На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь

Этот раздел содержит геометрические задачи ЕГЭ по математике на следующие темы:

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номерами 5, 10, 15 для базового уровня и под номером 3 для профильного уровня.

Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте,
разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

 Основания равнобедренной трапеции равны и Боковые стороны равны Найдите синус острого угла трапеции.

Решение: + показать

Большее основание равнобедренной трапеции равно Боковая сторона равна Синус острого угла равен   Найдите меньшее основание.

 Основания равнобедренной трапеции равны и Тангенс острого угла равен . Найдите высоту трапеции.

 Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

  Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны и

 Средняя линия трапеции равна а меньшее основание равно Найдите большее основание трапеции.

 Основания трапеции равны и Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Основания трапеции равны и Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

В равнобедренной трапеции основания равны и острый угол равен . Найдите ее периметр.

Основания трапеции равны и боковая сторона равна Площадь трапеции равна Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного отсекает треугольник, периметр которого равен Найдите периметр трапеции.

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины и Найдите среднюю линию этой трапеции.

Основания трапеции относятся как а средняя линия равна Найдите меньшее основание.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна Найдите ее среднюю линию.

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны и большая боковая сторона составляет с основанием угол

Основания равнобедренной трапеции равны и а ее периметр равен Найдите площадь трапеции.

Найдите среднюю линию трапеции , если стороны квадратных клеток равны .

Вы можете пройти тест по теме «Трапеция»

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.

Прежде чем приступать к решению задачи, вспомним теорию >>

Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.

Чем отличаются задачи этого типа от предыдущих? Почти ни чем. Координатная плоскость — та же самая сетка. Только линии этой сетки
пронумеровали, а затем стерли, а на фигуре написали на каких линиях были расположены её вершины. Когда? Еще в 17-ом веке. Зачем?
Чтобы как-то, хотя бы условно, изображать большие и несоразмерные фигуры, которые не помещаются на рисунке в нормальном масштабе.

Из этих соображений, следуют два способа решения задач:
Первый, самый надежный, — выучить понятия и формулы из раздела «Декартовы
координаты на плоскости и в пространстве».
Второй, самый простой для тех, кто разобрался с предыдущей задачей, —
восстановить сетку.

Решение вторым способом более очевидное. Теоретически так можно решать любую задачу на координатную плоскость, но это может
оказаться значительно медленнее, чем первым способом, и потребовать «немеряного количества» бумаги. (Иначе не надо было бы
изобретать координаты.) Поэтому здесь мы рассмотрим те задачи, для которых решение восстановлением сетки достаточно быстрое и
компактное, а затем еще раз вернемся к понятию координатной плоскости в следующем разделе.

Найдите площадь четырёхугольника,
вершины которого имеют
координаты (3, 2), (7, 6), (7, 8), (3, 6).

Оси координат — это линии сетки, с которых начинается нумерация. Ось Ox — нулевая горизонтальная линия, ось Oy — нулевая вертикальная линия. Запись «координаты (3, 2)» означает, что точка находится на 3-ей вертикальной линии сетки и на второй горизонтальной, аналогично «координаты (7, 6)» — на 7-ой вертикальной и 6-ой горизонтальной, и т. д. Рисуем нужное количество линий на заданном чертеже. Результат на рисунке слева. Видно, что этот рисунок очень похож на рисунок к условию предыдущей задачи. А, если не обращать внимания на оси, то абсолютно тот же (это потому, что для примера я специально выбрала задачу с той же самой трапецией). Значит решать можно любым из представленных выше четырёх способов. Например, разбиваем трапецию на два прямоугольных треугольника и вычисляем:
S1 = 4×2/2 = 4. S2 = 4×4/2 = 8.
S = S1 + S2 = 4 + 8 = 12.

Следующую задачу постарайтесь сначала решить самостоятельно, а затем проверьте своё решение.

Найдите площадь четырехугольника,
вершины которого имеют
координаты (4, 2), (8, 4), (6, 8), (2, 6).

На рисунке в условии задачи пунктиром показаны отрезки линий сетки, которые проходят через вершины четырёхугольника (здесь это 2-я, 4-я, 6-я и 8-я линии как по вертикали, так и по горизонтали). Дорисовываем весь участок сетки в окрестности заданной фигуры. Решаем задачу так, как если бы она была задана на клеточках, без координатных осей. У нашего четырёхугольника нет сторон, лежащих на линиях сетки, поэтому выберем третий метод из предыдущего раздела — метод «вырезания».
Строим внешний прямоугольник, стороны которого проходят по сетке через вершины заданного. Прямым подсчетом клеточек убеждаемся в том, что красная линия на чертеже ограничивает квадрат со стороной 6 единиц, значит его площадь равна S_кв = 36 ед.², а четыре зеленых прямоугольных треугольника равны между собой и имеют катеты 2 ед. и 4 ед., площадь каждого из них равна 2×4/2 = 4.
Следовательно, искомая площадь желтого четырехугольника равна
S = 36 − 4×4 = 20.

Замечания:

1) По рисунку видно, и равенством зеленых треугольников подтверждается, что заданный четырёхугольник тоже квадрат. Но нам здесь это даже не потребовалось.

2) В качестве упражнения на развитие воображения попробуйте найти эту площадь вторым методом из предыдущего раздела — методом разрезания желтого квадрата по линиям сетки на простые части.

Продолжение:
Задачи на понятие координатной плоскости.
Задачи на вектора.

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.

Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.

Эта группа задач следующего типа: дано изображение геометрической фигуры на клетчатой бумаге, требуется найти площадь этой фигуры. В связи с тем, что в этом разделе предполагается много рисунков, то большинство задач вынесено на flash-страницу сайта. Ссылка расположена ниже.

Сейчас мы обсудим главное — эту задачу может решить любой школьник, независимо от того, насколько хорошо он усвоил курс геометрии. Навыки, необходимые для решения этой задачи, вы начали приобретать еще в детском саду, когда впервые взяли в руки ножницы и бумагу. Вопрос только в том, насколько эффективно вы сможете распорядиться своим экзаменационным временем. Для доказательства этого положения, я беру одну и ту же задачу и решу её несколько раз.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотрите на рисунок, там указан масштаб. Видно, что размер одной клетки равен 1 см (это же сказано и в условии), соответственно,
площадь одной клетки равна 1 см². Поэтому требование дать ответ в квадратных сантиметрах равносильно требованию дать
ответ в клеточках.

Первое решение рассмотрим в предположении, что вы хорошо знаете формулы и определения. Чтобы мне было легче объяснять его, я обозначу
буквами A, B, C, D вершины заданного четырёхугольника. Итак:

ABCD — трапеция, т.е. четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны
ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции
равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её — h).
Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4. Как определить h?
Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть — это горизонтальные линии сетки. Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно h = 4. Подставляем значения в формулу:

S = h·(BC + AD)/2 = 4·(2 + 4)/2 = 12.

Второе решение относится к случаю, когда вы уверенно помните только самые простые формулы площади:
площадь прямоугольника S = a·, где a и стороны, и площадь прямоугольного треугольника S = a·/2, где a и катеты. Суть метода заключается в том, что нам нужно разбить заданную фигуру на эти простые части по линиям сетки.

Проводим дополнительную линию AC, которая «разрезает» нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами
AC = 4 и BC = 2, его площадь S

1

= 4×2/2 = 4. Второй с катетами AC = 4 и
AD = 4, его площадь S

2

= 4×4/2 = 8. (Длины сторон мы также определили прямым подсчётом клеточек.)

Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников
ACB и DAC.
S = S

1

2

= 4 + 8 = 12.

Третий способ требует тех же самых знаний, что и второй, только немножко иного взгляда на картинку. Теперь мы будем не «разрезать» нашу трапецию на части, а «вырезать» её из прямоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки через вершины заданной трапеции.

Проводим горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения
с горизонтальными. Точки пересечения обозначим символами E и F. Получили прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь
6×4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC.
SAEB = AE·EB/2 = 2·4/2 = 4 и SDFC = DF·FC/2 = 4·4/2 = 8
Следовательно, площадь трапеции равна
S = 24 − 4 − 8 = 12.

И, наконец, последний, четвертый способ нужен на случай, когда вы вообще не знаете никаких формул, но
обладаете хорошим воображением. Способ сродни решению головоломки — как разрезать плоскую фигуру на части, чтобы из этих частей, используя каждую из них
одинаковое число раз, сложить прямоугольник? Затем, просто посчитать количество клеточек внутри прямоугольника, и разделить на
число повторов деталей заданной фигуры. Смотрите, пример.

Проводим дополнительную линию AC и «разрезаем» трапецию на две части, как в решении вторым способом. Проводим дополнительные линии и строим вершины E и F, как в решении третьим способом. Убеждаемся в том, что получившиеся зеленые и желтые треугольники попарно равны (подсчетом клеточек на соответствующих сторонах). Значит, для построения прямоугольника детали заданной фигуры использованы 2 раза, один комплект желтый, второй — зеленый. Считаем общее количество клеточек в закрашенном прямоугольнике. Получается 24. Делим на 2. 24/2 = 12.

С одной стороны, явно прослеживалась тенденция к усложнению задания для профильного уровня и упрощению для базового, с другой стороны, эти различия были очень незначительны с точки зрения необходимых математических навыков. Если посмотреть эту задачу в Демонстрационном варианте базового уровня 2022 года, то по сравнению с предыдущими годами для обоих уровней более востребованным станет способ решения, опирающийся на знание формул площадей геометрических фигур. Но никто и ничто не мешает Вам аккуратно продолжить линии сетки за пределы заштрихованной фигуры и получить основу для выбора предпочтительного способа решения. Разница только во времени, которое будет затрачено на выполнение этого задания.
В любом случае помните — ЕГЭ по математике не проверяет ваш глазомер! Поэтому ни для каких расчётов не используйте отрезков, начало или конец которых не связаны с узлами сетки.

Задачи на формулы площади.

Среди этих задач есть как прямые, так и обратные. Прямыми мы здесь называем задачи, в которых по данным элементам фигуры
нужно найти её площадь. Обратными — в которых площадь известна и, наоборот, нужно найти какой-либо из элементов фигуры.
Простейшие примеры таких задач:

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
S = ab/2 = 5×8/2 = 20.

Замечание: Это самый простой вариант задачи, когда ответ сразу получается по формуле площади для заданной фигуры.

Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
S = ab/2. Подставим в эту формулу известные величины: площадь S = 16 и один из катетов,
пусть это будет а = 4. Получим 16 = 4b/2 или 4b/2 = 16, b = 8.

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Способ I.
Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой
S = d²/2. Следовательно S = 1²/2 = 0,5.

Способ II.

Обозначим сторону квадрата символом а. Тогда его площадь S = a², a диагональ
d = a·. (Это либо помним наизусть, как формулу из учебника, либо находим по теореме
Пифагора: d² = a² + a².)
Подставляем известные значения и находим неизвестные с помощью
алгебраических преобразований: d = 1 (по условию), следовательно 1 = a·.
Отсюда a = 1/ и S = (1/)² = 1/2 = 0,5.

Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ
можно посмотреть здесь.

Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

Способ I.
Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой
S = d²/2. Подставим в эту формулу известную величину площади (S = 2), тогда 2 = d²/2
или d²/2 = 2, d² = 4, d = 2.

Способ II.

Обозначим сторону квадрата символом а. Тогда его площадь S = a², a диагональ
d = a·.
Подставляем известные значения и находим неизвестные с помощью алгебраических
преобразований: S = 2 (по условию), следовательно 2 = a². Отсюда a = и
d = · = 2.

Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ
можно посмотреть здесь.

А затем ещё раз проверьте себя:
Окружность и круг одно и то же или нет?
Что больше площадь или площадь
если длины их дуг равны?

Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

Известны стороны прямоугольника, значит легко найти его площадь:
S_пр = 4×9 = 36.
Площадь квадрата S_кв = a²,
где а — его сторона. По условию S_кв = S_пр = 36. Следовательно
36 = a² или a² = 36, a = 6.

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1 : 2.

Обозначим стороны прямоугольника символами a и b.
Тогда его площадь S = ab, периметр P = a + b + a + b = 18, отношение сторон
a : b = 1 : 2 или a/b = 1/2. Из двух последних равенств найдем a и
b. (Например, можно записать и решить их как систему уравнений.)
a/b = 1/2,
значит b = 2a. Тогда P = 2a + 2b = 2a + 4a =
6a = 18, a = 3, b = 6. Площадь S = 3×6 = 18.

Задачи на площадь прямоугольника относятся к самым простым, но всё-таки иногда их трудно решить без чертежа.
При наличии в Вашем браузере плагина для Flash решения следующих 2-ух задач можно посмотреть с привлечением интерактивных анимаций. Для этого перейдите на страницу Задание по планиметрии — прямоугольник. Дождитесь загрузки и пользуйтесь внутренней кнопкой для пошагового просмотра. Не забудьте вернуться и продолжить решение задач с другими фигурами.

Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

1) Вводим обозначения: a и b — длины сторон, d — диагональ, P — периметр, S — площадь.
2) Записываем данные и искомые величины в этих обозначениях:
— по определению периметра: P = a + b + a + b = 2a + 2b = 28;
— по теореме Пифагора выражаем диагональ прямоугольника через его стороны:
   d ² = a² + b², т.е. a² + b² = 10² = 100;
— по формуле площади S = a·b = ?
3) Получаем систему уравнений относительно a и b:

4) Решаем систему:

Так как нам не требуется находить отдельно каждую сторону прямоугольника, а нужна его площадь, то получив численное значение для произведения сторон a·b, можем остановиться.

Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4 : 5, а другая сторона равна 6. Найдите площадь прямоугольника.

1) Введём обозначения: a и b — длины сторон, d — длина диагонали, S — площадь прямоугольника.
2) Выразим диагональ через длину стороны:
a : d = 4 : 5; 5a = 4d; d = (5/4)a. (Использовали свойства пропорций.)
3) По теореме Пифагора для диагонали прямоугольника:
a² + b² = d²;
a² + b² = (5/4)²a².
Из этого уравнения найдём неизвестную сторону a (через данную сторону b).
b² = (5/4)²a² −
a² = (25/16 − 1)a² = (9/16)a² .
Таким образом, b = (3/4)a, следовательно a = (4/3)b = (4/3)·6 = 8.
По формуле площади прямоугольника S = ab = 6·8 = 48.

Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна
разности площадей данных квадратов.

Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой
S = d²/2. Тогда S₁ = d₁²/2 = 100/2 = 50 и
S₂ = d₂²/2 = 36/2 = 18. Разность площадей S₁ − S₂ = 50 − 18 = 32,
следовательно S₃ = d₃²/2 = 32 и d₃² = 64,
d₃ = 8.

Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ
можно посмотреть здесь.

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
умноженной на синус угла между ними. S = (bc/2)·sinα =
(8×12/2)·sin30° = 48·sin30°.
sin30° = 1/2, таким образом S = 48×(1/2) = 24.

Замечание: Эта задача тоже из простейших — на применение формулы из учебника.

Площадь остроугольного треугольника равна 36. Две его стороны равны 6 и 24.
Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
умноженной на синус угла между ними. S = (bc/2)·sinα.
Подставим в формулу известные величины: 36 = (6×24/2)·sinα.

Получим 36 = 72sinα или 72sinα = 36, sinα = 1/2, α = 30°.

Тема «решение задач на формулы площади плоских фигур» неисчерпаема. Вы должны знать несколько формул для площади треугольника, формулы площадей четырехугольников (параллелограмма, трапеции, ромба), круга и кругового сектора, правильного многоугольника. Прототипов таких задач в банке заданий, пожалуй, больше, чем в других группах. К сожалению, нереально поместить все в пределах одной страницы сайта. Постараюсь дополнять по мере занятий с учениками. Следите за обновлениями.