратите внимание, что $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ Ведь выражение $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Про ЕГЭ: Какие ЕГЭ нужно сдавать на юриста (перечень предметов) в 2022 году

Как же быть? Вспомним, что (x — 18)²=(18 — x)². Тогда:

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ Вторая ловушка – попроще. Запись $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$
Дальше – всё просто. Сделаем замену $Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$ — не удовлетворяет ОДЗ;

$Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!$

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Логарифмические неравенства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Содержание

Логарифмы
Простейшие показательные уравнения
Общий метод решения показательных уравнений
Решение показательных уравнений при помощи замены
Однородные показательные уравнения
Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи мы постарались расположить по возрастанию сложности.
Тема 1: Линейные, квадратные, кубические уравнения
Тема 2: Рациональные уравнения
Тема 3: Иррациональные уравнения
Тема 4: Показательные уравнения
Тема 5: Логарифмические уравнения
Тема 6: Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения
Что такое тригонометрические уравнения?
Как решать простейшие тригонометрические уравнения?
Решение тригонометрического уравнения с синусом на окружности
Арксинус. Обратная тригонометрическая функция синусу
Решение тригонометрического уравнения с косинусом на окружности
Арккосинус. Обратная тригонометрическая функция косинусу
Тригонометрическое уравнение с тангенсом на окружности
Арктангенс. Обратная тригонометрическая функция тангенсу
Тригонометрическое уравнение с котангенсом
Арккотангенс. Обратная тригонометрическая функция котангенсу
Формулы для решения тригонометрических уравнений
Замена переменной в тригонометрических уравнениях
Замена выражения под тригонометрической функцией
Замена всей тригонометрической функции
Тригонометрические уравнения в ЕГЭ
Однородные тригонометрические уравнения
Вынесение общего множителя в тригонометрических уравнениях
Метод группировки в тригонометрических уравнениях
ОДЗ в тригонометрических уравнениях
Разные типы тригонометрических уравнений

Логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2^x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2^x = 7.

По графику функции y = 2^x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2² = 4, 2³ = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Итак, наше число log₂7 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! так как
;

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! , так как
;

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! так как ;

Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! , так как
.

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log₂(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

По определению, log_ab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

Логарифм частного — это разность логарифмов:

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

Формулы (4) и (5) вместе дают:

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

В частности, если c = b, то log_bb = 1, и тогда:

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров! (применили основное логарифмическое тождество(1)).

3. $log^{2}_{\sqrt{7}}49=(log_{\sqrt{7}}49)^{2}=(log_{\sqrt{7}}7^{2})^{2}=(2log_{\sqrt{7}}7)^{2}=(2\cdot 2)^{2}=16$ (применили формулу (4)).

4. $log_{0,8}3\cdot log_{3}1,25=log_{0,8}3\cdot \frac{log_{0,8}1,25}{log_{0,8}3}=log_{0,8}1,25=log_{\frac{4}{5}}\frac{5}{4}=-1$ (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. $\frac{9^{log_{5}50}}{9^{log_{5}2}}=9^{log_{5}50-log_{5}2}=9^{log_{5}25}=9^{2}=81$ (применили формулу (3) разности логарифмов).

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Логарифмы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Он поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие степеней и переменной $х$ не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Где $a$ и $b$ — некоторые числа, а $f(x)$ и $g(x)$ — какие-то выражения, зависящие от $x$. Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение $х$. Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

$$ 2^x=8;$$

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо $х$ даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

$$ 2^3=2*2*2=8; $$

Значит, если $х=3$, то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь по-сложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны $3$, только вот степени разные – слева степень $(4х-1)$, а справа $(-2)$. Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что $125=5*5*5=5^3$, а $25=5*5=5^2$, подставим:

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить $2$ в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где $a,b$ какие-то положительные числа. ($a>0, \; b>0$).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит $a^x$, с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число $b$, которое нужно попытаться представить в виде $b=a^m$. Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что $16=2*2*2*2=2^4$ это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

Здесь мы заметили, что $9=3^2$ и $81=3^4$ являются степенями $3$.

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

$$ 3^x=2;$$

$3$ и $2$ привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число $b>0$, тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице $a>0, \; a \neq 1$:

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим $2$ в виде $3$ в какой-то степени, где $a=3$, а $b=2$:

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Про ЕГЭ: Ответы к сборнику 30 вариантов базового уровня ЕГЭ-2022

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: $a^x=b$, где $a>0; \; b>0$.

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа $a^x=b$, где $a>0; \; b>0$. Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

$$ 9^x-5*3^x+6=0;$$

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Обратим внимание, что во всем уравнении все $х$ «входят» в одинаковую функцию — $3^x$. Сделаем замену $t=3^x, \; t>0$, так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание $3$. Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член $3=2+1$ и вынести общий множитель $2$:

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение $t$:

Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.

Однородные показательные уравнения

Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:

Тут у нас две показательные функции с основаниями $7$ и $3$, и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на $3^x$:

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену $t=2^x$ или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель $2^x$):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера.
Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании $2$, $5$ и $10$. Очевидно, что $10=2*5$. Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой $(a*b)^n=a^n*b^n$:

И перекинем все показательные функции с основанием $2$ влево, а с основанием $5$ вправо:

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

верхняя шапка

Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи
мы постарались расположить по возрастанию сложности.

Тема 1: Линейные, квадратные, кубические уравнения

Тема 2: Рациональные уравнения

Тема 3: Иррациональные уравнения

Тема 4: Показательные уравнения

Тема 5: Логарифмические уравнения

Тема 6: Тригонометрические уравнения

нижняя шапка

урок 5. Математика ЕГЭ

Тригонометрические уравнения

Тригонометрия – одна из самых важных тем на ЕГЭ по профильной математике. Она может встретиться в №1 (простейшие уравнения), №4 (преобразование выражений, в том числе тригонометрических), знание свойств тригонометрических функций может пригодится в №9, №11 (производные) и в задании из второй части №12 (тригонометрические уравнения).

Как видите, потенциально хорошие знания по тригонометрии могут принести вам до 6 первичных баллов на ЕГЭ. Конечно, вряд ли тригонометрия будет сразу во всех перечисленных номерах, но без нее написать хорошо профильную математику будет сложно.

Самой сложной темой из тригонометрии являются тригонометрические уравнения. Здесь вам понадобятся все ваши умения по работе с тригонометрической окружностью, знание тригонометрических формул, умение работать с тригонометрическими выражениями и переводить градусы в радианы и наоборот. Тригонометрические уравнения почти всегда попадаются в 12-м номере ЕГЭ, а это уже вторая часть, и за это задание дают целых два первичных балла.

Что такое тригонометрические уравнения?

Итак, если в уравнении переменная $x$ (или какое-то выражение от $x$) содержится внутри функций синуса, косинуса, тангенса или котангенса, то такое уравнение называется тригонометрическим. Например:
$$3\sin(2x)-2\cos(x)^2=0;$$
Но будьте внимательными, если уравнения имеет вид:
$$\cos(x)+2x=3;$$
То уравнение уже будет называться смешанным, так как в нем есть и тригонометрическая функция $(\cos(x))$, и линейная $(2x)$. Такое уравнение уже значительно сложнее, и в ЕГЭ они если и встречаются, то очень редко. Здесь смешанные уравнения мы рассматривать не будем.

Но начинать изучение мы будем с простейших тригонометрических уравнений. Это фундамент, на котором строится все остальное. Простейшие уравнения имеют такой вид:
$$\sin(f(x))=a;$$
$$\cos(f(x))=a;$$
$$tg(f(x))=a;$$
$$ctg(f(x))=a;$$
где $a$ — некоторое число, а $f(x)$ – некоторое выражение, зависящее от $x$;

Как решать простейшие тригонометрические уравнения?

Существует два основных метода решения:

При помощи единичной окружности;
С использованием готовых формул;

Лично я сторонник решения при помощи единичной окружности. С использованием формул решать, на мой взгляд, не очень удобно, потому что нужно их учить и теряется, как и при любой зубрежке, элемент понимания того, что ты делаешь. Но мы разберем оба способа.

Решение тригонометрического уравнения с синусом на окружности

Здесь необходимо идеальное знание тригонометрической окружности. Если его нет (а без нее в тригонометрии, в любом случае, делать нечего), то рекомендую почитать про нее по ссылке, либо же переходите сразу к методу решения через формулы.

Будем учиться на примере простейшего тригонометрического уравнения:

Тригонометрические уравнения с синусом

Рис.1. Тригонометрические уравнения с синусом

Таблица значений тригонометрических функций

Рис.2. Таблица значений тригонометрических функций

Другими словами, у функции синуса есть период, равный ($360^o=2\pi$), то есть каждый полный оборот значение синуса будет повторяться.

Таким образом, тригонометрические уравнения обычно имеют бесконечное количество решений, которые записываются в виде некоторых правил, как в нашем примере. Запомните это, почему-то немногие это понимают.

Тригонометрические уравнения с синусом

Рисуем тригонометрическую окружность;
Отмечаем примерное значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx-\frac{1,4}{2}=-0,7$ на оси синусов в точке $P$;
Проводим перпендикуляр к оси синусов через точку $P$;
Получили две точки пересечения с единичной окружностью $F$ и $T$;
Согласно построению, углы $\angle{AOF}$ и $\angle{AOT}$ искомые (показаны на рис. 3 синим цветом): синус от них будет равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Не забываем отсчитывать углы от отрезка $OA$ ПРОТИВ часовой стрелки, здесь углы будут тупыми, как показано на рисунке;
Выяснили при помощи окружности, что нас устраивает как минимум два значения $x$ (угол $\angle{AOF}$ и $\angle{AOT}$);
Внимание! Осталось найти значения этих углов. И вот тут у нас загвоздка, так как значение синуса у нас отрицательное, и его нет в таблице стандартных углов. Как же найти углы?
Но зато в таблице есть значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$! (См.Рис. 2)
Проделаем и отметим на окружности все предыдущие шаги, как будто мы решаем уравнение $\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь все происходит в верхней половине окружности. Обозначим углы, синус от которых $\frac{\sqrt{2}}{2}$ за $\angle{MOA}$ и $\angle{NOA}$. Эти углы мы найти можем, так как значение синуса $\frac{\sqrt{2}}{2}$ есть в таблице стандартных углов:
$$\angle{MOA}=45^o=\frac{\pi}{4};$$
Аналогично примеру №1 находим:
$$\angle{NOA}=180^o-\angle{NOC}=180^o-45^o=135^o=\frac{3\pi}{4};$$
Получилась абсолютно симметричная картина относительно горизонтальной оси (оси косинусов). (См. Рис. 3). Если согнуть рисунок по горизонтальной оси, то верхняя половина единичной окружности точно совпадет с нижней. Это значит, что $\angle{MOA}=\angle{FOA}$ и $\angle{TOA}=\angle{NOA}$ (углы показаны на рис.3. зелёным цветом).
Тогда согласно рис.3 мы можем выразить искомые углы:
$$\angle{AOF}=360^o-\angle{FOA}=360^o-\angle{MOA}=360^o-45^o=315^o=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4};$$
$$\angle{AOT}=360^o-\angle{TOA} =360^o-\angle{NOA}=360^o-135^o=225^o=2\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{5\pi}{4};$$
Углы найдены, добавляем к каждому период $2\pi*n$ и записываем ответ.

Абсолютно без разницы в каком виде записать ответ в примере №2, по сути, первый и второй вариант ответа это одно и то же. Напоминаю, что ответы в тригонометрии мы записываем в виде правила, которому подчиняются бесконечное количество углов. Правило одно и то же, и задает одни и те же углы, только разная точка отсчета, к которой прибавляется период $2\pi*n.$ Попробуйте на бумаге поподставлять различные значения $n$ и туда, и туда. Убедитесь сами, что корни будут получаться одинаковые.

Я бы использовал второй вариант написания ответа, на мой взгляд, он легче.

Пример 3
$$\sin(x)=1;$$
Решим вот такое интересное тригонометрическое уравнение.

Тригонометрические уравнения с синусом равным единице

Рисуем единичную окружность;
На оси синусов отмечаем значение $1$;
Проводим перпендикуляр к оси синусов через $1$;
Наш перпендикуляр пересечет окружность только в одной точке! На Рис.4. эта точка отмечена как $B$;
Раз у нас всего лишь одна точка, значит и угол будет один. Точка $B$ соответствует углу $90^o=\frac{3\pi}{2}$;
Записываем ответ, не забывая про период;

Арксинус. Обратная тригонометрическая функция синусу

И разберем последнее типовое тригонометрическое уравнение с синусом:

Тригонометрическое уравнение с арксинусом

В общем, арксинус – это просто обозначение угла. Но так как в предыдущих примерах мы выяснили, что практически любому значению синуса соответствует как минимум два угла, то какой из этих углов это арксинус?

Решение тригонометрического уравнения с косинусом на окружности

На самом деле, уравнения с косинусом мало чем отличаются от уравнений с синусом. Рассмотрим алгоритм решения на примере:

Тригонометрическое уравнение с косинусом

Рисуем единичную окружность;
Отмечаем на линии косинусов (горизонтальная линия) значение $\frac{1}{2}$ в точке $P$;
Проводим перпендикуляр $a$ к линии косинусов через точку $P$;
Перпендикуляр $a$ пересечет окружность в точках $K$ и $L$;
Точки $K$ и $L$ соответствуют углам $\angle{KOA}$ и $\angle{LOA}$;
Косинус от углов $\angle{KOA}$ и $\angle{LOA}$ будет равен $\frac{1}{2}$ по построению;
Осталось найти значение этих углов. Смотрим в таблицу стандартных значений и находим, что косинус от угла $60^o=\frac{\pi}{3}$ будет как раз равен $\frac{1}{2}$;
Тогда, держа в голове, что углы отсчитываются ПРОТИВ часовой стрелки от отрезка $OA$ делаем вывод, что $\angle{KOA}=60^o=\frac{\pi}{3};$
Угол $\angle{LOA}$ находим из соображения симметрии картинки относительно горизонтальной оси косинусов: $\angle{LOA}=-\angle{KOA}=-60^o=-\frac{\pi}{3}.$ Знак минус появляется потому что $\angle{LOA}$ мы отсчитываем от отрезка $OA$ ПО часовой стрелке.
Мы нашли углы, косинус от которых будет равен $\frac{1}{2}$, добавляем период $2\pi*n$ и записываем ответ;

Тригонометрические уравнения с косинусом легче, чем с синусом: находишь один угол, а второй просто записываешь со знаком минус из горизонтальной симметрии.

Тригонометрическое уравнение с косинусом

Рисуем тригонометрическую окружность;
Отмечаем на линии косинусов примерное значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-\frac{1,7}{2}=-0,85$ в точке $F$;
Проводим перпендикуляр к линии косинусов через точку $F$;
Обозначим точки пересечения с окружностью за $M$ и $N$;
Точки $M$ и $N$ соответствуют углам $\angle{MOA}$ и $\angle{NOA}$;
Осталось найти значение этих углов. Но у нас опять небольшая проблема: в таблице стандартных углов нет значения $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Зато там есть $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отметим на той же окружности решение уравнения $\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (см. Рис. 7), оно будет в правой части окружности, а углы $\angle{EOA}$ и $\angle{TOA}$ будут решениями. Из таблицы стандартных углов находим, что косинус от угла $30^o=\frac{\pi}{6}$ будет равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значит $\angle{EOA}=\frac{\pi}{6}$, а $\angle{TOA}=-\frac{\pi}{6}$, если его отсчитать по часовой стрелке.
Обратите внимание, что рисунок симметричен относительно вертикальной оси синусов, что нам дает равенство углов $\angle{MOC}=\angle{EOA}=30^o=\frac{\pi}{6}$. Теперь можем найти $\angle{MOA}$:
$$\angle{MOA}=180^o-\angle{MOC}=180^o-30^o=150^o=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6};$$
А угол $\angle{NOA}$ из геометрических соображений равен $\angle{MOA}$, но отсчитываем мы его ПО часовой стрелке:
$$\angle{NOA}=-\angle{MOA}=-\frac{5\pi}{6};$$
Мы нашли углы, косинус от которых будет равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, добавляем период $2\pi*n$ и записываем ответ;

Тригонометрическое уравнение с косинусом равным нулю

Как обычно, рисуем окружность;
На оси косинусов отмечаем значение $0$, оно лежит прямо в пересечении осей синуса и косинуса;
Проводим перпендикуляр к оси косинусов через точку $0$. Будьте внимательны, этот перпендикуляр полностью совпадет с осью синусов и пересечет окружность в точках $B$ и $D;$
Углы $\angle{BOA}$ и $\angle{DOA}$ искомые;
Точки $B$ и $D$ соответствуют на окружности углам $90^o=\frac{\pi}{2}$ и $-90^o=-\frac{3\pi}{2}.$
Учитывая период, записываем ответ:

Арккосинус. Обратная тригонометрическая функция косинусу

По аналогии с арксинусом существует функция обратная косинусу. Каждый раз, когда вам встречается не табличное значение, придется использовать арккосинус. Познакомимся с ним на примере:

Тригонометрическое уравнение с арккосинусом

Так как почти любому значению косинуса соответствует минимум две точки (два угла) на окружности, то для того, чтобы понять, какой именно угол из этих двух будет арккосинусом, на функцию арккосинус накладываются определенные ограничения:

Тригонометрическое уравнение с тангенсом на окружности

Тангенс и котангенс на единичной окружности ведут себя несколько иначе, чем синус и косинус. Кто не помнит, как тангенс и котангенс отображаются на окружности и какими свойствами обладают, рекомендую повторить.

Как обычно, будем учиться на примерах:

Тригонометрическое уравнение с тангенсом

На тригонометрической окружности необходимо нарисовать ось тангенсов. Напоминаю, что она параллельна оси синусов и проходит через точку $A$;
На оси тангенсов отмечаем значение $1$, обозначим эту точку за $K$;
Соединим точку $K$ с центром окружности и продлим до пересечения с окружностью;
Получим две точки на окружности $M$ и $N$;
Они соответствуют углам $\angle{MOA}$ и $\angle{NOA}$, тангенс от которых будет равен $1$;
По таблице стандартных углов находим, что тангенс равен $1$ от угла $45^o=\frac{\pi}{4}$, судя по рисунку №10, это будет угол $\angle{MOA}$;
Угол $\angle{NOA}$ можно найти по формуле:
$$\angle{NOA}=180^o+\angle{MOA}=\pi+\angle{MOA}=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4};$$
Это следует из окружности, посмотрите на Рис.10. Наши два угла отличаются ровно на $180^o=\pi$ градусов. Это важный момент, который дает нам возможность записывать ответ в одну строчку, а не в две, как у синуса и косинуса:
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Главный вывод в том, что у простейшего уравнения с тангенсом записывается в ответ только одна точка (любая) и прибавляется период $\pi*n$. Этот факт можно просто запомнить.

Арктангенс. Обратная тригонометрическая функция тангенсу

По аналогии с арксинусом и арккосинусом существует и арктангенс – функция, обратная тангенсу. Она необходима, когда перед вами нестандартные (не табличные) значения тангенса.

Тригонометрическое уравнение с арктангенсом

Рисуем единичную окружность;
Отмечаем на оси тангенсов значение $3$, обозначим за точку $K$;
Через точку $K$ и центр окружности проводим прямую, которая пересечет окружность в двух точках $M$ и $N$;
В таблице стандартных углов тангенс, равный $3$, вы не найдете. И тут нам пригодится арктангенс. Арктангенсом мы будем называть угол, тангенс от которого равен 3-м. Поэтому угол $\angle{MOA}=arctg(3),$ согласно определению арктангенса;
Угол $\angle{NOA}$ можно найти по формуле:
$$\angle{NOA}=\angle{MOA}+180^0=\angle{MOA}+\pi=arctg(3)+\pi;$$
Но на самом деле, оба угла $\angle{MOA}$ и $\angle{MOA}$ для ответа нам не нужны. В ответ мы можем записать любой из них и указать период $\pi*n$, который покроет оба угла;

Ответ: $x=arctg(3)+\pi*n, \quad n \in Z.$

Тригонометрическое уравнение с котангенсом

Уравнения с котангенсом очень похожи на уравнения с тангенсом с одним исключением: ось котангенсов на единичной окружности параллельна горизонтальной оси косинусов, полностью ее дублирует и проходит через точку $B$.

Тригонометрическое уравнение с котангенсом

Рисуем единичную окружность;
Проводим через точку $B$ ось котангенсов параллельно горизонтальной оси;
На оси котангенсов отмечаем значение $\sqrt{3}\approx1,7$, обозначим за точку $P$;
Соединяем точку $P$ с центром окружности и продляем до пересечения с ней в двух точках: $L$ и $F$;
Котангенс от углов $\angle{LOA}$ и $\angle{FOA}$ и будет равен $\sqrt{3}$;
В таблице стандартных углов находим, что $ctg(\frac{\pi}{6})=\sqrt{3};$
Согласно рисунку $\angle{LOA}=\frac{\pi}{6}$, а угол $\angle{FOA}=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6};$
Как и с тангенсом, оба угла нам не нужно, достаточно в ответе указать одну точку с периодом $\pi*n$;

В простейших уравнениях с котангенсом в ответе мы указываем любой из двух получившихся углов, при этом не забываем про период $\pi*n$.

Разберем еще уравнение с отрицательной правой частью:

Отметим на тригонометрической окружности ось котангенсов и на ней значение $-1$. Так подробно расписывать решение, как в прошлых примерах, мы не будем, идея уже должна быть давно понятна.

Тригонометрическое уравнение с котангенсом

Арккотангенс. Обратная тригонометрическая функция котангенсу

И нам осталось обсудить последнюю тригонометрическую функцию в школьной программе: арккотангенс.

Как и другие обратные функции, арккотангенс от некоторого числа $a$ – это угол, котангенс от которого будет равен $a$:
$$tg(arcctg(a))=a; \qquad a\in(-\infty;+\infty); $$
$$arcctg(a)\in(0;\pi).$$
Обратите внимание на ограничения, которые по определению накладываются на арккотангенс: его значения принадлежат промежутку $(0;\pi)$, то есть это углы, лежащие в верхней половине окружности. Эти ограничения необходимы для однозначности функции арккотангенса, так как любому значению котангенса всегда соответствует две точки на окружности, а значит минимум два угла (в верхней и нижней полуокружностях).

Тригонометрическое уравнение с арккотангенсом

Ответ: $x=arcctg(5)+\pi*n, \quad n \in Z.$

Формулы для решения тригонометрических уравнений

Мы разобрали решения всех основные типы простейших тригонометрических уравнений при помощи единичной окружности. Я бы рекомендовал всегда решать именно при помощи окружности, это очень полезно для понимания.

А сейчас мы запишем формулы, при помощи которых можно решать уравнения без единичной окружности.

Пусть у нас есть простейшие тригонометрические уравнения:

Можно просто запомнить формулы и решать уравнения с их помощью.

И полезно помнить формулы, которые мы вводили, когда давали определение обратных функций:
$$\arcsin(-a)=-\arcsin(a);$$
$$\arccos(-a)=\pi-\arccos(a);$$
$$arctg(-a)=-arctg(a);$$
$$arcctg(-a)=\pi-arcctg(a).$$

Сразу выпишем общую формулу ответа:

Замена переменной в тригонометрических уравнениях

Замена выражения под тригонометрической функцией

Мы научились решать простейшие уравнения. И на этом строится решение всех остальных тригонометрических уравнений. Они все так или иначе сводятся к решению простейших. И один из способов – это введение замены переменной.

Вы должны были с этим регулярно сталкиваться в младших классах при решении, например, биквадратных уравнений. Все дальнейшие рассуждения предполагают, что вы знаете, что такое замена переменной. Итак, разберем пример:

Обратите внимание, что теперь у нас под синусом стоит не просто $x$, а целое выражение. Давайте избавимся от него, убрав $2x$ в замену: пусть $t=2x$.

Аналогичным образом можно решать тригонометрические уравнения с более сложным подтригонометрическим выражением:

Замена всей тригонометрической функции

Что делать с подтригонометрическим выражением, мы разобрались. Теперь решим пример на замену, при помощи которой тригонометрическое уравнение сводится к квадратному.

Тригонометрические уравнения в ЕГЭ

В ЕГЭ в большинстве тригонометрических уравнений нужно уметь преобразовать исходное уравнение и сделать замену. Для того, чтобы правильно преобразовывать уравнение, необходимо хорошо знать тригонометрические формулы и помнить главное правило:

Стараться свести уравнение к виду, в котором все тригонометрические функции и выражения, от которых они берутся, одинаковы.

Другими словами, нужно сделать так, чтобы во всем уравнении везде был, например, только синус от $x$.

Рассмотрим несложный реальный пример из ЕГЭ.

Этот пример уже сложнее: во-первых, под тригонометрическими функциями стоят какие-то непонятные, да еще и разные, выражения; во-вторых, в уравнении у нас и синус, и косинус, а должно быть что-то одно.

Однородные тригонометрические уравнения

Мы выяснили, что для того, чтобы решить уравнение, необходимо привести все к одинаковым тригонометрическим функциям от одинаковых аргументов. Но иногда сделать это затруднительно. Например, как вы будете решать вот такое уравнение:

Рассмотрим еще один пример:

Мы рассмотрели два примера так называемых однородных уравнений первой степени. Рассмотрим пример на однородное уравнение второй степени.

Есть нюанс, на котором школьники часто сыпятся. Освоив метод деления, ученик начинает пытаться решить тригонометрические уравнения только через него и на экзамене, решив вроде все правильно, получает 0 баллов.

Оказывается, что не всякое уравнение можно разделить на выражение зависящее от $x$. Посмотрите пример №26, это убережет вас от подобных ошибок на экзамене.

Запомните важное правило! Делить уравнение можно только тогда, когда выражение, на которое вы делите, равное нулю не будет корнем исходного уравнения.
В нашем случае мы делим на $\sin(x)$, но $\sin(x)=0$ является решением, поэтому делить нельзя.

Чтобы все-таки решить это уравнение правильно, нужно воспользоваться вынесением общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя в тригонометрических уравнениях

Еще один распространенный на ЕГЭ тип тригонометрических уравнений, в которых необходимо вынести общий множитель.

Метод группировки в тригонометрических уравнениях

Рассмотрим еще уравнение, которое было на ЕГЭ 2015 года на метод группировки. Тоже нужно обязательно это знать. Сам метод, если кто не знает, сводится, по сути, к вынесению общего множителя за скобки, только немного сложнее.

ОДЗ в тригонометрических уравнениях

С областью допустимых значений мы сталкиваемся в уравнениях и неравенствах, в которых есть знаменатели, корни и логарифмы.

Тригонометрические уравнения не исключение, в них тоже встречается все вышеперечисленное. И в этом случае мы вынуждены не забывать про ограничения и выписывать ОДЗ перед тем, как решать.

В этом уравнении есть квадратный корень, а значит подкоренное выражение не может быть меньше нуля, невозможно взять корень из отрицательного числа. ОДЗ будет выглядеть:
$$13\cos(x)\ge0;$$
$$\cos(x)\ge0;$$
Получили тригонометрическое неравенство, которое мы решать еще не умеем. Более того, в школах часто совсем не проходят тему тригонометрических неравенств. Поэтому постараемся решить исходя из логики при помощи единичной окружности.

Тригонометрическое уравнение с ОДЗ

Обратите внимание, что в ответе период стал $2\pi*n$, а не $\pi*n$, как у нас получалось при решении. Это связано с тем, что период $\pi*n$ покрывает на окружности две точки: из левой полуокружности, которая нам не подходит по ОДЗ, и из правой, которая подходит. А раз нам подходит только одна правая точка, то период будет $2\pi*n$.

Разные типы тригонометрических уравнений

Подведем важные итоги. Существует три основных метода решения тригонометрических уравнений: замена переменной, вынесение общего множителя (группировка), и деление (однородные уравнения).

Во избежание ошибок, я бы всегда стремился решать либо через замену, либо через вынесение общего множителя. А деление использовать, когда у вас не получается решить другими способами. Это убережет от ошибок, описанных в конце главы про однородные уравнения.

Порешаем разные полезные нестандартные уравнения, которые могут встретиться на ЕГЭ.

Обратите внимание, что тут обе тригонометрические функции берутся от $2x$. В предыдущих примерах мы всегда избавлялись от $2x$ и старались преобразовать так, чтоб аргумент был просто $x$.

Но, оказывается, так делать необязательно. Так как тут аргумент везде $2x$, то будем решать с ним. Нам, на самом деле, не важно, какой у вас аргумент, главное, чтобы он был одинаковый у всех тригонометрических функций, входящих в уравнение.

Как пользоваться формулами приведения? Правило лошади, единичная окружность и формулы суммы и разности для нахождения формул приведения.

Как пользоваться тригонометрической окружностью? Синус, косинус, тангнес и котангнес на единичной окружности. Свойства симметрии. Перевод градусов в радианы.

Разбираем тригонометрию с нуля. Синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике. Таблица стандартных углов и свойства тригонометрических функций.

Как решать показательные неравенства. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Однородные степенные неравенства.

Как решать неравенства с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в логарифмических неравенствах. Сужение ОДЗ.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Про ЕГЭ: Социальные отношения Презентация кодификатора ЕГЭ по обществознанию и ЕГЭ по обществознанию, 11 класс Тема 4