- Основные требования
- Группы заданий егэ по математике.
- Подтяните знания с репетитором за лето | материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс) по теме: | образовательная социальная сеть
- Подтяните знания с репетитором за лето | методическая разработка (11 класс): | образовательная социальная сеть
- Принципы подготовительного процесса
- Результаты егэ по математике.
Основные требования
Во время сдачи базового госэкзамена вам понадобятся познания, которые были получены из школьного курса алгебры и геометрии. Вы должны уметь решать разнообразные неравенства и уравнения, а также знать терминологию и алгоритмы решения разных задач. А вот чтобы выполнить тесты высокой сложности, вы должны знать:
- планиметрию;
- стереометрию;
- прогрессию.
Помимо этого от учащегося потребуется знание финансовой математики и умение работать с параметрическими системами, уравнениями, неравенствами, процентами.
Во время подготовки вам придется повторить теорию. При этом вы должны совмещать ее с практикой, чтобы уметь применять все выученные правила, теоремы, аксиомы.
Группы заданий егэ по математике.
В 2022 и 2022 тест ЕГЭ по математике состоял из 18 заданий.
С 2022 года группа заданий А отсутствует в ЕГЭ по математике.
В 2022 и 2022 году тест ЕГЭ по математике состоял из 20 заданий.
В 2022 году тест ЕГЭ по математике состоит из 20 заданий, которые по уровню сложности и типу ответов на задачи можно разделить следующим образом:
- Задания В1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, B9, B10, B11, B12, B13, B14 – это задания базовой сложности с ответами в виде числа, которое нужно внести в бланк ответов. Решения по этим задачам не обязательны.
- Задания С1, C2, C3, С4 — это задачи повышенной сложности. Требуется привести решение и ответ, также как делается в контрольной работе.
- Задания С5, С6 – это задачи высокой сложности. В них необходимо написать решение и ответ, сложность этих заданий находится за пределами школьной программы, не каждый отличник может справиться с решением задачи.
Подтяните знания с репетитором за лето | материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс) по теме: | образовательная социальная сеть
В данной работе представлены тесты по двум разделам:
Радел №1 включает тему: «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»
Раздел №2 включает тему: « Многогранники. Тела вращения».
Второй раздел можно использовать для подготовки к ЕГЭ задания В9 и В11.Тесты составлены в двух вариантах.
Ключи к тестам:
Раздел №1
Тест по теме: « Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение векторов на число».
Тест по теме: « Координаты точки и координаты вектора»
Тест по теме: « Компланарные векторы»
Тест по теме: «Скалярное произведение векторов»
Раздел №2
Тест по теме: « Прямоугольный параллелепипед»
Тест по теме: « Тетраэдр и параллелепипед»
Тест по теме: « Призма»
Тест по теме: « Пирамида»
Тест по теме: «Цилиндр»
Тест по теме: «Конус»
РАДЕЛ №1
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО»
Вариант №1
Уровень А
1. Какое утверждение неверное?
1) Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны.
2) Любые два коллинеарных вектора сонаправлены.
3) Любые два равных вектора коллинеарны.
2. Даны точки А, В, С, D, K. Известно, что 
Тогда неверно, что…
1) все точки лежат в одной плоскости;
2) прямые ВС и DK параллельны;
3) точки А, С и D не лежат на одной прямой.
3. Какое утверждение неверное?
1) Длины противоположных векторов не могут быть неравны.
2) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны.
3) Если длины векторов равны, то и векторы равны.
4. 
1) параллельными;
2) пересекающимися;
3) скрещивающимися.
5. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1F = FB1, B1K = KC1.
Какое утверждение неверное?
1)
2)
3)
6. ABCA1B1C1 – правильная призма. CE = EC1, BF = FB1, FM = MB1, AD : DC = 3 : 1.
Какое утверждение верное?
1)
2)
3)
7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. 
1)
2)
3)
8. Векторы 
1) равными;
2) противоположными;
3) сонаправленными.
9. DABC – тетраэдр. 
Тогда 
1)
2) 
3)
Уровень В
1. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.
Тогда 
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО»
Вариант №2
Уровень А
1. Какое утверждение верное?
1) Любые два сонаправленных вектора коллинеарны.
2) Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены.
3) Любые два коллинеарных вектора равны.
2. Какое утверждение верное?
1) Если 
2) Если 
3) Существуют векторы 
3. Какое утверждение неверное?
1) Если длины векторов равны, то и векторы равны.
2) Если векторы равны, то их длины равны.
3) Длины противоположных векторов равны.
4. 
1) k = 1;
2) k = –1;
3) k = 3.
5. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1F = FB1, B1E = EC1. Какое утверждение неверное?
1)
2)
3)
6. FABCD – правильная пирамида. 
1)
2) 
3)
7. ABCA1B1C1 – призма. 
1)
2)
3)
8. Векторы –
1) противоположными;
2) равными;
3) сонаправленными.
9. DABC – тетраэдр.
1)
2)
3)
Уровень В
1. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.
Тогда
Тест по теме: «Координаты точки и координаты вектора»
Вариант №1
Уровень А
1. Точка M (–2; 3; –7) находится от плоскости XOY на расстоянии, равном…
1) 7;
2) 2;
3) 3.
2. 
1) 
2) 
3)
3. 
1) 
2) 
3) 
4. Первая и третья координаты ненулевого вектора 
1) 
2) 
3)
5. Первая координата ненулевого вектора 
1) 
2) 
3)
6. А (1; 2; 3), В (1; 5; 4), С (4; 5; 3). Тогда верно, что…
1) 
2) 
3)
7. Ордината точки А равна 3, ордината точки В равна 6. Длина отрезка АВ равна 3. Тогда прямая АВ и ось OY…
1) параллельны;
2) перпендикулярны;
3) скрещиваются.
8. M (x1; y1; z1), K (x2; y2; z2). Тогда координаты вектора 
1)
2)
3)
9. 
1) 
2) 
3)
Уровень В
1. Дана точка А (–1; 2; 5). Тогда координаты точки – проекции точки А на ось OZ равны…
2. Даны точки M (–1; 2; 3) и В (1; –1; 5). Тогда координаты вектора 
3. А (–1; 0; 2), В (1; –2; 3). Тогда 
4. ABCD – параллелограмм, 
5. Вектор 
Тест по теме: «Координаты точки и координаты вектора»
Вариант №2
Уровень А
1. Точка А (–1; 2; –3) находится от плоскости YOZ на расстоянии, равном…
1) 1;
2) 2;
3) 3.
2. 
1) 
2) 
3)
3. Координаты равных векторов…
1) равны;
2) противоположны;
1) пропорциональны.
4. Первая и вторая координаты ненулевого вектора 
1) 
2) 
3)
5. Третья координата ненулевого вектора
1) 
2) 
3)
6. А (2; 3; 4), В (2; 5; 6), С (5; 3; 6). Тогда верно, что…
1) 
2) 
3)
7. Абсцисса точки А равна 3, абсцисса точки В равна 6. Длина отрезка АВ равна 3. Тогда прямая АВ и ось OX…
1) параллельны;
2) пересекаются;
3) скрещиваются.
8. M (x1; y1; z1), K (x2; y2; z2). Тогда длина вектора 
1)
2)
3)
9. A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2). Тогда координаты точки – середины отрезка АВ равны…
1)
2)
3)
Уровень В
1. Дана точка А (–1; 2; 5). Тогда координаты точки – проекции точки А на плоскость OYZ равны…
2. Даны точки K (2; –1; –3) и M (1; –2; 3). Тогда координаты вектора 
3. А (7; 1; –5), В (4; –3; –5). Тогда 
4. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. А (1; 3; –1), О (0; 1,5; 0). Тогда координаты точки С равны…
5. Вектор 
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ»
Вариант №1
Уровень А
1. Какое утверждение верное?
1) Любые два вектора компланарны.
2) Любые три вектора компланарны.
3) Три нулевых вектора компланарны.
2. Какое утверждение верное?
1) Если один из трёх векторов нулевой, то векторы компланарны.
2) Если векторы компланарны, то один из них нулевой.
3) Если векторы компланарны, то они равны.
3. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Являются компланарными векторы…
1) 
2) 
3)
4. Известно, что 
Тогда векторы 
1) коллинеарными;
2) компланарными;
3) некомпланарными.
5. Векторы 
1)
2)
3)
6. DABC – тетраэдр. О – точка пересечения медиан грани ABD.
Тогда 
1) 
2) 
3)
7. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке M. Точка О – произвольная точка пространства.
1)
2) 2
3)
8. Какое утверждение неверное?
1) Коллинеарные векторы компланарны.
2) Если векторы компланарны, то они коллинеарны.
3) Векторы компланарны, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Уровень В
1. Векторы 
2. Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой окружности. Тогда векторы 
3. ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед, 
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ»
Вариант №2
Уровень А
1. Какое утверждение верное?
1) Любые два вектора не могут не быть компланарными.
2) Любые три вектора некомпланарны.
3) Только нулевые три вектора компланарны.
2. Какое утверждение неверное?
1) Три вектора компланарны, если любые два из них коллинеарны.
2) Если векторы компланарны, то любые два из них коллинеарны.
3) Любые три равных вектора компланарны.
3. FABCD – пирамида. ABCD – параллелограмм.
Не являются компланарными векторы…
1)
2)
3)
4. 
1) пересекаются;
2) скрещиваются;
3) параллельные.
5. Векторы 
1)
2)
3)
6. DABC – тетраэдр. О – точка пересечения медиан грани BDC. Тогда 
1) 
2) 
3)
7. Точки M, N, P, K – середины сторон четырёхугольника ABCD. 
Тогда 
1) 
2) 
3)
8. Какое утверждение неверное?
1) Прямые, содержащие компланарные векторы, лежат в одной плоскости.
2) Если векторы лежат в одной плоскости, то они компланарны.
3) Если вектор 
Уровень В
1. Известно, что векторы 
2. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а точка О не лежит в плоскости (АВС). Тогда векторы 
3. ABCDA1B1C1D1 – куб. АВ = 
Тогда
Тест по теме: «Скалярное произведение векторов»
Вариант №1
1. 
1) острый;
2) тупой;
3) прямой.
2. DABC – тетраэдр, AB = BC = AC = AD = BD = CD.
Тогда неверно, что…
1)
2)
3)
3. Какое утверждение верное?
1)
2)
3)
4. Скалярное произведение векторов 
1) a1a2a3 b1b2b3;
2) a1b1 a2b2 a3b3;
3) a1b2b3 b1a2b3 b1b2a3
Уровень В
1. Скалярное произведение векторов 
2. 
3. В правильной четырёхугольной пирамиде FABCD все рёбра равны по 2 см.
Тогда 
4. Угол между векторами 
5. Даны координаты точек:
А (1; –1; –4), В (–3; –1; 0), С (–1; 2; 5), D (2; –3; 1).
Тогда косинус угла между прямыми АВ и CD равен…
Тест по теме: «Скалярное произведение векторов»
Вариант №2
1. 
1) острый;
2) тупой;
3) прямой.
2. ABCA1B1C1 – призма, 
1)
2)
3)
3. Какое утверждение верное?
1) 
3)
4. Скалярное произведение векторов 
1) m1n1 m2n2 m3n3;
2) (n1 – m1)2 (n2 – m2)2 (n3 – m3)2;
3) m1m2m3 n1n2n3.
Уровень В
1. Скалярное произведение векторов 
2. 
3. Все рёбра тетраэдра равны по 2 см. M, N, K, P – середины рёбер CD, BC, AB и BD соответственно.
Тогда 
4. Угол между векторами 
5. Даны координаты точек:
С (3; –2; 1), D (–1; 2; 1), M (2; –3; 3), N (–1; 1; –2).
Тогда косинус угла между прямыми CD и MN равен…
Раздел №2
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»
Вариант №1
Уровень А
1. Развёрткой прямоугольного параллелепипеда является фигура под номером…
2. ABCD – квадрат, 
Тогда верно, что…
1)
2)
3)
3. Все шесть граней прямоугольники …
1) у наклонного параллелепипеда;
2) прямого параллелепипеда;
3) прямоугольного параллелепипеда.
4. В прямоугольном параллелепипеде неверно, что…
1) диагонали параллелепипеда равны;
2) диагонали всех боковых граней равны;
3) диагонали оснований равны.
5. ABCDA1B1C1D1 – куб.
DB1 = d.
Тогда площадь полной поверхности куба равна…
1) 2d2;
2) 3d2;
3) 6d2.
6. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед.
Тогда неверно, что…
1)
2)
3)
7. Какое утверждение неверное?
1) Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
2) Если в параллелепипеде все рёбра равны, то он является кубом.
3) Не могут боковые грани куба быть не квадратами.
8. Угол между диагональю B1D прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и плоскостью (DCC1) – это угол…
1) B1DC;
2) B1DC1;
3) B1DB.
Уровень B
1. Измерения прямоугольного параллелепипед равны 6 см, 8 см и 3 см.
Тогда площадь полной поверхности параллелепипеда равна…
2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 
3. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед.
АВ = 7 см, ВС = 24 см, АА1 = 25 см.
Тогда угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания равен…
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»
Вариант №2
Уровень А
1. Не является развёрткой прямоугольного параллелепипеда фигура под номером…
2. ABCDA1B1C1D1 – куб.
АВ = m, DB1 = n.
Тогда верно, что…
1)
2)
3)
3. Четыре грани – прямоугольники, а две – параллелограммы…
1) у наклонного параллелепипеда;
2) прямого параллелепипеда;
3) прямоугольного параллелепипеда.
4. Только в прямоугольном параллелепипеде верно, что…
1) противоположные грани равны и параллельны;
2) диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;
3) диагонали равны.
5. Какое предложение верное?
1) Всякие два диагональных сечения прямоугольного параллелепипеда пересекаются по его диагоналям.
2) В прямоугольном параллелепипеде все диагональные сечения равны.
3) В прямоугольном параллелепипеде все диагональные сечения – прямоугольники.
6. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед.
Тогда неверно, что…
1)
2)
3)
7. Какое утверждение верное?
1) Не могут боковые грани прямоугольного параллелепипеда быть не прямоугольниками.
2) Прямоугольный параллелепипед – это куб.
3) Боковыми гранями куба не могут быть прямоугольники с равными смежными сторонами.
8. Угол между диагональю B1D прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и плоскостью (АВВ1) – это угол…
1) B1DB;
2) B1DA1;
3) AB1D.
Уровень B
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 4 см и 12 см.
Тогда диагональ параллелепипеда равна…
2. Длина диагонали куба равна 
Тогда длина ребра куба равна…
3. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. АВ = 3 см, ВС = 4 см. Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания равен 45°.
Тогда длина бокового ребра равна…
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»
Вариант №1
Уровень А
1. ABCD – тетраэдр. Тогда не являются противоположными рёбра…
1) AD и BC;
2) AC и DC;
3) AB и DC.
2. 12 – это число…
1) вершин параллелепипеда;
2) рёбер параллелепипеда;
3) граней параллелепипеда.
3. Какое предложение неверное?
1) Противоположные рёбра параллелепипеда параллельны и равны.
2) Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
3) Диагонали параллелепипеда равны.
4. Диагональным сечением параллелепипеда не может быть…
1) прямоугольник;
2) ромб;
3) трапеция.
5. Не существует тетраэдра, у которого…
1) все грани равные равносторонние треугольники;
2) все грани прямоугольные треугольники;
3) сумма градусных мер углов при одной вершине 360°.
6. Существует параллелепипед, у которого…
1) все углы граней острые;
2) все углы граней прямые;
3) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней.
7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точки N и Р – середины рёбер AD и CD соответственно,
Сечением параллелепипеда плоскостью 
1) BB1;
2) DD1;
3) A1B1.
8. DABC – тетраэдр. Точки M и N – середины рёбер основания АВ и АС соответственно,
Сечение тетраэдра плоскостью 
1) ребру AD;
2) ребру BD;
3) грани BCD.
Уровень В
1. Треугольник со сторонами 13 см, 12 см и 5 см согнули по его средним линиям и получили модель тетраэдра. Тогда площадь каждой грани тетраэдра равна…
2. В тетраэдре DABC углы DBC, DBA и ABC равны по 60º,
DB = AB = BC = 4 см. Тогда площадь грани ADC равна…
3. В тетраэдре DABC все рёбра равны по 8 см. Точки M, N и K – середины рёбер AD, AB и CB соответственно. Тогда периметр сечения тетраэдра плоскостью MNK равен…
4. Три ребра параллелепипеда равны 3 см, 5 см и 8 см. Тогда сумма длин всех его рёбер равна…
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»
Вариант №2
Уровень А
1. ABCD – тетраэдр. Тогда противоположными являются рёбра…
1) AC и ВС;
2) АВ и DC;
3) DB и DC.
2. 6 – это число…
1) вершин тетраэдра;
2) граней тетраэдра;
3) рёбер тетраэдра.
3. Какое предложение неверное?
1) Диагональным сечением параллелепипеда называется сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через его диагонали.
2) Диагональным сечением параллелепипеда является параллелограмм.
3) Диагональные сечения параллелепипеда – равные параллелограммы.
4. Существует параллелепипед, у которого…
1) только одна грань – прямоугольник;
2) только две смежные грани – ромбы;
3) только две противоположные грани – ромбы.
5. Развёрткой тетраэдра является фигура под номером…
6. Не является развёрткой параллелепипеда фигур под номером…
7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точки M и K – середины рёбер AB и AD соответственно, 
1) СС1;
2) DD1;
3) A1B1
8. DABC – тетраэдр. Точки M и N – середины основания AB и BC соответственно, 
1) ребру BD; 2) грани ADC; 3) высоте тетраэдра.
Уровень B
1. Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см согнули по его средним линиям и получили модель тетраэдра. Тогда площадь каждой грани тетраэдра равна…
2. В тетраэдре DABC углы DBC, DBA и АВС прямые, DB = AB = BC = 2 см. Тогда площадь грани ADC равна…
3. Дан тетраэдр DABC, все рёбра которого равны по 4 см. Точки M, N и K – середины рёбер АВ, АС и CD соответственно. Тогда периметр сечения тетраэдра плоскостью MNK равен…
4. Три ребра параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 7 см. Тогда сумма длин всех его рёбер равна…
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: « ПРИЗМА»
Вариант №1
Уровень A
1. Призма изображена на рисунке…
2. 6 – это число…
1) вершин шестиугольной призмы;
2) рёбер треугольной призмы;
3) граней четырёхугольной призмы.
3. Не существует призмы, у которой все грани…
1) ромбы;
2) прямоугольники;
3) треугольники.
4. Существует призма, которая имеет…
1) 13 рёбер; 2) 14 рёбер; 3) 15 рёбер.
5. ABCA1B1C1 – наклонная призма. 
Тогда СС1B1B не может быть…
1) ромбом;
2) квадратом;
3) прямоугольником.
6. ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. 
Тогда ABCD –
1) ромб;
2) квадрат;
3) прямоугольник.
7. Развёрткой наклонной призмы является фигура под номером…
Уровень B
1. В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 144 см2, а высота равна 14 см. Тогда длина диагонали этой призмы…
2. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1M = MB1.
Тогда 
3. ABCA1B1C1 – прямая призма, АА1 = 6 см. АС = 12 см,
Тогда тангенс угла между плоскостями АВС и А1ВС равен…
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: « ПРИЗМА»
Вариант №2
Уровень А
1. Призма изображена на рисунке…
2. 9 – это число…
1) вершин девятиугольной призмы;
2) рёбер треугольной призмы;
3) граней четырёхугольной призмы.
3. Не существует призмы, у которой все грани…
1) ромбы;
2) квадраты;
3) трапеции.
4. Число рёбер призмы кратно… 1) 5; 2) 2; 3) 3
5. ABCDA1B1C1D1 – наклонный параллелепипед. 
1) прямоугольник;
2) ромб:
3) квадрат.
6. ABCA1B1C1 – правильная призма. Тогда угол между BC1 и плоскостью АВВ1 – это…
1)
2)
3)
7. Не является развёрткой правильной призмы фигура под номером…
Уровень В
1. Диагональ основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани – 7 см. Тогда диагональ призмы равна…
2. Все рёбра наклонной треугольной призмы равны по 4 см. Боковое ребро АА1 составляет с рёбрами оснований углы по 30°.
Тогда площадь боковой поверхности равна…
3. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, АА1 = 6 см. ABCD – параллелограмм, 
Тогда тангенс угла между плоскостями АВС и АВ1С1 равен…
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПИРАМИДА»
Вариант №1
Уровень А
1. Многогранник, не являющийся пирамидой, изображён на рисунке…
2. 8 – это число…
1) вершин восьмиугольной пирамиды;
2) граней треугольной пирамиды;
3) рёбер четырёхугольной пирамиды.
3. Какое утверждение неверное?
1) Вершина правильной пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.
2) Если вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, то пирамида правильная.
3) В основании правильной пирамиды лежит правильный n-угольник.
4. Неверно, что…
1) апофема – это высота боковой грани;
2) апофема не может совпадать с высотой пирамиды;
3) апофемы всех боковых граней пирамиды равны.
5. Не существует четырёхугольной пирамиды, у которой…
1) все боковые грани – равные равнобедренные прямоугольные треугольники;
2) все грани – равносторонние треугольники;
3) противоположные боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
6. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности, то равны…
1) апофемы;
2) углы наклона боковых рёбер к плоскости основания;
3) двугранные углы при рёбрах основания.
7. Если вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, то равны…
1) апофемы;
2) боковые рёбра;
3) углы наклона боковых рёбер к плоскости основания.
8. FABCD – пирамида, 
1) ромбом;
2) квадратом;
3) прямоугольником.
Уровень В
1. Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 3 см, 4 см и 7 см. Одно из них перпендикулярно плоскости основания. Тогда высота пирамиды равна…
2. В основании пирамиды, которая имеет 32 ребра, лежит…
3. DABC – пирамида, 
4. DABC – пирамида, 
Тогда длина наибольшего ребра равна…
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПИРАМИДА»
Вариант №2
Уровень А
1. Пирамида изображена на рисунке…
2. 6 – это число…
1) вершин шестиугольной пирамиды;
2) рёбер треугольной пирамиды;
3) граней четырёхугольной пирамиды.
3. Какое утверждение неверное?
1) В основании правильной пирамиды лежит правильный n-угольник.
2) Если в основании пирамиды лежит правильный n-угольник, то пирамида правильная.
3) Вершина правильной пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности.
4. По формуле можно найти площадь боковой поверхности пирамиды, изображённой на рисунке…
5. Число рёбер пирамиды кратно…
1) 5;
2) 2;
3) 3.
6. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности, то равны…
1) апофемы;
2) боковые рёбра;
3) двугранные углы при рёбрах основания.
7. Если вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, то равны…
1) боковые рёбра;
2) углы наклона боковых рёбер к плоскости основания;
3) двугранные углы при рёбрах основания.
8. FABCD – пирамида.
Тогда ABCD не может быть…
1) ромбом;
2) квадратом;
3) прямоугольником.
Уровень В
1. Боковые рёбра треугольной пирамиды равны 5 см, 12 см и 7 см. Одно из них перпендикулярно плоскости основания.
Тогда высота пирамиды равна…
2. Основанием пирамиды, имеющей 20 рёбер, является…
3. FABCD – пирамида, 
Тогда высота пирамиды равна…
4. DABC – пирамида, 
Треугольники АВС и ABD равносторонние. Длина наибольшего ребра равна 
Тогда длина ребра основания равна…
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ЦИЛИНДР»
Вариант №1
1. Цилиндр нельзя получить вращением…
1) треугольника вокруг одной из сторон;
2) квадрата вокруг одной из сторон;
3) прямоугольника вокруг одной из сторон.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле…
1) 
2) 
3)
3. Сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной его образующей, является…
1) круг;
2) прямоугольник;
3) трапеция.
4. На основаниях цилиндра взяты две параллельные друг другу хорды, проходящие через центры оснований. Тогда расстояние между хордами…
1) равно высоте цилиндра;
2) больше высоты цилиндра;
3) меньше высоты цилиндра.
5. Боковой поверхностью цилиндра высотой H и диаметром основания d является квадрат. Тогда верно, что…
1) d = H;
2)
3)
6. Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра может быть…
1) прямоугольник;
2) ромб;
3) параллелограмм.
7. Отношение площадей боковой поверхности и осевого
сечения цилиндра равно…
1) 
2) 
3)
8. Площадь боковой поверхности цилиндра в 2 раза больше площади основания. Тогда отношение 
1) 1;
2) 2;
3) 3.
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ЦИЛИНДР»
Вариант №2
1. Цилиндр можно получить вращением…
1) трапеции вокруг одного из оснований;
2) ромба вокруг одной из диагоналей;
3) прямоугольника вокруг одной из сторон.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра нельзя вычислить по формуле…
1) =
2) 
3)
3. Сечением цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, является…
1) круг;
2) прямоугольник;
3) трапеция.
4. На основаниях цилиндра взяты две перпендикулярные друг другу хорды, проходящие через центры оснований.
Тогда расстояние между хордами…
1) равно образующей цилиндра;
2) больше высоты цилиндра;
3) меньше образующей цилиндра.
5. Боковой поверхностью цилиндра с высотой H и радиусом основания R является квадрат. Тогда верно, что…
1) 
2) 
3)
6. Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра не может быть…
1) прямоугольник;
2) ромб;
3) квадрат.
7. Площадь боковой поверхности цилиндра больше площади осевого сечения цилиндра в…
1) раз;
2) 2 раза;
3) раз.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра в 3 раза больше площади основания. Тогда отношение 
1) 1; 2) 1,5; 3) 3.
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «КОНУС»
Вариант №1
1. Конус может быть получен вращением…
1) равностороннего треугольника вокруг его стороны;
2) прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов;
3) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.
2. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле…
1) 
3. Сечением конуса плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, является…
1) треугольник; 2) прямоугольник; 3) круг.
4. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящей через вершину конуса, равно длине отрезка…
1) OB; 2) OK; 3) OM.
5. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой…
1) сегмент; 2) сектор; 3) слой.
6. Площадь полной поверхности конуса равна…
1) 
7. Наибольший периметр имеет сечение конуса, проходящее через его вершину и хорду, стягивающую дугу в…
1) 60°; 2) 90°; 3) 180°.
8. Через вершину конуса и хорду ВС проведена плоскость.
Тогда угол между этой плоскостью и плоскостью основания это угол…
1) ABO; 2) AMO; 3) BAC.
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «КОНУС»
Вариант №2
1. Конус может быть получен вращением…
1) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы;
2) равнобедренного треугольника вокруг медианы, проведённой к основанию;
3) тупоугольного треугольника вокруг одной из его сторон.
2. Площадь боковой поверхности конуса нельзя вычислить по формуле…
1) 
3. Сечением конуса плоскостью, проходящей вершину конуса и хорду основания, не может быть…
1) прямоугольный треугольник;
2) равнобедренный треугольник;
3) разносторонний треугольник.
4. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящей через вершину конуса, равно длине отрезка…
1) OF; 2) OK; 3) OB.
5. а – образующая конуса, b – высота конуса.
Тогда верно, что…
1) a > b; 2) a = b; 3) a < b.
6. Площадь полной поверхности конуса, у которого осевым сечением является равносторонний треугольник со стороной а, равна…
1) 
7. Наибольшую площадь имеет сечение конуса, проходящее через его вершину и хорду, стягивающую дугу в…
1) 60°; 2) 90°; 3) 180°.
8. Через вершину конуса и хорду AB проведена плоскость.
Тогда угол между этой плоскостью и плоскостью основания – это угол…
1) ACB; 2) OAC; 3) CKO.
Источники информации:
1.Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя /С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов.- 4-е изд., дораб.- М.: Просвещение. 2022.
2. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др. М.: Просвещение.2022.
3.ЕГЭ 2022. Математика. Задача В9. Стереометрия: расстояние в пространстве. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко.-М.: МЦНМО, 2022.
4. ЕГЭ 2022. Математика. Задача В9. Стереометрия: объемы и площади. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко.-М.: МЦНМО, 2022.
5.Геометрия 7-11 классы. Практикум. Издательство «Учитель».Волгоград.2022.
Подтяните знания с репетитором за лето | методическая разработка (11 класс): | образовательная социальная сеть
Методические рекомендации учителям математики по подготовке к ЕГЭ.
Подготовила учитель математики
Куликова Е.Г.
Основная подготовка выпускников к ЕГЭ по математике осуществляется не только в течение учебных лет в старшей школе, но и раньше, начиная с 7-9 класса.
Исключительно важным становится целенаправленная и специально планируемая подготовка школьников к ЕГЭ. Безусловно, на последний год обучения в школе приходится максимальная нагрузка на учащихся. При этом возрастает роль и ответственность в подготовительной работе и учителя и самого ученика.
ЕГЭ (единый государственный экзамен) основан на тестовых технологиях. Тестирование как новая форма экзамена накапливает свой опыт и требует предварительной подготовки всех участников образовательного процесса. Учителям следует активнее вводить тестовые технологии в систему обучения, ведь не зря говорят, что «нельзя научиться плавать, стоя на берегу». Особый интерес в этом плане представляют впервые издаваемые Центром тестирования РФ сборники тематических тестов. Эти тесты разработаны для учащихся с 5 по 11 класс, с их помощью можно оценивать уровень усвоения материала и отработать навык их выполнения.
Такие тренировки в выполнении тестовых заданий позволят реально повысить тестовый балл. Зная типовые конструкции тестовых заданий, ученик практически не будет тратить время на понимание инструкции. Во время таких тренировок формируются соответствующие психотехнические навыки саморегуляции и самоконтроля. При этом основную часть работы желательно проводить заранее, отрабатывая отдельные детали при сдаче каких-нибудь зачетов и пр., т.е. в случаях не столь эмоционально напряженных. Ученые считают, что психотехнические навыки сдачи экзаменов не только повышают эффективность подготовки к экзаменам, позволяет более успешно вести себя во время экзамена, но и вообще способствуют развитию навыков мыслительной работы, умению мобилизовать себя в решающей ситуации, овладевать собственными эмоциями.
Как я осуществляю подготовку к экзамену:
- Знакомлю детей с методикой подготовки к экзаменам. Не имеет смысла зазубривать весь фактический материал, достаточно просмотреть ключевые моменты и уловить смысл и логику материала. Очень полезно делать краткие схематические выписки и таблицы, упорядочивая изучаемый материал по плану. Если они не умеют, показываю ученикам, как это делается на практике. Основные формулы и определения можно выписать на листочках и повесить над письменным столом, над кроватью, в столовой и т.д.
- Готовлю различные варианты тестовых заданий по предмету (сейчас существует множество различных сборников тестовых заданий). Большое значение имеет тренаж ребенка именно по тестированию, ведь эта форма отличается от привычных ему письменных и устных экзаменов.
- Помогаю детям распределить темы подготовки по дням.
- Советую детям во время экзамена обратить внимание на следующее:
5. Подбадриваю детей, хвалю их за то, что они делают хорошо.
Психологическая подготовка к ЕГЭ:
- Итак, первое, что можно посоветовать начать делать уже завтра: прекратить пугать учеников предстоящим ЕГЭ, и начать формировать у них твердое убеждение в том, что, если очень постараться, то можно получить вполне приличный балл: время для подготовки еще не полностью потеряно. Конечно, не следует «перегибать палку» и внушать школьникам, что ЕГЭ – это легко и просто. Но не нужно и внушать им мысль о полной безнадежности. Начните с вопроса: «Что каждый из Вас хочет получить на ЕГЭ?» Таким образом, сразу определится планируемый результат обучения. Важно, чтобы школьник сам его честно сформулировал для себя. Этот разговор дает возможность учитывать «актуальный потолок» обучаемого. Это не значит, что следует его занижать, или этот «потолок» неизменен и, однажды его наметив, на него следует постоянно ориентироваться.
В этой связи, уровень сложности заданий в некоторых случаях следует объявлять заранее, а в некоторых – только после его выполнения: «Как вы думаете, из какого раздела было это задание» Из раздела В! (или С!) И вы его сделали! Кому оно показалось невероятно трудным? Никому! Молодцы! Идем дальше: из какого раздела хотите следующее задание?» Понятно, что это психологически продуманная игра, но при спланированном подборе заданий она приводит к очень значительному сдвигу, как в самооценке школьника, так и в его чувстве уверенности в себе, а также к некоторым положительным подвижкам в качестве его знаний и умения их применять. А главное, в умении «технично» сдавать тест, используя всевозможные вспомогательные приемы и соображения.
- Следует учить школьника технике сдачи теста. Эта техника включает следующие моменты:
- обучение постоянному жесткому самоконтролю времени;
- обучение оценки объективной и субъективной трудности заданий и соответственно разумному выбору этих заданий;
- обучение прикидке границ результатов и минимальной подстановке как проверки, проводимой сразу после решения задания;
- обучение приему «спирального движения» по тесту.
Прием «спирального движения» находится в полном несоответствии с действующей методикой обучения школьника математике. Но он является первым необходимым приемом для успешного написания задания типа «тест с ограничением времени». Он состоит в следующем: ученик сразу просматривает тест от начала до конца и отмечает для себя то, что кажется ему простым, понятным и легким. Именно эти задания школьник выполняет первыми. Я говорю так: «Начинайте с того, что вы можете выполнить сходу, без особых раздумий. Пробегите глазами по разделу В и отметьте два-три задания, которые поняли сразу.. Просмотрите раздел С – один пример в этом разделе всегда решаем без особого напряжения (это действительно так). Отметьте то, что вы попробуете решить, когда закончите с разделом В. Ученик может сделать так несколько раз (двигаясь по спирали и выбирая то, что «созрело» к данному моменту). Если он ориентируется на тройку, то после того, как решил все, что мог из раздела В, он попробует решить что-то из раздела С.
Педагогическая система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике.
I. Подготовительный этап – включает в себя: повторение ранее изученного материала, необходимого для успешной сдачи ЕГЭ; формирование некоторого комплекса умений, навыков и способов деятельности, необходимых на начальном этапе, чтобы приступить к решению той или иной задачи содержания ЕГЭ; рассмотрение основных методов и приемов, применение которых поможет при решении ряда нестандартных и исследовательских задач; изучение внепрограммного материала необходимого для решения задач ЕГЭ рассчитанных на поступление в вуз; накопление знаний в процессе формирования индивидуального справочника учащегося.
Алгебра и начала анализа:
· восполнение пустот вычислительной культуры учащихся;
· отработка основных умений и навыков, необходимых учащимся для выполнения упражнений и задач, связанных с преобразованиями выражений;
· классификация тестовых задач по темам и методам их решения;
· формирование индивидуального справочника учащегося по основным разделам алгебры.
Геометрия:
· выделение основных типажей условий геометрических задач содержания ЕГЭ и приемов работы с каждым типом;
· выделение для учащихся основных требований к построению чертежа по условию геометрической задачи, с учетом специфики разделов: планиметрии и стереометрии;
· рассмотрение основных методов, применение которых необходимо при решении геометрических задач части В и С ЕГЭ;
· поиск и выделение опорных задач по планиметрии и стереометрии двух видов: вспомогательных задач-теорем и задач-методов;
· формирование индивидуального справочника учащегося по основным разделам геометрии.
II. Практический этап – включает в себя:
· отработку навыков решения элементарных задач;
· решение задач по отдельным темам и разделам;
· отработку навыков применения отдельных методов и приемов при решении задач различных уровней сложности;
· определение темы разделов алгебры и геометрии и метода решения, применимых к рассматриваемой задаче;
· решение задач как отдельно по уровням В и С, так и рассмотрение наборов задач, включающих в себя в любом порядке задачи различных уровней сложности;
· обмен опыта учащихся по применению методов и приемов при решении задач ЕГЭ по математике;
· формирование навыков нахождения учащимися различных способов решения тех или иных задач, совместно с одноклассниками их рассмотрение и взаимообмен.
III. Диагностический этап включает:
· в обязательном порядке входящий и итоговый контроль измерителями, составленными на основе КИМов, используемых при сдаче ЕГЭ по математике прошлых лет;
· тематический контроль;
· проведение итоговых обобщающих занятий по отдельным разделам алгебры и геометрии;
· рассмотрение с учащимися ряда исследовательских задач для выявления у них способностей применения полученных знаний на практике и при решении нестандартных задач;
· отслеживание учебных достижений учащихся на основе требований к уровню подготовки выпускников в течение всего времени подготовки к ЕГЭ.
Во время подготовки необходимо уделить особенное внимание изучению таких разделов и тем, как:
Принципы подготовительного процесса
С самого начала года необходимо готовиться к ЕГЭ. Благодаря этому можно качественно усвоить весь необходимый материал.
Желательно повторять вслух все прочитанное, чтобы запомнить правила.
Некоторые аксиомы и теоремы нужно будет просто выучить. А после этого применять их при работе с тренировочными упражнениями.
Если вы готовитесь вместе с одноклассниками, контролируйте друг друга. Так материал быстрее усвоится.
Анализируйте ошибки во время решения задач. Благодаря этому вы значительно продвинетесь в подготовке.
Не забывайте про решение практических заданий. Во время сдачи тестирования этот навык вам очень пригодится.
Результаты егэ по математике.
Информацию о результатах ЕГЭ смотрите
