Пояснения к демонстрационному
варианту
контрольных измерительных материалов
для ЕГЭ 2016 года
Демонстрационный вариант предназначен для того,
чтобы дать представление о структуре будущих
контрольных измерительных материалов, количестве
заданий, их форме и уровне сложности. Задания
демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания,
которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в
2016 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень
вопросов — в кодификаторах элементов содержания и требований к уровню
подготовки выпускников образовательных организаций для проведения
единого государственного экзамена 2016 г. по математике.
Экзаменационная работа состоит из двух частей,
включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня
сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня
сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности
с развёрнутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут
(235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого
числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте
работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.
При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке
ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование
гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не
учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество
баллов.
ЕГЭ (диагностич. работы)
№ 13. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение: + показать
— середина бокового ребра
, а точка
— середина ребра
пересекает боковое ребро
а) Докажите, что прямая
б) Найдите расстояние от точки
№ 15. Решите неравенство:
№ 16. Трапеция
с большим основанием
вписана в окружность. Прямая
вторично пересекает эту окружность в точке
а) Докажите, что прямые
пересекаются в точке
если радиус окружности равен
а площадь четырёхугольника
раз больше площади треугольника
№ 17. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— со февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
№18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
№19. Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?
в) Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2?
Решения отдельных заданий ЕГЭ по математике от 6 июня 2016 года
Задания вариантов можно найти здесь здесь.
а) Решите уравнение:
В правильной треугольной призме
, а боковое ребро
. На ребре
– середины ребер
.
а) Докажите, что прямая
перпендикулярна плоскости
перпендикулярна основаниям. Из точки
. На стороне
так, что прямые
перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые
б) Найдите отношение
. На них из точек
параллельны.
б) Найдите отношение
, если угол
– середина боковой стороны
.
а) Докажите, что площади четырёхугольника
равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника
15‐го января планируется взять кредит в банке на сумму
млн рублей на
месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на целое число
процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение
, при котором общая сумма выплат будет составлять более
Определите, при каких значениях параметра уравнение
имеет ровно два различных решения.
имеет ровно три различных решения.
имеет ровно один корень.
Определите, при каких значениях параметра система уравнений
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Задания (часть С) резервного дня сдачи ЕГЭ по математике 2016 можно найти здесь.
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Тренировочные варианты ЕГЭ-2018
Вариант № 1 от 11.11.2017
Вариант № 2 от 27.11.2017
Вариант № 3 от 13.01.2018
Вариант № 4 (вторая часть)
Вариант №5 от 06.04.2018
Вариант №6 от 15.04.2018
Пробные ЕГЭ центра «Школково»
Пробный ЕГЭ 03.04.2017
Пробный ЕГЭ 10.04.2017
Тренировочные варианты. Первая часть.
Тренировочный вариант №1
Тренировочный вариант №2
Тренировочный вариант №3
Тренировочный вариант №4
Тренировочный вариант №5
Тренировочный вариант №6
Тренировочные варианты «Школково». Уровень школьник
Тренировочные варианты «Школково». Уровень составитель ЕГЭ
Тренировочный вариант №7
Тренировочный вариант №8
Тренировочный вариант №9
Тренировочный вариант №10
Тренировочные варианты «Школково». Уровень Максим Олегович
ДВИ в МГУ им. М. В. Ломоносова
Вариант 111, июль 2011 года.
Вариант Москва, июль 2014 года.
Вариант Москва, июль 2015 года.
Вариант Ф22, июль 2015 года.
Вариант КМ-15, июль 2015 года.
Вариант Москва, июль 2017 года.
Реальные варианты ЕГЭ 2015
Резервный день. Задания с развернутым ответом
Реальные варианты ЕГЭ 2016
Реальные варианты ЕГЭ 2017
Досрочная волна. 31 марта 2017
Официальный пробный ЕГЭ. 21 апреля 2017
Досрочная волна. Резерв. 14 апреля 2017
Основная волна. 2 июня 2017. Вторая часть. Вариант 1
Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 2
Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 3
Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 4
Основная волна. 2 июня 2017. Вторая часть. Вариант 5
Резервная волна. 28 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 1
Резервная волна. 28 июня 2017. Вторая часть. Вариант 2
Реальные варианты ЕГЭ 2018
СтатГрад. Москва. 11 октября 2017
СтатГрад. Москва. 26 января 2018
Досрочная волна. 30 марта 2018
Досрочная волна. Резервный день. 11 апреля 2018
СтатГрад. Москва. 19-23 апреля 2018
Основная волна. Вариант №1. 1 июня 2018
22 Апрель 2016
Досрочный период
В этом году ЕГЭ по математике прошёл традиционно с разделением на две волны — досрочную и основную. 21 марта школьники сдавали досрочный ЕГЭ по математике базового уровня, а 28 марта — профильного уровня. Также, у тех, кто по уважительным причинам не смог появиться на экзамене в назначенные даты, была возможность сдать экзамен обоих уровней в резервный день — 16 апреля.
Результаты ЕГЭ по математике досрочного периода были опубликованы 4 апреля. И уже 22 апреля в Москве прошла пресс-конференция, посвященная итогам досрочной сдачи ЕГЭ по всем предметам.
По данным Росбрнадзора, в этом году участие в сдаче ЕГЭ по математике досрочно приняли 5,5 тысяч школьников. При этом около тысячи участников экзамена оказались выпускниками прошлых лет, сдававшими экзамен повторно. Примечательно, что это был первый случай в истории ЕГЭ, когда экзаменационные материалы распечатывались непосредственно перед началом экзамена, что было обусловлено необходимостью всеми способами предотвратить утечку информации о реальных экзаменационных заданиях. В целом, по свидетельству представителей Росбрнадзора, экзамен прошел без сбоев и утечек, хотя не обошлось и без аннулирования некоторых экзаменационных работ в связи с выявленными нарушениями.
Материалы
Реальные КИМы досрочной волны ЕГЭ по математике 2016 года доступны для ознакомления после того, как они публикуются авторами ЕГЭ в открытом доступе.
Предлагаем Вам также ознакомиться с некоторыми из вариантов, найденными на просторах интернета (они были предоставлены неофициальными источниками, поэтому мы не можем гарантировать их подлинность).
Основной период
ЕГЭ по математике основного периода назначен на 2 июня для математики базового уровня и 6 июня для математики профильного уровня. Также будет проводиться экзаменация и в резервный день — 28 июня — для математики обоих уровней. Последним днем для сдачи ЕГЭ по математике будет в этом году 30 июня — резервный день для всех предметов. В этот день основная волна сдачи ЕГЭ завершится, однако выпускники, не прошедшие или получившие неудовлетворительные результаты по результатам досрочного или основного периодов, смогут пересдать ЕГЭ в следующем учебном году, ориентировочно 10 сентября.
Реальные КИМы основной волны ЕГЭ по математике 2016 года появятся на нашем портале сразу после того, как будут предоставлены авторами ЕГЭ в открытый доступ (естественно, после проведения экзамена и опубликования его результатов).
На этой странице публикуются
материалы для подготовки к Единому государственному экзамену по
математике 2016. Все представленные материалы получены из открытых
источников и размещаются в ознакомительных целях.
НИКАКИХ «РЕАЛЬНЫХ» КИМов, НИКАКИХ «ОТВЕТОВ» ДО ОКОНЧАНИЯ ЭКЗАМЕНОВ
ЗДЕСЬ НЕТ, НЕ БЫЛО И НЕ БУДЕТ!
Традиционно напоминаю: я не решаю никому никаких задач,
ни за деньги, ни бесплатно, никаких «ответов» никуда не «скидываю».
Обсуждения задач — на
форуме.
Генераторы вариантов ЕГЭ и ГИА
База задач формируется на основе Открытого Банка, тренировочных и
диагностических работ, пробных и реальных вариантов ЕГЭ и ГИА. Имеется
возможность составить вариант в версии для печати.
Адаптировано под
демовариант ЕГЭ 2016
Тренировочные варианты составляются
в соответствии с демовариантом и по спецификации ЕГЭ по
математике 201
Варианты публикуются еженедельно: в
субботу — вариант, в пятницу — ответы к нему.
Есть возможность
автоматической проверки 1-12 заданий варианта
ЕГЭ — 201
Образцы вариантов публикуются только ПОСЛЕ
окончания экзамена в ознакомительных целях
Диагностические и
тренировочные работы МИОО в формате ЕГЭ — 2016
а также различные пробные
варианты ЕГЭ
Тексты вариантов
диагностических работ не публикуются. Только обсуждения решений и
видеоразборы.
Дополнительные материалы
для подготовки. Учебные пособия.
Все задания части С ЕГЭ 201
С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 2015
С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 2014
С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 2013
С подробными официальными решениями.
Все задания части С ЕГЭ 2012
С подробными официальными решениями.
Гущин Д.Д. Встречи
с финансовой математикой
Геометрические
задачи на ОГЭ и ЕГЭ. Сборник задач с подробными решениями.
Открытый банк ЕГЭ
борник заданий 1-14 Открытого Банка ЕГЭ-2015
Квадратичная
функция,
Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным,
Шары и
многогранники
А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев
Планиметрические задачи на вычисление и доказательство
(задания 18 (С4))
С.К. Кожухов
Уравнения и
неравенства с параметром
З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева
Математика. Нестандартные методы решения неравенств и их систем.
А.П. Власова, Н.В. Евсеева , Н.И. Латанова
Решение
уравнений в целых числах
А.П. Власова, Н.В. Евсеева , Н.И. Латанова
Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах
Диагностические и
тренировочные работы в формате ОГЭ (ГИА) — 2016
а также различные пробные
варианты ОГЭ (ГИА)
Варианты публикуются еженедельно в среду,
ответы — в понедельник.
Тексты вариантов
диагностических работ МИОО не публикуются. Только обсуждения решений и
видеоразборы.
Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике для 11 класса за 2002-2009 годы включали в себя три раздела: А (задачи с выбором ответа из нескольких предложенных), В (задачи с кратким ответом) и С (задания, для выполнения которых требовалось привести полное решение задачи).
В 2010 году из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике были исключены задачи с выбором ответа, ранее составлявшие раздел А. Таким образом, демонстрационный вариант ЕГЭ стал состоять уже только из двух разделов В и С.
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 года почти полностью совпадал с демонстрационным вариантом ЕГЭ 2010 года: были изменены лишь задания C1 и C5.
В 2014 году в демонстрационном варианте ЕГЭ по математике тематических изменений по сравнению с предыдущим годом не было: задачи В3, В9, В14, С2 и С4 были заменены на другие задачи той же тематики. Кроме того, было добавлено задание базового уровня сложности с кратким ответом, проверяющее практические навыки применения математики в повседневной жизни и изменен порядок заданий.
В 2015 году в порядке проведения ЕГЭ по математике произошли серьезные изменения: было решено проводить два отдельных экзамена – базового уровня и профильного уровня.
В связи с этим в 2015 году было представлено 2 демонстрационных варианта: новая модель демонстрационного варианта для ЕГЭ базового уровня и модернизированная модель демонстрационного варианта 2014 года для проведения ЕГЭ профильного уровня.
Демонстрационный вариант для ЕГЭ базового уровня содержал только задания базового уровня сложности с кратким ответом (20 заданий). В демонстрационном варианте было представлено по несколько примеров заданий на каждую позицию экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию было предложено только одно задание.
Демонстрационный вариант профильного экзамена 2015 года разработан на основе демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2014 года со следующими изменениями:
В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике базового уровня 2016 года изменений не было .
В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике профильного уровня 2016 года произошли следующие изменения:
В демонстрационных вариантах ЕГЭ по математике 2017 — 2021 годов как базового уровня, так и профильного уровня, по сравнению с демонстрационными вариантами ЕГЭ по математике 2016 года изменений не было.
В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике 2022 года базового уровня по сравнению с демонстрационным вариантом ЕГЭ по математике 2021 года базового уровня произошли следующие изменения:
В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике 2022 года профильного уровня по сравнению с демонстрационным вариантом ЕГЭ по математике 2021 года профильного уровня произошли следующие изменения:
В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике 2023 года базового уровня по сравнению с демонстрационным вариантом ЕГЭ по математике 2022 года базового уровня изменений в содержании нет, однако задания перегруппированы: сначала идут практико-ориентированные задания, затем задания по геометрии, по алгебре и началам математического анализа.
В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике 2023 года профильного уровня по сравнению с демонстрационным вариантом ЕГЭ по математике 2022 года профильного уровня также изменений в содержании нет, однако в части 1 задания перегруппированы: сначала идут задания по геометрии, затем задания по элементам комбинаторики, статистике и теории вероятностей, а потом идут задания по алгебре и началам математического анализа.
Показания счётчика электроэнергии сентября составляли кВч, а октября — кВч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за сентябрь, если кВч электроэнергии стоит рубля копеек? Ответ дайте в рублях.
Вычислим, сколько кВч электроэнергии было израсходовано за сентябрь: (30 047 — 29 947 = 100) кВч. Таким образом, необходимо заплатить: (100cdot4,28 = 428) руб.
На диаграмме показана среднемесячная температура в Брянске за каждый месяц года. По горизонтали указывается номер месяца ( — январь, — февраль и т.д.), по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в Брянске в период с апреля по сентябрь года.Ответ дайте в градусах Цельсия.
Наименьшая среднемесячная температура в период с апреля по сентябрь – это наименьшая температура с по месяц. По диаграмме видно, что в -ом месяце температура в этом периоде была минимальна и равна .
На клетчатой бумаге с размером клетки изображён треугольник . Найдите его площадь.
Проведем высоту из точки на прямую . Так как треугольник тупоугольный, высота упадет на продолжение и будет равна , (AB = 5).
В чемпионате по гимнастике участвуют спортсменов, включая спортсменов из Кореи и — из России. Порядок, в котором выступают гимнасты, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из России будет выступать тридцать девятым.
Возведя в квадрат обе части равенства, получим:
Стороны и четырёхугольника , описанного около окружности, равны и соответственно. Найдите периметр этого четырёхугольника.
Так как в четырёхугольник можно вписать окружность, значит суммы его противоположных сторон равны: (AD+BC = AB+CD = 28+24 = 52).Периметр четырёхугольника равен (AB+CD+AD+CB = 52+52 = 104).
На рисунке изображён график (y = f'(x)) — производной функции , определенной на интервале . Найдите все точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. В ответ запишите их количество.
В уравнении касательной коэффициент перед и есть значение производной в точке касания: . На рисунке изображен график производной, значит, задача сводится к тому, чтобы найти количество точек с ординатой . Для этого проведем прямую (y = 2). Из рисунка видно, что таких точек .
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки (A_1
,B_1 ,C_1 ,B) прямой треугольной призмы , площадь основания которой равна , а боковое ребро равно .
Необходимо вычислить объём треугольной пирамиды (см. рисунок), высота которой равна , а площадь основания — .
Найдем кинетическую энергию груза через секунд после начала колебаний:
Смешав –процентный и –процентный растворы кислоты и добавив кг чистой воды, получили –процентный раствор кислоты. Если бы вместо кг воды добавили кг –процентного раствора той же кислоты, то получили бы –процентный раствор кислоты. Сколько килограммов –процентного раствора использовали для получения смеси?
Если бы вместо кг воды добавили кг –процентного раствора той же кислоты, то получили бы –процентный раствор кислоты:
Получили следующую систему уравнений:
Решив систему, получим (x = 35, y = 55). Требовалось найти .
Найдем критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует):
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума .
Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни, решив два неравенства:
В правильной треугольной призме сторона основания равна , а боковое ребро равно . На ребре отмечена точка так, что . Точки – середины ребер и соответственно. Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объем пирамиды, вершины которой – точка , а основание – сечение данной призмы плоскостью .
Построим сечение пирамиды плоскостью . Т.к. плоскость параллельна прямой , то она будет пересекать основания призмы по прямым, параллельным прямой . Следовательно, прямая пересечения плоскости с плоскостью – прямая (LPparallel A_1C_1parallel AC). Таким образом, сечение призмы плоскостью – равнобокая трапеция .
Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости.Проведем (MHperp ABC Rightarrow ) по теореме о трех перпендикулярах (наклонная) , т.к. (проекция) .
Найдем высоту трапеции .
Сделаем замену и приведем правую и левую части неравенства к общему знаменателю:
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Нам подходят те значения , над которыми стоит знак “”:
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям. Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение , если .
а) Рассмотрим четырехугольник : т.к. , то около него можно описать окружность. Следовательно, (angle ECA=angle EDA) как вписанные и опирающиеся на одну хорду . Около четырехугольника также можно описать окружность, следовательно, (angle CBH=angle CAH).
Но (angle CAH=angle ECA) как накрест лежащие при и – секущей. Следовательно, (angle CBH=angle ADE).
Таким образом, (angle AED=90^circ-angle ADE=90^circ -angle
CBH=angle EBH) – соответственные при прямых и и секущей . Значит .
б) Достроим трапецию до треугольника . Т.к. (BHparallel
ED Rightarrow riangle OBHsim riangle OED).
Т.к. (angle BCD=150^circ Rightarrow angle BCE=angle
BOC=60^circ, angle OCB=angle BEC=30^circ).
Для того, чтобы система имела три различных решения, необходимо, чтобы все три корня были различны и удовлетворяли неравенству .
Заметим, что при всех (a
e pm 2) все три корня различны, значит, необходимо, чтобы:
Дана последовательность, состоящая из целых чисел, причем (a_1=1, a_n=235). Сумма любых соседних членов данной последовательности равна либо , либо , либо .
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли в такой последовательности ?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть в такой последовательности?
а) Пример последовательности при :
( 1, 2, 23, -18, 43, -38, 63,-58,83,-78,103,-100,125,-122,147,-144,
169,-166,191,-188,213,-210,235. )
в) Наименьшее равно (пример из пункта а).
Т.к. из пункта б) следует, что количество членов последовательности должно быть нечетным, нам нужно доказать, что . Докажем от противного. Предположим, что существует такая последовательность, где . Будем рассматривать последовательность справа налево. Заметим, что если какой-то член последовательности больше , то слева от него стоит отрицательное число. Также заметим, что слева от отрицательного числа обязано стоять положительное число. Поэтому до тех пор, пока, идя справа налево, мы не встретим первое положительное число (назовем его ), числа будут образовывать знакопеременную последовательность.
Среди чисел, стоящих правее , любые числа, стоящие через один, отличаются по модулю либо на , либо на , либо на , либо на :
Как заходить в аудиторию на ЕГЭ
Миша живёт в доме, в котором всего один подъезд. При этом на каждом этаже по квартир. Миша живет в квартире номер . На каком этаже живёт Миша?
Количество полных этажей, которые расположены ниже Мишиного, есть округлённый в меньшую сторону результат деления на , следовательно, этажей ниже, чем Мишин, тогда Миша живёт на этаже.
На диаграмме показана температура воздуха в Москве за первые дней марта 2010 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько из указанных дней температура не превышала градуса Цельсия.
Температура не превышала градуса Цельсия , , , и марта, то есть дней.
Для транспортировки груза на можно комбинировать услуги трёх фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице.
Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант перевозки?
Наиболее дешёвый способ: снарядить 3 машины перевозчика “Мощный” на (то есть по 10 раз) и ещё 2 машины перевозчика “Дешёвый” на , что обойдётся в (3cdot 4500cdot 10 +
2cdot 2000cdot 10 = 175,000 руб).
На клетчатой бумаге с размером клетки изображён треугольник. Найдите его площадь.
Данный треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, как показано на рисунке. Площади полученных при этом треугольников будут равны (0,5cdot 4cdot 6 = 12) и (0,5cdot
6cdot 6 = 18), следовательно, площадь исходного треугольника равна (12 + 18 = 30).
На чемпионате по стрельбе из лука выступают спортсменов, среди них по стрелков из Дании и Туниса. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что пятым будет выступать стрелок из Дании.
Угол равен , градусная мера дуги , не содержащей точку , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то (angle NPK = 88^circ : 2 = 44^circ).
В точке максимума производная равна , причём в некоторой окрестности точки максимума слева от неё производная должна быть положительна, а справа от неё – отрицательна. Таким образом, функция имеет единственную точку максимума на указанном отрезке ((x = 15)).
В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно , а сторона основания равна . Найдите высоту пирамиды.
В правильной пирамиде проекция вершины на плоскость основания есть центр описанной около основания окружности.
В сосуд налили (1500 куб. см) воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в куб. см.
Объём жидкости с погружённой деталью стал (1500cdot 1,4 = 2100куб.см), следовательно, объём детали равен (2100 — 1500 = 600куб.см).
Расстояние между городами и равно . Из города в город выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города выехал второй автомобиль со скоростью . Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии от города . Ответ дайте в км/ч.
Расстояние, которое до места встречи проехал второй автомобиль, равно (490 — 330 = 160 км), следовательно, он ехал в течение (160 :
80 = 2 ч). Тогда первый автомобиль ехал до места встречи в течение (2 + 1 = 3 ч), следовательно, его скорость равна (330 : 3 = 110км/ч).
ОДЗ: (x geqslant 0).
2) Найдём промежутки знакопостоянства :
а) ОДЗ: – произвольный.
а) Докажите, что – высота пирамиды .
б) Найдите угол между и плоскостью .
Таким образом, (AB perp MBperp BC), то есть перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости , следовательно, – высота пирамиды .
По методу интервалов
Две окружности касаются внутренним образом в точке , причём меньшая из окружностей проходит через центр большей окружности. Хорда большей окружности касается меньшей в точке ; и – точки пересечения меньшей окружности с и соответственно.
б) Пусть – точка пересечения и . Найдите , если радиус большей окружности равен , а (PQ = 6).
а) Пусть и центры большей и меньшей окружностей соответственно. Так как и перпендикулярны касательной, проходящей через точку , то точки , и лежат на одной прямой. Пусть – точка пересечения этой прямой с большей окружностью, отличная от .
Докажем, что хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку , относятся как их диаметры. Рассмотрим доказательство на примере хорд и .
Рассмотрим треугольники и . Эти треугольники прямоугольные, так как – диаметр меньшей окружности (описанной около треугольника ), а – диаметр большей окружности (описанной около треугольника ). При этом острый угол у них общий, следовательно, эти треугольники подобны.
Для других хорд, лежащих на прямой, проходящей через точку , утверждение доказывается аналогично.
б) Опустим перпендикуляры и на .
Так как – радиус большей окружности и диаметр меньшей, то радиус меньшей окружности равен (0,5cdot 5 = 2,5)
Рассмотрим прямоугольную трапецию .
15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-ого числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца; со 2-ого по 14-ое числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга в виде платежа банку; 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту превысила сумму кредита на процентов. Найдите .
По условию общая сумма выплат превысила на сумму кредита . Это значит, что переплата по кредиту составляет от . Найдем общую сумму выплат:
Тогда переплата составила . Т.к. переплата составила от , то
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Рассмотрим два случая:
Отдельно рассматриваемое данное уравнение задаёт на плоскости окружность с центром в точке и радиусом , но с учётом условия (4x — 2y — 10geqslant 0) нам подходит только часть этой окружности, лежащая в полуплоскости (y leqslant 2x — 5).
При каждом фиксированном значении второе уравнение исходной системы задаёт прямую, параллельную (при (a = 0) оно задаёт прямую , а при прямую, полученную из параллельным переносом).
Среди посетителей одного из магазинов был проведён опрос. Известно, что каждому опрошенному целое число лет. Участник опроса попадает в возрастную категорию А, если ему более лет, иначе он попадает в категорию Б. Спустя года опрос был проведён повторно, причём среди тех же людей, что и в первый раз.
а) Могло ли оказаться так, что во время повторного опроса средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что при повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, понизился, и средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний возраст опрашиваемых составил лет, средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, составил лет, а средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, составил лет. При повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, стал равен году, а попавших в категорию А – годам. При каком наименьшем числе участников опроса возможна такая ситуация?
а) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали изначально три человека, одному из которых было лет, а двум другим по лет. Тогда их средний возраст при первом опросе был лет, а при втором опросе в категории Б остались только двое, которым исполнилось по лет, то есть их средний возраст стал лет.
б) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали те же трое, что в пункте а), а в категорию А изначально попадали два человека, которым было по лет.
Так как (k geqslant 1), то , но делится на , следовательно, . При (n = 8) имеем: (m = 10). Этот случай возможен только при (k = 1).
Таким образом, менее человек быть не могло, а человек могло быть, например, так:в первый раз опросили человек, каждому из которых было по лет, одного человека в возрасте лет и человек, каждому из которых было по лет.
Оценивание
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–11 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1, выданный на экзамене!
При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами, выдаваемыми вместе с работой.
Разрешается использовать только линейку, но можно сделать циркуль своими руками. Запрещается использовать инструменты с нанесёнными на них справочными материалами. Калькуляторы на экзамене не используются.
На экзамене при себе надо иметь документ удостоверяющий личность (паспорт), пропуск и капиллярную или гелевую ручку с черными чернилами! Разрешают брать с собой воду (в прозрачной бутылке) и еду (фрукты, шоколадку, булочки, бутерброды), но могут попросить оставить в коридоре.
