Решение экономических задач. ЕГЭ задание 17презентация к уроку по алгебре (11 класс)

На этой странице вы узнаете

• Как между двумя товарами выбрать наиболее выгодный? 
• Что можно выразить с помощью функции?
• Каким способом можно решать задачи на оптимизацию, не прибегая к параболе?

Что выгоднее: купить упаковку чипсов весом 210 граммов за 150 рублей или упаковку весом 90 граммов за 70 рублей? Сегодня мы узнаем, что удачные покупки — это не только товары по скидке или два по цене одного. Заодно разберем одну из важных тем в экономике. 

Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.

Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.

Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.

Исследовательская работа «Финансовая математика в задачах ЕГЭ»

Именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике под номером 17.

За решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.

Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике, необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику.

Это формулы суммы арифметической и геометрической прогрессии. Поэтому в данном проекте представлены алгоритмы решения данных задач, выведены универсальные формулы.

Но сначала, конечно, мы попробуем разобраться в банковских терминах и схемах, необходимых для решения задач. А именно, в схемах начисления процентов по банковским вкладам.

Автор: Бурмистрова А. В.

→ скачать материал

→ просмотр

Пример заданий:

Задача 14.

Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего.

Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Пример 18.

Баржу грузоподъёмностью 180 тонн используют для перевозки контейнеров типов А и В. По условиям договора количество перевозимых контейнеров типа А должно составлять не более 75% количества перевозимых контейнеров типа В. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 3 тонны и 3 млн руб., контейнера типа В — 7 тонн и 5 млн руб. соответственно. Найдите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн руб.) всех контейнеров, которые можно перевезти при данных условиях.

Укажите число контейнеров типа А и число контейнеров типа В, которые нужно перевезти для получения наибольшей возможной суммарной стоимости.

Пример 19.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Связанные страницы:

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Задача №1

Условие:

Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t² тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Решение

Пусть \(y\) — количество лет хранения акций, \(x
\) — количество лет держания вырученных от продажи акций средств в банке.

Имеем \(x +y=20\), откуда \(x=20-y\).

Запишем уравнение (целевую функцию) прибыли \(y^2+y^2*x*0,25\), подставим выражение для \(x\),

имеем  \(y^2+y^2*(20-y)*0,25=y^2+5y^2-0,25y^3\).

Возьмем производную от полученного выражения, имеем \(12y+0,75y^2\) или \(y=12:0,75=16\).

Таким образом, держать средства для получения максимальной прибыли следует 16 лет.

Ответ: 16.

Задача №2

Условие:

Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t³ часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t³ часов в неделю, они производят t приборов. За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение

Пусть \(x
\) — количество приборов, выпущенных на первом заводе, \(y
\) — количество приборов, выпущенных на втором заводе. Тогда \(x+y=20\) или выразим \(y\) имеем \(y=20-x\).

Запишем целевую функцию \(4x^3+у3= 4x^3+(20-x)^3=4x^3+8000-1200x+60x-x^3=3x^3-1140x+8000\).

Возьмем произодную от полученного выражения имеем \(9x^2-1140=0\).

Решим полученное уравнение \(x^2=126\).

Получаем, что на первом заводе следует выпустить 11 приборов. Соответственно, на втором заводе надо выпустить 9 приборов. Посчитаем наименьшую сумму, которую придется заплатить рабочим за неделю.

Имеем \(1000*4*11^3+1000*9^3=1331000*4+729000=5324000+729000=6053000\).

Ответ: 6053000.

Задача №3

Условие:

Зависимость количества Q (в шт., 0 ≤ Q ≤ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=20000-P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 <t <10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ — 6000Q — 4000000 — tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Решение

Запишем целевую функцию, прибыль фирмы, она равна PQ-6000Q- 4000000-tQ.

Подставим в нее значение Q=20000-P.

Имеем P(20000-P)-6000(20000-P)-4000000-t(20000-P)=20000P-P²-120000000-6000P-4000000-20000t+tP=-P²+14000P+tP-20000t-124000000=-P²+P(14000+t)-(20000t+124000000).

По условию задачи эта функция достигает максимума, найдем точку максимума, для этого возьмем производную, приравняем нулю и решим полученное уравнение.

Имеем -2Р+14000+t=0, откуда получаем значение P=7000+t/2.

Подставим полученное значение в целевую функцию, имеем -(7000+t/2)²+(7000+t/2)(14000+t)- 20000t+124000000) = 49000000 + 7000t + t²/4+98000000+7000t+7000t+t²/2=3t²/4+21000t+147000000.

Найдем точку максимума, т. е. возьмем производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение.

Имеем 1,5t+21000=0 или t=14000.

При этом значении сумма налогов полученных государством будет максимальна. Но у по условию задачи оно должно быть меньше 10000. Поэтому  положим t=10000.

Ответ:10000.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Репетитор по математике

Минский государственный лингвистический университет

Репетитор по математике

Узбекский Государственный университет мировых языков

Репетитор по математике

Орский Государственный Педагогический Институт имени Т.Г.Шевченко

Вклады и кредиты

Задание № 17 КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровнязадачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.

         С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:

чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);

составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

решение полученного уравнения, неравенства или системы;

исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.

Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.

На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты прототипа 11 ЕГЭ.

Далее переходим к изучению

Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными платежами.

 — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

Формула вычисления сложных процентов:

(начисление процентов к исходной сумме)

— размер первоначального вклада;

Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.

Решение экономической задачи целесообразно начинать:

) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы; ( самое важное!)

2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого . Алгоритм – запоминаем!

Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.

Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению результата.

И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!

1. Задачи на «сложные» проценты.

1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил вкладчик в течение каждого из первых трех лет?

=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, =1,2

Можно использовать формулы:

1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?

Ответ: 25000 рублей.

2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные платежи.

Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по процентам.

2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.

-общая сумма выплат,

=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель,

ежегодная выплата,

Кредит был погашен за 4 года, значит:

Ответ: 201 300 рублей.

Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и ту же величину), дифференцированные платежи.

Основные характеристики дифференцированного платежа

 1. Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

2. Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

3. Дифференцированный платеж равен , где S – сумма (тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;

4. Первый платеж самый большой;

5. Последний платеж самый маленький. 

При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

=1% — ежемесячный процент по вкладу,

Выплаты за 2 год

Выплаты за 1 год

Ответ:1 066 500 рублей.

4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей или разные платежи каждый год).

4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – 

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1.2 млн. рублей.

% — ежемесячный процент по вкладу,

– «накапливающий» множитель,

Общая сумма выплат равна

Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о вкладах и кредитах.

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решениякаждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать.

1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.  

М.: 2020. — 168 с.

2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с ответами.  

4-е изд., перераб. и доп. — М.: 2018. — 128 с.

ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т. 

ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень)   

М.: 2018. — 208 с.

В задании №17 в ЕГЭ по профильной математике, вместо ожидаемой текстовой задачи на кредиты, иногда встречаются оптимальный выбор. Этот вид задач считается более сложным по сравнению с кредитами. Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, нужно научиться их решать.

Тут требуется умение искать наибольшие и наименьшие значения функции, обычно зависящей от нескольких переменных. Эти переменные, как правило, связаны дополнительными условиями.

Вам обязательно понадобится умение искать производные и исследовать функции на экстремумы. Нужно знать, что такое ограниченные, возрастающие и убывающие функции. Если вы умеете решать 12-й и 7-й номера из ЕГЭ, то вам повезло – все необходимое для решения инструменты уже у вас в руках. А те, кто не умеет считать производные, то настоятельно рекомендуем сначала разобраться с первой частью экзамена и только потом переходить на более сложные задачи, такие, как №17.

Основной подход к решению заключается в следующем. Необходимо составить функцию, задающую нужную зависимость – если нужно найти максимальную или минимальную прибыль, значит это должна быть функция, описывающая прибыль, если нужен максимальный выпуск продукции на заводе, значит функция должна задавать количество продукции выпускаемой заводом, нужно найти оптимальное расстояние – наша функция будет описывать расстояние. Внимательно, функция может зависеть сразу от нескольких переменных. После того, как вы смогли записать функцию, нам предстоит ее исследовать.

На самом деле, тут нет какой-то сухой теории, которую можно прочить и научиться решать задачи на оптимальный выбор. Поэтому давайте учиться на примерах. Сначала разберем простые, поймем алгоритм решения, а потом перейдем к более сложным, которые могут встретиться на экзамене.

Пример 1

Пусть у Василия есть завод, который выпускает спичечные коробки. Расходы на производство одного коробка 1 руб, а продает он их за 5 руб. В итоге с каждого коробка Василий получает прибыль 4 руб. Давайте разберемся, сколько нужно производить коробков, чтобы прибыль была наибольшей, если \(Х\) работников завода может производить в месяц \( N=-\left(x-10\right)^{2}+500\) коробков.

И так, согласно условию задачи, если на заводе Х работников, то они производят \( N=-\left(x-10\right)^{2}+500\) коробков.

А какая прибыль \(P\) с такого количества? Ответ очевиден, нужно просто прибыль (4 руб) с одного коробка умножить на количество произведенных коробков: \( P=4*(-\left(x-10\right)^{2}+500)\).

Давайте посмотрим при каком количестве работников прибыль Василия будет максимальна. Или другими словами при каком \(Х\) будет наибольшим \(Р\). Такое задание часто встречается в 12-м номере ЕГЭ, нужно просто исследовать нашу зависимость прибыли \( P=4*(-\left(x-10\right)^{2}+500)\) от \(Х\) и найти экстремумы.

Напомню, что функция принимает наибольшее или наименьшее значения в точках, где ее производная равна 0. Значит ищем производную от \(Р\) и приравниваем к 0.

$${P}^{’}=(4*(-\left(x-10\right)^{2}+500))^{‘}= 4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(x-10\right)$$

Приравниваем \(0\):

$$4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(x-10\right)=0$$

И ищем \(Х\), при котором производная равна \(0\):

$$ X=10.$$

Что мы такое нашли? При этом значении \(Х\) (количестве рабочих) прибыль будет либо максимальна, либо минимальна. Это точка экстремума, а какая именно, мы пока не знаем.

Давайте это определим. Напоминаю, если производная отрицательная, то функция убывает, если положительна, то возрастает. Если подставить значения меньшее \(10\) в нашу производную, например \(1\):

$$ 4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(x-10\right) = 4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(1-10\right)=4*18=72$$

Значение производной получилось больше 0:

$$ {P(x<10)}^{‘}>0$$

Значит при \(Х<10\) функция возрастает, а при \(Х>10\) убывает. А значит \(Х=10\) – это максимум. Мы получили, что максимальная прибыль будет, если на производстве будет задействовано всего 10 рабочих. Как так может быть? Казалось бы, чем больше рабочих, тем больше продукции выпускает завод, а значит и больше прибыль. Но в реальной жизни все не так просто – размеры завода ограничены, и если там будет слишком много людей, то они просто будут мешать друг другу делать свою работу, в результате выпуск продукции начнет снижаться или поднимутся расходы на производство.

Вернемся к задаче, а какая будет максимальная прибыль? Просто подставим \(Х=10\) в функцию для прибыли:

$$ P=4*(-\left(x-10\right)^{2}+500)= 4*(-\left(10-10\right)^{2}+500)=4*500=2000 руб. $$

Только что мы решили первую задачу на оптимальный выбор.

Разберем следующий пример:

Пример 2

Пусть опять у нас есть завод, на котором расходы на производство \(y\) автомобилей составляет \(Q=0,5y^2+y+7\) миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за \(S\) тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход \(S*y\), а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) — \(S*y-Q\). Какую наименьшую цену продажи \(S\) нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей?

Первым делом давайте составим функцию, описывающую зависимость прибыли от количества произведенной продукции и цены продажи, которую мы должны установить. Сразу 2 неизвестные!

И так, чтобы посчитать прибыль \(P(y,S)\), зависящую от \(у\) и \(S\), нам нужно стоимость продажи одного автомобиля \(S\) умножить на количество проданных машин \(у\), получим общий доход, и вычесть все расходы \(Q\), которые мы понесли при производстве (в условии, кстати, это написано — подсказка):

$$P(x,S)=S*y-Q=S*y-(0,5*y^2+y+7)=-0,5y^2+(S-1)y-7$$

Проанализируем полученное выражение. Это квадратный многочлен. Если построить график относительно \(у\), то это уравнение параболы. Как анализировать квадратные многочлены, можно посмотреть тут.

Так как коэффициент перед \(y^2\) отрицательный, то ветки параболы направлены вниз. То есть, наибольшее значение нашей функции будет в вершине параболы. Можно по известным формулам найти вершину и значение функции и в ней, это и будет максимальное значение. А можно пойти по старому пути, как в примере 1, и посчитать производную. Число \(S\) будем считать просто за константу, то есть берем производную относительно \(у\):

$$ {P(x,S)}^{’}={(-0,5y^2+(S-1)y-7)}^{’}=-y+S-1; $$

Приравниваем производную нулю, чтобы найти точки экстремума:

$$-y+S-1=0;$$
$$y=S-1;$$

Так как график исходной функции парабола с ветками вниз, то это точка максимума функции \(P(x,S)\). Подставим \(y=S-1\) в нашу функцию:

$$ P(x,S)=-0,5*y^2+(S-1)y-7=-0,5(S-1)^2+(S-1)(S-1)-7=\frac{(S-1)^2}{2}-7; $$

Мы получили — какую максимальную прибыль мы можем заработать в зависимости от \(S\). Другими словами, подставляя различные значения стоимости автомобиля в нашу функцию, получим максимальную прибыль при данной стоимости продажи.

По условию задачи общая прибыль за 3 месяца должна быть не меньше чем 75 миллионов рублей. Запишем это в виде неравенства:

$$ {3*P(S)}_{max}=3*\frac{(S-1)^2}{2}-7 \ge 75; $$

Осталось только решить это неравенство:

$$(S-1)^2\ge64;$$
$$(S-9)(S+7)\ge0;$$

\(S\) отрицательным быть не может, что это тогда за бизнес, где цена продаваемой продукции отрицательна. А значит при \(S \ge9\) прибыль завода будет больше 75 миллионов рублей.

Пример 3

Решим задачу на оптимизацию расстояния:

Два мотоциклиста подъезжают к перекрестку по двум перпендикулярным дорогам. Первый едет со скоростью 40 км/ч и до перекрестка ему осталось ехать 5 км, а скорость второго 30км/ч и ехать до перекрестка 3 км. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет наименьшим?

Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора, ведь мотоциклисты едут по взаимно перпендикулярным дорогам, а значит расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты – это расстояния от каждого мотоциклиста до перекрестка.

Пусть мотоциклисты уже находятся в пути \(t\) часов. Тогда первый проедет расстояние:

$$S=v*t=40t;$$

До перекрестка осталось ехать

$$S_1=5-40t;$$

А второму:

$$S_2=3-30t;$$

Мы получили прямоугольный треугольник с катетами \(S_1\) и \(S_2\). По теореме Пифагора выведем функцию, задающую расстояние между мотоциклистами:

$$L=\sqrt{(5-40t)^2+(3-30t)^2}=\sqrt{25-400t+1600t^2+9-180t+900t^2}=\sqrt{2500t^2-580t+34};$$

Согласно условию задачи, нужно найти такое время \(t\), чтобы расстояние \(L\) было наименьшим. Для этого опять возьмем производную и исследуем функцию \(L\) на экстремум:

$$ {L}^{’}=\frac{1}{2*\sqrt{2500t^2-580t+34}}*(5000*t-580); $$

Приравниваем нулю:

$$5000*t-580=0;$$
$$t=\frac{580}{5000}=\frac{29}{250} часа;$$

Так как при \(t\) меньшем этого числа производная функции отрицательна, а при большем – положительна, то получаем точку минимума и, что расстояние между мотоциклистами будет наименьшим через \(\frac{29}{250}\) часа, это и требовалось найти.

Если бы в задаче нас попросили еще найти это расстояние, то нужно подставить \(t=\frac{29}{250}\) в функцию расстояния \(L\):

$$L(t=\frac{29}{250})=\sqrt{(5-40*\frac{29}{250})^2+(3-30*\frac{29}{250})^2}=(\frac{3}{5})км$$

Слайд 1

Задание 17. Решение экономических задач по математике

Слайд 2

Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 3 Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ получен верный ответ, но решение недостаточно обоснованно 2 Верно построена математическая модель и решение сведено к исследованию этой модели, но решение может быть не завершено 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3 Критерии проверки и оценка решений задания №17

Слайд 3

Кредиты с равными (аннуитетными) платежами ( аннуитет – начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока задолженность по кредиту практически не гасится – выплачиваются в большей части проценты.. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов) Кредиты с дифференцированными платежами (характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего) Вклады, сложные проценты 4) Оптимальный выбор Основные виды задач:

Слайд 4

Кредиты с равными платежами Общая формула

Слайд 6

Общая формула

Слайд 7

Задача № 1. Максим хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка- 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей? Кредиты с равными платежами

Слайд 8

Решение: 1)В конце первого года долг составит: 1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб) 2) В конце второго года долг составит: 1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб) 3)В конце третьего года долг составит: 1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб) 4)В конце четвертого года долг составит: 838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб) 5)В конце пятого года долг составит: 571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб) 6) В конце шестого года долг составит: 278900 ∙ 1,1 =306878 (руб) Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет. Ответ: 6 лет

Слайд 9

Задача № 2. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?

Слайд 10

Решение. Пусть r — процентная ставка по кредиту. 1)В конце первого года долг составит: 1000000 ∙ (1 + 0,01∙ r ) – 660000 = 340000 + 10000∙ r 2) В конце второго года долг составит: (340000 + 10000∙ r ) ∙ (1 + 0,01∙ r ) – 484000. По условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем уравнение: (340000 + 10000∙ r ) ∙ (1 + 0,01∙ r ) – 484000 = 0; r 2 + 134∙ r – 1440 = 0 Решая уравнение, получаем, что r = 10. Ответ: 10%

Слайд 11

Задача № 3 31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Слайд 12

Решение. Пусть S – сумма кредита. 1)В конце первого года долг составит: (1,1 S – 2928200) рублей 2) В конце второго года долг (в рублях) составит: (1,1 S – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21 S – 3221020 – 2928200 = 1,21 S – 6149220 3) В конце третьего года долг (в рублях) составит: (1,21 S – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331 S – 6764142 – 2928200 =1,331 S – 9692342 4) В конце четвертого года долг (в рублях) составит 2928200 рублей: (1,331 S – 9692342)∙1,1 = 2928200; 1,4641 S – 10661576 = 2928200; 1,4641 S = 13589776; S = 9281999,8. Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей. Ответ: 9282000 руб

Слайд 13

Задача №4. 31 декабря 2014 года Роман взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Слайд 14

Решение. 1) В конце первого года долг составит: 8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х 2) В конце второго года долг составит: (9802860 — Х)∙1,14 – Х=11175260 – 2,14∙Х 3) В конце третьего года долг (в рублях) составит: (11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12739796 – 3,4396∙Х. Составим уравнение: 12739796 – 3,4396∙Х= 0 Х=3703860 рублей Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей.

Слайд 15

Основная волна (Образец варианта) 17.1 В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: ‐ каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга Найдите r, если известно, что если выплачивать по 777600 рублей , то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года?

Слайд 16

17.2 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: ‐ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на 77200 рублей?

Слайд 17

17.3 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400000 рублей. Условия его возврата таковы: ‐ каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга. Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 330000 рублей, а во второй год – 121000 рублей.

Слайд 18

Кредиты с дифференцированными платежами Схема 2 – уменьшение долга каждый год на одну и туже величину

Слайд 21

Пример 2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей.

Слайд 22

Задание №17 на кредиты (долг в соответствии с данной таблицей)

Слайд 24

Кредиты с дифференцированными платежами Задача №1. Предприятие взяло в банке кредит на 5 лет. Условия погашения следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и 1/5 часть основной суммы. Какой процент годовых установлен банком по этому кредиту, если общая сумма выплат предприятия банку на 24% превышает размер исходного кредита?

Слайд 25

Решение .

Слайд 26

Задача № 2 . 15- го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастет на q % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы , взятой в кредит. Найдите q.

Слайд 27

Решение .

Слайд 28

Задача №3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастет на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,8 млн руб.?

Слайд 29

Решение .

Слайд 30

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на S млн рублей, где S — целое число, на 4 года. Условия его возврата таковы: ‐ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; ‐ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей Год 2016 2017 2018 2019 2020 Долг ( в млн рублей) S 0, 7 S 0, 4 S 0, 2 S 0 Найдите наибольшее значение S, чтобы общая сумма выплат была больше 10 млн рублей. Задача №4. ЕГЭ-2016

Слайд 31

Решение Таким образом, общая сумма выплат составит 0,5 S +0,44 S +0,28 S +0,24 S . Найдем при каком S эта сумма будет больше 10 млн: 1,46* S> 10; S> 6,8. S =7 млн Ответ: 7

Слайд 32

Задачи на вклады и оптимальный выбор Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счет, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счете. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счет, на который ежегодно кладет по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают? Задача №1

Слайд 33

Решение:

Слайд 34

Задача №2 Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 10 млн рублей

Слайд 35

Решение:

Слайд 36

Задача №3 По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу « Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Слайд 37

Решение:

Слайд 38

Задача №4 Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x 2 + x + 7 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?

Слайд 39

Решение:

Слайд 40

Задача №5 Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Слайд 41

Решение:

Слайд 42

Задача №6 В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t 2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Слайд 43

Решение :

Слайд 44

Задача №7 Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Слайд 45

Решение:

Проверь себя

Задание 1. 
Что выгоднее купить: большую или маленькую порцию картошки фри? В большой порции 150 грамм, а стоит она 80 рублей. В маленькой порции 70 грамм, а стоит она 60 рублей. 

1. большую порцию
2. маленькую порцию
3. порции одинаковы по выгоде
4. невозможно определить

Задание 2. 
Дана парабола с ветвями, направленными вверх. В какой точке достигается ее наименьшее значение?

1. при x=0
2. при y=0
3. в вершине параболы
4. невозможно определить

Задание 3. 
Выплаты зарплаты работникам в фирме Огонек считается по формуле x² − 24x + 1000, где х — количество отработанных часов. Какую наименьшую зарплату может выплатить фирма? 

1. 100
2. 856

Задание 4. 
В зависимости от условий, на поле может вырасти \((−2a^2+60a+300)\) килограмм урожая, где a — скорость роста культур. Какое наибольшее количество килограмм может вырасти на поле?

1. 300
2. 750
3. 1000

Ответы: 1. — 1; 2. — 3; 3. — 3; 4. — 2.

Алгоритм решения задач на оптимизацию

Итак, перед нами уже складывается алгоритм решения задач на оптимизацию. Распишем его чуть подробнее. 

Чтобы закрепить алгоритм в памяти, обратимся к следующему примеру.

Пример 3.
Городские власти собрали команду художников из 44 человек, которые должны расписать два объекта в городе. Если на первом объекте работает t художников, то власти должны выплатить им 5t² тысяч рублей. Если на втором объекте работает t художников, то власти должны выплатить им t² тысяч рублей. Как нужно распределить художников по объектам, чтобы власти города выплатили им наименьшую сумму? Сколько тысяч рублей власти города должны будут заплатить в этом случае? 

Шаг 1. Мы не знаем, сколько человек работает на каждом объекте — то есть получаем неизвестные переменные. 

Мы можем выразить количество художников на каждом объекте через х и у. Тогда x + y = 44. Можно ли сократить количество переменных?

Отвлечемся на минутку и решим небольшую задачу. Перед котом разложили 5 игрушек, некоторыми из которых он поиграл. Сколько игрушек остались нетронутыми?

Если кот поиграл х игрушками, то нетронутыми останутся (5−x) игрушек. Например, при x=3 получим, что нетронутыми останутся 2 игрушки. 

Применим аналогичные рассуждения к задаче. Было 44 художника, из них х отправились работать на первый объект. Сколько художников отправится работать на второй объект? Получим (44−x).

Шаг 2. Найдем, какую зарплату необходимо будет выплатить художникам на каждом объекте. 

Поскольку на первом объекте работает х человек, по условию им необходимо выплатить 5x² тысяч рублей. 

Поскольку на втором объекте работает (44 − x) человек, им необходимо выплатить:

(44 − x)² = 1936 − 88x + x². 

В сумме власти города должны будут выплатить:

5x² + 1936 − 88x + x² = 6x² − 88x + 1936 тысяч рублей. 

Шаг 3. Это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине.

Шаг 4. В этом моменте необходимо задуматься: может ли х принимать нецелые значения? По условию нет, поскольку за х мы взяли количество человек. Ситуация, когда один и тот же человек на треть находится на одном объекте, а другая его часть на другом, невозможна ни с биологической, ни с физической точки зрения. Значит, х — целое число.

Как быть в этом случае? Рассмотрим параболу, начертив ее условный график. 

Заметим, что чем дальше будет располагаться значение х от вершины параболы, тем больше будет сумма выплат. Нам необходимо найти сумму выплат в ближайших от вершины целых значениях х. 

При x = 7 власти выплатят художникам

6 * 7² − 88 * 7 + 1936 = 294 − 616 + 1936 = 1614 тысяч рублей. 

При x = 8 власти выплатят художникам

6 * 8² − 88 * 8 + 1936 = 384 − 704 + 1936 = 1616 тысяч рублей. 

Наименьшая возможная сумма выплат художникам — это 1614 тысяч рублей. 

Фактчек

• В задачах на оптимизацию необходимо найти наилучшее решение для заданной ситуации: наименьшую сумму выплат, наибольшую производительность и так далее. 
• Чтобы решить задачи на оптимизацию, необходимо следовать алгоритму и идеям, которые в них заложены. 
• Идея 1: необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение. 
• Идея 2: необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости. 
• Идея 3: исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение. 
• В задачах на оптимизацию очень часто встречается функция, которая задает ситуацию из условия. Для ее исследования можно прибегнуть к графикам или производной. 

Оптимизация

С задачами на оптимальный выбор мы сталкиваемся чаще, чем может показаться на первый взгляд. Когда в магазине пытаемся немного сэкономить деньги, когда ищем лучшую модель гаджета по соотношению цена – качество. При любой покупке нам хочется получить выгоду, и задачи на оптимизацию как раз про это.

В чем заключаются задачи на оптимизацию? Решим пример, который поможет лучше понять всю суть задач на оптимизацию.  

Пример 1. Среди прямоугольников с периметром p найти прямоугольник с наибольшей площадью. 

Решение. Вспомним, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = xy, где x, y – его стороны. 

Периметр находится по формуле p = 2x + 2y. 

Теперь подставим полученное значение в формулу площади:

Заметим: у нас получилось уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Условно изобразим ее. Подробнее, почему мы нарисовали параболу именно так, можно прочесть в статье «Основные элементарные функции». 

Представим, что вместо параболы мы сложили слитки золота. Если мы возьмем золото только из нижнего ряда, то получим всего 4 слитка. Если все, что ниже второго, то уже 4 + 3 = 7. Чтобы получить максимум золота, нам нужно собрать все слитки от самого верхнего ряда.   

Тогда, чтобы получить наибольшую площадь, нам нужно взять значение х в верхней точке параболы, то есть в ее вершине. 

Найдем вершину параболы по формуле:

Задания на оптимизацию являются одним из видов задач, которые могут встретиться в ЕГЭ по профильной математике в №15. 

Задание 15 дает целых два первичных балла, а значит, нужно быть готовым ко всему, чтобы обязательно получить эти баллы на экзамене.

Подходы к оптимизации

Для каждой задачи или загадки нужен свой подход, идея. Какие идеи заложены в задачи по оптимизации?

• Необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение. 

• Необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости. 

• Исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение. 

Решим несколько задач, чтобы понять на практике все идеи. 

Пример 2.
Вика владеет двумя цветочными магазинами в городах Е. и П. В магазинах продают одинаковую продукцию, однако магазин в городе П. использует более современные технологии. Работники магазина в городе Е. трудятся t² часов в неделю и за эту неделю производят 3t единиц продукции. Работники магазина в городе П. трудятся t² часов в неделю и за эту неделю производят 6t единиц продукции. 

За каждый час работы Вика платит сотрудникам 500 рублей. Но перед сотрудниками стоит важная задача: еженедельно они должны производить 300 единиц продукции. Какую наименьшую сумму может выплачивать Вика сотрудникам?

Переведем задачу с языка математики. 
Например, в магазине в городе Е. работает два флориста. Первый работает по 8 часов в день с понедельника по пятницу, а второй по 10 часов в день с понедельника по субботу. Всего они еженедельно будут работать 8 * 5 + 10 * 6 = 100 часов. 

А сколько заработают за эту неделю флористы? Вместе их зарплата составит 500 * 100 = 50000 рублей. 

Так можно проследить зависимость одной переменной от другой. 

 Перейдем к решению задачи. 

Шаг 1. У нас есть два магазина, в которых работает неизвестное количество сотрудников неизвестное количество времени. Что делать, если мы чего-то не знаем? Вводить переменную.

Введем переменную на время работы сотрудников. В этом случае нам неважно, сколько их и как долго работает каждый. Мы берем все их часы суммарно. 

Пусть в городе Е. сотрудники работают x² часов в неделю, а в городе П. сотрудники работают y² часов в неделю. 

Для удобства составим небольшую таблицу. 

Следующую строку, которую необходимо заполнить — это количество произведенной продукции. По условию в городе Е. за x²  часов произведут 3x единиц товара, а в городе П. за  y² часов произведут 6y единиц товара. 

А какую зарплату Вика должна выплатить сотрудникам? Для этого необходимо количество часов умножить на ставку за час. 

Шаг 2. Пусть S — сумма, которую Вика выплачивает сотрудникам. Получаем уравнение:

S = 500(x² + y²)

Также следует вспомнить о целях, которые поставила Вика: еженедельно должно производиться 300 единиц товара, следовательно, 3x + 6y = 300. Выразим из этого уравнения y:

Шаг 3. Теперь можно подставить значение у в первое уравнение:

S = 500(x² + (50 − 0,5x))² = 500(x² + (2500 − 50x + 0,25x²)) = 500(1,25x² − 50x + 2500)

Получаем, что S = 625x² − 25000x + 1250000. 

Шаг 4. Заметим, что это парабола с ветвями вверх, поскольку коэффициент перед x² положителен. Изобразим ее условный график.

Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Найдем ее. 

Шаг 6. Вычислим значение у:

y = 50 − 0,5x = 50 − 0,5 * 20 = 50 − 10 = 40. 

Шаг 7. Вика должна выплачивать еженедельно:

S = 500(20² + 40²) = 500(400 + 1600) = 500 * 2000 = 1000000 рублей. 

Ответ: 1000000 рублей.