В основании лежит треугольник
Площадь треугольника
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a b c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Решу егэ
А) Строим последовательно:
1. Отрезок ВК.
2. Отрезок KF, F ∈ PD, KF || DC.
3. Отрезок AF. AFKB — искомое сечение.
Положение точек А, В и К задано условием задачи. Нам следует доказать:
1) F ∈ (ABK); 2) AFKB — трапеция. Докажем.
1) Из условия: DC || AB, по построению: KF || DC. Следовательно, KF || AB по свойству транзитивности отношения параллельности. Так как через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость, то F ∈ (ABK).
2) Для доказательства того, что AFKB — трапеция, достаточно убедиться, что AF и KB не параллельны. Предположим, что AF || KB, тогда AFKB — параллелограмм, откуда: FK = AB, следовательно, FK = CD, чего быть не может, так как по смыслу задачи FK < CD. Значит, предположение AF || KB неверно.
Б) Геометрический способ решения.
Для определенности примем 4 за длину ребер пирамиды. Пусть О — точка пересечения диагоналей основания, Q — середина CD, H — середина АВ, Е — середина KF, М — точка пересечения РО и E, тогда: 
В 
по теореме Менелая: 
; 
; 
Итак, PM = 6OM. А это значит, что 
Докажем, что 
искомый угол.
AB прямая, по которой пересекаются плоскости АВК и АВС, PO ⊥ (ABC), M — наклонная, O — проекция наклонной. O ⊥ AB, следовательно, MH ⊥ AB. 
Координатно-векторный способ решения.
Поместим заданную пирамиду в декартову систему координат, как показано на рисунке. Для определенности примем за длину ребер пирамиды 4. Пусть О — точка пересечения диагоналей основания пирамиды, Q — середина CD, F — середина АВ, Е — середина KF, М — точка пересечения РО и F, тогда : 
аппликата точки К будет равна 
т. е. 
Найдем координаты нужных точек: 
Будем искать уравнение плоскости АВК при d = 2, для чего будем решать систему уравнений:
Итак, уравнение плоскости АВК имеет вид: 
или 
Нормальный вектор этой плоскости 
Уравнение плоскости основания пирамиды: z = 0, нормальный вектор которой 
Искомый угол — угол между векторами 
и 
Ответ: Б) 
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 128.
§
Координатный метод решения.
Пусть O — центр основания пирамиды. Тогда PO — ее высота. 
Поместим пирамиду в декартову систему координат, как показано на рисунке.
Укажем координаты необходимых точек: A (2; -2; 0), M (1; -1; sqrt{7}), C (-1; -1; sqrt{7}), C (-2; 2; 0).
Уравнение плоскости KMC в общем виде: ax by cz d = 0. Найдем a, b, c.
Вычитая из второго уравнения первое, получим: 
Из третьего уравнения: 
Подставляя найденные значения a и b в первое уравнение, найдем c. 
Далее:
(уравнение плоскости CMK).
Ответ:
Элементарно-геометрический метод решения.
Соединим отрезками точки: M с точками K и С.
Вычислим длину отрезка CK, который является медианой треугольника BPC.
Аналогично вычислим МС — медиану треугольника РАС.
Рассмотрим пирамиду PABC (рис.2), зеркально симметричную пирамиде PADС относительно плоскости APC. При этом объем пирамиды PABC будет равна половине объема пирамиды PABCD. То есть 
Пирамиды PMKС и PABC имеют общий трехгранный угол. Следовательно, в соответствии с теоремой об отношении объемов треугольных пирамид будем иметь:
Отсюда 
Соединим отрезком точки А и K и рассмотрим треугольные пирамиды CPMK и CAMK с вершиной С и с общей высотой, проведенной из точки С.
Поскольку треугольники PMKAMK равновелики (имеют равные основания PM и AM, общую высоту, проведенные к ним) , то 
Это — с одной стороны. А с другой же стороны, 
где 
— искомое расстояние.
Найдем площадь треугольника CMK по уже известным его трем сторонам — по формуле Герона.
Итак, 
Ответ:
Замечания.
1. При вычислении CK и МС использована формула медианы треугольника 
К этой формуле можно прийти методом удвоения медианы. Если она забыта, ее можно восстановить легко и просто. И вот каким образом.
Пусть задан треугольник, стороны которого равны a, b, c. Предположим, что требуется найти длину медианы, проведенной к стороне с. Обозначим искомую длину 
Достроим треугольник до параллелограмма, удвоив медиану. Очевидно, одна из диагоналей параллелограмма будет с, другая 
а его сторонами будут стороны треугольника длиной a и b. Как известно, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то будет выполнено равенство:
Отсюда: 
;
2. Строить сечение пирамиды, проходящее через точки С, M, К никакой надобности нет. Тем более доказывать, что оно содержит вершину D. В условии задачи ничего не говорится об этом сечении. Поэтому я его обошел. В данном варианте решения вычисление площади треугольника CMK по формуле Герона, когда одна из его сторон число иррациональное, никаких неудобств не доставляет.
3. Теорема об отношении объемов треугольных пирамид является логическим следствием из более общей теоремы: «Объемы двух треугольных пирамид, имеющих по равному трехгранному углу, относятся друг к другу, как произведения длин трех ребер равных трехгранных углов».
4. Рис. 1 заимствован из моего же решения данной задачи координатным методом.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 58.
§
А) Строим последовательно:
1. Отрезок ВК.
2. Отрезок KF, F ∈ PD, KF || DC.
3. Отрезок AF. AFKB — искомое сечение.
Положение точек А, В и К задано условием задачи. Нам следует доказать:
1) F ∈ (ABK); 2) AFKB — трапеция. Докажем.
1) Из условия: DC || AB, по построению: KF || DC. Следовательно, KF || AB по свойству транзитивности отношения параллельности. Так как через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость, то F ∈ (ABK).
2) Для доказательства того, что AFKB — трапеция, достаточно убедиться, что AF и KB не параллельны. Предположим, что AF || KB, тогда AFKB — параллелограмм, откуда: FK = AB, следовательно, FK = CD, чего быть не может, так как по смыслу задачи FK < CD. Значит, предположение AF || KB неверно.
Б) Геометрический способ решения.
Для определенности примем 4 за длину ребер пирамиды. Пусть О — точка пересечения диагоналей основания, Q — середина CD, H — середина АВ, Е — середина KF, М — точка пересечения РО и E, тогда:
В по теореме Менелая: ; ; Итак, PM = 6OM. А это значит, что
Докажем, что искомый угол.
AB прямая, по которой пересекаются плоскости АВК и АВС, PO ⊥ (ABC), M — наклонная, O — проекция наклонной. O ⊥ AB, следовательно, MH ⊥ AB.
Координатно-векторный способ решения.
Поместим заданную пирамиду в декартову систему координат, как показано на рисунке. Для определенности примем за длину ребер пирамиды 4. Пусть О — точка пересечения диагоналей основания пирамиды, Q — середина CD, F — середина АВ, Е — середина KF, М — точка пересечения РО и F, тогда : аппликата точки К будет равна т. е.
Найдем координаты нужных точек:
Будем искать уравнение плоскости АВК при d = 2, для чего будем решать систему уравнений:
Итак, уравнение плоскости АВК имеет вид: или Нормальный вектор этой плоскости
Уравнение плоскости основания пирамиды: z = 0, нормальный вектор которой Искомый угол — угол между векторами и
Ответ: Б)
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 128.
Теорема пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2 BC^2=AB^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
Трапеция
$S={(a b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$- высота боковой грани (апофема)
$S_{бок}={P_осн·h_a}/{2}$
$S_{п.п}=S_{бок} S_{осн}$
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:
- Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
- Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^2 √3}/{4}={3·a^2 √3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.
Пример:
Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $10$, а высота равна $5√3$.
Решение:
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
Так как пирамида правильная, то в основании у нее лежит равносторонний треугольник, найдем его площадь по формуле:
$S_{основания}={a^2 √3}/{4}={10^2·√3}/{4}=25√3$
Подставим все данные в формулу объема и вычислим его:
$V={1}/{3} S_{осн}·h={25√3·5√3}/{3}={25·5·3}/{3}=25·5=125$
Ответ: $125$
Подобные пирамиды: при увеличении всех линейных размеров пирамиды в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
