Путеводитель по неравенствам (задачи №15 ЕГЭ по математике) | Подготовка к ЕГЭ по математике

Содержание

Алгоритм решения задания:
Алгоритм решения:
Второй вариант задания (из ященко, №1)
Егэ 2022 по математике задание 15
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)
Решение:
Третий вариант (ященко, № 5)

Алгоритм решения задания:

Вводим замену.
Записываем неравенство в новом виде.
Решаем неравенство.
Возвращаемся к переменной х.
Записываем ответ.

Алгоритм решения:

Находим ОДЗ выражения в неравенстве.
Преобразуем неравенство к иному виду.
Вводим замену и решаем новое неравенство.
Возвращаемся к переменной х.
Записываем ответ.

Второй вариант задания (из ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

Решите неравенство .

[/su_note]

Егэ 2022 по математике задание 15

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

Условие:

Решить неравенство:
log₂((7^-x² — 3) (7 ^{-x² 16}-1)) log₂((7^-x²-3)/(7 ^{-x² 16} — 1)) > log₂(7^7-x² — 2)²

Решение:

Разбираемся с ОДЗ:
1. Выражение под первым знаком логарифма должно быть больше нуля:
(7^(-(x²))-3) (7^(-(x²) 16) -1 ) > 0

-x² всегда меньше или равно нулю, следовательно,
7^(-x²) < = 1, следовательно,
7^(-x²) — 3 < = -2 < 0

Значит, чтобы первое условие на ОДЗ выполнялось, нужно, чтобы
7^{(-(x²) 16)} — 1 < 0
7^{(-(x²) 16)} < 1 = 7⁰
-(x²) 16 < 0
x² > 16
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, бесконечность)

2. Выражение под вторым знаком логарифма должно быть больше нуля. Но там результат будет такой же, как и в первом пункте, поскольку в скобках стоят одинаковые выражения.

3. Выражение под третьим знаком логарифма должно быть больше нуля.
(7^(7-x²)-2)² > 0
Это неравенство всегда справедливо, за исключением случая, когда
7^(7-x²)-2 = 0
7^(7-x²) = 7^(log_7(2))
7-x² = log_7(2)
x² = 7 — log_7(2)
x = ( -)sqrt(7-log_7(x))

Про ЕГЭ: Как решать задание 2 из ЕГЭ по математике | Профильного и базового уровня

Оценим, чему примерно равно sqrt(7-log_7(x)).
1/3 = log_8(2) < log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4) < sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3

То есть, условие x не равно ( -)sqrt(7-log_7(x)) уже лишнее, поскольку в п. (1) мы уже выбросили из ОДЗ включающий эти точки интервал.

Итак, ещё раз ОДЗ:
x принадлежит (- бесконечность; -4) U (4, бесконечность)

4. Теперь, пользуясь свойствами логарифма, исходное неравенство можно преобразовать вот так:
log_2((7^(-x²) — 3)²) > log_2((7^{(7 — x²)} — 2)²)

log_2(x) — функция возрастающая, поэтому избавляемся от логарифма, не меняя знак:
(7^(-x²)-3)² > (7^(7-x²)-2)²

Оценим сверху и снизу выражения (7^(-x²)-3)² и (7^(7-x²)-2)², принимая во внимание ОДЗ:

-x² < -16
0 < 7^(-x²) < 1
-3 < 7^(-x²)-3 < -2
4 < (7^(-x²)-3)² < 9

-x² < -16
0 < 7^(7-x²) < 1
-2 < 7^(-x²)-2 < -1
1 < (7^(-x²)-3)² < 4

Значит, неравенство выполняется для любых x, принадлежащих ОДЗ.

Ответ: (-1; -4) (4; 1)

| Еще задания 15 — 16 профильного уровня егэ по математике с решением