Введение

Современная экономическая обстановка актуализирует проблему экономического воспитания подрастающего поколения. Экономические знания современной молодежи носят сугубо теоретический характер, оторванный от реальной действительности. Причем все больше осознается необходимость в формировании экономической грамотности у старшеклассников, тех, кто стоит на пороге самостоятельной жизни и которым в ближайшем будущем предстоит занять активную позицию в обществе.

От экономической грамотности выпускников школы во многом будет зависеть их успешная адаптация к социально – экономическим условиям общества. Проблема обучения старшеклассников решению задач с экономическим содержанием складывается из нескольких составляющих: наличие в таких задачах большого количества терминов, неизвестных учащимся; старшеклассники плохо ориентируются в материале, изученном в 5-9 классах и необходимом для решения задач с экономическим содержанием: темы процентов, арифметической, геометрической прогрессий вызывают затруднения.

Задачи о вкладах и кредитовании, а также задачи оптимизации производства товаров и услуг сравнительно недавно включены во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня и вызывают значительные затруднения у большинства выпускников.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что в курсе математики, изучаемой в школе, решению задач с экономическим содержанием не уделено достаточно времени. Жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Гипотеза исследования – в современном мире необходимы знания об экономике и в этом может помочь математика.

Объект исследования – процесс подготовки к единому государственному экзамену по математике профильного уровня.

Предмет исследования – экономические задачи №17, встречающиеся в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Цель исследования – исследование методов решения задач с экономическим содержанием.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить теоретико-методологические основы экономики.

2. Провести классификацию и систематизацию типов экономических задач, включенных во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня, и методов их решений.

Методы исследования – теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы по теме исследования, сравнение, систематизация информации, обобщение, вывод, подбор и решение задач.

Научная новизна работы заключается в обобщении, систематизация, анализе экономических задач, входящих в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Практическое значимость – возможность использования обобщенных данных при подготовке выпускников к сдаче единого государственного экзамена по математике профильного уровня, отработке решения задач экономического содержания.

1 теоретическая часть

1. Содержательный смысл определения экономической науки

У всякой науки свой предмет, т.е. своя главная тема исследований. В центре внимания экономической теории – хозяйственная деятельность людей, которая осуществляется при определенных условиях, в определенной обстановке, экономической среде. [2].

Экономика – это наука, изучающая типичные мотивы и модели поведения людей в процессах производства, обмена и потребления жизненных благ. [6].

Другими словами, экономика – наука об оптимальном, т.е. наилучшем в конкретных условиях, использовании ограниченных ресурсов [8].

2. Взаимосвязь двух наук: экономики и математики

Математика настолько практична, что немногое из окружающего мира может без нее функционировать. От банков и магазинов, бирж и страховых компаний до штрихкодов, прослушивания дисков и разговоров по мобильному телефону – все это и многое другое работает благодаря процессорам и математическим моделям, задача которых – постоянное выполнение математических операций.

Особенности математики, как отличительной области знаний, которые делают ее неповторимой, заключаются в следующем:

Именно благодаря всем вышеперечисленным особенностям математический аппарат является многофункциональным аналитическим инструментом для всех отраслей знаний. [4].

Экономика представляет собой науку, которая изучает объективные причины и условия ведения в обществе хозяйственной деятельности. В этой связи экономике изначально были присущи различные количественные характеристики, исследование и описание которых потребовало использование большого числа математических методов.

Экономические объекты, процессы и явления изучаются математически формализованным образом. Роль математики в экономике заключается в том, что ее язык позволяет сформулировать содержательные и проверяемые гипотезы о многих сложных экономических явлениях.

Причем большая часть этих явлений вообще не может быть изучена без привлечения математического аппарата. В частности, его использование привело к созданию математических моделей, в которых нашли отражение некоторые теоретические экономические взаимосвязи.

На сегодняшний день обширное использование математического аппарата в своих исследованиях способствует достижению наибольших успехов в разных областях. Поэтому применение математики на практике позволяет достичь более значительных результатов в изучении явлений природы и общества.

3. Основные определения и понятия

Решение финансовых задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной. Прежде чем рассмотреть способы решения экономических задач, целесообразно привести основные определения, понятия, таблицы и формулы.

1. Понятие процента и процентной ставки

Процентом называют одну сотую часть числа. С точки зрения экономики, процент – это абсолютная часть дохода, получаемая в результате финансовой операции за определенный период времени при наращении.

При решении экономических задач часто используется определение процентной ставки за определенный период времени – величины, характеризующей относительное изменение денежной суммы F за этот период:

где – абсолютная величина изменения суммы F.

Определенная таким образом процентная ставка измеряется в процентах (%). Если относительное изменение денежной суммы не умножать на 100, то ставка будет измеряться в долях единицы (дробях).

Отрезок времени, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

В зависимости от того, какая из сумм дана и какую нужно найти, выделяют два направления финансовых расчетов: наращение и дисконтирование.

Наращение – определение величины итоговой стоимости по заданной текущей стоимости. Дисконтирование – определение текущей стоимости по ожидаемой итоговой сумме в будущем. [3].

Различают простые и сложные процентные ставки, или проценты.

Для начисления простых процентов применяют постоянную базу начисления. В этом случае начисленные за весь срок проценты I составят:

 где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.

Наращенная сумма представляет собой сумму первоначальной денежной суммы и наращенных процентов:

Когда за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения (дисконтирования), используют сложные процентные ставки. В этом случае база начисления последовательно изменяется, то есть проценты начисляются на проценты.

В конце первого года проценты будут равны величине I = Р * i, а наращенная сумма составит S = Р Р * i = Р * (1 i). К концу второго года она достигнет величины Р * (1 i) Р * (1 i) * i = Р * (1 i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна:

где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.

Проценты за этот срок составят:

2. Понятие арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d. [7].

Очевидно, что арифметическая прогрессия представляется возрастающей последовательностью, если d > 0, и убывающей, если d < 0.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (an) такова, что для любого n > 1 выполняется равенство:

то (аn) – арифметическая прогрессия. [5].

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии. [1].

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (bn) такова, что для любого n > 1 выполняется равенство:

 то (bn) – геометрическая прогрессия. [1].

3. Понятия фиксированных, аннуитетных и дифференцируемых платежей

Фиксированные платежи – платежи, которые четко оговариваются в условии задачи. Аннуитетный платеж – это платеж, который устанавливается в равной сумме через равные промежутки времени. Месячный аннуитетный платеж находится по формуле:

где X – месячный платеж, S – сумма кредита, P – 1/12 процентной ставки, N – количество месяцев.

Дифференцируемый платеж – это платеж, который представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Если при аннуитетной схеме неизменным является сам аннуитетный платеж, то при дифференцируемой – не меняется именно взнос, идущий на погашение тела кредита. Рассчитывается он по формуле:

где St – сумма, которая идет на погашение тела кредита, S – сумма кредита, N – количество месяцев. Для расчёта доли процентов в дифференцированных платежах пользуются следующей формулой:

где In – сумма, которая идёт на погашение процентов по кредиту в данный расчётный период, Sn — остаток задолженности по кредиту, P – годовая процентная ставка. Зная долю тела кредита и долю процентов, мы можем рассчитать дифференцированный платёж, используя формулу:

где X — размер дифференцированного платежа по кредиту, St – сумма, которая идёт на погашение тела кредита, In – сумма уплачиваемых процентов. [3].

Задача 1

15 января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34 млн рублей?

Дано:

S — кредит

n = 16 месяцев

r = 2%

2,34 млн рублей — общая сумма выплат

Найти:

S — ?

Решение:

По условиям задачи, общая сумма выплат после полного погашения кредита равна 2,34 млн рублей.

S (17t — 15) = 4,68

Подставим в полученное выражение известное значение t.

S (17 • 1,02 — 15) = 4,68

2,34 S = 4,68

S = 2 (млн рублей)

Ответ: 2 млн рублей

Задача 2

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

Дано:

S = 2,4 млн рублей

n = 24 месяца

r = 3%

Найти:

Общую сумму выплат за первые 12 месяцев.

Решение:

Найдем общую сумму выплат за первые 12 месяцев.

Подставим в полученное выражение значения известных переменных.

Ответ: 1,866 млн рублей

Задача 3

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Дано:

S тыс. рублей: кредит

n = 21 месяц

r = 3%

Общая сумма выплат равна 1604 тыс. руб.

Найти:

S — ?

Решение:

По условию задачи известно, что общая сумма выплат равна 1604 тыс. рублей.

1) (St St — 570t) • 10 — (2S — 630) • 10 St — 600t = 20St — 5700t — 20S 6300 St — 600t = 21St — 20S 6300 — 5700t = 21 • 1,03S — 20S 6300 — 5700 • 1,03 = 21,63S — 20S 6300 — 6489 = 1,63S — 189

2) Выплаты составили 1604 тыс. рублей:

1,63S — 189 = 1604

1,63S = 1793

S = 1100 тыс. рублей

Ответ: 1100 тыс. рублей.

Задача 4

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1200 тысяч рублей на (n 1) месяц. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
• cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15-го числа n-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;
• к 15-му числу (n 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тысяч рублей.

Дано:

S = 1200 тыс. рублей (кредит)

n 1 месяц — срок кредитования

С 1-го по n-ный месяц долг уменьшается на 80 тыс. рублей.

15-го числа n-го месяца долг составит 400 тыс. рублей.

Общая сумма выплат составляет 1288 тыс. рублей (после полного погашения кредита).

Найти:

r — ?

Решение:

1) 15 числа n-го месяца долг составляет 400 тыс. рублей:

S — n • 80 = 400

1200 — n • 80 = 400

n • 80 = 800

n = 10

2) Общая сумма выплат составляет 1288 тыс. рублей.

8800t — 7600 = 1288

8800t = 8888

t = 1,01

r = 1%

Ответ: 1%

Задача 5

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Дано:

S = 5 млн руб. (кредит)

r = 20%,

Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 7,5 млн. руб.

Найти:

n — ? (число лет)

Решение:

По формуле суммы арифметической прогрессии получим:

2) По условию задачи известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 7,5 млн рублей, тогда:

0,2n 2,2 = 3

0,2n = 0,8

n = 4

4 года — на столько лет планируется взять кредит.

Ответ: 4

Задача 6

15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Дано:

S — кредит

n = 9 месяцев

r = r%

Со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга.

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Общая сумма выплат по кредиту на 25% больше суммы, взятой в кредит.

Найти:

r — ?

Решение:

1) Найдем общую сумму выплат:

2) По условию задачи известно, что общая сумма выплат на 25% больше суммы, взятой в кредит:

S — 100%

(5St — 4S) — 125%

100 (5St — 4S) = 125S

500St — 400S = 125S

r = 5%

Ответ: 5%

Задача 7

15-го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Дано:

S — кредит

n = 18 месяцев

r = 2%

Долг уменьшается на одну и ту же сумму.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение:

1) По формуле суммы арифметической прогрессии получим:

2) S — 100%

— столько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования.

Ответ: 119%

Задача 8

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,7 млн рублей.

Дано:

S = 1 млн рублей (кредит)

n = 6 месяцев

Найти:

Наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,7 млн рублей.

Решение:

Найдем общую сумму выплат:

t (1 0,7 0,6 0,4 0,2 0,1) — (0,7 0,6 0,4 0,2 0,1) = 3t — 2

3t — 2 — общая сумма выплат.

2) По условию задачи известно, что общая сумма выплат будет меньше 1,7 млн рублей:

3t — 2 < 1,7

3t < 3,7

Наибольшее целое число этого неравенства r = 23%

Ответ: 23%

Задача 9

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
• к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Дано:

S = 300 тыс. руб. (кредит)

n = 21 месяц

r = 2%

15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тыс. рублей.

Найти:

Общую сумму выплат.

Решение:

Пусть х тыс. рублей — ежемесячный равный платеж.

1) По условиям задачи известно, что 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тыс. рублей:

S — 20x = 100

300 — 20x = 100

20x = 200

X = 10 тыс. рублей

2) Найдем общую сумму выплат:

Ответ: 384 тыс. рублей.

Решу егэ

Заключение

В результате проведенной работы по классификации и систематизации типов задач финансовой математики, включенных во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня, и методов их решений были получены следующие выводы и результаты:

1. Было дано определение экономики как науки, изучающей типичные мотивы и модели поведения людей в процессах производства, обмена и потребления жизненных благ, а также установлена ее связь с математикой, заключающаяся в построении теоретических моделей математическим методом при анализе экономических явлений и процессов.

2. Были выделены четыре типа, один из которых содержит в себе семь подтипов, экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня и приведены различные способы их решений.

В ходе исследования было замечено, что наиболее наглядным и понятным методом решения задач с экономических содержанием оказался табличный метод. Именно этот способ решения рекомендуется использовать учащимся для построения точной теоретической модели экономической задачи.