Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $\frac{AD+BC}{2}=\frac{4+2}{2}=3.$

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Величина вписанного угла $\alpha$ равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна ${90}^{\circ}.$
Тогда $\angle \alpha =\frac{{90}^{\circ}}{2}={45}^{\circ}.$

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на $\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

$OB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

${\sin \alpha }={\sin \angle AOB}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$ Осталось умножить найденное значение синуса на $\frac{\sqrt{5}}{2}.$

$\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}=1$

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия , где $d_1$ и $d_2$ — диагонали.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным $5$
. Высоты этих треугольников равны $2$
и $3$
. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: $S = 5 + 7,5 = 12,5$ .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной $5$
и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: $S=25-5-5-4,5=10,5$ .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером $4\times 4$
отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3.$

Площадь каждого из маленьких треугольников равна $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1.$

Тогда площадь четырехугольника $S= 16 - 2 - 2 - 1 - 1 - 3 - 3 = 4.$

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса $1$
, длина дуги которого равна $2$
.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна $\pi R^2=\pi$
, так как $R=1$
. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна $2\pi R=2\pi$
(так как $R=1$
), а длина дуги данного сектора равна $2$
, следовательно, длина дуги в $\pi$ раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в $\pi$ раз меньше, чем полный круг (то есть $360$ градусов). Значит, и площадь сектора будет в $\pi$ раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще $\frac{1}{8}$ круга, то есть $\frac{3}{8}$ круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на $\frac{3}{8}$ . Получим:

$\frac{3}{8}\cdot 2,8 =1,05$

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна $\pi R^2$
, то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в ${\frac{4}{3}}^2 = \frac{16}{9}$ раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда $a^2=S=20.$

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты $\left(1;7\right),\left(9;2\right),\left(9;4\right),\left(1;9\right).$

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$
, BC = 15, $tgA=0,75$ . Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

$AC=\frac{BC}{tgA}=\frac{15}{0,75}=20.$

2. B треугольнике ABC угол C равен $90^\circ, \, tgA=\frac{9}{40}, \, AC=20$ . Найдите AB.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

По определению косинуса угла, $cosA=\frac{AC}{AB},AB=\frac{AC}{{\cos A}}.$

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

${tg}^2\angle { A+1=}\frac{{ 1}}{{cos}^2\angle { A}}.$

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен $122^\circ$
. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен $122^\circ$
. Тогда угол CBA равен $180^\circ -122^\circ =58^\circ.$ Угол CAB равен углу CBA и тоже равен $58^\circ$
, поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен $180^\circ -58^\circ -58^\circ =64^\circ.$

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^\circ.$ Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, ${ S}\vartriangle { =}\frac{{1}}{{2}}{ a}\cdot {b}\cdot { sin}\angle { C}$ . Получим:

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен $90^\circ$
, угол B равен $58^\circ$ , CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

$\angle DCB=\angle DBC=58^\circ.$

Углы ACD и DCB в сумме дают $90^\circ$ . Отсюда

$\angle ACD=90^\circ -\angle DCB=90^\circ -58^\circ =32^\circ.$

6. B остроугольном треугольнике ABC угол $A$ равен $65^\circ.$ BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны $90^\circ$ . Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и $\angle DOC = 65^\circ$ . Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен $180^\circ -65^\circ =115^\circ.$

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны $24^\circ$ и $66^\circ$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

$\angle MCH=\angle C-\angle ACM-\angle BCH{ =90^\circ -24^\circ -}\left({ 90^\circ -66^\circ }\right){=42^\circ }.$

8. B треугольнике ABC угол A равен $60^\circ$ угол B равен $82^\circ.$ AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен $180^\circ -60^\circ -82^\circ =38^\circ.$

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть $30^\circ$ и $19^\circ.$

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть $49^\circ.$

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен $\frac{1}{2}\cdot (180^\circ -x)$ .

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть $2x.$

10. B параллелограмме ABCD AB=3, AD=21, $sinA=\frac{6}{7}.$ Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

$DH=ADsinA=21\cdot \frac{6}{7}=3\cdot 6 =18.$

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Про ЕГЭ: Обновленный список литературы для ОГЭ по литературе 2023 года и Список произведений ОГЭ для обязательного чтения

Тогда $S= a \cdot h1 = b \cdot h2$ , и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна $40 : 5 = 8.$

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен $2 (a+b)$ , его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен $a^2 +b^2.$

Получим: $2 (a+b) = 8$ , тогда $a+b = 4$ ,

$ab = 3,5.$

По формуле квадрата суммы, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

Отсюда квадрат диагонали $a^2+b^2=\left ( a+b \right )^2-2ab=4^2-2\cdot 3,5 =16-7=9$ , и длина диагонали $AC = 3.$

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, $HG = EF = \frac{5}{2}.$

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны $\frac{5}{2}.$ Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен $4\cdot \frac{5}{2}=10$ .

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: $AH=\frac{AB-CD}{2}=\frac{26-14}{2}=6.$

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции $DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=8.$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S=\frac{\left ( AB+CD \right )\cdot DH}{2}=160.$

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

$OF=FC=\frac{1}{2}DC,$

$OE=AE=\frac{1}{2}AB.$

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру $200^\circ$ , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру $80^\circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Полный круг — это $360^\circ$ . Из условия мы получим, что дуга ABC равна $360^\circ - 200^\circ = 160^\circ.$ Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна $160^\circ - 80^\circ = 80^\circ.$ Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть $40^\circ.$

19. Угол ACB равен. $3^\circ$ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна $124^\circ$ . Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен $124^\circ$ , так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен $62^\circ$ — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен $32^\circ.$ Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен $90^\circ$ , и тогда угол ОBA равен $90^\circ - 32^\circ = 58^\circ.$ Угол ОAB также равен $58^\circ$ , так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен $180^\circ -58^\circ \cdot 2=64^\circ.$

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $AB$ равна $64^\circ.$

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный $122^\circ$ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$ , и тогда угол AОB равен $180^\circ - 122^\circ = 58^\circ.$

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна $58^\circ.$

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

$S=pr=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}$ , где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника $S_{ABC}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{16\cdot 9}=12.$

$r=\frac{2\cdot 12}{16}=\frac{3}{2}=1,5.$

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна $3+ 3 = 6.$

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, $\frac{AB}{{\sin C}}=2R.$ Тогда ${\sin C}=\frac{1}{2}.$

Угол C может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$ — ведь синусы этих углов равны $\frac{1}{2}.$ Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен $30^\circ.$

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

По теореме синусов, $\frac{AB}{{\sin C}}=2R.$ Тогда ${\sin C}=\frac{1}{2}.$

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен $150^\circ.$

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $82+41\sqrt{2}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: $r=\frac{a+b-c}{2}.$ Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в $\sqrt{2}$ раз больше катета. Получим:

$\newline r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{2\left(82+41\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}(82+41\sqrt{2})}{2}= \newline \frac{164+82\sqrt{2}-82\sqrt{2}-82}{2}=\frac{82}{2}=41.$

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, $AB=10$ , $CD=16.$ Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

$AD+BC=AB+DC=10+16=26.$
Тогда периметр четырехугольника равен $AD+BC+AB+DC=26\cdot 2=52.$

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен $\frac{1}{2}\cdot \left ( 145^\circ + 71^\circ \right )=108^\circ.$

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен $84^\circ$ . Найдите n.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит, $\angle ABO=\angle BAO=84^\circ.$

$\angle AOB=180^\circ -\angle ABO - \angle BAO = 12^\circ, \, n=\frac{360^\circ}{\angle AOB}=\frac{360^\circ}{12^\circ}=30.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.

Ничего сложного здесь нет. Все эти задачи доступны даже десятикласснику. И даже гуманитарию.

Как решать задания по стереометрии из первой части Профильного ЕГЭ?

Проверим себя – умеем ли мы рисовать чертежи?

Посмотрим, как решаются простые задачи по стереометрии и задачи с секретами.

Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в k раз, то его площадь увеличится в $k^2$ раз, а объем в $k^3$ раз.

$S_2=k^2 \cdot S_1$

$V_2=k^3 \cdot V_1$

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

И решаем задачи. У нас все получится!

1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?

Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.

2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.

3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия $k=\frac{1}{2}.$ Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен $\frac{10}{8}=1,25.$

4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Площадь основания пирамиды ЕАВС в 2 раза меньше, чем у пирамиды ABCDS. Высота пирамиды ЕАВС равна половине высоты пирамиды ABCDS. Значит, объем пирамиды ЕАВС в 4 раза меньше объема пирамиды ABCDS. Он равен $\frac{116}{4}=29.$

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра AB, боковое ребро SC равно 4, длина отрезка SE равна $\sqrt{10}.$ Найти объем пирамиды SABCD .

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника SAE получаем, что $AE=\sqrt{6}.$ Соответственно, сторона основания пирамиды равна $2\sqrt{6}.$ Если обозначить центр основания за H, то высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора, для треугольника SHE – она равна 2.

Применяя формулу для объема пирамиды $V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h$ , получаем ответ: 16.

Многие задания №2 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.

Для решения некоторых из них стоит выучить основные определения и теоремы стереометрии. В общем, то, что входит в программу по стереометрии.

6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Пусть точка О – проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники АОS, ВОS, СОS равны (по общему катету ОS и острому углу). Значит, АО = ВО = СО. Точка О, равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Тогда АО = ВО = СО = OS = R, где R – радиус этой окружности.

Радиус описанной окружности найдем по формуле

$R=\frac{abc}{4S}.$

Площадь $\triangle ABC$ найдем по формуле Герона:

$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , где $p=\frac{15+16+17}{2}=24$ – полупериметр.

$S_{\triangle ABC}=\ \sqrt{24\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\sqrt{3\cdot 8\cdot 3\cdot 3\cdot 8\cdot 7}=24\sqrt{21};$

$R=\frac{15\cdot 16\cdot 17}{4\cdot 24\sqrt{21}}=\frac{5\cdot 17}{2\sqrt{21}};$

$V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot OS=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{21}\cdot \frac{5\cdot 17}{2\cdot \sqrt{21}}=4\cdot5\cdot17=340.$

Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.

7. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми $AA_1$ и $BC_1$ . Ответ дайте в градусах.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку $CC_1$ и $AA_1$ параллельны, найдем угол между $CC_1$ и $BC_1$ . Он равен 45 градусов, так как грань – квадрат.

Про ЕГЭ: Перевод первичных баллов в тестовые ЕГЭ 2022 по истории

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника

$\blacktriangleright$ Площадь треугольника равна полупроизведению основания $a$ и высоты $h$, проведенной к этому основанию.

$\blacktriangleright$ Формула Герона для площади треугольника:

$\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$, где $p$ – полупериметр.

$\blacktriangleright$ Если треугольники имеют равные высоты ($\triangle$ и $\triangle_{1}$), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

$\blacktriangleright$ Если треугольники имеют по равному углу ($\triangle$ и $\triangle_{2}$), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Задание
1

#263

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $CM$ – медиана, $AC = 4$, $CM = 2,5$. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда $AB = 2,5 \cdot 2 = 5$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + CB^2$, откуда находим $CB = 3$. Периметр треугольника $ABC$ равен $3 + 4 + 5 = 12$.

Ответ: 12

Задание
2

#264

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Периметр треугольника $ABD$ равен $10$, периметр треугольника $BDC$ равен $7$, $BD = 3$. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Периметр треугольника $ABC$ равен $AB + AC + BC$.

Периметр треугольника $BDC$ равен $BD + DC + BC = 7$, а $BD = 3$, тогда $DC + BC = 4$,

периметр треугольника $ABD$ равен $AB + BD + AD = 10$, тогда $AB + AD = 7$.

$AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11$.

Ответ: 11

Задание
3

#265

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$: $BD$ – высота, $AD = 1$, $DC = 3$, $\angle DBC = 45^{\circ}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

$\angle BCD = 90^{\circ} — \angle DBC = 45^{\circ} = \angle DBC$, тогда $BD = DC = 3$. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника $ABC$ равна $0,5 \cdot (3 + 1) \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

Задание
4

#266

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$: $AF$ и $BD$ – высоты, $AF = 4$, $BD = 3$, $AC = 6$. Найдите $BC$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то $0,5 \cdot AC \cdot BD = 0,5 \cdot BC \cdot AF$, откуда $9 = 0,5 \cdot BC \cdot 4$, значит, $BC = 4,5$.

Ответ: 4,5

Задание
5

#2644

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки $P$ и $Q$ – середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $APQ$ равен $21$.

(Задача от подписчиков.)

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Т.к. $PQ$ – средняя линия $\triangle ABC$, то $2PQ=BC$. Периметр $\triangle ABC$: \[P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2\cdot P_{APQ}=2\cdot 21=42.\]

Ответ: 42

Задание
6

#1768

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$: $BD$ – медиана. Площадь треугольника $ABD$ равна $1$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника $BDC$ равна площади треугольника $ABD$ и равна $1$. Тогда площадь треугольника $ABC$, равная сумме площадей треугольников $ABD$ и $BDC$, равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника $ABD$ равна $0,5 \cdot AD \cdot h$, где $h$ – высота, проведённая из $B$ к стороне $AC$. Площадь треугольника $BDC$ равна $0,5 \cdot
CD \cdot h$, но $CD = AD$, тогда $0,5 \cdot AD \cdot h = 0,5 \cdot
CD \cdot h$ и, значит, площади треугольников $ABD$ и $BDC$ равны.

Ответ: 2

Задание
7

#1769

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$: точка $D$ лежит на $AC$, причём $\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{2}{3}$. Площадь треугольника $ABD$ равна $7,5$. Найдите площадь треугольника $BCD$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Построим высоту $BK$ Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия
Площадь треугольника $ABD$ может быть найдена по формуле: $S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot BK$.
Аналогично $S_{BCD} = 0,5\cdot CD\cdot BK$, откуда можно сделать вывод:
$\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = \dfrac{0,5\cdot CD\cdot BK}{0,5\cdot AD\cdot BK} = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{3}{2}$, тогда $S_{BCD} = \dfrac{3}{2}\cdot S_{ABD} = \dfrac{3}{2}\cdot 7,5 = 11,25$.

Ответ: 11,25

Задачи на нахождение площади и периметра равностороннего и равнобедренного треугольника каждый год включаются в программу ЕГЭ по математике. Понимать принцип их решения должны старшеклассники, которые планируют сдавать базовый и профильный уровень аттестационного испытания. Научившись правильно решать задачи на нахождение периметра треугольника в ЕГЭ, школьники смогут оперативно выполнять задания в несколько действий и рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по результатам сдачи единого госэкзамена.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

Зачастую во время занятий накануне сдачи единого государственного экзамена перед учащимися встает проблема поиска подходящего источника. Школьного учебника иногда просто не оказывается под рукой в нужный момент. А подобрать все необходимые формулы, к примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника оказывается вовсе не так легко даже в Интернете.

Чтобы успешно пройти выпускное аттестационное испытание, рекомендуем вам заниматься вместе с образовательным порталом «Школково». Наш ресурс предлагает учащимся и преподавателям выстроить процесс подготовки к единому госэкзамену по-новому. Занимаясь вместе с нами, старшеклассники смогут определить те разделы, которые вызывают у них наибольшие трудности, и улучшить собственные знания.

На сайте «Школково» собран весь базовый материал по теме «Вычисление длин и площадей треугольника», который позволит качественно подготовиться к единому государственному экзамену. Данная информация систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.

Чтобы задачи ЕГЭ на вычисление площади правильного треугольника по трем сторонам не вызывали особых затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Множество подобных заданий представлено в разделе «Каталог». В каждом из них старшеклассники смогут увидеть подробный алгоритм решения и правильный ответ. Базу упражнений в соответствующем разделе мы регулярно обновляем и дополняем.

Выполнять задания на нахождение высоты треугольника или его площади учащиеся из МО и других регионов нашей страны могут в онлайн-режиме. В случае необходимости выполненное упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем задачу, к примеру, на вычисление периметра треугольника можно будет оперативно найти, чтобы обсудить принцип ее решения со школьным преподавателем или репетитором.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

$\blacktriangleright$ Формула Герона для площади треугольника:

$\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$, где $p$ – полупериметр.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Задание
8

#3616

Уровень задания: Равен ЕГЭ

У треугольника со сторонами $9$ и $6$ проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна $4$. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, с одной стороны, $S=0,5\cdot 9\cdot 4$, а с другой стороны $S=0,5\cdot 6\cdot h$, где $h$ – высота, которую нужно найти. Следовательно, \[0,5\cdot 9\cdot 4=0,5\cdot 6\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]

Ответ: 6

Задание
9

#3615

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $5$, а основание равно $6$. Найдите площадь этого треугольника.

Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Таким образом мы получили прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $3$ и гипотенузой $5$. По теореме Пифагора найдем $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (заметим, что такой треугольник называется “египетским”).
Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она проведена, то \[S=\dfrac12 h\cdot 6=12\]

Ответ: 12

Задание
10

#2590

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Проекция диагонали равнобедренной трапеции на ее большее основание равна $6$, боковая сторона равна $3$. Найдите площадь трапеции, если угол при её меньшем основании равен $150^\circ$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

$AE$ — есть проекция диагонали $AC$ на основание трапеции $AD$. Запишем формулу площади трапеции:

\[S=CE\cdot\dfrac{BC+AD}2.\]

Проведя вторую высоту $BF$, заметим, что треугольники $AFB$ и $DEC$ равны по двум углам и стороне между ними, т. к. боковые стороны в равнобедренной трапеции равны, отсюда следует, что:

\[AF=ED \Rightarrow FE=AD-2ED=BC.\]

Подставим полученные данные в формулу площади трапеции:

\[CE \cdot \dfrac{BC+AD}{2}= CE \cdot \dfrac{AD-2ED+AD}{2}= CE \cdot \dfrac{2 \cdot(AE+ED) — 2ED}{2}= CE \cdot AE.\]

Чтобы найти высоту $CE$, заметим, что $\angle ABC= 150^\circ\Rightarrow \angle ABF = 150^\circ-90^\circ = 60^\circ\Rightarrow BF=CE=\cos(60^\circ)\cdot AB$.

Теперь подставим высоту в формулу и найдем площадь трапеции:

\[S=AE\cdot\cos{60^\circ}\cdot AB= 6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 3=9.\]

Ответ: 9

Задание
11

#267

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$: $CD$ – высота, $CD = \sqrt{12}$, $AB = \pi\sqrt{3}$, $AC = 2\pi$. Найдите расстояние от точки $B$ до прямой, содержащей отрезок $AC$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за $h$.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то $0,5 \cdot AB \cdot CD = 0,5 \cdot AC \cdot h$, откуда $0,5\cdot \pi\sqrt{3}\cdot\sqrt{12} = 0,5 \cdot 2\pi \cdot h$, значит, $h = 3$.

Ответ: 3

Задание
12

#2657

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$: $BD = 2$ – высота, $BC = 4$, $AC = 12$. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC$.

Про ЕГЭ: Теория по химии для подготовки к ЕГЭ 2023

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC$, равно длине высоты $AE$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами: \[0,5AC\cdot BD = S_{ABC} = 0,5AE\cdot BC\,,\] откуда $12 = 2AE$, следовательно, $AE = 6$.

Ответ: 6

Задание
13

#1770

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$: точки $D$ и $E$ лежат на $AB$, причём $\dfrac{AD + BE}{AB} = \dfrac{2}{3}$. Площадь треугольника $ACD$ равна $10$, $\dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{6}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Пусть $h$ – длина высоты, опущенной из точки $C$ на $AB$, тогда $S_{ABC} = 0,5\cdot AB\cdot h$.

$S_{CEB} = 0,5\cdot EB\cdot h$, $S_{CED} = 0,5\cdot DE\cdot h$, откуда $\dfrac{6}{5} = \dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{0,5\cdot EB\cdot h}{0,5\cdot DE\cdot h} = \dfrac{EB}{DE}$, но $DE = AB — (AD + BE) = AB — \dfrac{2}{3}\cdot AB = \dfrac{1}{3}\cdot AB$, откуда $EB = \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot AB = \dfrac{2}{5}\cdot AB$, тогда $AD = AB — (DE + EB) = AB — \dfrac{1}{3}\cdot AB — \dfrac{2}{5}\cdot AB = \dfrac{4}{15}\cdot AB$.
$10 = S_{ACD} = 0,5\cdot AD\cdot h = 0,5\cdot \dfrac{4}{15}\cdot
AB\cdot h = \dfrac{4}{15}\cdot S_{ABC}$, откуда $S_{ABC} =
10\cdot\dfrac{15}{4} = 37,5$.

Ответ: 37,5

Задание
14

#2707

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите квадрат площади треугольника $ABC$, если $AC =3$, $BC= 4$, а медианы, проведенные из вершин $A$ и $B$, взаимно перпендикулярны.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Т.к. $BP$— медиана, то $S_{ABP} = S_{PBC}\Rightarrow S_{ABC} = 2\cdot S_{ABP}$.

Т.к. $AM$ и $BP$ — медианы, то точка $O$ делит их в отношении 2:1, считая от вершины, тогда если $OM = x\Rightarrow AO = 2x, OP = y\Rightarrow BO=2y$. Получим систему уравнений:

\[\begin{cases}
x^2 + 4y^2 = 4\\
4x^2 + y^2 = 2,25
\end{cases}\]

Из системы находим $x$ и $y$:

\[x = \sqrt{\dfrac{1}3}, y =\sqrt{\dfrac{2,75}3}\]

Тогда: $S_{ABP} = 0,5\cdot 2x\cdot 3y = 3\cdot \sqrt{\dfrac{1}3}\cdot \sqrt{\dfrac{2,75}3}$.

\[S_{ABC} = 2\cdot 3\cdot \sqrt{\dfrac{1}3}\cdot \sqrt{\dfrac{2,75}3} = \sqrt{11}.\] \[(S_{ABC})^2 = 11.\]

Ответ: 11

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

$\blacktriangleright$ Формула Герона для площади треугольника:

$\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$, где $p$ – полупериметр.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Задание
15

#2694

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. $DC$ – большее основание трапеции. Площадь треугольника $ADO$ равна 12, $DO = 2BO$. Найдите площадь трапеции.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

По формуле площади треугольника:

\[S_{ADO} = 0,5\cdot 2BO\cdot OH\Rightarrow S_{AOB} = 0,5\cdot BO\cdot OH =12 : 2 = 6.\]

Т.к. $AB\parallel DC\Rightarrow $ треугольники $AOB$ и $DOC$ подобны и коэффициент подобия:

\[k = \dfrac{DO}{BO} = 2\Rightarrow \dfrac{S_{DOC}}{S_{AOB}}= k^2 = 4.\] \[S_{DOC} = 6\cdot 4 =24, S_{BOC} = S_{AOD} = 12.\] \[S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{AOB} + S_{DOC} + S_{BOC} = 54.\]

Ответ: 54

Задание
16

#3925

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике $ABC$ даны три стороны: $AB=26, BC=30, AC=28$. Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины $B$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Пусть $BP$ и $BQ$ — высота и биссектриса данного треугольника $ABC$ соответственно. По формуле Герона:

\[S_{ABC} = \sqrt{42\cdot(42 — 30)(42 — 28)(42 — 26)}=14\cdot6\cdot4 = 336.\]

Запишем формулу площади треугольника $ABC$ через высоту: $S_{ABC} =
\dfrac{AC\cdot BP}2$. Тогда

\[BP = \dfrac{2\cdot S_{ABC}}{AC} = \dfrac{2\cdot 336}{28} = 24.\]

Из свойства биссектрисы треугольника: $\dfrac{AQ}{QC} =
\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{13}{15}.$

Поэтому: $AQ = \dfrac{13}{28}\cdot AC =13.$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $APB$:

\[AP = \sqrt{AB^2-BP^2} = \sqrt{26^2-24^2} = 10.\]

Слeдовательно, $PQ = AQ — AP = 13-10=3, S_{BPQ} = \dfrac{1}2 \cdot PQ
\cdot BP = \dfrac{3\cdot 24}2 = 36.$

Ответ:

Задание
17

#3926

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $ABC$ точка $H$ делит сторону $AB$ в отношении $\dfrac{2}3$, считая от вершины $B$. Найдите площадь треугольника $HBC$, если площадь треугольника $ABC$ равна $15$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Треугольники $ABC$ и $HBC$ имеют общий угол $B$, следовательно:

\[\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}} = \dfrac{HB\cdot BC}{AB\cdot BC} = \dfrac{HB}{AB}.\]

Пусть $HB = 2x$, $AH = 3x$, учитывая то, что $AB = HB + AH$, получаем:

\[\dfrac{HB}{AB} = \dfrac{2x}{2x+3x} = \dfrac{2}5 \quad\Rightarrow \quad S_{HBC} =
S_{ABC}
\cdot \dfrac{2}5 = 6.\]

Ответ:

Задание
18

#3927

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC = 6, AB = 4$ проведена биссектриса $BD$. Высота $DH$ треугольника $DBC$ равна $3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Биссектриса делит треугольник $ABC$ на два треугольника, имеющие по равному углу, следовательно, их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы:

\[\dfrac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \dfrac{AB\cdot BD}{BC\cdot BD} = \dfrac{AB}{BC}\quad (*)\] Площадь треугольника $BDC$ равна

\[S_{DBC} = \dfrac{1}2\cdot DH\cdot BC = \dfrac{1}2\cdot 3\cdot 6 = 9.\] Найдем площадь треугольника $ABD$ из отношения $(*)$:

\[S_{ABD} = \dfrac{4}6\cdot S_{DBC} = \dfrac{4}6\cdot 9 = 6.\] Сложим площади треугольников $ABD$ и $DBC$ и получим площадь искомого треугольника $ABC$:

\[S_{ABC} = S_{ABD} + S_{DBC} = 6 + 9 =15.\]

Ответ:

Задание
19

#3929

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике $ABC$ построен отрезок $AD$, причем $BD
= 4$, $D\in BC$. Найдите площадь треугольника $ABD$, если $\angle C
= 90^\circ , AC = 5$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Так как $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, то $AC$ – высота тупоугольного треугольника $ABD$, опущенная из вершины $B$ на продолжение стороны $BD$. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, то \[S_{ABD}=\dfrac12\cdot BD\cdot AC=\dfrac12\cdot 4\cdot 5=10\]

Ответ:

Задание
20

#3930

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике $KDA$ проведена медиана $DB = 3$. Найдите площадь треугольника $KDA$, если известно, что $KD = 4, KA = 10$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Медиана $DB$ делит $KA$ пополам $\Rightarrow KB = 5$. Так как известны все стороны треугольника $KDB$, найдем его площадь по формуле Герона: \[S_{KDB} = \sqrt{6\cdot(6 — 3)(6 — 4)(6 — 5)}=6.\] Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, то есть $S_{KDB}=S_{ADB}$, следовательно,

\[S_{KDA} = 2\cdot S_{KDB} = 12.\]

Ответ:

Задание
21

#3931

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена биссектриса $BT$, причем $AT = 15, TC = 12$. Найдите площадь треугольника $ABT$.

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

По свойству биссектрисы: \[\dfrac{TC}{BC} = \dfrac{AT}{AB}\] Пусть $BC = x, AB = y$, тогда: \[\dfrac{12}x = \dfrac{15}y\Rightarrow x = 0,8\cdot y.\] Из треугольника $ABC$ имеем по теореме Пифагора: $x^2+27^2 =
y^2\Rightarrow 0,64\cdot y^2 + 27^2 = y^2\Rightarrow y = 45, x =
36.$ \[S_{ABT} = 0,5\cdot AT\cdot BC = 0,5\cdot 15\cdot 36 = 270.\]

Ответ:

270

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

$S = \frac{1}{2}ab,$

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

ploshchad-pryamougolnogo-treugolnika-po-risunku 1) a=2, b=5,

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5.$

2) a=6, b=3,

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9.$

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Решение:

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

$S = \frac{1}{2}ah_a ,$

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

ploshchad-treugolnika-na-kletchatoj-bumage a и h_a вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

1) a=6, h_a=4,

$S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12.$

2) a=3, h_a=5,

$S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7,5.$

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Задача 3

najti-ploshchad-treugolnika-po-risunku

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

najti-ploshchad-treugolnika-na-bumage

Решение:

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

$S_{\Delta ABC} = S_{AMNK} - S_{\Delta AKC} - S_{\Delta AMB} - S_{\Delta CBN} .$

Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.

$S_{AMNK} = AM \cdot AK = 7 \cdot 5 = 35.$

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

$S = \frac{1}{2}ab,$

где a и b — катеты.

$S_{\Delta AKC} = \frac{1}{2}AK \cdot KC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2,5;$

$S_{\Delta AMB} = \frac{1}{2}AM \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10,5;$

$S_{\Delta CBN} = \frac{1}{2}CN \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6.$

Отсюда

$S_{\Delta ABC} = 35 - 2,5 - 10,5 - 6 = 16.$

Как найти площадь треугольника по координатам его вершин?

1способ:

Найти длины трёх сторон треугольника и вычислить площадь по формуле Герона. Способ удобен, если длины сторон являются целыми числами. В противном случае предстоят громоздкие вычисления.

2 способ:

вывести формулу для нахождения площади и использовать её для вычисления.

Утверждение

Площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃) можно вычислить с помощью формулы

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} \right|.$

Доказательство:

ploshchad-treugolnika-po-koordinatam Рассмотрим треугольник ABC,

A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃)

Опустим перпендикуляры из вершин треугольника на координатные оси.

$S_{\Delta ABC} = S_{MACN} + S_{NCBK} - S_{MABK}$

$S_{MACN} = \frac{{MA + CN}}{2} \cdot MN = \frac{{y_1 + y_3 }}{2} \cdot (x_3 - x_1 ),$

$S_{NCBK} = \frac{{NC + BK}}{2} \cdot NK = \frac{{y_3 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_3 ),$

$S_{MABK} = \frac{{MA + BK}}{2} \cdot MK = \frac{{y_1 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_1 ).$

$S_{\Delta ABC} =$

$= \frac{{y_1 + y_3 }}{2} \cdot (x_3 - x_1 ) + \frac{{y_3 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_3 ) - \frac{{y_1 + y_2 }}{2} \cdot (x_2 - x_1 ) =$

$= \frac{1}{2}[(y_1 + y_3 )(x_3 - x_1 ) + (y_3 + y_2 )(x_2 - x_3 ) - (y_1 + y_2 )(x_2 - x_1 )] =$

$= \frac{1}{2}[x_3 y_1 - x_1 y_1 \underline { + x_3 y_3 } - x_1 y_3 + x_2 y_3 \underline { - x_3 y_3 } + x_2 y_2 - x_3 y_2 -$

$- x_2 y_1 + x_1 y_1 - x_2 y_2 + x_1 y_2 ] =$

$= \frac{1}{2}[(x_2 y_3 - x_2 y_1 ) + ( - x_1 y_3 + x_1 y_1 ) + (x_1 y_2 - x_1 y_1 ) +$

$+ ( - x_3 y_2 + x_3 y_1 )] =$

$= \frac{1}{2}[x_2 (y_3 - y_1 ) - x_1 (y_3 - y_1 ) + x_1 (y_2 - y_1 ) - x_3 (y_2 - y_1 )] =$

$= \frac{1}{2}[(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )].$

С учетом вариантов взаимного расположения точек A, B и C формула для вычисления площади треугольника по координатам его вершин приобретает вид:

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} \right|.$

Что и требовалось доказать.

3 способ:

Найти длины двух сторон и косинус угла между ними и вычислить площадь треугольника через стороны и синус угла между ними.

4 способ:

Найти длину и уравнение одной стороны треугольника и длину высоты, проведённой к этой стороне. Вычислить площадь через сторону и высоту.

Рассмотрим эти способы на конкретном примере.

Найти площадь треугольника, вершины которого имеют координаты A(-1;-3), B(3;4), C(5;-5).

1 способ:

Находим длины сторон треугольника ABC.

$AB = \sqrt {(x_B - x_A )^2 + (y_B - y_A )^2 }$

$AB = \sqrt {(3 - ( - 1))^2 + (4 - ( - 3))^2 } = \sqrt {16 + 49} = \sqrt {65} ;$

$AC = \sqrt {(x_C - x_A )^2 + (y_C - y_A )^2 }$

$AC = \sqrt {(5 - ( - 1))^2 + ( - 5 - ( - 3))^2 } = \sqrt {36 + 4} = \sqrt {40} ;$

$BC = \sqrt {(x_C - x_B )^2 + (y_C - y_B )^2 }$

$BC = \sqrt {(5 - 3)^2 + ( - 5 - 4)^2 } = \sqrt {4 + 81} = \sqrt {85} .$

Поскольку длины сторон выражены иррациональными числами, вычислять площадь треугольника по формуле Герона — не самый лучший способ.

2 способ:

Подставляем в формулу x₁=-1, y₁=-3, x₂=3, y₂=4, x₃=5, y₃=-5:

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| {(3 - ( - 1))( - 5 - ( - 3)) - (5 - ( - 1))(4 - ( - 3))} \right| =$

$= \frac{1}{2}\left| {4 \cdot ( - 2) - 6 \cdot 7} \right| = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25.$

3 способ:

Угол A образован векторами AC и AB. Отсюда

$\cos \angle A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$