Новые задачи по теории вероятностей в ЕГЭ-2022

За­ме­тим, что по­сколь­ку в тур­ни­ре участ­ву­ют 16 иг­ро­ков, всего будет че­ты­ре тура, в каж­дом из ко­то­рых будут иг­рать 16, 8, 4 и 2 че­ло­ве­ка со­от­вет­ствен­но. Пусть со­бы­тие A — Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, со­бы­тие B — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом туре и встре­ти­лись во вто­ром, со­бы­тие C — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом и вто­ром туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом и вто­ром туре и встре­ти­лись в тре­тьем, D — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом, вто­ром и тре­тьем туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом, вто­ром и тре­тьем туре и встре­ти­лись в четвёртом.

Ве­ро­ят­ность того, что Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ют в пер­вом туре, равна Ве­ро­ят­ность со­бы­тия, при ко­то­ром Иван с Алек­се­ем не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, но оба вы­иг­ра­ли в пер­вом туре и встре­ти­лись во вто­ром туре, равна

Ана­ло­гич­но, ве­ро­ят­ность со­бы­тия C:

Оста­лось найти ве­ро­ят­ность того, что Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ют в четвёртом туре:

Те­перь найдём ис­ко­мую ве­ро­ят­ность:

Ответ: 0,125.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

В пер­вом туре тур­ни­ра участ­ву­ют 16 иг­ро­ков, раз­бить их на про­из­воль­ные пары можно спо­со­ба­ми. Пусть n — число всех воз­мож­ных ва­ри­ан­тов про­хож­де­ния игр тур­ни­ра. В пер­вом туре встре­ча­ют­ся 8 пар иг­ро­ков, по­это­му во всех воз­мож­ных n ва­ри­ан­тах пер­во­го тура может быть 8n пар. Все эти пары рав­но­воз­мож­ны, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что одну из них со­став­ля­ют два вы­бран­ных иг­ро­ка равна то есть

Если вы­бран­ные иг­ро­ки не встре­ти­лись в пер­вом туре, они могут встре­тить­ся во вто­ром. В нем при­мут уча­стие 4 ко­ман­ды, ве­ро­ят­ность встре­чи иг­ро­ков равна или

В тре­тьем туре при­мут уча­стие 4 че­ло­ве­ка, из них можно со­ста­вить две пары, в чет­вер­той игре участ­ву­ют 2 че­ло­ве­ка, пара толь­ко одна; ис­ко­мые ве­ро­ят­но­сти суть и со­от­вет­ствен­но.

Пе­ре­чис­лен­ные со­бы­тия не­сов­мест­ны, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Решим за­да­чу в общем виде.

Пусть в тур­ни­ре по олим­пий­ской си­сте­ме (игра на­вы­лет, плей-офф) участ­ву­ют n иг­ро­ков (n — сте­пень двой­ки, всего в тур­ни­ре про­во­дит­ся n −1 игра). Раз­бить n иг­ро­ков на про­из­воль­ные пары можно спо­со­ба­ми. Для каж­до­го воз­мож­но­го тур­ни­ра по­стро­им де­ре­во игр, в вер­ши­нах ко­то­ро­го ука­жем имена двух встре­тив­ших­ся в со­от­вет­ству­ю­щей игре иг­ро­ков. Любая пара иг­ро­ков в тур­ни­ре может сыг­рать друг с дру­гом не боль­ше од­но­го раза. Вы­бе­рем один из тур­ни­ров, рас­смот­рим со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что двое на­пе­ред вы­бран­ных иг­ро­ков встре­ти­лись в пер­вой игре пер­во­го тура. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна 1/k, то есть Вы­би­ра­ем вто­рую игру пер­во­го тура, тре­тью и так далее до по­след­ней n −1 -ой игры по­след­не­го тура. Эти со­бы­тия рав­но­ве­ро­ят­ны и не­сов­мест­ны, а по­то­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность их суммы равна

Для того, чтобы по­сту­пить хоть куда-ни­будь, З. нужно сдать и рус­ский, и ма­те­ма­ти­ку как ми­ни­мум на 70 бал­лов, а по­ми­мо этого еще сдать ино­стран­ный язык или об­ще­ст­во­зна­ние не менее, чем на 70 бал­лов. Пусть A, B, C и D — это со­бы­тия, в ко­то­рых З. сдает со­от­вет­ствен­но ма­те­ма­ти­ку, рус­ский, ино­стран­ный и об­ще­ст­во­зна­ние не менее, чем на 70 бал­лов. Тогда по­сколь­ку

для ве­ро­ят­но­сти по­ступ­ле­ния имеем:

Ответ: 0,408.

При­ве­дем дру­гую за­пись этого ре­ше­ния.

В силу не­за­ви­си­мо­сти со­бы­тий, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на линг­ви­сти­ку: 0,6 · 0,8 · 0,7 = 0,336, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на ком­мер­цию: 0,6 · 0,8 · 0,5 = 0,24, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны и на «Линг­ви­сти­ку», и на «Ком­мер­цию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5 = 0,168. Успеш­ная сдача эк­за­ме­нов на «Линг­ви­сти­ку» и на «Ком­мер­цию» — со­бы­тия сов­мест­ные, по­это­му ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Тем самым, по­сту­пить хотя бы на одну из этих спе­ци­аль­но­стей аби­ту­ри­ент может с ве­ро­ят­но­стью 0,336   0,24 − 0,168 = 0,408.

При­ведём ре­ше­ние Алек­сея Стол­бо­ва из Маг­ни­то­гор­ска.

Есть три ва­ри­ан­та по­ступ­ле­ния аби­ту­ри­ен­та хотя бы на одну спе­ци­аль­ность:

а) по­сту­пить на линг­ви­сти­ку при этом не по­сту­пив на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5;

б) по­сту­пить и на линг­ви­сти­ку, и на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5;

в) не по­сту­пить на линг­ви­сти­ку, при этом по­сту­пив на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 ·  0,8 · 0,3 · 0,5.

Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность суммы этих со­бы­тий равна сумме их ве­ро­ят­но­стей:

0,6 · 0,8 · (0,35 0,35 0,15) = 0,48 · 0,85 = 0,408.

При­ведём ре­ше­ние Ирины Шраго из Санкт-Пе­тер­бур­га.

Для по­ступ­ле­ния З. не­об­хо­ди­мо сдать ма­те­ма­ти­ку и рус­ский язык хотя бы на 70 бал­лов, а также сдать ино­стран­ный язык или об­ще­ст­во­зна­ние не менее, чем на 70 бал­лов. Это со­бы­тия не­за­ви­си­мые, причём со­бы­тие «сдать хотя бы один эк­за­мен не менее, чем на 70 бал­лов» про­ти­во­по­лож­но со­бы­тию «сдать оба пред­ме­та менее, чем на 70 бал­лов». По­лу­ча­ем, что ве­ро­ят­ность ис­ко­мо­го со­бы­тия: 0,6 · 0,8 · (1 − 0,3 · 0,5) = 0,408.

При­ведём ре­ше­ние с по­мо­щью дво­ич­но­го де­ре­ва.